Исследование ускорения Кориолиса

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Исследование ускорения Кориолиса

Введение

кориолисовый ускорение кинематический задача

Совершенная техника ставит перед инженерами множество задач,решение которых связано с исследованием так называемого механического движения и механического взаимодействия материальных тел. Механическим движением называют происходящее с течением времени изменения взаимного положения материальных тел в пространстве. Под механическим взаимодействием понимают те действия материальных тел друг на друга, в результате которых происходит изменения движения этих тел или изменения их форм(деформация). За основную меру этих действий принимают величину, называемую силой. Примером механического движения в технике является движение различных наземных или водных транспортных средств и летательных аппаратов, движение частей всевозможных машин, механизмов и деталей, деформация элементов тех или иных конструкций и многое другое. Наука о механическом движение и взаимодействии материальных тел называется механический круг проблем, рассматриваемых в механике, очень велик и с развитием этой науки в ней появился целый ряд самостоятельных областей, связанных с изучением механики твердых деформируемых тел, жидкостей, газов. Рассматривание этих общих понятий, законов и методов состовляет предмет так называемой теоретической механикой. В основе механике лежат законы, называемые законами классической механики, которые установлены путем обобщения многочисленных результатов, опытов и наблюдений и нашли подтверждение в процессе всей общественно-производственной практики человечества.

Это позволяет рассмотреть знания, основанные на конах механики, как достоверные знания, основанные на законах механики, как достоверные знания, на которых инженер может смело опираться в своей практической деятельности.

1. Ускорение Кориолиса

Кориолисово ускорение -- это векторная величина, равная:

где -- угловая скорость неинерциальной системы отсчёта относительно инерциальной,-- скорость объекта в неинерциальной системе отсчёта.

Пусть тело совершает сложное движение: движется относительно неинерциальной системы отсчёта со скоростью а сама система движется поступательно с линейной скоростью в инерциальной системе координат и одновременно вращается с угловой скоростью

Тогда линейная скорость тела в инерциальной системе координат равна:

где -- радиус-вектор центра масс тела относительно неинерциальной системы отсчета. Продифференцируем данное уравнение:

Найдём значение каждого слагаемого в инерциальной системе координат:



где -- линейное ускорение относительно системы, -- угловое ускорение.

Таким образом, получаем:

Последнее слагаемое и будет кориолисовым ускорением.

Физический смысл

Пусть тело движется со скоростью вдоль прямой к центру вращения инерциальной системы отсчёта. Тогда данное движение приведёт к изменению расстояния до центра вращения R и, как следствие, абсолютной скорости движения точки неинерциальной системы отсчёта, совпадающей с движущейся точкой. Как мы знаем, эта скорость движения равна:

Данное изменение будет равно: Проведя дифференцирование по времени, получим:

(направление данного ускорения перпендикулярно и ).C другой стороны, вектор , оставшись неподвижным относительно инерциального пространства, повернётся относительно неинерциального на угол щdt. Или приращение скорости будет равна:

присоответственно второе ускорение будет:

Общее ускорение будет:

Как видно, система отсчёта не претерпела изменения угловой скорости Линейная скорость относительно неё не меняется и остаётся Тем не менее, ускорение не равно нулю.

а также прибавляется ускорение в результате изменения центростремительного ускорения точки.

Сила Кориолиса (по имени французского учёного Гюстава Гаспара Кориолиса, впервые его описавшего) -- одна из сил инерции, существующая в неинерциальной (вращающейся) системе отсчёта из-за вращения и законов инерции, проявляющаяся при движении в направлении под углом к оси вращения.

Ускорение Кориолиса было получено Кориолисом в 1833 г., Гауссом в 1803 г. и Эйлером в 1765 г. Причина появления силы Кориолиса -- в кориолисовом (поворотном) ускорении.

Для того, чтобы тело двигалось с кориолисовым ускорением, необходимо приложение силы к телу, равной:

F = ma

где a -- кориолисово ускорение. Соответственно, тело действует по третьему закону Ньютона с силой противоположной направленности.

FK = ? ma.

Сила, которая действует со стороны тела, и будет называться силой Кориолиса. Не следует путать Кориолисову силу с другой силой инерции -- центробежной силой, которая направлена по радиусу вращающейся окружности. В инерциальных системах отсчёта действует закон инерции, то есть, каждое тело стремится двигаться по прямой и с постоянной скоростью. Если рассмотреть движение тела, равномерное вдоль некоторого вращающегося радиуса и направленное от центра, то станет ясно, что чтобы оно осуществилось, требуется придавать телу ускорение, так как чем дальше от центра, тем должна быть больше касательная скорость вращения. Это значит, что с точки зрения вращающейся системы отсчёта, некая сила будет пытаться сместить тело с радиуса. Если вращение происходит по часовой стрелке, то двигающееся от центра вращения тело будет стремиться сойти с радиуса влево. Если вращение происходит против часовой стрелки -- то вправо.

Математическое определение

Сила Кориолиса равна:

Где m-- точечная масса, -- вектор угловой скорости, -- вектор скорости движения точечной массы.

Самый простой пример использования силы Кориолиса -- это эффект ускорения кручения танцоров. Чтобы ускорить свое вращение, человек может начать крутиться с широко разведёнными в стороны руками, а затем -- уже в процессе -- резко прижать руки к туловищу, что вызовет увеличение круговой скорости (согласно закону сохранения момента импульса). Эффект силы Кориолиса проявится в том, что для такого движения руками придётся прикладывать усилия не только по направлению к телу, но и в направлении по вращению. При этом возникает ощущение, что руки отталкиваются от чего-то, при этом ещё больше ускоряясь.

Сила Кориолиса также проявляется, например, в работе маятника Фуко. Кроме того, поскольку Земля вращается, то сила Кориолиса проявляется и в глобальных масштабах. В северном полушарии сила Кориолиса направлена вправо от движения, поэтому правые берега рек в Северном полушарии более крутые -- их подмывает вода под действием этой силы (см. Закон Бэра). В Южном полушарии всё происходит наоборот. Сила Кориолиса ответственна также и за вращение циклонов и антициклонов.

Вопреки расхожему мнению, маловероятно, что сила Кориолиса полностью определяет направление закручивания воды в водопроводе -- например, при сливе в раковине. Хотя в разных полушариях она действительно стремится закручивать водяную воронку в разных направлениях, при сливе возникают и побочные потоки, зависящие от формы раковины и конфигурации канализационной системы. По абсолютной величине создаваемые этими потоками силы превосходят силу Кориолиса, поэтому направление вращения воронки как в Северном, так и в Южном полушарии может быть как по часовой стрелке, так и против неё.

Если тело движется перпендикулярно направлению к центру вращения, то доказательство будет аналогичным. Ускорение из-за поворота вектора скорости останется

2. Задачи

Задача 1

Дано: уравнения движения точки в плоскости хОу:

;

;

В момент времени 1 с.

Найти: координаты точки на траектории в заданный момент времени; скорость и полное ускорение, касательное и нормальное ускорение точки; радиус кривизны траектории в момент .

РЕШЕНИЕ

1. Координаты точки на траектории в заданный момент времени.

Найдем координаты точки вмомент t1 =1 с:

;

(0;1,73)

2. Скорость точки. Скорость найдем по ее проекциям на координатные оси:

,

где

,

.

При =1 с

(см/с),

= 1,04(см/с),

= 5,52(см/с).

3.Полное ускорение точки. Находим аналогично:

,

,

при =1с

(см/с²),

(см/с²),

(см/с²).

4. Касательное ускорение. Найдем, дифференцируя равенство

.

Получим

,

при =1с

(см/с²).

5. Нормальное ускорение.

(см/с²).

6. Радиус кривизны траектории.

(см).

Таблица к задаче 1

Координаты, м	Скорость, м/с	Ускорение, м/с?	Радиус кривизны траектории
x	y									Прямолинейное движение
0	1,73	-5,43	1,04	5,52	-3,28	-1,89	3,78	2,87	2,46

Задача 2

Дано: r₁= 2 см, R₁= 4 см, r₂= 6 см, R₂= 8 см, r₃= 12 см, R₃= 16 см,

,

В момент времени t₁=2 c.

Найти: скорости , , ускорения , , .

РЕШЕНИЕ

Скорости точек, лежащих на ободах колес радиуса , обозначим через , а точек, лежащих на ободах колес радиуса , через .

Скорости , .

Т.к. колеса 1 и 2 связаны ременной передачей, то или

При t₁=2 c

,

Колеса 1 и 3 находятся в зацеплении, следовательно, , то есть и отсюда

Ускорение

,

где , Угловое ускорение

== =1 (1/с²)

Таким образом при t₁=2 c

касательная составляющая:

(см/с²),

нормальная составляющая:

(см/с²),

полное ускорение:

== 8,01(см/с²).

Ускорение .

.

Тогда

=2,25 (см/с²).

Угловое ускорение . , следовательно

== 0,18(1/с²).

Задача 3

Дано: Точка М движется относительно пластины. Уравнение относительного движения т. М:

(см).

Уравнение движения тела

(рад).

t=1 с; b=20 см.

Найти: Для заданного момента времени определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение т.М.

РЕШЕНИЕ

Рассматриваем движение т.М как сложное, считая ее движение по прямолинейному желобу относительным, а вращение пластины - переносным. Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки найдутся по формулам:

,

или в развернутом виде

.

Положение т.М: При t=1с

= 32 (см)

т.М находится в области положительных значений на отрезке АD. Расстояние от оси вращения О до т.М равно

=68 (см).

Тригонометрические функции угла АОМ (?) равны:

, .

Относительное движение.

Относительная скорость

.

При =1с вектор

= 50 (см/с)

- направлен в сторону положительных значений .

Модуль относительной скорости

=50 см/с.

Модуль относительного касательного ускорения

,

где

(см/с²).

100 (см/с²).

вектор направлен в сторону отрицательных значений . Знаки и разные; следовательно, относительное движение т.М замедленное.

Относительное нормальное ускорение

,

так как траектория относительного движения - прямая линия ().

Переносное движение.

Модуль переносной скорости

,

где R=ОМ - радиус окружности L, описываемой той точкой тела, с которой совпадает в данный момент т.М

- модуль угловой скорости тела:

.

При 1 с 4 1/с; 4 рад/с.

Модуль переносной скорости:

(см/с).

Вектор направлен по касательной к окружности L в сторону вращения тела.

Модуль переносного вращательного ускорения

,

где - модуль углового ускорения тела:

(1/с²);

то есть переносное вращательное движение -ускоренное, так как знаки и одинаковые. 8 1/с² и

(см/с²).

Вектор направлен противоположно .

Модуль переносного центростремительного ускорения

(см/с²).

Вектор направлен от т .М к т. О.

Кориолисово ускорение

.

Модуль кориолисова ускорения,

где

.

Так как 4 рад/с, а 50 см/с

то (см/с²).

Вектор направлен в соответствии с правилом векторного произведения.

Абсолютная скорость Модуль абсолютной скорости определим как

(см/с).

Абсолютное ускорение. Все векторы лежат в плоскости чертежа. Модуль абсолютного ускорения находим методом проекций:

== 1347,8 (см/с²),

== 617 (см/с²),

=1482,31 (см/с²).

Заключение

Совершенная техника ставит перед инженерами множество задач, решения которых связано с исследованием так называемого механического движения и механического взаимодействия материальных тел.

Примером механического движения в технике является движение различных наземных или водных тванспортных средств и летательных аппаратов, движение частей всевозможных машин, механихмов и двигтелей, деформация элементов тех или иных конструкций и многое другое.

Для инженеров в жизни очень важно знать науку о механическом движение для того,чтоб стать специалистом своего дела.

По данному решению кинематической задачи о многозвенном механизме я научился определить скорости данного механизма и угловые скорости всех его звеньев с помощью плана скоростьей, так же скорости этих точек и угловые скорости звеньев с помощью мгновенных центров скоростей.

Список используемой литературы

1.Сборник задач для курсовых работ по теоретической механике: Учебное пособие для технических вузов.- 15-е изд.,стереотипное-М.:Интеграл-Пресс,2006.-384с.Под редакцией А.А.Яблонского.

2. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Для вузов.- 12-е изд.,стер.-М.:Высш. Шк.,2001 -416с.,ил.

Размещено на Allbest.ru

...