Навчання майбутніх учителів математики основ математичного програмування: шлях до сталого розвитку

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Навчання майбутніх учителів математики основ математичного програмування: шлях до сталого розвитку

Кугай Наталія Василівна

доктор педагогічних наук, доцент кафедри фізико-математичної освіти та інформатики Глухівський національний педагогічний університет імені Олександра Довженка

Калініченко Микола Миколайович

доктор фізико-математичних наук, завідувач відділу радіоастрономічної апаратури і методів спостережень

Радіоастрономічний інститут НАН України

У статті акцентовано увагу на ролі методів оптимізації, зокрема математичного програмування, у забезпеченні сталого розвитку. Обґрунтовано відбір змістового наповнення розділу «Математичне програмування» для майбутніх учителів математики. Розглянуто можливості застосування цифрових освітніх ресурсів під час навчання математичного програмування. Показано необхідність і важливість застосування систем комп 'ютерної математики, зокрема MATLAB, для проведення лабораторних робіт. Розглянуто застосування GeoGebra як засобу для створення наочності під час розв'язування задач лінійного програмування. Наведено конкретні приклади реалізації програм розв'язання задач одновимірної й багатовимірної безумовної оптимізації та багатовимірної умовної оптимізації за допомогою системи MATLAB, надано окремі методичні рекомендації. Досліджено зміну ставлення здобувачів вищої освіти до вивчення математичного програмування.

Ключові слова: методи оптимізації, математичне програмування, сталий розвиток, майбутні вчителі математики, MATLAB, GeoGebra.

TEACHING FUTURE TEACHERS OF MATHEMATICS IN THE FUNDAMENTALS OF MATHEMATICAL PROGRAMMING: THE WAY TO SUSTAINABLE DEVELOPMENT

Kuhai Nataliia

Doctor of Pedagogical Sciences, Associate Professor of the Department of Physical and Mathematical Education and Informatics Oleksandr Dovzhenko Hlukhiv National Pedagogical University

Kalinichenko Mykola

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Chief of Department Radio Astronomy Equipment

and Methods of Observation

Institute of Radio Astronomy National Academy of Sciences of Ukraine

Introduction. Optimization methods, particularly mathematical programming, constitute a significant branch of mathematics, serving as a powerful tool for facilitating decision-making and resource allocation in the pursuit of sustainable development. Various facets of optimization methods can be applied to address numerous sustainability challenges. An undeniable factor in achieving the objectives of sustainable development is a high- quality mathematics education. The pivotal role in imparting mathematics education is assumed by teachers of mathematics. It is largely upon them that the cultivation of students' awareness regarding the significance of mathematics for sustainable development relies. This involves fostering and developing critical thinking skills and the ability to identify and solve problems.

Purpose. To justify the selection of the content in one of the sections of optimization methods - mathematical programming - for future mathematics teachers and to enhance the teaching methodology for students in this section, digital educational resources, especially computer mathematics systems, are essential.

Methods. Analysis, synthesis, generalization, comparison, analogy, questionnaire.

Results. Attention is focused on the role of optimization methods, particularly mathematical programming, in ensuring sustainable development. The justification for selecting the content of the Mathematical Programming section for future mathematics teachers is provided. The potential of employing digital educational resources during the learning of mathematical programming is explored. The necessity and significance of utilizing computer mathematics systems, specifically MATLAB, for conducting laboratory work are highlighted. The use of GeoGebra as a tool for visualization during the resolution of linear programming problems is examined. Specific examples of program implementation for solving one-dimensional and multi-dimensional unconditional optimization problems, as well as multi-dimensional conditional optimization using the MATLAB system, are presented. Additionally, distinct methodological recommendations are offered. The study also investigates the shift in the attitude of higher education students towards the study of mathematical programming.

Originality. The correlation between the content and methods of mathematical programming with the school mathematics course is illustrated. The need for utilizing digital educational resources while teaching the fundamentals of mathematical programming to future mathematics teachers is justified. The perception of learners towards the section on optimization methods, specifically mathematical programming, was investigated.

Conclusion. Thus, instructing prospective mathematics teachers on optimization methods, particularly mathematical programming, isn't merely an addition to their curriculum; it's about providing them with the knowledge and skills to empower the next generation of learners. By applying the gained understanding of optimization methods in their future professional endeavors, aspiring mathematics teachers will bridge the gap between theory and practical problem-solving, making mathematics engaging and pertinent for their students. This approach not only prepares students for their future profession but also fosters a love for mathematics. As a next step, prospects for further research include conducting a similar study on justifying the selection of content and teaching methods for prospective mathematics teachers to delve into the basics of the calculus of variations as one of the optimization methods' sections.

Key words. Optimization methods, mathematical programming, sustainable development, future mathematics teachers, MATLAB, GeoGebra.

Постановка проблеми

математичне програмування освітній учитель математики

Сталий розвиток є глобальним імперативом, який спрямований на задоволення потреб сьогодення, не ставлячи під загрозу можливість і здатність майбутніх поколінь задовольняти власні потреби. Досягнення сталого розвитку вимагає тонкого балансу між економічним зростанням, соціальною справедливістю та збереженням навколишнього середовища.

Важливим інструментом забезпечення сталого розвитку є якісна математична освіта, оскільки питання сталого розвитку за своєю суттю є міждисциплінарними, вони включають аспекти екології, економіки, соціальних наук тощо. А математика є спільною мовою, яка об'єднує ці дисципліни. Без обізнаності в галузі математики складно комплексно вирішувати проблеми для забезпечення сталого розвитку. Крім того, математика відіграє вирішальну роль в аналізі даних, статистиці та моделюванні, які застосовуються для моніторингу та оцінки прогресу на шляху досягнення цілей сталого розвитку.

Центральну роль у навчанні математики відіграють учителі та викладачі математики. Саме від них у значній мірі залежить підвищення обізнаності здобувачів освіти про важливість математики для сталого розвитку, формування і розвиток критичного мислення та здатності виокремлювати й вирішувати проблеми. Ці навички цінні в усіх аспектах життя, від прийняття особистих рішень до професійного успіху, зокрема й в досягненні цілей сталого розвитку. Тому якісна підготовка майбутніх учителів та викладачів математики є потужним інструментом для забезпечення сталого розвитку.

Одним із розділів математики як потужного інструмента для керування прийняттям рішень і розподілом ресурсів для сталого розвитку є методи оптимізації, зокрема математичне програмування. Різні розділи методів оптимізації можуть бути застосовані для розв'язування багатьох завдань сталого розвитку.

Аналіз останніх досліджень і публікацій. Проблемі змістового наповнення методів оптимізації, вибору ефективних засобів і методів навчання присвячені роботи українських науковців, зокрема Н. Кузьміної [1; 2], Ю. Триуса [3; 4], Я Сікори [5; 6].

У роботах Н. Кузьміної пропонується змістове наповнення і методика навчання дисципліни «Основи теорії і методів оптимізації» для студентів спеціальностей 7.04030201,8.04030201 «Інформатика*» [2]. Акцент зроблено на комп'ютерному розв'язанні побудованих математичних моделей задач оптимізації [1].

Я. Сікора, вказуючи на значну кількість годин, відведених на самостійне вивчення здобувачами освіти дисципліни «Методи оптимізації», пропонує організовувати самостійне вивчення «Методів оптимізації» з використанням інтернет-порталу [5]. Розглядає автор і застосування кейс-технологій під час вивчення методів оптимізації студентами спеціальностей «Інформаційно-комунікаційні технології» та «Інформатика* » [6]. Як правило, проведені дослідження не стосуються відбору змісту і методики навчання методів оптимізації саме майбутніх учителів математики. Тому метою статті є обґрунтування відбору змістового наповнення одного із розділів методів оптимізації - математичного програмування - для майбутніх учителів математики та удосконалення методики навчання здобувачів освіти цьому розділу шляхом застосування цифрових освітніх ресурсів, зокрема систем комп'ютерної математики.

Виклад основного матеріалу

Як відомо, задача математичного програмування полягає у відшуканні екстремуму деякої функції n змінних за умови накладання на ці змінні додаткових умов у вигляді рівностей або нерівностей:



Якщо функція (1) і обмеження (2) - лінійні, то це задача лінійного програмування, в іншому випадку - нелінійного програмування ([7], [8]).

Ми пропонуємо ознайомити майбутніх учителів математики із постановкою задач лінійного та нелінійного програмування та деякими методами розв'язування цих задач, а саме: для задач лінійного програмування розглянути геометричний метод та симплекс метод, для задач нелінійного програмування: для задач одновимірної безумовної оптимізації - метод рівномірного пошуку, метод поділу інтервалу навпіл, метод золотого перерізу; для задач багатовимірної безумовної оптимізації - градієнтний метод; для задач багатовимірної оптимізації, які містять додаткові обмеження у вигляді нерівностей, - геометричний метод (для n = 2), якщо обмеження задано рівностями, то метод множників Лагранжа.

Обґрунтуємо нашу пропозицію відбору змісту і відповідних методів розв'язування задач математичного програмування саме для майбутніх учителів і викладачів математики. Як вже зазначалося раніше, лінійне програмування - це розділ методів оптимізації, в якому знаходять оптимальний розподіл ресурсів для досягнення конкретної мети з урахуванням низки лінійних обмежень. У контексті сталого розвитку лінійне програмування можна використовувати для оптимізації використання ресурсів у сільському господарстві, транспорті та розподілі енергії, одночасно мінімізуючи негативний вплив на навколишнє середовище.

Цілочисельне програмування (розширює лінійне програмування) - змінні набувають лише цілих (частіше - невід'ємних) значень. Це важливо, наприклад, для управління ланцюгом поставок або планування землекористування. За допомогою цілочисельного програмування можна оптимізувати розподіл землі для сталого сільського господарства, забезпечуючи ефективне використання обмежених ресурсів.

Методи багатоцільової оптимізації полягають в тому, що для прийняття відповідного рішення одночасно розглядають кілька цілей під час планування та проектування стійких систем. Цей підхід особливо актуальний для сталого розвитку, оскільки він враховує взаємозв'язки між економічними, соціальними й екологічними цілями. Наприклад, у міському плануванні багатоцільова оптимізація може допомогти збалансувати доступність житла, ефективність транспорту та збереження зелених насаджень.

Ознайомлення здобувачів освіти з вказаними темами математичного програмування дасть змогу майбутнім учителям математики навчати методам прийняття оптимальних рішень своїх майбутніх учнів, формувати в них позитивний досвід застосовувати ці методи на практиці. Крім того, майбутні учителі набудуть знань і вмінь для демонстрації міждисциплінарного характеру математики, роблячи її більш захоплюючою і зрозумілою для учнів.

Як правило, задачі математичного програмування формулюються у текстовій формі (приклади таких задач можна знайти в багатьох посібниках і підручниках з методів оптимізації, зокрема в [7], [8]). Тому для розв'язання цих задач необхідно застосувати метод математичного моделювання, який відноситься до методологічних знань загальнонаукового рівня, бо застосування математичних моделей в різних науках - це реалізація методологічної сутності математичних знань і самої математики. Вивчення основ математичного програмування сприяє поглибленню знань майбутніх учителів математики про метод математичного моделювання, розширює їхній досвід застосування цього методу до розв'язування задач з різних галузей.

Основною ідеєю відбору методів розв'язування задач математичного програмування є ідея корисності засвоєння цих методів для майбутніх учителів математики.

Лінійне програмування. Так, геометричний метод розв'язування задач лінійного програмування (для n = 2) полягає в побудові на координатній площині многокутника допустимих планів (розв'язків), знаходження координат вершин (вершини) многокутника, побудові лінії рівня (прямої) і паралельного перенесення цієї прямої вздовж заданого вектора. Таким чином, під час розв'язування задачі лінійного програмування геометричним методом удосконалюються вміння будувати графік лінійного рівняння з двома змінними ax + by + c = 0 (це матеріал шкільного курсу математики, Алгебра, 7 клас [9]), розв'язувати системи лінійних рівнянь (там само [9]), розв'язувати графічно нерівності з двома змінними (Алгебра, 9 клас, поглиблене вивчення [9]), знаходити перетин множин (Алгебра, 9 клас, поглиблене вивчення [9]) і усвідомити, що опуклий многокутник - це перетин скінченої кількості півплощин (якщо цей перетин не є порожня множина), здійснювати паралельне перенесення (Алгебра, 9 клас; Геометрія, 9 клас [9]). Крім того, майбутні вчителі математики матимуть додаткову можливість обґрунтувати своїм учням, для чого той чи інший матеріал вивчати і де його можна застосувати. Варто звернути увагу ще й на можливість формування методологічних знань філософського рівня - існування й єдиність (див., наприклад, [10]).

Для розв'язування задач лінійного програмування для n > 3 доцільно застосовувати симплекс- метод [8]. Ознайомлення майбутніх учителів математики з цим методом розширює їхній масив засвоєних методів. Крім того, це ще одна нагода і можливість для встановлення і формування міжпредметних зв'язків. Так, для застосування симплекс-методу необхідні знання і вміння з лінійної алгебри.

Нелінійне програмування, одновимірна безумовна оптимізація. Проаналізуємо методи одновимірної безумовної оптимізації. Задача одновимірної безумовної оптимізації у спрощеному випадку формулюється так: Дослідити унімодальну функцію y = f (х) на екстремум (локальний чи глобальний) на відрізку [ a; b ]. Така задача, але трохи в іншому формулюванні, є в шкільному курсі математики (10 клас, Алгебра і початки аналізу): 1) Знайдіть екстремуми функції y = f (х) . 2) Знайдіть найбільше та найменше значення функції y = f (х) на відрізку [a; b ]. Розв'язують такі у шкільному курсі математики засобами диференціального числення. Під час вивчення математичного програмування доцільно нагадати здобувачам освіти про такий спосіб розв'язування (класичний спосіб), тим самим підкресливши зв'язки з математичним аналізом, шкільним курсом математики. Ознайомлення з новими методами розв'язування задачі одновимірної безумовної оптимізації доцільно розпочати з методу рівномірного пошуку, який є найпростішим з методів звуження відрізку невизначеності, далі розглянути метод поділу відрізка навпіл і метод золотого перерізу.

Вважаємо, що ознайомлення здобувачів освіти з переліченими вище методами доцільно провести на найпростіших випадках, для таких функцій, де точка екстремуму майже очевидна. Це дозволить показати, що метод «працює правильно». Як показали наші дослідження, можна вибрати квадратичну функцію і відрізок невизначеності так, щоб абсциса вершини параболи належала відрізку невизначеності, а ще краще (у випадку методу рівномірного пошуку) була однією із точок поділу відрізка. Оскільки ще два вказаних вище методи є ітераційними, то для перших прикладів і точність доцільно задавати не високу, щоб студенти за рутинними обчисленнями не втратили розуміння ідеї методів. Практика показує, що для розвитку вмінь майбутніх учителів математики досліджувати функцію на екстремум, варто одну задачу розв'язати кількома методами.

Приклад 1. Знайдіть найменше значення функції f (х) = х² - 4х + 5 на відрізку [1; 3] :

а)методом елементарних перетворень;

б)використовуючи властивості квадратичної функції;

в)класичним методом (засобами диференціального числення);

г)методом рівномірного пошуку, n = 10;

д)методом ділення відрізка навпіл, точність є = 0,5 ;

е)методом золотого перерізу, точність є = 0,5 .

Побудуйте графік функції, на графіку вкажіть точку мінімуму, мінімум функції.

Варто додатково обговорити запитання: Які з цих методів можна пропонувати учням? У якому класі? Чи потрібно переформулювати для учнів задачу? Якщо так, то як саме?

Такого вигляду завдання сприяють розвитку вміння встановлювати зв'язки курсів вищої математики зі шкільним курсом математики, розуміння теоретичних основ шкільного курсу математики. Звичайно, на практичних та лабораторних заняттях доцільно розглянути складніші завдання, в яких все не так очевидно. Доцільно наголосити, що з алгоритмом застосування вказаних вище методів одновимірної безумовної оптимізації майбутні вчителі можуть ознайомити й своїх учнів, наприклад, на заняттях гуртка з математики.

Нелінійне програмування, багатовимірна оптимізація. Ознайомлення здобувачів освіти з градієнтними методами для розв'язування задач багатовимірної безумовної оптимізації й методом множників Лагранжа для розв'язування задач багатовимірної умовної оптимізації сприяє розширенню досвіду студентів застосовувати опановані знання й набуті вміння в нових умовах, демонструє взаємозв'язок між різними розділами математики. Так, з поняттям градієнта і його фізичного змісту студенти ознайомлені в курсі математичного аналізу. Там само студенти досліджували функцію (як правило, двох змінних) на умовний екстремум методом множників Лагранжа. Під час вивчення математичного програмування відбувається розширення застосування цього методу для дослідження функції більше двох змінних.

Якість навчання здобувачів вищої освіти залежить не тільки від змістового наповнення навчальних дисциплін, а й, зокрема, від оптимального вибору ресурсів для навчання. Серед останніх значну роль сьогодні відіграють цифрові освітні ресурси (ЦОР). Під час навчання методам оптимізації ЦОР можна застосовувати для створення наочності (GeoGebra (https://www.geogebra.org), Google Presentations або Prezi (https://prezi.com/education/),MindMeister(https://www.mindmeister.com/),ThingLink (https://www.thinglink.com/edu) тощо), для організації інтерактивних методів навчання (наприклад, для організації інтерактивного методу навчання «Мозковий штурм» можна застосувати MindMeister (https://www.mindmeister.com/), для проведення лабораторних робіт (наприклад, MATLAB).

Як показали наші дослідження, під час навчання майбутніх учителів математики методам оптимізації доцільно застосовувати практичний підхід: підбір і розв'язання практичних завдань, проведення лабораторних робіт, використання програмних засобів, таких як Excel або спеціалізованого програмного забезпечення для оптимізації тощо.

У статті зупинимося на методиці застосування систем комп'ютерної математики для навчання здобувачів вищої освіти математичному програмуванню, особливу увагу зосередимо на проведенні лабораторних занять.

Наведемо конкретні приклади. Так, під час вивчення геометричного методу розв'язування задач лінійного програмування доцільно застосувати GeoGebra для побудови многокутника допустимих розв'язків, лінії рівня функції, градієнта, відшукання координат вершин многокутника допустимих розв'язків.

Вид сировини	Вид продукції	Запас сировини
	А	В
S1	2	3	19
S2	2	1	13
S3	1	0	6
S4	0	1	5
Прибуток	7	5

Приклад 2. Деяке підприємство освоїло виробництво продукції двох видів А та В, використовуючи для цього сировину чотирьох типів S1, S2, S3, S4. Запаси сировини й норма їхньої витрати на виробництво одиниці продукції зазначені в таблиці.

Відомо, що прибуток підприємства від реалізації одиниці продукції виду А становить 7 ум.од., а від реалізації одиниці товару типу В - 5 ум.од. Визначити такий план випуску продукції, який би дозволив підприємству дістати максимальний прибуток.

Позначивши через х кількість продукції виду А, а через х₂ - виду В, будуємо математичну модель задачі, яка складається з цільової функції

Многокутник допустимих розв'язків можна побудувати, зокрема в GeoGebra. Для цього замість нерівностей-обмежень записуємо відповідні рівняння прямих і будуємо їх (рис. 1).

На рис.1 п'ятикутник ABCDEF - многокутник допустимих розв'язків, вектор AG - градієнт цільової функції, прямі, зображені пунктиром, - лінії рівня цільової функції, які переносимо паралельно у напрямку градієнта до тих пір, поки вона не пройде останню спільну точку з многогранником розв'язків. На рис. 1 - це точка D. Її координати і визначають оптимальний план (розв'язок) задачі. В динамічній програмі GeoGebra автоматично знаходяться і координати вершин многокутника допустимих розв'язків. У цій задачі D(5; 3). Тоді F_max = F(5;3) = 7 * 5 + 5 * 3 = 50 (ум. од.).

Доцільно повідомити здобувачам освіти, що задачі лінійного програмування можна розв'язувати й за допомогою Exel (детально про це можна прочитати зокрема в [11]).

Динамічну програму GeoGebra варто застосовувати і під час розв'язування задач нелінійного програмування для унаочнення одержаного результату (побудови графіка функції і знаходження на ньому точки мінімума чи максимума, мінімума чи максимума функції, див. приклад 1).

Рис. 1. Геометрична ілюстрація розв'язання задачі лінійного програмування

Під час виконання лабораторних робіт доцільно застосовувати систему комп'ютерної математики (СКМ) MATLAB, яка містить спеціальний пакет Optimization Toolbox - пакет для розв'язування задач одновимірної і багатовимірної оптимізації. Наведемо приклади.

Приклад 3. Пошук мінімума функції однієї змінної на вказаному відрізку (задача одновимірної безумовної оптимізації) здійснюється за допомогою вбудованої функції fminbnd на основі методу золотого перерізу.

За допомогою СКМ MATLAB знайдіть мінімум функції f (x) = 3x⁴ - 4x³ -12x² на відрізку [-1.5;0 5].

Для розв'язування задачі за допомогою системи MATLAB пропонуємо програму.

script

% візуалізація функції xx=-2:0.1:3;

yy=3*xx^A4-4*xx^A3-12*xx^A2;

plot(xx,yy,'k-')

hold on; grid;

% візуалізація функції % пошук мінімума f = @(x)3*x^A4-4*x^A3-12*x^A2;

[x,f]= fminbnd(f, -1.5, 0.5)

% пошук мінімума

Після реалізації цієї програми маємо результат (рис. 2).

Рис. 2. Результат реалізації програми

Застосування системи MATLAB створює сприятливі умови для навчально-дослідницької діяльності здобувачів вищої освіти. Так, наприклад, можна сформулювати студентам такі запитання: Які записи і як саме змінити в програмі, щоб мінімум функції зменшився? Як можна змінити програму, щоб мінімум функції не змінився? Як змінити програму, щоб обчислити максимум функції, знаючи, що за допомогою функції fminbnd можна знайти мінімум функції? Для розвитку критичного мислення, уміння порівнювати, встановлювати міжпредметні зв'язки доцільно запропонувати здобувачам освіти розв'язати цю саму задачу і класичним методом (засобами диференціального числення) і порівняти одержані результати.

Приклад 4. Пошук мінімума функції двох змінних (задача багатовимірної безумовної оптимізації) здійснюється за допомогою вбудованої функції fminsearch.

За допомогою СКМ MATLAB знайдіть мінімум функції Розенброка

f (x,x₂) = 5(x₂ - x²)² + (1 - x)², початкове наближення x⁰ = (-2;2) .

На початку роботи доцільно з'ясувати у бесіді зі студентами, чи можна визначити точку мінімума і мінімум функції за виглядом самої функції. (Так, точка мінімума (1; 1) і мінімум функції дорівнює 0). Тоді студенти зможуть оцінити «роботу» метода і одержати прогнозований результат.

Відповідна програма для реалізації в СКМ MATLAB має вигляд:

script

% візуалізація функції Розенброка X0=-3:0.1:3;

Y0=-2:0.1:5;

[X Y]=meshgrid(X0,Y 0); s=size(X);

Z=zeros(s); for i=1:s(1) for j=1:s(2);

Z(i,j)=Rosenbrock([X(ij);Y(i,j)]);

end;

end;

axes('Xlim',[-3 3], 'Ylim',[-2 5]); axis equal; grid off; hold on; v=2:2:10; V=10:4:20; contour(X,Y,Z,[v V]); xlabel('x1');ylabel('x2')

% візуалізація функції Розенброка % початкова точка x0=[-2;2];

% початкова точка

% пошук мінімума функції та візуалізація результату

line(x0(1),x0(2),'Marker','.','MarkerSize',10);

[x,fVal]=fminsearch('5*(x(2)-x(1)^A2)^A2+( 1 -x(1))^A2',x0)

line(x(1),x(2),'Marker','.','MarkerSize',20);

plot([x0(1),x(1)],[x0(2),x(2)],'k-');

colormap copper

% пошук мінімума функції та візуалізація результату

Рис. 3. Результат і візуалізація пошуку мінімума функції Розенброка (початкове наближення, точка мінімума, лінії рівня функції Розенброка)

Приклад 5. Пошук мінімума функції двох змінних, якщо на змінні є додаткові обмеження (задача багатовимірної умовної оптимізації). Цю задачу можна розв'язати за допомогою функції fmincon, яка входить до пакету Optimization Toolbox.

За допомогою СКМ MATLAB знайдіть мінімум функції Розенброка f (x,x₂) = 5(х - x²)² + (1 - X)², якщо х - x₂ + 4 < 0 . Початкове наближення x⁰ = (-3;4) .

Перед виконанням роботи доцільно обговорити у бесіді зі студентами, чи зміниться точка мінімума і мінімум, якщо є додаткові обмеження? script

% візуалізація функції Розенброка X0=-5:0.1:3;

Y0=0:0.1:7;

[X Y]=meshgrid(X0,Y 0);

s=size(X);

Z=zeros(s); for i=1:s(1) for j=1:s(2); x=([X(ij);Y(ij)]); z=Rosenbrock(x);

Z(i,j)=z; end; end;

V=1:10;

contour(X,Y,Z,V); hold on; grid off; x1=-5:5; x2=0:7; xlabel('x1');ylabel('x2') plot([-4 3],[0 7],'k-');

% візуалізація функції Розенброка % початкова точка і обмеження x0=[-3;4];

A=[1 -1]; b=-4;

% початкова точка і обмеження % пошук мінімуму функції та візуалізація результату line(x0(1),x0(2),'Marker','.','MarkerSize',10); [x,fVal]=fmincon('5*(x(2)-x(1)^A2)^A2+( 1 -x(1))^A2',x0,A,b) line(x(1),x(2),'Marker','.','MarkerSize',20); plot([x0(1),x(1)],[x0(2),x(2)],'k-')

% пошук мінімуму функції та візуалізація результату



Рис. 4. Результат і візуалізація пошуку умовного мінімума функції Розенброка (т. А - початкове наближення, т. В - точка мінімума, l - пряма х₁ - х_г + 4 = 0 , лінії рівня функції Розенброка)

Під час вивчення змістового модулю «Математичне програмування» досліджували ставлення здобувачів вищої освіти до вивчення цього модуля. Відбувалося це шляхом проведення бесід і анкетування. На початку вивчення студенти висловлювали думку про складність (інколи і неможливість) вивчення теоретичного матеріалу математичного програмування, оскільки для опанування цього матеріалу необхідна ґрунтовна математична база та висока внутрішня мотивація. Детальне пояснення матеріалу з використанням цифрових освітніх ресурсів, з встановленням відповідних взаємозв'язків як з курсами вищої математики, так і з шкільним курсом математики, з вказівкою на роль математичного програмування в науці і в житті суспільства, зокрема для забезпечення сталого розвитку, змінило думку студентів на краще. Наприкінці вивчення здобувачі відзначили: окремі питання математичного програмування можна розглянути з учнями під час факультативних занять, на заняттях гуртка (зокрема, і в закладах позашкільної освіти); збагатився їхній досвід застосування СКМ, зокрема GeoGebra для розв'язування задач математики, більшість студентів вказала, що застосовуватимуть (або вже почали застосовувати) цю динамічну систему в своїй практиці.

Для визначення ставлення здобувачів освіти до вивчення змістового модуля Математичне програмування проводили анкетування на початку і наприкінці вивчення модуля. Анкета містила 10 тверджень, які характеризують ставлення до предмета. Навпроти кожного твердження студент мав поставити один із балів:2 - це про нього, 1 - не впевнений, 0 - це не про нього. Тип ставлення до предмета визначався сумою виставлених балів, а саме: загальний бал в межах від 0 до 5 - «Д» (дуже негативне ставлення), від 6 до 9 - «Н» (негативне ставлення), від 10 або 12 - «Б» (байдуже ставлення), 13 - 17 балів позитивне ставлення («П»), в межах 18 - 20 балів, то «А» - активний тип ставлення до предмету. Результати анкетування зображені на діаграмі (рис. 5). Тут по горизонталі відзначено тип ставлення, по вертикалі - у відсотках кількість здобувачів, які вибрали певний тип ставлення.

Таким чином, навчання методам оптимізації, зокрема математичному програмуванню майбутніх учителів математики - це не просто додавання ще однієї теми до їхнього навчального плану; мова йде про те, щоб надати їм знання й вміння для розширення можливості наступного покоління учнів. Впроваджуючи набуті знання про методи оптимізації під час своєї майбутньої фахової діяльності, майбутні учителі математики зможуть подолати розрив між теорією та практичним розв'язанням задач, роблячи математику захоплюючою та актуальною для своїх учнів. Зрештою, такий підхід не тільки підготує студентів до майбутньої професії, але й виховає любов до математики. Перспективи подальших досліджень - провести аналогічне дослідження з обґрунтування відбору змісту й ЦОР для вивчення майбутніми вчителями математики основ варіаційного числення як одного з розділів методів оптимізації.



Рис. 4. Тип ставлення до математичного програмування

Список використаної літератури

математичне програмування освітній учитель математики

Кузьміна Н. М. Деякі методичні аспекти навчання основ теорії і методів оптимізації з комп'ютерною підтримкою. Науковий часопис НПУ імені М. П. Драгоманова. Серія 2: Комп 'ютерно-орієнтовані системи навчання. 2015. №. 15. С. 42-49.

Кузьміна Н. М. Зміст і методика навчання курсу «Основи теорії і методів оптимізації» в педагогічному університеті. Науковий часопис НПУ імені М.П. Драгоманова. Серія № 2: Комп 'ютерно-орієнтовані системи навчання : зб. наук. праць. Київ : НПУ імені М. П. Драгоманова, 2012. № 13 (20). C. 85-89.

Триус Ю. В., Журавель К. І. Сучасні підходи до навчання методів оптимізації та дослідження операцій у ВНЗ. Проблеми інформатизації навчального процесу в школі та вищому педагогічному навчальному закладі : матеріали всеукраїнської науково-практичної конференції (м. Київ, 10 жовтня 2017 року). С. 86-87.

Триус Ю. В. Актуальні проблеми, здобутки та перспективи навчання методів оптимізації та дослідження операцій у вищій школі. Особистісно орієнтоване навчання математики: сьогодення і перспективи : матеріали V всеукраїнської науково-практичної конференції (м. Полтава, 19-20 листопада 2019 року). С. 24-25.

Сікора Я. Б. Використання інтернет-порталу у вивченні методів оптимізації. Інформаційні технології і засоби навчання. 2013. Том 35. № 3. C. 74-82.

Сікора Я. Б. Кейс-технології при вивченні «Методів оптимізації». Науково-дослідна робота молодих учених: стан, проблеми, перспективи : матер. ІІ всеукр. наук.-практ. інтернет-конф., присв. 95-річчю Херсонського держ. ун-ту. С. 244-248.

Ващук Ф. В., Лавер О. Г., Шумило Н. Я. Математичне програмування та елементи варіаційного числення : навчальний посібник. Київ : Знання, 2008. 368 с.

Перестюк М. О., Станжицький О. М., Капустян О. В., Ловейкін Ю. В. Варіаційне числення та методи оптимізації : навчальний посібник. Київ : КНУ ім. Т.Шевченка, 2010. 121 с.

Навчальні програми. URL: https://mon.gov.ua/ua/osvita/zagalna-serednya-osvita/navchalni-programi/navchalni- programi-5-9-klas (дата звернення: 05.11.2023).

Кугай Н. В. Методологічні знання майбутнього вчителя математики : монографія. Харків : ФОП Панов А. М., 2017. 336 с.

Добровольська Н. В. Методика використання інформаційних технологій при розв'язанні оптимізаційних задач. Сучасні інформаційні технології та інноваційні методики навчання в підготовці фахівців: методологія, теорія, досвід, проблеми. 2018. Вип. 52. С. 290-296.

References

Kuzmina, N. M. (2015). Deiaki metodychni aspekty navchannia osnov teorii i metodiv optymizatsii z kompiuternoiu pidtrymkoiu [Some methodical aspects of learning the basics of the theory and methods of computer-assisted optimization]. Naukovyi chasopys NPU imeni M. P. Drahomanova. Seriia 2 : Kompiuterno-oriientovani systemy navchannia - Scientific journal ofNPU named after M.P.Dragomanova. Series No2. Computer-based learning systems, 15, 42-49. [in Ukrainian].

Kuzmina, N.M. (2012). Zmist i metodyka navchannia kursu «Osnovy teorii i metodiv optymizatsii» v pedahohichnomu universyteti [Content and teaching methods of the course «Fundamentals of optimization theory and methods» at the pedagogical university]. Naukovyi chasopys NPU imeni M.P. Drahomanova. Seriia № 2 Kompiuterno- oriientovani systemy navchannia - Scientific journal ofNPU named after M.P.Dragomanova. Series No2. Computer-based learning systems, №13(20), 85-89. [in Ukrainian].

Tryus, Yu.V., Zhuravel, K.I. (2017). Suchasni pidkhody do navchannia metodiv optymizatsii ta doslidzhennia operatsii u VNZ [Modern approaches to teaching methods of optimization and operations research in universities]. Proceedings from: Vseukrainskoi naukovo-praktychnoi konferentsii «Problemy informatyzatsii navchalnoho protsesu v shkoli ta vyshchomu pedahohichnomu navchalnomu zakladi» - All-Ukrainian Scientific and Practical Conference «Problems of informatization of the educational process in school and higher pedagogical educational institution» .(pp. 86-87). Kyiv, Ukraine. [in Ukrainian].

Tryus, Yu.V. (2019). Aktualni problemy, zdobutky ta perspektyvy navchannia metodiv optymizatsii ta doslidzhennia operatsii u vyshchii shkoli [Actual problems, achievements and prospects of teaching optimization methods and operations research in higher education]. Proceedings from: V Vseukrainskoi naukovo-praktychnoi konferentsii «Osobystisno oriientovane navchannia matematyky: sohodennia i perspektyvy» - V All-Ukrainian Scientific and Practical Conference «Personally oriented teaching ofmathematics: present and prospects». ( pp. 24-25). Poltava, Ukraine. [in Ukrainian].

Sikora, Ya. B. (2013). Vykorystannia internet-portalu u vyvchenni metodiv optymizatsii [The use of the internet portal while exploring methods of optimization]. Informatsiini tekhnolohii i zasoby navchannia -- Information Technologies and Learning Tools, 35(3), 74-82. [in Ukrainian].

Sikora, Ya. B. (2015). Keis-tekhnolohii pry vyvchenni «Metodiv optymizatsii» [Case-technologies at study of «Methods of optimization»]. Proceedings from: II Vseukrainskoi naukovo-praktychnoi konferentsii «Naukovo-doslidna robota molodykh uchenykh: stan, problemy, perspektyvy» - II All-Ukrainian Scientific and Practical Conference Research work of young scientists: state, problems, prospects. (pp. 244-248). Kherson, Ukraine. [in Ukrainian].

Vashchuk, F. V., Laver, O. H., Shumylo, N. Ya. (2008). Matematychne prohramuvannia ta elementy variatsiinoho chyslennia [Mathematicalprogramming and elements of variational calculus]: Kyiv: Znannia. [in Ukrainian].

Perestiuk, M. O., Stanzhytskyi, O. M., Kapustian, O. V., Loveikin Yu. V. (2010). Variatsiine chyslennia ta metody optymizatsii [Variational calculus and methods of optimization]: Kyiv: KNU im. T. Shevchenka. [in Ukrainian].

Navchalni prohramy [Educational programms]. URL: https://mon.gov.ua/ua/osvita/zagalna-serednya-osvita/navchalni-programi/navchalni-programi-5-9-klas/

Kuhai, N. V. (2017). Metodolohichni znannia maibutnoho vchytelia matematyky [Methodological knowledge of the future teacher of mathematics], Kharkiv: FOP Panov A. M. [in Ukrainian].

Dobrovolska, N.V. (2018). Metodyka vykorystannia informatsiinykh tekhnolohii pry rozviazanni optymizatsiinykh zadach [Methods of using information technology in solving optimization problems]. Suchasni informatsiini tekhnolohii ta innovatsiini metodyky navchannia v pidhotovtsi fakhivtsiv: metodolohiia, teoriia, dosvid, problemy -- Modern information technologies and innovation methodologies of education in professional training: methodology, theory, experience, problems, 52, 290-296. [in Ukrainian].

Размещено на Allbest.ru

...