Деякі аспекти вивчення комплексних чисел в умовах сьогодення

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Кафедра вищої математики і статистики

Навчально-науковий інститут природничо-математичних наук, інформатики та менеджменту

Державний заклад «Південноукраїнський національний педагогічний університет імені К.Д. Ушинського»

Деякі аспекти вивчення комплексних чисел в умовах сьогодення

Болдарєва Ольга Миколаївна,

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Урум Галина Дмитрівна,

кандидат технічних наук, доцент

Олефір Олена Іванівна, кандидат

фізико-математичних наук, старший викладач

Анотація

У жовтні 2023 року Міністерство освіти і науки України оприлюднило для обговорення проект Державного стандарту профільної середньої освіти, пілотний режим впровадження якого заплановано на 2025 рік, а реалізація відбуватиметься з 2027 року. Цей проект є продовженням реформи початкової і середньої школи у рамках Концепції НУШ. Згідно з ним здобуття профільної середньої освіти передбачає академічне або професійне (орієнтоване на ринок праці) спрямування. Освітні програми профільної школи за академічним спрямуванням передбачають поглиблене вивчення певних освітніх компонентів відповідної освітньої галузі, у тому числі й математичної. Серед базових знань математичної галузі, що вказані у додатку 7 до проекту вказано, що теоретико-числова змістова лінія завершується вивченням множини дійсних чисел М, зокрема формою їх запису, дослідженням дій і відношень. Є можливість розширити знання учнів у межах цієї галузі, якщо створити профілі та сконцентруватися на поглибленому вивченні предметів або окремих тем з математики. Такою темою, наприклад, може бути множина комплексних чисел як розширення множини дійсних чисел. Це важливо для тих здобувачів середньої освіти, які планують у подальшому отримати технічну освіту, займатися точними науками чи програмуванням.

У діючих програмах та відповідних рекомендованих підручниках для профільної школи, де математика на поглибленому рівні вивчається з 8 класу, комплексні числа вивчаються у поєднанні з многочленами в курсі алгебри і початків аналізу у 11 класі. Підручники мають деякі відмінності у підході до визначення і геометричного трактування комплексного числа, у наборі завдань для закріплення знань. Змістовий компонент посібників значно не відрізняється, однак він має бути основою майбутніх підручників для профільної школи за концепцією НУШ.

У статті проаналізовано зміст навчальної програми з математики для профільної школи, де вивчення математики починається на поглибленому рівні у 8 класі (2019 р.) та висвітлено особливості підходів до визначення множини комплексних чисел у закладах загальної середньої освіти з точки зору вищої алгебри, складено добірку рекомендацій для учителів/викладачів математики з метою ефективного застосування освітніх і цифрових технологій у процесі вивчення комплексних чисел.

Ключові слова: комплексні числа, освітні та цифрові технології, навчальна програма з математики для профільної школи (поглиблене вивчення з 8 класу), вища математика.

Boldarieva Olga Mykolaivna Ph. D. degree in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Higher Mathematics and Statistics, Educational and Scientific Institute of Natural and Mathematical Sciences, Informatics and Management, State Institution “South Ukrainian National Pedagogical University named after K. D. Ushynsky”, Odesa

Urum Halyna Dmytrivna Ph. D. degree in Technical Sciences, Associate Professor, Associate Professor of the Department of Higher Mathematics and Statistics, Educational and Scientific Institute of Natural and Mathematical Sciences, Informatics and Management, State Institution “South Ukrainian National Pedagogical University named after K. D. Ushynsky”, Odesa

Olefir Olena Ivanivna Ph. D. degree in Physical and Mathematical Sciences, Senior Lecturer of the Department of Higher Mathematics and Statistics, Educational and Scientific Institute of Natural and Mathematical Sciences, Informatics and Management, State Institution “South Ukrainian National Pedagogical University named after K. D. Ushynsky”, Odesa

SOME ASPECTS OF STUDYING COMPLEX NUMBERS IN TODAY'S CONDITIONS

Abstract

In October 2023, the Ministry of Education and Science of Ukraine published for discussion the project of the State Standard of Specialized Secondary Education, the pilot mode of which is planned for 2025, and implementation will take place from 2027. This project is a continuation of the primary and secondary school reform within the framework of the Concept of the New Ukrainian School. According to it, obtaining a specialized secondary education involves an academic or professional (oriented to the labor market) direction. Educational programs of a specialized school in an academic direction provide for in-depth study of certain educational components of the relevant educational field, including mathematics. Among the basic knowledge of the mathematical field, specified in Appendix 7 to the project, it is indicated that the number-theoretic content line ends with the study of the set of real numbers R, in particular, the form of their recording, the study of actions and relations. There is an opportunity to expand students' knowledge within this field by creating profiles and focusing on in-depth study of subjects or specific topics in mathematics. Such a topic, for instance, can be the set of complex numbers as an extension of the set of real numbers. This is important for those students of secondary education who plan to get a technical education, engage in exact sciences or programming in the future.

In the current programs and the corresponding recommended books for the specialized school, where mathematics at an advanced level is studied from the 8th grade, complex numbers are studied in combination with polynomials in the course of algebra and beginning analysis in the 11th grade. The textbooks have some differences in the approach to the definition and geometric interpretation of a complex number, in the set of tasks for consolidating knowledge. The content component of the textbooks does not differ significantly, but it should be the basis of future books for a specialized school based on the concept of the New Ukrainian School

The article analyzes the content of the mathematics curriculum for a specialized school, where the study of mathematics begins at an advanced level in the 8th grade (2019), highlights the features of approaches to determining the set of complex numbers in general secondary education institutions from the point of view of higher algebra, and compiles a selection of recommendations for teachers/lecturers of mathematics in order to effectively use educational and digital technologies in the process of studying complex numbers.

Keywords: complex numbers, educational and digital technologies, mathematics curriculum for a specialized school (in-depth study from grade 8), higher mathematics.

Вступ

Постановка проблеми. Виникнення комплексних чисел відбулося завдяки вирішенню задачі 16 століття щодо неповного кубічного рівняння.

Сьогодні корені цього рівняння можна знайти за допомогою формул Кардано. У 1833 році ірландський математик Вільям Роуен Гамільтон повністю визначив концепцію комплексних чисел та їх запису, використовуючи упорядковані пари дійсних чисел, таких як а + Ьі. Символ і. використовується для розділення чисел, а знак ” + ” показує об'єднання пари в єдину конструкцію. Дійсну частину числа z позначають як Re z, а уявну частину як Іт z. Комплексні числа необхідні у сучасній науці, зокрема в математиці та фізиці, для вирішення різноманітних наукових проблем. Вони використовуються як ефективний засіб розв'язання задач, включаючи геометричні, і для пояснення фрактальних зображень.

Апарат комплексних чисел є важливим інструментом доведення в лінійній алгебрі, математичному і функціональному аналізах, теорії функції тощо. Учні, що вступають до педагогічному закладу освіти, найчастіше не знайомі з множиною комплексних чисел, саме тому для знайомства з ними потрібно збалансовано підходити до організації їх вивчення, зокрема через погодження робочих програм навчальних дисциплін закладів вищої освіти зі шкільними навчальними програмами.

Аналіз останніх досліджень і публікацій. Сучасна реформа освіти, впровадження профілізації навчання у старшій школі ставить добірку питань про відбір актуального змісту навчання математики, який забезпечить її прикладний характер для подальшого саморозвитку і навчання учнів. Розвиток поняття числа є однією з провідних ліній змісту елементарної алгебри і завершується вивченням комплексних чисел у закладах загальної середньої освіти з поглибленим вивченням математики. Історичний аспект розвитку поняття комплексного числа досить детально розкрито у праці O. В. Шаран [6]. Автор повністю описує основні етапи історичного розвитку поняття комплексного числа з часів С. дель Ферро, Н. Тартальї, Дж. Кардано, P. Бомбеллі до Р. Декарта, Л. Ойлера, д'Аламбера, Ж. Лагранжа, К. Гауса, Г. Ома. У вказаній роботі розглядаються і етапи впровадження даної теми у програму підготовки учнів середніх закладів освіти та університетів України й країн Європи через перелік відповідних підручників і посібників, де викладені основні надбання математиків про комплексні числа.

Проведений детальний аналіз підручників і методичних матеріалів Російської імперії (з 1804 р.) та Радянського Союзу показав, що у період з 30-х по 60-ті роки XX століття тема була обов'язковою складовою програми з математики реальних училищ, але з середини 60 рр. і до кінця 90 рр. двадцятого століття поняття комплексного числа є обов'язковою складовою факультативних занять з математики і вивчалося досить широко учнями тих шкіл, де математику викладали на поглибленому рівні і передбачалося застосування комплексних чисел при розв'язуванні геометричних задач, у теорії коливань тощо. Підручники вказаного періоду містили різні підходи до введення поняття комплексного числа чисел: формальний (алгебраїчний чи аксіоматичний) або теоретико-множинний.

Активний період шкільних реформ середини 90-хх років завершився тим, що згідно з програмою 1990 року курсу алгебри і початків аналізу для 11 класів з поглибленим вивченням математики зміст передбачає вивчення комплексних чисел як матеріал для самостійного опанування. На засвоєння цієї теми передбачалося від 18 до 20 годин (за умови вивчення алгебри і початків аналізу не менше 5 год. на тиждень) і рекомендовано підручник на чолі з Виленкиною Н.Я. При вивчені цієї теми вчитель володів достатньою академічною свободою для самостійної побудови курсу з різним ступенем повноти.

У період розбудови України для учнів старших класів загальноосвітньої школи в умовах диференціації навчання виходить у світ підручник авторів М. І. Шкіль, З. І. Слєпкань, О. С. Дубинчук [7]. Для закладів освіти з поглибленим вивченням математики виходять з друку в 1993 р. підручники колективу М. І. Шкіль, Т. В. Колесник, Т. М. Хмара для 10-11 класу, де було включено традиційну частину практичного і теоретичного матеріалу про комплексні числа. Зауважимо, що програма для спеціалізованих шкіл фізико- математичного профілю включала досліджувану тему у широкому обсязі.

Отже, починаючи з 90-х років і до сьогодні комплексні числа вивчають учні 11 класів загальноосвітніх навчальних закладів, де навчання математики реалізується на профільному рівні (за умови, що вивчення математики у 8 - 9 класах відбулося на поглибленому рівні) та здобувачі середньої освіти тих закладів наукового спрямування, де організовано профільне вивчення предметів фізико-математичного, природничого циклів тощо.

У непрофільній школі досліджувані поняття не вивчаються. Учні інших профілів мають можливість вивчати тему самостійно, на факультативах чи позакласних заняттях, заняттях математичного гуртка.

Для повного засвоєння апарату комплексних чисел і його використання у подальшій професійній діяльності науковці Шаран О. В., Жерновни- кова О. А. та інші пропонують запровадити програму факультативного курсу, що стосується комплексних чисел та їх застосування, для учнів 11 класу. У програмі [5] розглядається показникова форма запису комплексного числа та елементи комплексного аналізу: логарифм комплексної змінної, тригонометричні й обернені тригонометричні функції комплексної змінної тощо. Широким є перелік завдань на використання комплексних чисел у тригонометрії, планіметрії, фізиці. Програма об'ємна і повна. Розрахована на 34 годин, може бути викладена протягом одного семестру.

Мета статті - висвітлення особливостей підходів до визначення множини комплексних чисел у закладах загальної середньої освіти, добірка рекомендацій для учителів / викладачів математики для ефективного застосування освітніх і цифрових технологій у процесі вивчення комплексних чисел.

Виклад основного матеріалу

Числова лінія є однією з провідних ліній курсу елементарної математики у школах України. Її підґрунтям є строга аксіоматична побудова всіх класичних числових конструкцій шляхом розширення числових алгебраїчних систем: напівкільце натуральних чисел з нулем до кільця цілих чисел і полів раціональних, дійсних чисел. Детально про це у авторського колективу на чолі з О. М. Яковлєвою (див. [9]).

Аксіоматичний підхід використовується і для визначення множини комплексних чисел С. Він опирається на аксіоматичну теорію дійсних чисел М. Згідно з аксіоматичним підходом за допомогою набору аксіом визначають С як мінімальне поле, що містить множину дійсних чисел М та щонайменше одне число і, друга степінь якого дорівнює -- 1 (уявна одиниця або число Ейлера). Тобто категорична аксіоматика комплексних чисел містить набір аксіом, що визначають С полем та встановлюється, що воно є розширенням М.

Можливо навести й інші означення поля С. За другим визначенням комплексні числа - впорядковані пари (а, Ь) дійсних чисел а і Ь, які можна додавати і множини за правилами

(а, Ь) + (с, d) = (а + с, b + d),

(а, Ь) * (с, d) = (ас -- bd, ad + be),

Також поле С можна побудувати з поля дійсних чисел М шляхом приєднання іншої умовної одиниці j, яка за визначенням задовольняє умову

j2 = --j -- 1. _

За третім визначенням поле комплексних чисел визначається як фактор- кільце кільця многочленів за головним ідеалом, що породжений многочленом х² + 1. Це означає, що кільце усіх многочленів з дійсними коефіцієнтами розбивається на підмножин або класи: в один і той же клас потрапляють ті і тільки ті многочлени f, д, різниця яких ділиться на х² + 1, тобто / -- д = (х² + 1) * q. Такі побудовані класи і є комплексні числа.

Операція множення і ділення для класів визначається так. Нехай є два класи, z₂. У кожному з них оберемо по многочлену / Є г_г, д Є z₂.

Результатом додавання і множення цих многочленів будуть нові многочлени

множина комплексне число вивчення

v = f + а, ч = f *а.

Нові многочлени будуть з нових класів, нехай р Є z₃, q Є z₄. Тепер за визначенням

^Z1 + z2 = z3, Z1Z2 = z\

Комплексні числа можна визначити і четвертим способом за допомогою матриць вигляду

Операції додавання і множення комплексних чисел, визначених таким способом, виконуються для матриць звичайними способами.

Усі поля С, побудовані в кожному з чотирьох випадків, є ізоморфними між собою. Простими словами це означає, що існує взаємно однозначна відповідність між цими полями, яка узгоджена з операціями.

У курсі елементарної математики найчастіше використовують перший підхід. Точне обґрунтування першого аксіоматичного підходу побудови поля С, безумовно є важливим для математика з точки зору науковості викладення, однак його неможливо реалізувати при побудові поняття числа в курсі математики закладів загальної середньої освіти. Саме тому вчитель повинен паралельно використовувати історичне обґрунтування необхідності розширення числової множини на кожному етапі.

Як показує досвід вчителів-предметників, використання елементів історизму при побудові розширення числових систем у курсі елементарної математики дозволяє найбільше сприяти збереженню фундаментальних математичних принципів, що лежать в основі даної побудови. Насправді, аксіоматичний підхід є відображенням історичного процесу формування первинних математичних понять, який є вільним від усього несуттєвого або нетипового для учнів.

Таким чином, доцільно підібрані історичні передумови при формуванні поняття комплексного числа для учнів дає можливість зберегти наукову строгість викладення без зайвої формалізації міркувань. Історичні приклади дають можливість використовувати яскраві приклади для ілюстрації основоположних арифметичних понять.

При використанні елементів історизму під час формування поняття числа майбутній вчитель / викладач має добре знати основні факти історії математики і чітко розуміти історію розвитку основних математичних ідей. Формування такого симбіозу найшвидше відбувається під час опанування курсу з історії математики і вибіркових дисциплін, що стосуються числових множин, відповідно до контексту їхнього історичного формування та розвитку. Такими вибірковими дисциплінами в Університеті Ушинського є, наприклад, курс про числові системи для бакалаврів або курс про р-адичні числа для магістрів.

Прикладом використання історизму для обґрунтування необхідності розширення множини дійсних чисел може бути така проблемна задача як необхідність знаходити корінь з від'ємних чисел, що свідчить про те, що в математиці неможливо обмежитися розглядом лише дійсних чисел. Наприклад, в дійсних числах не розв'язуються квадратні рівняння з від'ємним дискримінантом

х² -- 2х + 3 = 0,

D = --8, VD = V--8.

Тому природно постало питання про розширення множини дійсних чисел приєднанням до неї нових елементів так, щоб у розширеній множині можна було виконувати дію знаходження квадратного кореня з від'ємного числа. Оскільки існує вимога, щоб у новій числовій множині рівняння x² = -1 мало розв'язок, необхідно ввести деяке нове (не дійсне) число, вважаючи його розв'язком цього рівняння.

Проаналізуємо основні та додаткові підручники і навчальні посібники, навчальні програми МОН України для профільної школи щодо особливостей вивчення комплексних чисел.

Обов'язкове вивчення комплексних чисел передбачено лише за навчальною програмою з математики для здобувачів середньої освіти 10-11 класів, які вивчали математики на поглибленому рівні з 8 класу [1]. Програма регламентує навчальні досягнення учнів за темою (тема 10 «Комплексні числа та многочлени»). Вони охоплюють основні поняття і правила дій над комплексними числами в алгебраїчній і тригонометричній формах; описує вміння виконувати правила знаходження сум та різниці, добутку і частки, знаходження кореня і піднесення до степеня комплексних чисел у двох вказаних формах запису. Окремо вказані досягнення учнів при використані комплексних чисел у теорії многочленів: знаходження кратності кореня, ділення многочлена на многочлен, в тому числі й з остачею; використання формул Кардано для многочлена третього степеня. Така послідовність викладення матеріалу сприяє дієвому способу закріплення набутих компетенцій про комплексні числа. Навчальна програма передбачає 34 години на сумісне засвоєння необхідних тверджень і понять по комплексні числа та многочлени. Тема передує узагальненню і засвоєнню матеріалу з алгебри і початків аналізу напередодні ЗНО / НМТ.

Базовими вимогами до знань з теми «Комплексні числа» є визначення комплексного числа, комплексно спряженого числа; операцій додавання та віднімання комплексних чисел, множення і ділення комплексних чисел, операції піднесення до натурального степеня і знаходження кореня з комплексного числа, модуля комплексного числа, тригонометричної форми комплексного числа; геометричної інтерпретації комплексних чисел; знаходження коренів квадратного рівняння з комплексними коефіцієнтами.

Закріплення навичок роботи з новою числовою множиною продовжується у межах цієї теми під час засвоєння основної теореми алгебри; визначення простого і кратного кореня многочлена; знаходження коренів кубічного многочлена за формулами Кардано; використання теореми Вієта для кубічного рівняння.

Зауважимо, що за допомогою комплексних чисел учні вміють визначати квадратний корінь з від'ємних чисел, які виникають при розв'язуванні квадратних рівнянь або неповних рівнянь четвертого степеня (що зводять до біквадратних) з дійсними або комплексними коефіцієнтами. Зрозуміло, що з розв'язком двочленних рівнянь з комплексними коефіцієнтами складнощів не має також.

Сьогодні для засвоєння комплексних чисел МОН України пропонує використовувати такі підручники з алгебри і початків аналізу для 11 класу для профільного рівня (початок вивчення на поглибленому рівні з 8 класу):

- авторського колективу Аркадія Мерзляка, Дмитра Номіровського, Віталія Полонського, Михайла Якіра (у якості основного, далі скорочено підручник А. Мерзляка) [4].

- Олександра Істера, Оксани Єргіної (у якості допоміжного, далі скорочено підручник О. Істера) [1].

Обидва підручники у повному обсязі відповідають передбаченій програмі вивчення теми для учнів 11 класу. У кожному з них проблема пошуку коренів квадратного рівняння розв'язується через мінімальне розширення поля Ж до поля С (без використання поняття поля), але авторські колективи по-різному наочно пояснюють сутність комплексного числа.

Підручник А. Мерзляка містить як теоретичний так і практичний матеріал з теми, має багато корисних розв'язаних прикладів. Посібник містить об'ємний пункт, що присвячений використанню поняття комплексного числа для розв'язування алгебраїчних і геометричних задач у поєднанні з комбінаторикою, тригонометрією, геометрією трикутника і чотирикутника.

Автори обґрунтовують необхідність розширення множини Ж і додатково наводиться приклад кубічного многочлена, корені якого існують, але знайти які досить складно. Гарантія існування коренів цього многочлена встановлена за допомогою першої теореми Больцано-Коші, однак це не спрощує їх знаходження. Далі наводиться прийом розв'язування цього рівняння за допомогою конкретної підстановки, яка зводить вихідне кубічне рівняння до рівняння х² + 1 = 0.

Нетрадиційним для закладів середньої освіти є геометричний підхід для введення поняття комплексного числа за допомогою двох неколінеарних векторів. Спочатку наводиться геометрична інтерпретація дійсного числа: ототожнення дійсного числа х і вектора OR(x; 0). Множина таких векторів є підмножиною множини С. Далі обирають два довільні неколінеарні вектори площини ОЛ (1; 0), 05(0,1), що є дійсними числами, відповідно 1 та уявною одиницею і, які є базисними векторами площини, та розкладають довільний вектор площини OZ(a; b), через обраний базис

OZ(a; b) = а * О А + b ¦ ОБ.

З урахуванням введених позначень останню рівність можна переписати як z = а * 1 + b * і..

При такому підході одразу зрозумілою є геометрична інтерпретація множини комплексних чисел як множини векторів площини і навпаки, однак такий підхід до введення поняття множини С як множини векторів площини буває дещо складним для розуміння учнів.

У підручнику О. Істера достатньо виважено, на наш погляд, відбувається знайомство з комплексними числами. Після означення множини комплексних чисел та умови рівності двох заданих чисел в алгебраїчній формі, наводиться окремо дві геометричні інтерпретації нових чисел як точки або вектора площини. Після цього вказані правила виконання арифметичних дій над ними (з доведенням у загальному вигляді) та піднесення до степеня з натуральним показником.

Посібник містить багато розв'язаних і низку цікавих завдань використання поняття комплексного числа: геометричні (визначення довжин сторін трикутника на площині, якщо кожна його вершина відповідає трьом заданим комплексним числам), знаходження загального члена і суми арифметичної або геометричної прогресій (елементами яких є комплексні числа). Цікавими є завдання на знаходження коренів многочлена з комплексними коефіцієнтами, знаходження значення многочлена в комплексній точці, які пропонують ще до поглибленого знайомства з теорією многочленів. Мета таких завдань - проілюструвати єдиність підходів до знаходження коренів многочлена (методом групування) без використання специфічних прийомів роботи з кубічним многоченом.

У підручниках О. Істера, А. Мерзляка аргумент комплексного числа обирається з проміжку (--п; п] та пропонується його визначати через сумісні значення синуса і косинуса шуканої величини. На це слід звернути увагу при складанні добірки завдань за іншими посібниками, оскільки існує інший підхід до встановлення меж аргументу - (0; 2п]. Відмітимо, що обидва автори підручників регламентують піднесення комплексного числа тільки до натурального степеня, хоча можна узагальнити формулу Муавра й для цілого показника.

Досвідчені викладачі для підготовки до уроку сьогодні використовують посібники попередніх років, окрім тих, що є рекомендовані у поточному навчальному році. У недалекого минулому досліджувану тему окремим додатком містив підручник Євгена Неліна і Оксани Долгової для класів академічного та профільного рівнів від 2011 року [3], його перевидання від 2019 року такого розділу вже на має. Автори також обґрунтовують розширення множини дійсних чисел Ж за допомогою історизму та для визначення комплексних чисел у вигляді z = а + Ьі. використовують перший підхід - приєднання умовної одиниці до множини С. Наведена також геометрична інтерпретація комплексних чисел як множини точок координатної площини М(а; Ь) або множини векторів площини ОМ (а; Ь) з центром у початку координат. Такий підхід далі використовують для опису операцій додавання комплексних чисел: згідно з правилом паралелограма сумою векторів є діагональ паралелограма, що виходить зі спільного початку і вона визначає комплексне число суми; різницею є інша діагональ паралелограма, яка визначає комплексне число різниці вихідних заданих чисел.

Достатньо повно у підручнику розкрито тригонометричну форму запису комплексного числа і операцій над числами, що задані у такій формі. Набір задач, що стосується цієї теми простіший, ніж у підручнику [4], немає завдань на використання комплексних чисел для многочленів степінь якого більше за другий.

Особливістю цього підручника, на наш погляд, є достатньо зручне окреме подання теоретичної інформації про комплексні числа у вигляді таблиць для узагальнення. Розділ підручника, на наш погляд, охоплює усі потрібні знання про комплексні числа, які необхідні для первинного самостійного опрацювання.

Сучасні тенденції в освіті вимагають від учителів використання сучасних освітніх та цифрових технологій у своїй практичній діяльності. Не виключенням є організація вивчення комплексних чисел. Для підвищення наочності та інтерактивності можна використовувати для геометричного тлумачення комплексних чисел сервіс Geogebra. Графічний калькулятор Geogebra досить зручно використовувати для ілюстрації операцій додавання та віднімання двох заданих комплексних чисел як множини точок площини або множини векторів з центром у початку координат. Завдання такого характеру дозволяють закріпити алгоритм знаходження суми та різниці комплексних чисел, правило паралелограма додавання векторів.

Для самоперевірки учням можна рекомендувати онлай-платформу Learning.ua, яка допомагає у формі тестів перевірити теоретичні знання та практичні навички щодо комплексних чисел за більшістю тем, у тому числі й відкоригувати знання про показникову форму комплексного числа. З завданнями можна ознайомитися у вільному доступі (з деякими обмеженнями).

Слід зауважити, що численні онлайн-калькулятори, зокрема з україномовним інтерфейсом, - Onlinemschool, Mathdf - знаходять модуль комплексного числа, виконують усі арифметичні дії над такими числами, конвертують з однієї форми запису в іншу та навпаки, і при цьому використовують формули для комплексного логарифма, тригонометричних та гіперболічних функцій, разом з формулою Ейлера. Тому, на нашу думку, домашні письмові роботи для учнів (і для студентів) треба складати такими, щоб мінімізувати використання цих засобів або рекомендувати ці сервіси для самоперевірки. Такий шлях означає відмову від стандартних обчислювальних вправ і задач, чи використання нетрадиційних їхніх формулювань. Прикладом таких умов є завдання на графічне зображення множини точок комплексної площини, яка задовольняє деяким умовам або завдання на сумісне виконання комбінацій арифметичних дій над комплексними числами.

Осторонь не залишаються й онлайн-сервіси для роботи з многочленами, які часто використовують здобувачі вищої освіти для самоперевірки. Такі калькулятори многочленів дозволяють автоматизувати процес знаходження коренів многочленів, кратності кореня, НСД і НСК многочленів та ін. Більшість сервісів вільного доступу не мають можливостей виконання задач для многочленів з комплексними коефіцієнтами. Це є достатньою умовою для підбору унікальних задач для самостійної роботи студентів й розширення переліку вправ на застосування комплексних чисел.

Окремо зауважимо, що зараз з'явилася тенденція використання генеративного штучного інтелекту для розв'язування математичних прикладів і задач. Такі письмові роботи студентів виявити складніше, однак при їх перевірці впадає в око використання неприйнятної термінології, перекручених фактів. Наприклад, у таких роботах вказується на існування полярної форми запису комплексного числа, обчислення мінімізовані та описові - без використання формул, позначень, символів тощо.

Здобувачі вищої освіти педагогічних ЗВО, які засвоїли комплексні числа під час навчання у профільній школі, можуть більш повно використовувати апарат комплексних чисел для доведень, досліджень під час навчання. Знаходження косинусів і синусів кратних дуг, скінчених сум або добутків тригонометричних функцій, дослідження біному Ньютона, теореми Птолемея, властивості чотирикутників - неповний перелік завдань, де комплексні числа є дієвим інструментом для розв'язування.

Висновки

Узагальнюючи результати аналізу навчальних програм, рекомендованих підручників з математики для профільної школи, можна відмітити такі особливості:

- Згідно з начальною програмою алгебри і початків аналізу для 11 класу для профільного рівня (початок вивчення на поглибленому рівні з 8 класу) комплексні числа сумісно вивчаються з многочленами, що з одного боку є перевагою, оскільки одразу можна закріпити отримані знання у межах суміжної теми;

- основні і допоміжні підручники розкривають повністю алгебраїчну та тригонометричну форми запису комплексного числа та дії над ними, пропонують алгоритми конвертації між цими формами запису в обидва боки;

- основний і допоміжний підручник по-різному підходять до визначення поняття комплексного числа та їх початкового геометричного тлумачення;

- при закріпленні обчислювальних навичок потрібно враховувати можливість використання онлайн-калькуляторів, чат-ботів зі штучним інтелектом;

- питання необхідності вивчення показникової форми запису комплексного числа у ЗЗСО, педагогічних ЗВО залишається відкритим з огляду на реформу НУШ профільної школи.

Вивчення та використання комплексних чисел як альтернативи сталим способам розв'язування задач, виховує допитливість та критичність мислення здобувачів загальної середньої, передвищої та вищої освіти.

Література

1. Істер О. С., Єргіна О. В. Алгебра і початки аналізу: початок вивчення на поглиб. рівні з 8 кл.: проф. рівень: підруч. для 11-го кл. закл. заг. серед. освіти. Київ: Генеза, 2020. 384 с.

2. Навчальна програма з математики для учнів 10-11 класів (початок вивчення на поглибленому рівні з 8 класу) загальноосвітніх навчальних закладів. Профільний рівень. Наказ МОН від 23.10.2017 № 1407. URL: https://mon.gov.ua/ua/osvita/zagalna-serednya- osvita/navchalni-programi/navchalni-programi-dlya-10-11 -klasiv

3. Нелін Є. П. Алгебра. 11: підруч. для 11 кл. загальноосвіт. навч. закладів: академ. рівень, проф. рівень / Є. П. Нелін, О. Є. Долгова. -- Х.: Гімназія, 2011. 448 с.

4. Мерзляк А. Г. Алгебра і початки аналізу: початок вивчення на поглиб. рівні з 8 кл.: проф. рівень: підруч. для 11 кл. закладів загальної середньої освіти / А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський та ін. -- Х.: Гімназія, 2019. -- 304 с.

5. Шаран, О. В. Комплексні числа та їх застосування: програма факультатичного курсу для учнів 11 класу, в т.ч. і для класів фізико-математичного профілю. // Проблемне вивчення математики. Програми факультативних курсів і курсів за вибором, с.367 - 380.

6. Шаран О. В. Теорія комплексних чисел у підручниках для середніх закладів освіти /О. В. Шаран // Дидактика математики: проблеми і дослідження: міжнародний збірник наукових робіт. - Донецьк: Фірма ТЕАН, 2008. - Вип. 30. - С. 224-231

7. Шкіль М. І. Алгебра і початки аналізу. Підручник для 10-11 класів загальноосвітніх навчальних закладів / М. І. Шкіль, З. І. Слєпкань, О. С. Дубинчук - К.: Зодіак-ЕКО, 2001. - 656 с.

8. Яковлєва О. М. Розвиток числової лінії в курсі математики закладів загальної середньої освіти / Яковлєва О. М., Гаєвець Я. С., Каплун В. М. // Фізико-математична освіта. 2020. - Випуск 1(23). - С. 164-170.

References

1. Ister O. S., Yerhina O. V. Alhebra i pochatky analizu: pochatok vyvchennia na pohlyb. rivni z 8 kl.: prof, riven: pidruch. dlia 11-ho kl. zakl. zah. sered. osvity. Kyiv: Heneza, 2020. 384 s. [Ister O. S., Yerhina O. V. Alhebra i pochatky analizu: pochatok vyvchennia na pohlyb. rivni z 8 kl.: prof, riven: pidruch. dlia 11-ho kl. zakl. zah. Algebra and the beginnings of analysis: the beginning of study at an advanced level from the 8th grade.: profile level: textbook for 11th grade of general secondary education institutions. Kyiv: Geneza, 2020. 384 p.. [in Ukrainian].

2. Navchal'na prohrama z matematyky dlya uchniv 10-11 klasiv (pochatok vyvchennya na pohlyblenomu rivni z 8 klasu) zahal'noosvitnikh navchal'nykh zakladiv. Profil'nyy riven'. Nakaz MON vid 23.10.2017 № 1407 [Curriculum in mathematics for students of grades 10-11 (beginning of study at advanced level from 8th grade) of general educational institutions. Profile level. Order of the Ministry of Education and Science of Ukraine dated 23.10.2017 № 1407.] Retrieved from https://bit.ly/495mUNG [in Ukrainian].

3. Nelin Ye. P. Algebra. 11: pidruch. dlya 11 kl. zagalnoosvit. navch. zakladiv: akadem. riven, prof, riven / Ye. P. Nelin, O. Ye. Dolgova. - H.: Gimnaziya, 2011. 448 s. [Nelin E. P. Algebra. 11: A textbook for 11th grade of general educational institutions: academic level, profile level / E. P. Nelin, A. E. Dolgova. - Kharkiv.: Gymnasium, 2011. 448 p.] Retrieved from https://bit.ly/497bDg6 [in Ukrainian].

4. Merzlyak A. G. Algebra i pochatki analizu: pochatok vivchennya na poglib. rivni z 8 kl.: prof, riven: pidruch. dlya 11 kl. zakladiv zagalnoyi serednoyi osviti / A. G. Merzlyak, D. A. Nomirovskij, V. B. Polonskij ta in. - H.: Gimnaziya, 2019. - 304 s. [Merzlyak A. G Algebra and the beginnings of analysis: the beginning of study at an in-depth level from 8 cl.: profile level: a textbook for 11th grade of general secondary education institutions / A. G. Merzlyak, D. A. Nomirovsky, V. B. Polonsky and others. - Kharkiv.: Gymnasium, 2019. - 304 p.] Retrieved from https://bit.ly/3SsnQon [in Ukrainian].

5. Sharan, O. V. Kompleksni chisla ta yih zastosuvannya: programa fakultatichnogo kursu dlya uchniv 11 klasu, v t.ch. i dlya klasiv fiziko-matematichnogo profilyu. // Problemne vivchennya matematiki. Programi fakultativnih kursiv i kursiv za viborom, s. 367 - 380. [Sharan, O. V. Complex numbers and their application: a program of optional course for 11th grade students, incl. and for classes of physical and mathematical profile. // Problem study of mathematics. Programs of optional courses and elective courses, p. 367 - 380.] Retrieved from https://bit.ly/42BHPFN [in Ukrainian].

6. Sharan O. V. Teoriia kompleksnykh chysel u pidruchnykakh dlia serednikh zakladiv osvity / O. V. Sharan // Dydaktyka matematyky: problemy i doslidzhennia: mizhnarodnyi zbirnyk naukovykh robit. - Donetsk: Firma TEAN, 2008. - Vyp. 30. - S. 224-231 [O. V. Sharan The theory of complex numbers in textbooks for secondary educational institutions / O. V. Sharan // Didactics of mathematics: problems and research: an international collection of scientific works. - Donetsk: Firma TEAN, 2008. - Issue 30. - pp. 224-231]

7. Shkil M. I. Algebra i pochatki analizu. Pidruchnik dlya 10-11 klasiv zagalnoosvitnih navchalnih zakladiv / M. I. Shkil, Z. I. Slyepkan, O. S. Dubinchuk - K.: Zodiak-EKO, 2001. - 656 s. [Shkil M. I Algebra and the beginnings of analysis. Textbook for 10-11 classes of general educational institutions / M. I. Shkil, Z. I. Slepkan, O. S. Dubinchuk- Kyiv.: Zodiac-Eco, 2001.656 p.] Retrieved from https://bit.ly/4buFaSc [in Ukrainian].

8. Yakovlyeva O. M. Rozvitok chislovoyi liniyi v kursi matematiki zakladiv zagalnoyi serednoyi osviti / Yakovlyeva O. M., Gayevec Ya. S., Kaplun V. M. // Fiziko-matematichna osvita. 2020. - Vipusk 1(23). - S. 164-170. [Yakovlieva O. M Development of a numerical line in the course of mathematics of institutions of general secondary education / Yakovlieva O. M. Gayevets Ya. S., Kaplun V. M // Physical and mathematical education. 2020. - Issue 1 (23). - P. 164-170.] Retrieved from http://dspace.pdpu.edu.ua/handle/123456789/11310 [in Ukrainian].

Размещено на Allbest.ru