Причини виникнення перехідних процесів

Перехідним процесом називають процес, що виникає в електричному колі при зміні її електричного стану.

Перехідний процес виникає при включенні й відмиканні електричного кола від джерела енергії, при перемиканнях усередині електричного кола.

Зміна стану електричного кола, що викликає зміну її електричного режиму, називається комутацією. Характер комутації на схемі вказується за допомогою ключа зі стрілкою.

При розгляді перехідних процесів припускають, що комутація відбувається миттєво, а опір ключа змінюється стрибком від нескінченно великого значення до нуля при включенні й навпаки - при відключенні.

Перехідний процес у колі триває певний час, що називається часом перехідного процесу. До початку перехідного процесу й після його закінчення в електричному колі спостерігається сталий (вимушений) режим, що визначається джерелом енергії при незмінній схемі кола й незмінних параметрах її елементів.

Очевидно, що джерела постійної напруги (струму) викликають постійний струм у колі, джерела синусоїдальної напруги (струму) викликають синусоїдальний струм тієї ж частоти, що й частота джерела.

Під час перехідного процесу струми в електричному колі й напруги на її ділянках визначаються не тільки "зовнішніми" джерелами енергії, але й "внутрішніми" джерелами - накопичувачами енергії (такими джерелами є котушки індуктивності й конденсатори). У режимі, що існував до комутації, у індуктивностях котушок і ємностях конденсаторів була запасена певна кількість енергії або, якщо коло не було підключене до джерел, запас енергії був відсутній. З моменту комутації (при t = 0), від якого ведеться відлік часу перехідного процесу, починається перерозподіл енергії як між внутрішніми накопичувачами енергії в колі, так і між зовнішнім джерелом і внутрішніми накопичувачами енергії. При цьому процесі частина енергії перетворюється в теплову й виділяється на резисторах. Після закінчення деякого часу в колі наступає новий сталий режим, що буде обумовлений тільки зовнішнім джерелом енергії. При відключенні кола від зовнішніх джерел перехідний процес буде існувати повністю за рахунок енергії внутрішніх джерел (котушки індуктивності й конденсатора). При цьому новий сталий режим буде характеризуватися відсутністю струмів в електричному ланцюзі.

Математичні основи аналізу перехідних процесів

Електричне коло, у якому відбувається перехідний процес, описується рівняннями, складеними за законами Кірхгофа або по методу контурних струмів. Опис здійснюється для кола, що утворюється після комутації. При складанні рівнянь по першому закону Кірхгофа поряд зі струмами резисторів і котушки індуктивності необхідно враховувати струм конденсатора. Цей струм визначається рівнянням

.

При складанні рівнянь по другому закону Кірхгофа поряд з падіннями напруг на резисторах, конденсаторі необхідно враховувати й падіння напруги на котушці індуктивності у вигляді

.

Після складання системи рівнянь, що описує електричне коло, виконується її розв'язок щодо обраної змінної. У якості шуканої змінної рекомендується вибирати струм i_L котушки індуктивності або напругу u_c конденсатора.

У результаті розв'язання утворюється диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами виду

, (5.1)

, (5.2)

де a_n (b_n), a_n-1 (b_n-1), … , a₀ (b₀) - постійні коефіцієнти, що залежать від вигляду схеми і її параметрів;

f(t) - зовнішній вплив на коло.

З математики відомо, що повне рішення лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами знаходять у вигляді суми часткового розв'язку неоднорідного рівняння й загального розв'язку відповідного однорідного рівняння:

i = i_Lвим + i_Lвіл, u = u_Cвим + u_Cвіл. (5.3)

Оскільки в правій частині диференціальних рівнянь (5.1, 5.2), що описують електричний стан кола, звичайно перебуває напруга (або струм) джерела (зовнішня вимушена сила), то частковий розв'язок знаходять із аналізу сталого режиму після комутації. Тому цей режим називають примушеним (вимушеним) або сталим, і відповідно струми й напруги, знайдені в цьому режимі - примушеними.

Для знаходження вимушеної складової змінної, щодо якої складене диференціальне рівняння (5.1) або (5.2) у випадку дії джерела постійної напруги або струму досить дорівняти нулю всі похідні в рівнянні (5.1) або (5.2 ). З перетвореного рівняння потрібно виразити вимушену складову струму (напруги).

Для визначення виразу для вільної складової змінної i_Lвіл (u_Свіл) складається однорідне диференціальне рівняння, що утворюється із (5.1) або (5.2) шляхом "звільнення" його від правої частини. Фізично це означає, що досліджуване коло "звільняється" від зовнішньої примушеної сили.

Вільні складові струмів і напруг кола є результатом дії внутрішніх джерел схеми: ЕРС самоіндукції, що виникають у котушках, і ЕРС конденсаторів, коли ті й інші не врівноважені зовнішніми джерелами.

З курсу математики відомо, що вигляд рішення однорідного лінійного диференціального рівняння залежить від виду коренів характеристичного рівняння. Характеристичне рівняння утворюється при заміні , де - це корінь характеристичного рівняння.

Після складання характеристичного рівняння й підстановки чисельних даних визначаються його корені. Залежно від числа й виду коренів записується в загальному вигляді алгоритм розв'язання (відомий з курсу математики). Можливі наступні види коренів і відповідні їм розв'язки:

1. ₁, ₂,, _n - різні дійсні корені, де n - число коренів;

, (5.4)

, (5.5)

де А₁, А₂ ,…, А_n ; B₁, B₂,…, B_n-постійні інтегрування.

2. Серед n дійсних коренів є пара рівних коренів ₃ = ₄.

i _Lсв = A₁e^1t + A₂e^2t + A₃e^3t + A₄te^4t + … + A_ne^nt , (5.6)

u _{зі св} = B₁e^1t + B₂e^2t + B₃e^3t + B₄te^4t + … + B_n e^nt ... (5.7)

3. Серед n коренів є пара комплексних корнів ₁ = +j₀, ₂ = j₀.

, (5.8)

u_{C віл} , (5.9)

або

перехідний процес комутація інтегрування

i _{L віл} , (5.10)

u_{c віл} (5.11)

Постійні інтегрування А_1, А₂, … , А_n, В₁, В₂, …, В_n і кут знаходяться з початкових умов.

Початковими значеннями струмів і напруг називаються їхні значення при t= -0. Момент часу при t=+0 визначає час безпосередньо після комутації.

Закони комутації

Кожному стану електричного кола відповідає запас енергії електричного й магнітного полів. Відповідно до закону збереження енергії при переході кола від одного стану до іншого енергія не може змінитися стрибком. Це пояснюється скінченною швидкістю поширення електромагнітної енергії.

На підставі закону збереження енергії запишемо вираз для магнітної енергії котушки індуктивності й електричної енергії конденсатора:

W_М(-0) = W_М(+0); W_Е(-0) = W_Е(+0), (5.12)

де W_М(-0), W_Е(-0) - значення енергії , запасеної в магнітному й електричному полях безпосередньо перед комутацією.

Виразимо енергію магнітних і електричних полів через струм котушки індуктивності i_L й напруги на конденсаторі u_C:

, . (5.13)

У випадку постійної індуктивності L = const і ємності C = const кола вирази (5.13) приймають вигляд:

, . (5.14)

Запишемо закон збереження енергії з урахуванням виразів (5.14).

, . (5.15)

На підставі виразів (5.15) сформулюємо закони комутації.

Перший закон комутації: струм котушки індуктивності в початковий момент часу після комутації дорівнює струму котушки безпосередньо перед комутацією. Значить, у момент комутації струм котушки індуктивності не може змінитися стрибком:

i_L(-0) = i_L(+0).

Другий закон комутації: напруга на конденсаторі в початковий момент часу після комутації дорівнює напрузі на конденсаторі безпосередньо перед комутацією. Значить, напруга на конденсаторі в момент комутації не може змінитися стрибком:

u_С(-0) = u_С(+0).

Загальна методика розрахунку перехідних процесів класичним методом

Методи складання характеристичного рівняння

Складання характеристичного рівняння за законами Кірхгофа

Рисунок 5.1 Позначимо позитивні напрямки струмів у вітках. Складемо систему рівнянь для миттєвих значень для схеми, отриманої після комутації:

 (5.16)

Вирішимо систему рівнянь щодо обраної змінної. У якості змінної рекомендується вибрати струм котушки індуктивності або напругу конденсатора, тому що для цих змінних можна використати закони комутації.

У якості шуканої змінної вибирається струм i₂ котушки індуктивності. Перетворимо вихідну систему рівнянь щодо струму i₂.

Для цього з першого рівняння виразимо струм i₁ = i₂ +i₃ і підставимо в друге рівняння:

. (5.17)

З отриманого рівняння виразимо струм i₃ :

, (5.18)

і підставимо в третє рівняння, де замість напруги u_С на конденсаторі представимо його значення через струм конденсатора i₃

,

. (5.19)

Продиференціюємо отримане рівняння й перетворимо його.

, (5.20)

. (5.21)

Отримане рівняння в загальному вигляді має своїм рішенням струм, що складається із двох доданків:

i₂ = i_2вим + i_2віл, (5.22а)

де i_2вим - примушена складова струму, що визначається параметрами кола й дією джерела енергії;

i_2віл - вільна складова струму, що визначається тільки параметрами кола й не залежить від виду джерела енергії.

Змушена складова струму у випадку дії джерела постійної напруги може бути визначена з рівняння (5.21). У сталому режимі похідні від струму i₂ дорівнюють нулю, тому рівняння (5.21) приймає вид:

, (5.22б)

. (5.23)

Вільна складова струму i_2віл знаходиться розв'язанням однорідного диференціального рівняння, що утворюється при прирівнюванні нулю правої частини рівняння (5.21):

. (5.24)

Для одержання характеристичного рівняння приймаються наступні позначення:

, . (5.25)

З урахуванням прийнятих позначень перетворимо рівняння (5.24):

,

. (5.26)

Тоді вираз для характеристичного рівняння прийме вигляд:

. (5.27)

Складання характеристичного рівняння методом контурних струмів

Рисунок 5.2 Виберемо позитивні напрямки контурних струмів по годинниковій стрілці. Складемо систему рівнянь:

, (5.28)

.

Перетворимо систему рівнянь (5.28), приймаючи наступні позначення:

, (5.29)

,

. (5.30)

Запишемо вираз для основного визначника Д системи

. (5.31)

Після математичних перетворень визначник Д має значення:

= . (5.32)

Отримуємо при Д = 0 характеристичне рівняння:

=0. (5.33)

Методи визначення змушених значень струмів і напруг при дії джерела постійного струму

Визначення змушеної складової з неоднорідного диференціального рівняння

При складанні характеристичного рівняння за законами Кірхгофа змушена складова визначається з рівняння (5.21) і приймає вид виразу (5.22).

Визначення змушеної складової за законами Кірхгофа

У загальному випадку змушені складові струмів і напруг визначаються рішенням системи рівнянь (5.16), складеної за законами Кірхгофа. У цій системі рівнянь приймаються рівними нулю похідні струмів і напруг.

Перетворимо систему рівнянь (5.16) з огляду на те, що

(5.34)

Перетворимо отриману систему рівнянь (5.34) з урахуванням зроблених вище зауважень.

(5.35)

Розв'язанням системи рівнянь (5.35) можна знайти примушені значення струмів або напруг на елементах кола.

Визначення значень постійних інтегрування

Розглянемо визначення значень постійних інтегрування для схеми, наведеної на рис. 5.3.

Рисунок 5.3

Формула для знаходження струму i₁:

.

Вимушена складова струму i₁ визначається наступним виразом:

Припустимо, що при розв'язанні характеристичного рівняння, складеного для електричного кола, наведеного на рис.5.3, отримано корені ₁ і ₂ - дійсні й різні.

Тому запишемо вираз для вільної складової струму i₁ у вигляді:

(5.36)

Складемо вираз для струму i₁:

(5.37)

В рівнянні (5.37) невідомими є постійні інтегрування А₁, А₂. Для визначення цих постійних необхідне ще одне рівняння.

Продиференціюємо рівняння (5.37):

(5.38)

Для визначення значень постійних А₁, А₂ складемо систему з рівнянь (5.37) і (5.38) і розглянемо її розв'язання для моменту часу t = +0:

(5.39)

У системі рівнянь (5.39), крім постійних інтегрування А₁ і А₂, невідомими є струм i₁₍₊₀₎ і його похідна (di₁/dt)₍₊₀₎ у момент часу t = +0. Для визначення похідної струму i₁ скористаємося системою рівнянь, складеної за законами Кірхгофа, розглянувши її для моменту часу t = +0:

(5.40)

У системі рівнянь (5.40) невідомими змінними є i₁₍₊₀₎, i₂₍₊₀₎, i₃₍₊₀₎, u_С(+0), (di₁/dt)₍₊₀₎, тому необхідно дописати ще два рівняння, складені за законами комутації:

(5.41)

Для визначення значень струму i_1(-0) котушки індуктивності й напруги u_С(-0) конденсатора до комутації запишемо систему рівнянь за законами Кірхгофа для моменту часу t = -0:

(5.42)

Виразимо струм i₃ конденсатори через напругу на ньому:

(5.43)

До комутації коло перебувало у сталому режимі, тому похідні в системі рівнянь (5.42) дорівнюють нулю. З урахуванням зроблених зауважень система рівнянь (5.42) має вигляд:

(5.44)

Визначимо значення струму i_1(-0) і напруги u_С(-0) із системи рівнянь (5.44):

(5.45)

Знайдені значення i_1(-0), u_С(-0) підставляються в рівняння (5.41) і розглядаються спільно рівняння (5.40) і (5.41).

Після математичних перетворень визначається значення похідної від першого струму для часу t =+0:

(5.46)

Знайдені значення i₁₍₊₀₎ і (di₁/dt)₍₊₀₎ підставляються в систему рівнянь (5.39):

(5.47)

Після математичних перетворень обчислюють значення постійних інтегрування А₁ і А₂:

(5.48)

(5.49)

Припустимо, що при розв'язанні характеристичного рівняння, складеного для електричного кола, наведеного на мал. 5.3, отримано корені ₁ і ₂ - комплексні: .

У цьому випадку вираз для вільної складової струму i₁ матиме вигляд:

.

Складемо вираз для струму i₁ та його похідної:

Розглянемо розв'язання цієї системи для моменту часу t = +0:

(***)

Значення струму та похідної для t = +0 знайдено вище:

Ці значення підставляються в систему рівнянь (***):

Після математичних перетворень знаходимо значення постійних інтегрування А та г:

Знаходження виразів для струмів і напруг

Вирази для інших струмів і напруг визначаються із системи рівнянь, складеної за законами Кірхгофа (5.40).

. (5.50)

Вираз для струму i₂ отримують із другого рівняння системи (5.40) після підстановки виразів (5.50) і (5.37):

. (5.51)

Вираз для напруги конденсатора u_С знаходиться із третього рівняння системи (4.36):

. (5.52)

Струм конденсатора i_С визначається з виразу i_С = після підстановки в нього рівняння (5.52):

. (5.53)

6. Методичні вказівки з розрахунків перехідних процесів у колах при дії джерела, що змінюється за синусоїдальним законом

Рівняння, що визначає будь-яку змінну кола (струм у вітці, напруга на елементі), у загальному випадку містить дві складові: змушену й вільну. Вільна складова визначається розв'язанням однорідного диференціального рівняння, тобто, рівнянням без правої частини. Отже, вид вільної складової не залежить від виду джерела, що діє в колі, а визначається тільки схемою з'єднання елементів кола і їх параметрами.

Змушена складова шуканої змінної залежить від виду джерела, що діє в колі. Розрахунок змушеної складової при дії джерела синусоїдальної форми виконується в комплексній формі.

Крім розрахунку змушеної складової необхідно звернути увагу на визначення початкових умов при визначенні постійних інтегрування. У цьому випадку проводиться розрахунок значень струмів і напруг у комплексній формі для кола до комутації. Потім знайдені значення змінних записуються в синусоїдальній формі й в отримані вирази підставляється t = 0.

Розглянемо розрахунок початкових значень змінних на прикладі кола, наведеного на рис. 6.1.

Рисунок 6.1 На вході кола діє напруга, що змінюється за синусоїдальним законом

.

Визначимо струми в вітках схеми комплексним методом.

Запишемо напругу джерела в комплексній формі:

.

Визначимо вхідний струм кола до комутації:

,

. (6.1)

Тоді вираз для струму в комплексній формі буде мати вигляд:

.

Виразимо струми і через параметри кола:

, (6.2)

. (6.3)

Тоді вирази для струмів і будуть мати такий вигляд:

= , = . (6.4)

Запишемо струми кола в синусоїдальній формі:

(6.5)

Підставимо в отримані вирази t = 0 і знайдемо значення цих струмів у момент часу безпосередньо перед комутацією.

(6.6)

Аналогічно визначають початкові значення напруг на елементах кола.

7. Методичні вказівки з розрахунку перехідних процесів операторним методом

Загальна методика розрахунку перехідних процесів операторним методом

Основні положення й співвідношення

В основу операторного методу покладене наступне: функція f(t), що є струмом i(t) або напругою u(t), називається оригіналом, заміняється відповідною їй функцією F(p) комплексного змінного p, називаної зображенням. Ці функції зв'язані співвідношенням, називаним прямим перетворенням Лапласа

, (7.1)

. (7.2)

При такому перетворенні операція диференціювання над функцією дійсного змінного f(t) заміняється операцією множення на оператор p функції комплексного змінного F(p). У свою чергу операція інтегрування заміняється операцією ділення на оператор p.

У таблиці 7.1 приводяться оригінали найпростіших функцій і їх зображення, отримані по формулі (7.1).

Таблиця 7.1

Схеми заміщення реактивних елементів, складені по формулі (7.1) для кола з ненульовими початковими умовами, наведені на рис. 7.1.

Рисунок 7.1 - Схеми заміщення реактивних елементів

Основні етапи рішення

При розв'язанні задач операторним методом рішення розбивається на три етапи:

1. Складається операторна схема заміщення для кола, отриманого після комутації.

2. Визначаються операторні зображення струмів і напруг.

3. Знаходяться оригінали по отриманим зображенням.

Операторні схеми заміщення

Розглянемо складання операторної схеми заміщення на прикладі електричного кола, наведеного на рис. 7.2.

Рисунок 7.2 На вході цього кола діє постійна напруга величиною U. Необхідно визначити величини струму в котушці індуктивності i_L і напруги на конденсаторі u_C до комутації.

Для цього складається система рівнянь за законами Кірхгофа, що описує режим роботи кола до замикання ключа.

 (7.3)

Розглянемо систему рівнянь (7.3) з погляду сталого режиму, тому що до початку перехідного процесу в колі спостерігається сталий режим. При дії постійної напруги похідні від струмів і напруг кола будуть дорівнювати нулю. З урахуванням останнього зауваження система рівнянь (7.3) приймає вид:

(7.4)

У системі рівнянь (7.4) струм конденсатора приймається рівним нулю, тому що

.

Визначимо із системи рівнянь (7.4) значення струму індуктивності й напруги на конденсаторі.

. (7.5)

Використовуючи таблицю 7.1 і схеми заміщення, наведені на рис.7.1, складемо операторну схему заміщення електричного кола, наведеного на рис.7.2 з урахуванням виразів (7.5). Схема складається для кола, отриманого після комутації (рис. 7.3).

Рисунок 7.3 В отриманому електричному колі діють три джерела енергії: незалежне джерело енергії, включений на вході кола, величиною U/p, і два джерела, що враховують енергію, запасену в реактивних елементах кола до комутації величиною Li_L(-0) і U_C(-0)/p.

Складання операторних рішень

Розглянемо порядок складання операторних рішень на прикладі електричного кола, наведеного на рис. 7.4.

Рисунок 7.4 Складання операторних рішень містить у собі опис пропонованої схеми відомими методами розрахунку кіл: застосування законів Кірхгофа, метод контурних струмів, метод вузлових потенціалів, метод накладання, метод еквівалентного генератора.

Після вибору раціонального методу розрахунку розраховуються операторні зображення струмів у вітках і напруг на елементах кола.

Складемо рівняння методом контурних струмів для кола, наведеного на рис. 7.4. Виберемо напрямки контурних струмів і напрямки обходу контурів по годинниковій стрілці.

 (7.6)

Знайдемо операторні вирази для контурних струмів. Виразимо з першого рівняння системи (7.6) струм .

. (7.7)

Підставимо вираз (7.7) у друге рівняння системи (7.6) і виразимо струм .

. (7.8)

Після нескладних перетворень одержимо операторне зображення струму :

. (7.9)

Визначимо операторні зображення для струмів віток кола.

, ,

. (7.10)

Розглянемо рівняння (7.8), (7.9) і (7.10). Знаменники цих виразів вийшли однаковими або відрізняються на множник p. При знаходженні операторних зображень струмів у вітках і напруг на елементах кола знаменники повинні бути однаковими або можуть відрізнятися на оператор p.

Визначення оригіналів

Якщо отримане операторне зображення струму й напруги має табличний вигляд, то знаходження оригіналу здійснюється за допомогою таблиці 7.1. Якщо отримана функція не має табличного виду, то перехід до оригіналу здійснюється за допомогою теореми розкладання.

У цьому випадку отриману функцію I(p) або U(p) представляють у вигляді відношення двох багаточленів.

(7.11)

Визначаються корені рівняння M(p) = 0. Залежно від виду коренів знаменника теорема розкладання може мати наступні форми:

1. Якщо корені рівняння M(p) = 0 різні й серед них немає коренів, рівних кореням рівняння N(p) = 0, то оригінал струму i(t), що відповідає зображенню (7.11), може бути знайдений відповідно до теореми розкладання:

, (7.12)

де m - число коренів знаменника M(p) = 0.

2. Якщо в рівнянні M(p) = 0 є n різних коренів p₁, p₂,…, p_n і з них корінь p₁ кратністю m₁, корінь p₂ кратністю m₂, то оригінал струму буде обчислюватися по формулі:

. (7.13)

Тут вираз, що стоїть в знаменнику квадратної дужки, треба спочатку скоротити на (p-p_k)^m_k і лише після цього диференціювати. Другий шлях припускає представлення операторного зображення I(p) або U(p) у вигляді простих дробів. Перехід до оригіналу для суми простих дробів може бути здійснений за допомогою таблиць оригіналів і зображень.

3. Якщо серед n коренів є пара комплексних сполучених коренів , то теорема розкладання може бути представлена в наступному вигляді:

. (7.14)

Знайдемо оригінал струму i(t) по його операторному зображенню (7.10).u

Задамося параметрами кола: R₁ = 10 Ом, L = 0,1 Гн, C = 100 мкФ, напруга джерела U = 100 В. Приймаємо i_L(-0) = 5 А, u_С(-0) =50 В. Підставимо чисельні дані у вираз (7.10) і перетворимо його, визначивши коефіцієнти багаточленів чисельника й знаменника.

. (7.15)

Визначимо корені багаточленів чисельника й знаменника.

 (7.16)

(7.17)

Порівнюючи корені чисельника й знаменника можна зробити висновок, що серед них немає рівних коренів, тому застосовується форма теореми розкладання (7.12):

.

Знайдемо значення багаточлена чисельника шляхом підстановки в N(p) коренів знаменника.

(7.18)

Візьмемо похідну від багаточлена знаменника:

.

Знайдемо значення похідної M'(p) для коренів знаменника.

,

,

.

Визначимо оригінал струму i(t):

Задамося наступними параметрами кола: напруга джерела: Приймаємо:

Знайдемо оригінал струму i₁(t) по його операторному зображенню:

Визначимо корені знаменника:

.

.

У цьому випадку маємо пару комплексних сполучених коренів, тому застосовується форма теореми розкладання (7.14):

.

Знайдемо значення багаточлена чисельника шляхом підстановки в N(p) коренів знаменника:

;

.

Візьмемо похідну від багаточлена знаменника:

.

Знайдемо значення похідної M'(p) для коренів знаменника:

;

.

Визначимо оригінал струму i(t):

8. Методичні вказівки з розрахунку перехідних процесів за допомогою інтеграла Дюамеля

Попов В.П. Основы теории цепей: Учебник для вузов спец. "Радиотехника". - М.: Высшая школа, 1985.-496с.

Основы теории цепей. Учебник для вузов Г.В. Зевеке и др.-5-е изд., перераб. - М.: Энергоатомиздат, 1989.-528с.

Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных эл. цепей: Учеб. пособ. для электротехнич., радиотехнич. спец. вузов. -4 изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1990. - 544с.: ил.

Размещено на Allbest.ru