Идентификация дискретного динамического объекта

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тема: Идентификация дискретного динамического объекта

Исходные данные:

Рис.1.

Характеристики нерекурсивной модели

Характерной особенностью нерекурсивной модели динамического объекта является ограниченность по времени её импульсной характеристики. Такую модель называют ещё нерекурсивной из-за отсутствия обратной связи. Знаменатель передаточной функции такого динамического объекта -- некая константа.

Разностное уравнение, описывающее связь между входным и выходным сигналами динамического объекта:

где P -- порядок фильтра, x(n) -- входной сигнал, y(n) -- выходной сигнал, а bi -- коэффициенты фильтра.



Z-преобразование импульсной характеристики даёт нам передаточную функцию:

Модели могут быть реализованы с использованием трех элементов: умножитель, сумматор и блок задержки. Вариант, показанный на рисунке, есть прямая реализация нерекурсивной модели.

Рис.2. Нерекурсивная модель динамического объекта.

Характеристики рекурсивной модели

динамический рекурсивный импульсный цепь

Характерной особенностью рекурсивных моделей динамических объектов является то, что их импульсная переходная характеристика имеет бесконечную длину во временной области, а передаточная функция имеет дробно-рациональный вид.

Один или более своих выходов в качестве входа, то есть образует обратную связь.

Разностное уравнение, описывающее рекурсивных моделей, устанавливает связь между входным и выходным сигналами во временной области:

где порядок входного сигнала, -- коэффициенты входного сигнала, -- порядок обратной связи, -- коэффициенты обратной связи, -- входной, а -- выходной сигналы.

Более компактная запись разностного уравнения:

Z-преобразование импульсной переходной функции даёт передаточную функцию:

Соотношение между входом и выходом такой системы должно удовлетворять разностному уравнению:

Это уравнение может быть записано непосредственно из выражения для передаточной функции, таким образом форму построения цепи, соответствующей этому уравнению, называют прямой формой 1.

Модели динамических объектов могут быть реализованы с использованием трех элементов или основных операций: умножитель, сумматор и блок задержки. Этих элементов достаточно для всех возможных. вариант, показанный на рисунке есть прямая реализация типа 1. Поскольку совокупности коэффициентов b(k) и a(k) соответствуют полиномам числителя B(z) и знаменателя A(z) передаточной функции Н(z), то прямую форму БИХ-фильтра, показанную на рисунке, можно трактовать как каскадное соединение двух цепей. Первая из них реализует нули и имеет передаточную функцию B(z), а вторая -- полюсы, и имеет передаточную функцию 1/A(z). Обозначив выходной сигнал первой системы w(n), разностное уравнение можно заменить системой уравнений:

Объединив линии задержки в структуре, получим прямую каноническую форму:

Каноническая схема, к которой приводится любая модель

рис.3. Графический вид

- рекурсивная модель

нерекурсивная модель

Для идентификации выбрал себе серию из 30 последовательных значений (U, Y). Выборка начинается со сдвигом от начала на величину = (4*(последняя цифра кода студента)).

51405	Miciks	Dmitrijs

k	U	Y
20	0,8343	2,5472
21	1,0001	-1,7868
22	-0,1004	-3,6620
23	0,6130	2,5142
24	1,4428	4,7529
25	0,0326	0,5062
26	-1,5054	-2,2652
27	-0,9329	1,8200
28	0,0930	2,3178
29	-0,6131	-3,8146
30	-1,0056	-5,2868
31	0,6480	1,4950
32	1,9308	2,6632
33	0,6453	-1,5780
34	-0,3676	-0,9287
35	0,3565	5,3124
36	0,3402	2,9295
37	-1,5167	-2,9286
38	-1,7362	-2,8095
39	-0,0672	1,7781
40	0,7090	-0,7931
41	-0,1742	-4,9604
42	0,2999	-0,6511
43	1,6951	4,6783
44	1,0950	2,1560
45	-0,7715	-1,5291
46	-1,0290	1,4679
47	-0,1191	3,6069
48	-0,6104	-1,7324
49	-1,5203	-6,0489

Таблица 1.

Задание:

1. По заданным Y(i) и U(i) структуру и параметры объекта методом наименьших квадратов для двух вариантов:

· Рекурсивная структура (модель);

· Нерекурсивная структура (модель).

2. Какая из двух предложенных дает наименьшую ошибку (СКО).

3. Построить модели 1, 2, 3, 4 порядков и сравнить при которых ошибка минимальна.

Результаты вычислений

В работе в начале были получены два массива: massiv_U.m и massiv_y.m. Для расчета коэффициентов передаточной функции дискретного фильтра я использовал функцию ARX. Рекурсивный алгоритм этой функции основан на методе наименьших квадратов. Дальше комментария приведены в самой программе.

Программа:

clc, clear all, close all;

N=30; % [шт] число отсчётов

dt=0.05; % [s] шаг моделирования по времени

t=(0:N-1)*dt % вектор времени

massiv_U; % массив входных значений

massiv_y; % массив выходных значений

figure(1), plot(t, U,'r', t, y,'b'), grid, legend('u(t)', 'y(t)');

q=[y U];

r2=arx(q,[2 2 0]) %Для расчета коэффициентов передаточной

r3=arx(q,[3 3 0]) %функции дискретного фильтра функцию ARX.

r4=arx(q,[4 4 0]) %Рекурсивный алгоритм этой функции

r5=arx(q,[5 5 0]) %основан на методе наименьших квадратов.

[a2,b2]=th2arx(r2) %Матрица

[a3,b3]=th2arx(r3)

[a4,b4]=th2arx(r4)

[a5,b5]=th2arx(r5)

r6=arx(q,[0 2 0]) % Нерекурсивный

r7=arx(q,[0 3 0])

r8=arx(q,[0 4 0])

r9=arx(q,[0 5 0])

[a6,b6]=th2arx(r6) %Матрица

[a7,b7]=th2arx(r7)

[a8,b8]=th2arx(r8)

[a9,b9]=th2arx(r9)

for k2=3:30

ymr2(k2) = b2(1)*U(k2)+b2(2)*U(k2-1)-(a2(2)*y(k2-1)+a2(3)*y(k2-2));

end

for k3=4:30

ymr3(k3) = b3(1)*U(k3)+b3(2)*U(k3-1)+b3(3)*U(k3-2)-(a3(2)*y(k3-1)+a3(3)*y(k3-2)+a3(4)*y(k3-3));

end

for k4=5:30

ymr4(k4) = b4(1)*U(k4)+b4(2)*U(k4-1)+b4(3)*U(k4-2)+b4(4)*U(k4-3)-(a4(2)*y(k4-1)+a4(3)*y(k4-2)+a4(4)*y(k4-3)+a4(5)*y(k4-4));

end

for k5=6:30

ymr5(k5) = b5(1)*U(k5)+b5(2)*U(k5-1)+b5(3)*U(k5-2)+b5(4)*U(k5-3)+b5(5)*U(k5-4)-(a5(2)*y(k5-1)+a5(3)*y(k5-2)+a5(4)*y(k5-3)+a5(5)*y(k5-4)+a5(6)*y(k5-5));

end

for k6=3:30

ymn6(k6) = b6(1)*U(k6)+b6(2)*U(k6-1);

end

for k7=4:30

ymn7(k7) = b7(1)*U(k7)+b7(2)*U(k7-1)+b7(3)*U(k7-2);

end

for k8=5:30

ymn8(k8) = b8(1)*U(k8)+b8(2)*U(k8-1)+b8(3)*U(k8-2)+b8(4)*U(k8-3);

end

for k9=6:30

ymn9(k9) = b9(1)*U(k9)+b9(2)*U(k9-1)+b9(3)*U(k9-2)+b9(4)*U(k9-3)+b9(5)*U(k9-4);

end

s2=corrcoef(y,ymr2); d2=s2(2,1) %рекурсивная модель

s3=corrcoef(y,ymr3); d3=s3(2,1) %извлечение числа из матрицы

s4=corrcoef(y,ymr4); d4=s4(2,1)

s5=corrcoef(y,ymr5); d5=s5(2,1)

s6=corrcoef(y,ymn6); d6=s6(2,1) %нерекурсивная модель

s7=corrcoef(y,ymn7); d7=s7(2,1) %извлечение числа из матрицы

s8=corrcoef(y,ymn8); d8=s8(2,1)

s9=corrcoef(y,ymn9); d9=s9(2,1)

figure(2), plot(t, y,'r', t, ymr2,'b'), grid, legend('u(t)', 'y(t)');

figure(3), plot(t, y,'r', t, ymr3,'b'), grid, legend('u(t)', 'y(t)');

figure(4), plot(t, y,'r', t, ymr4,'b'), grid, legend('u(t)', 'y(t)');

figure(5), plot(t, y,'r', t, ymr5,'b'), grid, legend('u(t)', 'y(t)');

figure(6), plot(t, y,'r', t, ymn6,'b'), grid, legend('u(t)', 'y(t)');

figure(7), plot(t, y,'r', t, ymn7,'b'), grid, legend('u(t)', 'y(t)');

figure(8), plot(t, y,'r', t, ymn8,'b'), grid, legend('u(t)', 'y(t)');

figure(9), plot(t, y,'r', t, ymn9,'b'), grid, legend('u(t)', 'y(t)');

В результате было получено 9 графиков,



Рис. 4. График массивов (figure(1))

Рис. 5. Рекурсивная модель 2-ого порядка (figure(2))

A(q) = 1 - 1.225 q^-1 - 10.02 q^-2

B(q) = 35.16 - 21.62 q^-1



Рис. 6. Рекурсивная модель 3-ого порядка (figure(3))

A(q) = 1 - 1.1 q^-1 - 2.832 q^-2 - 0.05899 q^-3

B(q) = 13.19 - 9.754 q^-1 + 2.493 q^-2

Рис. 7. Рекурсивная модель 4-ого порядка (figure(4))

A(q) = 1 - 0.1966 q^-1 - 1.197 q^-2 - 0.2022 q^-3 + 0.6847 q^-4

B(q) = 5.353 - 1.175 q^-1 - 3.859 q^-2 + 3.969 q^-3



Рис. 8. Рекурсивная модель 5-ого порядка (figure(5))

A(q) = 1 + 0.3862 q^-1 - 0.5118 q^-2 - 0.05399 q^-3 + 0.9437 q^-4 + 1.041 q^-5

B(q) = 3.49 - 0.2829 q^-1 - 2.917 q^-2 - 0.4885 q^-3 + 4.128 q^-4

Рис. 9. Нерекурсивная модель 2-ого порядка (figure(6))

B(q) = 2.297 - 1.21 q^-1



Рис. 10. Нерекурсивная модель 3-ого порядка (figure(7))

B(q) = 3.072 - 2.091 q^-1 + 1.277 q^-2

Рис. 11. Нерекурсивная модель 4-ого порядка (figure(8))

B(q) = 1.31 + 0.792 q^-1 - 1.462 q^-2 + 2.989 q^-3



Рис. 12. Нерекурсивная модель 5-ого порядка (figure(9))

B(q) = 2.032 - 0.3024 q^-1 - 0.1258 q^-2 + 1.89 q^-3 + 0.7602 q^-4

Были получены следующие коэффициенты привидённые в таблице 2 для вычисления (СКО) для рекурсивных и нерекурсивных моделей с 2-ого по 5-ого порядка.

Порядок	Рекурс. м.	Нерекурс. м.
2	0,8559	0,674
3	0,9224	0,7242
4	0,9296	0,9284
5	0,9068	0,9056

Таблица 2.

Рис. 13. Среднеквадратическая ошибка

Вывод: Нерекурсивные модели показали большую корреляцию чем рекурсивные. Оба варианта моделей рекурсивных и нерекурсивных на высоких порядках показали низкое СКО с максимумом 4-ого порядка.

Используемые ресурсы

Литература:

1. System Identification Toolbox. For Use with MATLAB. User's Guide

2. Конспект лекций по дисциплине идентификация телекоммуникационных систем.

Программное обеспечение:

1. Пакет Matlab

Размещено на Allbest.ru

...