Размещено на http://www.allbest.ru/

2

Министерство образования и науки российской федерации

Российский государственный университет нефти и газа имени И.М.Губкина

Реферат

по теории упругости

на тему:

«Теория тонких упругих оболочек: основы и методы расчета»

Выполнил: ст.гр. МО-10-10

Баранов А.С.

Проверил: профессор, д.т.н

Евдокимов А.П.

Москва,2012

Содержание

1. Основные определения и гипотезы

2. Деформации, напряжения и внутренние усилия в тонких оболочках

3. Пологие оболочки

4. Деформации пологой оболочки

5. Уравнения равновесия пологой оболочки

6. Разрешающая система уравнений пологой оболочки

7. Граничные условия

8. Потенциальная энергия пологой оболочки

9. Пример расчета пологой оболочки

оболочка деформация напряжение энергия поверхность

1. Основные определения и гипотезы

В основе теории тонких оболочек лежат две гипотезы, которые являются обобщением гипотез, уже встречавшихся при расчете пластин: прямолинейный элемент, нормальный к срединной поверхности оболочек до деформации, остается прямолинейным и нормальным к срединной поверхности деформированной оболочки и не изменяет своей длины; нормальные напряжения, действующие на площадках, параллельных срединной поверхности оболочки, принимаются равными нулю.

Первую гипотезу иначе называют, так же, как и в пластинах, гипотезой прямой нормали, а вторую гипотезу - гипотезой о не надавливании слоев оболочки.

Оболочки, для которых справедливы приведенные гипотезы, называются тонкими, в противном случае - толстыми. Граница, между тонкими и толстыми оболочками вестма условна и, как правило, определяется соотношением

,

где - толщина оболочки; - минимальный радиус срединной поверхности оболочки. Выберем координатные оси так, чтобы они совпадали с линиями главных кривизн срединной поверхностиоболочки, а ось z направим по нормали к ней, считая координату z положительной, если она направлена к центру кривизны. Кривизны срединной поверхности оболочки в исходном состоянии обозначим через .

Возьмем бесконечно малый элемент оболочки, образованный двумя парами плоскостей, нормальных к срединной поверхности и совпадающих с направлениями главных кривизн (рис. 7.5, а).

Рассмторим слой оболочки, отстоящий на расстоянии z от срединной поверхности. В результате деформаций срединной поверхности и поворота боковых граней элемента в слое появляются деформации , равные:

где - деформации в срединной поверхности; - изменения кривизн и кручение срединной поверхности.

Используя закон Гука, можно поределить нормальные и касательные напряжения, возникающие в том же слое:

Напряженное состояние характеризуется, с одной стороны, усилиями, связанными с деформацией срединной поверхности (- нормальные силы, - сдвигающие силы), а с другой стороны, усилияи. Возникающими при изгибе оболочки ( - поперечные силы, - изгибающие моменты, - крутящие моменты).

Формулы для интенсивности нормальных и сдвигающих усилий:

Изгибающие и крутящие моменты соответственно равны:

Соотношения между моментами:

Упрощения, используемые при расчете оболочек:

Если напряжения, вызываемые изгибом оболочки, малы по сравнению с напряжениями, обусловленными деформацией срединной поверхности, то изгибающими и крутящими моментами, а также перерезывающими силами пренебрегают и определяют только усилия в срединной поверхности. Такая теория носит название безмоментной теории оболочек.

При расчете цилиндрических оболочек, вытянутых в одном направлении, более точные результаты дает полубезмоментная теория. В ее основе лежит допущение о малости изгибающего момента и крутящего момента Н.

Кром того, вводятся геометрические гипотезы:

Упрощение моментной теории (общей теории) оболочек возможно за счет наложения некоторых ограничений на геометрию ее срединной поверхности. Одним из вариантов такой теории является теория пологих оболочек.

3. Пологие оболочки

Применение пологих оболочек: пологие оболочки находят широкое применение в технике, и особенно в строительстве, поэтому их рассмотрение представляет большой самостоятельный интерес.

Пологими оболочками называются оболочки, имеющие небольшой подъем над плоскостью, на которую они опираются.

Пример пологой оболочки:

Геометрию срединной поверхности пологих оболочек можно отождествить с геометрией плоскости, на которую они проецируются. В этом случае криволинейные координаты, откладываемые вдоль линий главных кривизн, можно считать совпадающими с декартовыми координатами х, y на плоскости. Если принять, что срединная поверхность описывается в осях выражением:

то главные кривизны могут быть найдены так:

Гауссову кривизну для пологих оболочек приближенно можно считать равной нулю.

4. Деформации пологой оболочки

Изменения кривизн и кручения срединной поверхности определяются по следующим формулам:

а деформации представляются в виде:

5. Уравнения равновесия пологой оболочки

Рассмотрим элемент оболочки, на боковых гранях которого действуют усилия в срединной поверхности (рис. 7.8, а), а также моменты и поперечные силы (рис. 7.8, б). На рисунке эти усилия показаны раздельно, чтобы не загромождать излишне чертеж. Нормально к срединной поверхности приложена внешняя поперечная нагрузка.

Уравнение суммы проекций всех сил, действующих на элемент, на направление касательной к координатной линии х:

Уравнение равновесия в виде суммы моментов относительно той же касательной представляется так:

Уравнение суммы проекций всех сил на ось z:

Если изгибающие и крутящий моменты, а также поперечные силы в оболочке тождественно равны нулю, то напряженно состояние оказывается безмоментным.

6. Разрешающая система уравнений пологой оболочки

Данная система представляет собой систему двух дифференциальных уравнений относительно двух неизвестных функций:

В случае безмоментного напряженного состояния функция напряжений находится из уравнения:

Если оболочка превращается в пластину и из системы получаем два самостоятельных уравнения:

Данные уравнения записаны в координатных осях, которые совпадают с линиями главных кривизн срединной поверхности оболочки.

Иногда оказывается более предпочтительным выполнение расчета с использованием другой ортогональной системы координат. В этом случае разрешающая система уравнений формально может быть записана в том же виде, что и предыдущая система уравнений, но под подразумевается следующее выражение:

7. Граничные условия

Рассмотрим наиболее характерные граничные условия, которые накладываются на функцию Ф (или на перемещение в направлении осей х и у). 1. Точки кромки свободно смещаются в направлении оси х. Это означает, что

2. Точки кромки свободно смещаются в направлении оси у. Тогда:

3. Отсутствуют перемещения точек кромки в направлении оси х, т.е.

4. Отсутствуют перемещения точек кромки в направлении оси у, т.е. При опирании оболочек на диафрагмы, абсолютно жесткие по отношению к деформациям в своей плоскости и гибкие из нее, граничные условия принимают вид:

Если же кромки оболочки могут свободно перемещаться вдоль этой диафрагмы, тогда имеем:

8. Потенциальная энергия пологой оболочки

Данные выражения получены из некоторых математических преобразований уравнения потенциальной энергии выраженной через напряжения и деформации.

9. Пример расчета пологой оболочки

Рассмотрим прямоугольную пологую в плане оболочку, срединная поверхность которой является эллиптическим параболоидом (рис.7.10)

Уравнение этой поверхности записывается следующим образом:

Где -- стрела подъема оболочки.

Очевидно, что

Уравнения (7.22) принимают вид

По краям оболочка соединена с диафрагмами, абсолютно жесткими в их плоскости и гибкими из нее, вследствие чего на всех кромках обеспечиваются граничные условия:

При

При

Будем искать решение уравнений (7.24), в виде

Нетрудно убедиться в том, что первые три условия в (7.25) и (7.26) при принятых выражения удовлетворяются тождественно.

Проверим, выполняются ли последние граничные условия: и Найдем деформацию:

Используя равенство (7.28), имеем

При

Итак, на указанных кромках перемещение тождественно равно константе, которую можно принять раной нулю. Аналогично можно показать, что на двух других кромках перемещение также тождественно равно нулю.

Следовательно, выражения (7.27), (7.28) удовлетворяют всем граничным условиям (7.25), (7.26).

Запишем функцию в виде

где

Поставим соотношения (7.27)…(7.29) в уравнения (7.24), из которых получим систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов

Отсюда следует

причем

После того как определены функции нетрудно найти

внутренние усилия, действующие в оболочке:

В случае безмоментного напряженного состояния из уравнения (7.31) при получим

Тогда коэффициенты в разложении прогиба определяются из уравнения (7.32):

Если в соотношении (7.32) положить получим выражение для справедливое для шарнерно опертой вдоль всех кромок прямоугольной пластины:

Для того чтобы качественно и количественно оценить работу пологой оболочки под действие поперечной нагрузки на рис. 7.11,7.12 представлены результаты расчета оболочки со следующими геометрическими и физическими характеристиками:

На рис. 7.11,а показаны графики изменения прогиба оболочки вдоль среднего сечения и вдоль диагонального сечения (рис. 7.11,б). Обращает на себя внимание то, что максимально значение прогиб принимает не в центре оболочки (как это было в пластине), а в угловых зонах. Эпюры внутренних усилий приведены на рис. 7.12, а…д. Эпюры построены для среднего сечения оболочки эпюра для сечения с координатой эпюра сдвигающих усилий (рис.7.12,б) и крутящего момента (рис. 7.12,д) -- для крайнего сечения

Интересно отметить, что эпюры изгибающих моментов в оболочке имеют очертание, качественно отличающееся от очертания эпюр тех же моментов в пластине. Сравнение ординат эпюр моментов и значений прогиба в оболочке и пластине свидетельствует о том, что в пластинах указанные величины оказываются значительно (на порядок) больше, чем в оболочках.

Литература

1. Александров А.В. «Основы теории упругости и пластичности», 1990 г.

2. Горшков А.Г. « Теория упругости и пластичности»

Размещено на Allbest.ru