Типові помилки і труднощі під час розв’язування логарифмічних рівнянь та можливості їх усунення

Размещено на http://www.allbest.ru

Типові помилки і труднощі під час розв'язування логарифмічних рівнянь та можливості їх усунення

Бистрянцева А. М.

кандидат фізико-математичних наук, доцент,

доцент кафедри алгебри, геометрії та математичного аналізу Херсонський державний університет

Чередніченко Ю. С.

викладач математики Херсонський фізико-технічний ліцей Херсон,

Ключові слова: шкільний курс алгебри, рівняння, логарифм,

математична помилка, метод.

Стаття присвячена огляду типових помилок і труднощів, які виникають у здобувачів повної загальної середньої освіти в процесі оволодіння базовими математичними знаннями і вміннями, одним з яких є вміння розв'язувати рівняння, і в тому числі логарифмічні рівняння. Це питання не втрачає своєї актуальності і в процесі подальшого навчання в закладах вищої освіти, оскільки саме логарифмічні рівняння мають широке прикладне застосування у багатьох наукових дослідженнях природничого напряму.

Проведений аналіз завдань державної підсумкової атестації та зовнішнього незалежного оцінювання дозволяє стверджувати, що рівень вмінь та навичок здобувачів повної загальної середньої освіти, продемонстрований під час розв'язування рівнянь, а саме логарифмічних рівнянь, є достатньо низьким. Це стосується не лише завдань високого рівня, а й тих, які передбачають лише послідовне виконання чіткого алгоритму.

Ґрунтуючись на дослідженнях авторів В.А. Далингер, І.Б. Ляпунова, П.І. Самсонова, Л.П. Черкаської, власному досвіді, матеріалах аналітичних звітів Українського центру оцінювання якості освіти, можна стверджувати, що помилки, допущені учнями під час розв'язування логарифмічних рівнянь, найрізноманітніші - від невірного оформлення до помилок логічного характеру. Під час дослідження на конкретних прикладах були проаналізовані типові помилки і труднощі, які виникають в учнів під час розв'язування завдань на використання логарифмів, надані роз'яснення щодо причин їх виникнення та рекомендації щодо їхнього подальшого ефективного усунення. Під час здійснення пошуку шляхів вдосконалення методики навчання розв'язуванню логарифмічних рівнянь, яка має обов'язково включати оволодіння базовими теоретичними відомостями, знайомство з прийомами та методами розв'язування рівнянь, рекомендується спрямовувати роботу й на виявлення пробілів у знаннях учнів та проведенню роботи по їх усуненню. Якісно організована робота над виявленням та запобіганням прогалин у знаннях та вміннях здобувачів повної загальної середньої освіти забезпечить успішне оволодіння навчальним матеріалом.

помилка розв'язування логарифмічний

TYPICAL MISTAKES AND DIFFICULTIES IN SOLVING LOGARITHMIC EQUATIONS AND POSSIBILITIES OF THEIR CORRECTIONS

Bystriantseva A. N.

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Senior Lecturer at the Department of Algebra,

Geometry and Mathematical Analysis Kherson State University

Kherson, Ukraine

Cherednichenko Yu. S.

Mathematics Teacher

Kherson Physical and Technical Lyceum Kherson

Key words:

school course of algebra, equation, logarithm, mathematical error, method.

The article is devoted to an overview of typical mistakes and difficulties that students of general secondary education have in the process of mastering basic mathematical knowledge and skills, one of which is the ability to solve equations, including logarithmic equations. This issue does not lose its relevance in the process of further education at an institution of higher education, since it is precisely the logarithmic equations are widely applied in many scientific research in the natural direction.

The analysis of tasks of the state final attestation and external independent assessment is carried out. It shows that the level of skills and abilities of students of general secondary education demonstrated in solving equations, namely logarithmic equations, is quite low. This applies not only to high- level tasks, but also to those that involve only the consistent execution of a clear algorithm.

Based on the research of the authors V.A. Dalinger, I.B. Lyapunov, P.I. Samsonov,

L.P. Cherkaska, own experience, materials of analytical reports of the Ukrainian Center for Educational Quality Assessment, it can be argued that the mistakes made by students during solving logarithmic equations, are various: from incorrect presentation to mistakes that have logical character. With concrete examples in the research were analyzed typical mistakes and difficulties that students have when solving problems using logarithms, explanations are given about the causes of their occurrence and recommendations are given for their further effective elimination.

When searching for ways to improve the teaching methodology for solving logarithmic equations, which must necessarily include the mastery of basic theoretical information, familiarity with the techniques and methods of solving equations, it is recommended to direct the work to identify gaps in the knowledge of students and carrying out work to eliminate them. Qualitatively organized work on identifying and preventing gaps in knowledge and skills of students of general secondary education will ensure successful mastery of educational material.

Постановка проблеми

У шкільному курсі алгебри одне з провідних місць займає змістова лінія рівнянь та нерівностей, вивченню якої при- діляється велика кількість навчального часу. Вона широко представлена в завданнях зовнішнього незалежного оцінювання, державної підсумкової атестації. Тема «Логарифмічні рівняння» в курсі алгебри і початків аналізу є традиційною та має значне подальше практичне застосування, але учням дуже важко засвоїти її через складність і новизну матеріалу. Матеріали аналітичних звітів Українського центру оцінювання якості освіти демонструють погіршення результатів виконання завдань, пов'язаних з рівняннями, зокрема, з лога- рифмічними рівняннями. Як показує практика, рівень вмінь та навичок учнів під час розв'язу- вання завдань, що виходять за рамки алгоритму та потребують додаткових міркувань, доволі низькі. Тому надзвичайно важливим для сучасного вчи- теля математики є пошук шляхів вдосконалення методики навчання розв'язуванню логарифміч- них рівнянь. Передумовою цього може слугувати процес пошуку, попередження та своєчасного усу- нення різноманітних помилок, які виникають під час вивчення зазначеної теми. Якісно організо- вана робота над виявленням та запобіганням про- галин у знаннях та вміннях забезпечить успішне оволодіння навчальним матеріалом.

Аналіз останніх досліджень і публікацій. На уроках математики вчитель має справу з різ- номанітними помилками учнів, які повинні бути вчасно виявлені та виправлені. Тому якісна мате- матична підготовка школярів є неможливою без вдало організованої роботи над прогалинами в знаннях учнів. Це питання висвітлено в пра- цях таких авторів, як В.А. Далингер, І.Б. Ляпу- нов, Л.І. Марченко, Т.І. Іванко, П.І. Самсонов, Л.В. Самойленко, Л.П. Черкаська, Л.А. Благодир, В.О. Швець.

Авторський колектив Л.А. Благодир, В.О. Швець [1, с. 19] здійснили теоретичний аналіз науко- во-педагогічної та психологічної літератури, яка присвячена вивченню математичних помилок учнів. У роботі авторів увага присвячена природі типових математичних помилок, їх класифікації та причинам виникнення. Виділяючи причини появи помилок, акцентована увага на формалізмі у знан- нях учнів, послабленні психічних функцій, таких як увага, пам'ять, мислення. Автори погоджу- ються з тим, що важливим етапом усунення поми- лок є систематизація та подальша робота над ними з метою більш глибокого розуміння школярами математичних фактів.

В.А. Далингер ділить помилки на випадкові та систематичні (стійкі). До випадкових він від- носить ті, які з'являються одноразово, несисте- матично у одного-двох учнів. До стійких (типових) відносить ті, які з'являються у одного і того ж учня (або у кількох) неодноразово, або ті, які з'являються хоча і одноразово, але у багатьох учнів [2, c. 94].

У своєму дослідженні Л.П. Черкаська [3] наво- дить систематизацію помилок, розподіляючи їх за розділами програми, видами навчальної діяль- ності, особливостями психічної діяльності учнів та зовнішніми обставинами виявлення помилок. А основним напрямом для вивчення помилок вба- чається виявлення причин їх виникнення. Автор розглядає загальні методи корегування навчальної діяльності, покликані запобігти та усунути учнів- ські помилки. Серед цих методів можна виділити: збільшення питомої ваги самостійної роботи школярів, концентрація уваги на всіх можливих спсобах перевірки розв'язання задач.

Авторські колективи все частіше наголошують на відсутності систематизації математичних помилок за змістовими лініями навчального матеріалу шкільного курсу математики. Саме такий поділ розширить можливості вдосконалення діяльності вчителя та підвищить ефективність роботи з виявлення та ліквідації прогалин у знаннях учнів.

Типові помилки, які виникають в учнів під час розв'язування логарифмічних рівнянь, розглянуто у роботах [4; 5; 6], а систематизовані методи їх розв'язування - у роботах [7; 8; 9].

Ґрунтуючись на дослідженнях В.А. Далингера, І.Б. Ляпунова, П.І. Самсонова, відзначимо, що помилки, допущені учнями під час розв'язування логарифмічних рівнянь, найрізноманітніші - від невірного оформлення до помилок логічного характеру.

Для того щоб не допускати ці помилки, в своєму уроці Л.І. Марченко пропонує у вигляді гри завдання, спрямовані на засвоєння учнями різних методів розв'язування логарифмічних рів- нянь. Л.В. Самойленко на прикладах детально показує розв'язування логарифмічних рівнянь та нерівностей різними методами за рівнями склад- ності, на які потрібно звернути увагу для попе- редження помилок. Для кращого узагальнення і систематизації знань та вмінь учнів Т.І. Іванко подає цілий ряд завдань: завдання для усного розв'язування, завдання для письмового розв'я- зування, індивідуальні завдання. Так, учень, ознайомившись з рівнем складності завдань, вчиться вибирати найбільш раціональний шлях розв'язання.

Метою статті є виявлення та аналіз типових помилок, допущених учнями під час розв'язвання логарифмічних рівнянь, та надання реко- мендацій по їх усуненню.

Виклад основного матеріалу дослідження

Під час вивчення розділу «Показникова і логариф- мічна функції» в курсі алгебри і початків аналізу, якому приділяється 16 годин для рівня стандарту і 40 годин для профільного рівня, слід виділити таку важливу тему, як «Логарифмічні рівняння». У процесі вивчення цього розділу учні, відпо- відно до чинної програми з математики, систе- матизують, узагальнюють і поглиблюють знання про степені, корені та їх властивості, засвоюють властивості логарифмічної функції, отримують навички та вміння виконувати тотожні перетво- рення виразів, що містять логарифмічну функцію, здійснювати обчислення числових виразів з лога- рифмами, розв'язувати логарифмічні рівняння. Також учні повинні навчитися схематично зобра- жати графіки логарифмічних функцій із різними основами, пам'ятати основні властивості цих функцій, навчитися використовувати їх під час області допустимих значень ( x ? 0 ) у відповідь записують сторонній корінь x ? 0 .

3. Найпоширеніша помилка полягає в тому, що учні під час розв'язування логарифмічних рівнянь не володіють на необхідному рівні визначеннями понять, формулами, формулюваннями теорем, алгоритмами, невірно перетворюють логариф- мічні вирази.

Наприклад: Розв'язати рівняння lg2 (2x ? 3) ?

? lg2 (3x ? 2) [5, с. 53].

Першим кроком уважний учень перенесе дода- нок з лівої до правої частини рівняння і виконає розкладання отриманого виразу на множники. У результаті отримає сукупність рівнянь, після потенціювання яких має лінійне та квадратне рівняння, коренями яких є x ? 1, x ?? 1 , x ?? 5 .

розв'язування логарифмічних рівнянь. На факультативах, гурткових заняттях бажано ознайомити

учнів із побудовою графіків логарифмічних функ- цій з модулем та з розв'язуванням логарифмічних рівнянь з параметром.

Під час розв'язування будь-якого завдання завжди є ймовірність допущення помилок. Як було зазначено вище, помилки, яких припуска- ються учні під час розв'язування логарифмічних рівнянь, різноманітні. Зокрема:

Типовою помилкою під час розв'язування логарифмічних рівнянь є використання без додат- кових пояснень перетворень, які порушують рів- носильність, що призводить до втрати або появи сторонніх коренів.

Наприклад: Розв'язати рівняння log3 (5 ? x) ?

? 3 ? log3 (?1? x) [4, с. 445].

Першим кроком учні під час розв'язування

рівняння переносять доданок, який містить лога- рифмічний вираз, в ліву частину рівняння. З вла- стивості добутку логарифма та означення лога- рифма отримують квадратне рівняння, коренями якого є x1 ? ?4, x2 ? 8 . Найчастіше, не проводячи додаткових міркувань, у відповідь записують оби- два числа. Але за перевіркою x ? 8 не є коренем

рівняння, оскільки при цьому ліва і права його частини втрачають сенс. Перевірка показує, що лише число x ? ?4 є коренем заданого рівняння.

Ціла група помилок виникає, коли учні не приділяють належної уваги знаходженню області визначення рівнянь, особливо коли вона є ключем

При цьому дуже важливо зробити перевірку або врахувати ОДЗ, щоб позбавитись вважають доцільним не помічати другий сте-

пень логарифмів, одразу переходять до рівності аргументів логарифмів і, як наслідок, втрачають корінь.

Логарифмічні рівняння доцільно вивчати пара- лельно з показниковими, оскільки вони теоре- тично взаємопов'язані і допомагають розвитку логічного мислення в учнів, вмінню зіставляти, аналізувати, робити висновки. Знайомство з цими рівняннями краще починати з самого початку вивчення тем «Степені і корені», «Логарифм», щоб на заняттях, присвячених темам «Показни- кові рівняння», «Логарифмічні рівняння», систе- матизувати раніше отримані знання і закріпити напрацьовані навички. Це допоможуть зробити картки з різноманітними завданнями, кросворди, вікторини, математичні диктанти, тести та само- стійні роботи [10, с. 4, 13].

Вони дозволяють підходити до контролю знань диференційовано, активізувати навчальну діяль- ність учнів. З їх допомогою можна організувати як групову, так й індивідуальну роботу з учнями, а також використовувати під час і після вивчення теми для перевірки залишкових знань учнів.

Успішне розв'язування логарифмічних рівнянь неможливе без оволодіння основними методами знаходження розв'язку.

Використовуючи властивість частки та степеня логарифма, у лівій і правій частинах рівняння отримують різницю логарифмів. Звівши подібні доданки, взаємно знищують вираз ? log3 x . У результаті потенціювання одержують лінійне рівняння, коренем якого є x ? 0 . Без урахувань

вання монотонності функцій [11, с. 96]. Крім того, слід звернути увагу учнів на те, що оскільки лога- рифмічна функція визначена лише на множині додатних чисел, то варто ще до розв'язування логарифмічного рівняння знайти область визна- чення виразів, які стоять під знаком логарифма,

адже саме ця помилка призводить до появи сто- ронніх коренів.

За можливістю не варто використовувати фор- мули логарифмування добутку, частки і парного степеня, коли це призводить до звуження області визначення рівняння, а користуватися цими фор- мулами тільки справа наліво, що приводить до розширення області визначення (в цьому разі можлива хіба що поява сторонніх коренів, але їх можна відсіяти перевіркою).

Якщо доводиться використовувати вираз зі змінною як нову основу логарифма, то щоб не втратити корені рівняння, необхідно розглядати два випадки: вираз, який береться як нова основа, дорівнює одиниці (якщо це можливо на області визначення рівняння, що розглядається), і переві- ряємо, чи будуть ці значення змінної, за яких вираз дорівнює одиниці, коренями цього рівняння; нова основа не дорівнює одиниці - в цьому разі кори- стуємося формулою переходу від однієї основи логарифма до іншої [9].

Але запорукою успішного засвоєння такої теми, як логарифмічні рівняння, є розв'язання таких рівнянь у великій кількості. Адже розв'язуючи достатню кількість вправ, учні форму- ють ґрунтовні і міцні знання, підвищують рівень володіння своїми знаннями та вміннями їх застосовувати.

Висновки та перспективи дослідження

Без вивчення логарифмічних рівнянь, як і більшості інших рівнянь, шкільний курс математики мав би меншу значущість не тільки в математичній освіті, а й у формуванні мислення учнів. Помилки, які виникають під час вивчення цієї теми, виникають через незнання основних понять та властивостей, невміння застосовувати теорію на практиці, неу- важність, панування шаблонного мислення.

Тому у результаті дослідження можна акценту- вати особливу увагу на необхідності ґрунтовного вивчення теми «Логарифмічні рівняння». Вже розв'язування навіть найпростіших завдань, яке передбачає лише виконання алгоритмічних дій, надає можливість запам'ятати не лише основні типи логарифмічних рівнянь, але й бачити нестан- дартні підходи до розв'язування завдань, які роз- вивають ґрунтовні і міцні знання з математики, підвищують рівень володіння своїми знаннями та вміння їх застосовувати.

Література

Благодир Л.А., Швець В.О. Математичні помилки як об'єкт наукових досліджень. Наукові записки Національного педагогічного університету імені М. П. Драгоманова. Серія: Педагогічні та істо- ричні науки / М-во освіти і науки України, Нац. пед. ун-т ім. М.П. Драгоманова. Київ : Вид-во НПУ ім. М. П. Драгоманова, 2011. Випуск 93. С. 19-28.

Далингер В.А. Типичные ошибки учащихся по математике и их причины. Современные наукоемкие технологии. 2014. № 12-1. C. 94-97.

Черкаська Л.П. Основні напрямки здійснення корекції математичної підготовки учнів. Наукові записки. Серія: Проблеми методики фізико-математичної і технологічної освіти. 2015. № 7 (3). С. 105-109.

Далингер В.А. Типичные ошибки учащихся при решении логарифмических уравнений, неравенств и их систем и пути их предупреждения. Международный журнал экспериментального образова- ния. 2015. № 4-2. C. 445-450.

Ляпунов И.Б. Классические ошибки учащихся СУНЦ НГУ при неравносильных переходах в урав- нениях и неравенствах. Вестник НГУ. Серия: Педагогика. 2012. Т. 13. Выпуск 1. С. 46-55.

Самсонов П.И. Тема урока: «Решение логарифмических уравнений - поиск ошибок». Матема- тика. 2009. т. № 2. С. 7-9.

Марченко Л.І. Основні методи розв'язання логарифмічних рівнянь. Математика в школах України. 2009. Березень (№ 8). С. 22-24.

Іванко Т.І. Систематизація методів розв'язування показникових і логарифмічних рівнянь і нерівно- стей. Математика в школах України. 2007. Березень (№ 7). C. 16-21.

Самойленко Л.В. Методика навчання логарифмічних рівнянь та нерівностей. Наукові записки моло- дих учених. 2019. № 4.

Орлова О.А. Методическое пособие по математике «Решение показательных и логарифмических уравнений». URL: http://surl.li/erfi (дата звернення: 13.08.2020).

Бистрянцева А.М., Чередніченко Ю.С. Методи розв'язування логарифмічних рівнянь в курсі алге- бри старшої школи. Пошук молодих. Вип. 18: зб. матеріалів Всеукраїнської студ. наук.-практ. конф.

«STEM-освіта як напрям модернізації методик навчання природничо-математичних дисциплін у середніх і вищих навчальних закладах» (м. Херсон, 26-27 квітня 2018 р.) / уклад. В. Д. Шарко. Хер- сон : Видавництво ХНТУ. 2018. С. 95-96.

References

Blagodyr L.A., Shvets V.O. (2011) Matematychni pomylky yak obiekt naukovykh doslidzhen [Mathe- matical errors as an object of scientific research]. Scientific notes of the National Pedagogical University named after MP Drahomanov. Series: Pedagogical and historical sciences / Ministry of Education and Science of Ukraine, Nat. ped. Univ. M. P. Dragomanova, Vol. 93 (pp. 19-28). Kyiv : NPU Publishing House M. P. Dragomanova.

Dalinger V.A. (2014) Tipichnyye oshibki uchashchikhsya po matematike i ikh prichiny [Typical errors of students in mathematics and their causes]. Modern science-intensive technologies. Vol. 121. P. 94-97.

Cherkaska L. P. (2015) Osnovni napriamky zdiisnennia korektsii matematychnoi pidhotovky uchniv [The main directions of correction of mathematical training of students]. Scientific notes. Series: Problems of methods of physical-mathematical and technological education. Vol. 7 (3). (pp. 105-109).

Dalinger V. A. (2015) Tipichnyye oshibki uchashchikhsya pri reshenii logarifmicheskikh uravneniy, ner- avenstv i ikh sistem i puti ikh preduprezhdeniya [Typical errors of students in solving logarithmic equa- tions, inequalities and their systems and ways to prevent them]. International Journal of Experimental Education. Vol. 4-2. P. 445-450.

Lyapunov I.B. (2012) Klassicheskiye oshibki uchashchikhsya SUNTS NGU pri neravnosilnykh perekho- dakh v uravneniyakh i neravenstvakh [Classical errors of students of SUNC NSU at non-equivalent tran- sitions in equations and inequalities]. Journal of the NSU. Series: Pedagogy. (Vols. 13), Vol. 1. P. 46-55.

Samsonov P.I. (2009) Tema uroka: “Resheniye logarifmicheskikh uravneniy - poisk oshibok” [Lesson topic: “Solving logarithmic equations - finding errors”]. Math. Vol. 2. P. 7-9.

Marchenko L.I. (2009) Osnovni metody rozviazannia loharyfmichykh rivnian [Basic methods for solving logarithmic equations]. Mathematics in schools of Ukraine. Vol. 8. P. 22-24.

Ivanko T.I. (2007) Systematyzatsiia metodiv rozviazuvannia pokaznykovykh i loharyfmichnykh rivnian i nerivnostei [Systematization of methods for solving exponential and logarithmic equations and inequali- ties]. Mathematics in schools of Ukraine. Vol. 7. P. 16-21.

Samoilenko L.V. (2019) Metodyka navchannia loharyfmichnukh rivnian ta nerivnostei [Methods of teach- ing logarithmic equations and inequalities]. Scientific notes of young scientists. Vol. 4.

Orlova O.A. Metodicheskoye posobiye po matematike “Resheniye pokazatelnykh i logarifmicheskikh uravneniy” [Methodical manual on mathematics “Solution of exponential and logarithmic equations”]. URL: http://surl.li/erfi.

Bystriantseva A.N., Cherednichenko Y.S. (2018) Metody rozviazuvannia loharyfmichnykh rivnian v kursi alhebry atsrshoi shkoly [Methods for solving logarithmic equations in the course of high school alge- bra]. Search for the young. Collection of materials of the Ukrainian student scientific-practical conference “STEM-education as a direction of modernization of teaching methods of natural and mathematical disci- plines in secondary and higher educational institutions” (pp. 95-96). Kherson : KhNTU Publishing House.

Размещено на Allbest.ru