Теоретическая механика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

1) Система сходящихся сил

2) Теория пар сил

3) Система сил, произвольно расположенных в пр-ве.

4) Векторный способ задания движения точки. Задание движения точки в декартовых координатах

5) Естественные координатные оси. Вектор кривизны

6) Доказать формулу

7) Естественный способ задания движения точки

8) Задание движения точки в полярных координатах

9) Матрица ориентаций. Связь между координатами вектора в различных системах отсчета

10) Поступательное движение твердого тела

11) Вращательное движ. твёрдого тела. Закон движения

12) Вращательное движение твёрдого тела. Скорости и ускорения точек тела

задание точка координата движение тело

1) Система сходящихся сил

Если линии действия сил пересекаются в одной точке, то такая система сил называется сходящейся.

Пусть к твердому телу приложена сх-ся система сил:

().

Необходимо найти равнодействующую этой силы. Используя следствие из аксиомы присоединения и исключения уравновешенной системы сил. Согласно этой аксиоме можно точки приложения сил переместить вдоль линии действия в т. О. При этом полученная система сил, будет эквивалентна нашей. Теперь последовательно используется з-н параллелограмма:

…

Т.о. доказано, что система сх-ся сил имеет равнодействующую, равную геометрической сумме этих сил и приложенную в точке пересечения линий действия этих сил.

Условие равновесия:

Для равновесия твердого тела, к которому приложена сх-ся система сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая данной силе равнялась 0, т.е:

- Уравнение равновесия системы сх-ся сил в векторной форме.

- Уравнение равновесия системы сх-ся сил в пространстве.

Теорема (о 3х силах): Если плоская система 3-х непараллельных сил находиться не в равновесии, данная система сил явл-ся сх-ся.

2) Теория пар сил

1) Парой сил наз-ся система двух равных по модулю параллельных и противоположных по направлению сил.

2)Теорема: Пара сил не имеет равнодействующей.

3)Момент пары - есть свободный вектор, определяемый след образом:

.

Этот вектор + пл-ти действия пары. Направлен в ту сторону, откуда вращение видно совершающимся против часовой стрелки.

4)Т1. Действие пары на абсолютно твердое тело не изменится, если переместить пару в другое положение плоскости ее действия.

Т2. Действие пары на абсолютно твердое тело не изменится, если плоскость ее действия будем переносить параллельно самой же себе.

Т3. Действие пары сил на абсолютно твердое тело не изменится, если изменить величину силы и плечо пары, не изменив при этом их произведение.

Т4. Система пар, действующих на абсолютно твердое тело эквивалентно одной паре, момент которой равен векторной сумме моментов этих пар.

3) Система сил, произвольно расположенных в пр-ве

1)Основная Лемма:

Всякая сила приложенная к абсолютно твёрдому телу в данной т-ке А эквивалентна той же силе приложенной в другой т-ке В и паре моментов которые равны моменту силы приложенной в т-ке А относительно т-ки В.

Док-во: Есть сила F приложенная к т-ке А. Выбераем т-ку В и к ней приложим две силы

 и

и

Получим с-му сил

.

Эту сис-му можно пред-ть как

, => ч.т.д.

2) Приведение системы сил к одной т-ке.

Дано твёрдое тело, к которому приложена произвольная с-ма сил

Выбираем некоторый центр О и перенесём все силы в эту т-ку.

… …

Найдём сумму сил:

.

- главный вектор с-мы сил.

Просуммируем моменты пар сил:

=

- главный момент.

Тело находится в равновесии тогда и только тогда, когда главный вектор и главный момент = 0.

3) Сформулировать условия равновесия произвольной плоской системы сил.

Произвольная плоская с-ма сил находится в равновесии т. и т.т., когда

2) .

4) Сформулировать условия равновесия произвольной пространственной системы сил.

Произвольная простран-ая с-ма сил находится в равновесии т.и т.т., когда главный в-р и главный момент с-мы сил равны 0, т.е.

4) Векторный способ задания движения точки. Задание движения точки в декартовых координатах

1) Векторный с-б: 2) Координатный с-б:

3) -средняя скорость т-ки за промежуток времени .

Скоростью точки в данный м-т времени наз предел средней скорости т-ки, при

Векторный:

(t)=

Координатный:

;

(t)=

4) - среднее ускорение т-ки за промежуток времени .

Ускорением т-ки в данный м-т времени наз предел среднего ускорения при

.

Векторный:

Координатный:

=(t)k

5) Естественные координатные оси. Вектор кривизны

1) Опр. Предельное положение прямой проходящей через точки Р и , когда точка

определяют касательную к кривой в точке Р.(СМ.РИС. В КОНСПЕКТЕ) Единичный вектор касательной будем обозначать .

Опр. Перпендикуляр к касательной в точке Р наз. нормалью к кривой в этой точке. Очевидно, что прямых перпендикулярных к касательным бесконечно много, все они будут лежать в плоскости перпендикулярной к касательной. Эта плоскость наз. нормальной плоскостью.

Опр.Соприкасающаяся плоскость определяется, как предельное положение плоскости проходящей через касательную в точке Р и любую точку

, когда

Опр. Нормаль лежащая в соприкасающейся плоскости наз. главной нормалью. Единичный вектор главной нормаль мы обозначаем .

Опр. Нормаль перпендикулярная соприкосающейся плоскости наз. бинормалью. Единичный вектор бинормали обозначается . Плоскость образующаяся касательной и бинормалью наз. спрямляющей плоскостью. Вектора наз. осями естественного трехгранника, они взаимно перпендикулярны и образуют правую тройку векторов.

2) СМ. РИС. В КОНСПЕКТЕ. На кривой выбираем точки Р и . Пусть - единичный векторо касательной проведенной в точке Р, а - единичный вектор касательной проведенной в точке . Перенесем вектор в т. Р. Вектор - это приращение орта (единичного вектора) . Через обозначим длину дуги Р, вектор наз. вектором средней кривизны. =

Вектор средней кривизны характерезует поворот касательной на участке Р. Этот вектор имеет направление вектора , а следовательно направлени в сторону вогнутости кривой.

-наз. кривизной кривой в точке Р.

, -= (s-)=;

6) Доказать формулу

1) Найдем модуль вектора кривизны. Для этого рассмотрим треугольник образующийся векторами

.

Угол между векторами

наз. углом смежности.

<(

Треугольник РАВ явл. равнобедренным (РА=РВ=1)

(sinx)

.

2) Используя формулу

можно показать, что кривизна окружности радиуса R равна .

СМ. РИС. В КОНСПЕКТЕ. Касательная общая и для кривой и для окружности. Можно построить бесконечно много окружностей, которые проходят через две бесконечно близкие точки кривой. Существует только одна окружность проходящая через 3 бесконечно близкие точки. Кривизна точки Р равна кривизне соприкосающ. окружности. Центр окружности наз. центром кривизны, а радиус окружности- радиусом кривизны. обознач. радиус кривизны греческой буквой .

,

где -радиус кривизны.

3)Плоскость РАВ находится и образованна касательной точкой достаточно близкой к точке Р, поэтому предельное положение этой плоскости- есть соприкасающиеся плоскости. Вектор средней кривизны находится в плоскости АВР, а предельное положение вектора средней кривизны есть вектор кривизны К. Следовательно вектор кривизны лежит в соприкасающейся плоскости.

Рассмотрим

=90=90(при ).

= 90, .

Т.к. и

лежит в соприкас. плосости, то вектор кривизны направлен вдоль главной нормали, а ед. вектор главной нормали обозн.. Т.к. модуль вектора

= , то . Следовательно .

7) Естественный способ задания движения точки

1)Для того чтобы задать движение точки естеств. способом, необходимо: а)задать траекторию ее движения относит. выбранной с-мы координат; б) на траектории следует выбрать начало отсчета и задать направление движения; в)задать закон движения точки вдоль траектории в виде s=s(t), где s-расстояние от точки до начала отсчета на траектории, измеренное вдоль траектории, при этом ф-ция s(t) должна быть однозначной, непрерывной и дифференцируемой.

2)Скоростью точки в данный момент времени наз. предел средней скорости точки при ?t>0, т.е.

Вывод формулы:

 т.к.

1) ^^ >касат., провед. в точке P

2)

|?r|??s

…= =>

3) Отношение ?V/?t наз. средним ускорением точки за промежуток времени ?t. Ускорение точки:

Вывод формулы: мы знаем, что

,

где -

-нормальное ускорение,

-

- касательное ускорение



- полное ускорение

8) Задание движения точки в полярных координатах

1)Зададим систему отсчета и расстояние от начала с-мы до точки

r=r(t), ??=??(t), .

направлен в сторону увеличения угла ??. Выразим вектора и через i и j.

2)Выводим ф-лу для нахож-я скорости в пол-х к-х:

Продифференцируем эти равенства по времени



3)Найдем ускорение:

9) Матрица ориентаций. Связь между координатами вектора в различных системах отсчета

1) Матрицей ориентации наз-ся матрица А сост-ую из элем-ов , где определяеся ф-ой:

2) Расм. вект. Р с началом в точке О, пусть его разложение по ортам не штрихованной системы координат имеет вид:

= (1)

Разл. по штрихованным ортам системы корд им вид:

= (2)

Сравнивая (1) и (2) получаем что:

(3).

Умножив обе части равенства на вектор получим

;

, т.к и

Затем проделам туже операцию для е2 и е3 получим систему

3) Запишем эту систему в матричной форме:

Р=А (4)

Умножив равенство (3) на

Используя (5) тогда (4) привет вид

Р=(А, А,

условие (6) явл. Не обходимым условием того что бы матрицы А могла быть матрицей ориентаций.

4)Матрица ориентаций в случае поворота начинается с



10) Поступательное движение твердого тела

1) Поступательным наз. такое движение тв. тела, при котором любая прямая проведенная в этом теле, движется параллельно своему первоначальному положению.

2,3)

Пусть тв. тело S совершает поступательное движение по отношению к неподвижной с-ме отсчета.Наша задача состоит в том чтобы задать движение тв. тела S. Задать движение тела значит задать положение любой его точки относительно неподвижной с-мы отсчета.

Пусть Р произвольная точка тела S. Ее положение относительно неподв. с-мы отсчета можно задать радиус-вектором

=,

либо абсолютными координатами Р(р1,р2,р3).

По отношению к подвижной с-ме отсчета, можно задать радиус-вектором

,

либо относительными координатами Р(р1ґ,рґ2, рґ3)

Между векторами существует связь:

=

Очевидно, что рад-вектор всегда. Т.о. нам необходимо знать координаты т.А, и тогда

)=), гда А=

Т.о для задания поступательного движения тела достаточно задать закон изменения координат любой из его точки.

4) Будем считать, что нам известны уравнения дв. точки А по отношению к неподвижной с-ме координат.

4) Найдем скорость т.Р:



(7)

Найдем ускорение:

(8)

= (9)

Формулы (7)-(9) выражают св-ва поступательного движения тела

5) 1 св-во: при поступ. дв. скорость и ускорение всех точек тела для каждого момента времени равны между собой.

2 св-во: траектории всех точек тела при наложении совпадают.

11) Вращательное движ. твёрдого тела. Закон движения

1) Если твёрдое тело движется так, что во всё время движения две его точки А и В остаются неподвижными, то такое движение называется вращательным, а АВ - ось вращения.



2) Матрица ориентации при вращательном движении

3) Закон вращательного движения твёрдого тела

Из матрицы ориентации следует что для задания вращат. движения необходимо и достаточно задать закон изменения угла между х и , т.е

4) Траектория точек тела при вращательном движении

Траекториями точки вращающегося тела являются окружности такие что:

- их центр лежит на оси вращения

- радиус равен расстоянию от точки до оси вращения плоской окружности перпендикулярно оси вращения

Векторы угловой скорости и углового ускорения



Вектор

наз. вектором угловой скорости. Он явл-ся свободным вектором.

Вектор

наз вектором углового ускорения

Он параллелен оси вращения и соноправлен с вект угл скорости

12) Вращательное движение твёрдого тела. Скорости и ускорения точек тела

1)Векторы угловой скорости и углового ускорения

Вектор

наз. вектором угловой скорости. Он явл-ся свободным вектором.

Вектор

наз вектором углового ускорения

Он параллелен оси вращения и соноправлен с вект угл скорости

2)Выведем скорость очки Р при вращательном движении:



Получим

3)Выведем ускорение очки Р при вращательном движении:

-касательное ускорение

-нормальное ускорение

4)

Размещено на Allbest.ru

...