Определение напряженно-деформированного состояния трубы нагруженной внутренним и внешним давлением

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова» Филиал ФГБОУ ВПО «МГТУ» в г. Белорецке

Кафедра МТ и МО

КУРСОВАЯ РАБОТА

Тема: «Определение напряженно-деформированного состояния трубы нагруженной внутренним и внешним давлением»

Исходные данные

мм - внутренний радиус

мм - наружный радиус

- внутреннее давление

Пуассона

МПа -предел текучести

G=76000 МПа -модуль сдвига

С=300мм - граница упругой области

Содержание

• Введение
• 1. Постановка задачи
• 2. Определение напряженно-деформированного состояния при упругой деформации
• 3. Определение условия перехода из упругого состояния в пластическое
• 4. Определение напряженно-деформированного состояния при упругопластической деформации
• Заключение
• Список литература
• Введение
• Основной задачей механики сплошных сред применительно к обработке металлов давлением является разработка методов определения напряженно-деформированного состояния металла.
• В общем случае, напряженно-деформированное состояние характеризуют 29 величин, 22 из которых описывают деформированное состояние, 6 - напряженное, неизвестным также является поле температур. Для нахождения этих величин имеется 29 уравнений, которые являются замкнутой системой уравнений механики сплошных сред. Замкнутая система уравнений вместе с краевыми условиями образуют краевую задачу. Ее решение представляет собой математическую модель рассматриваемого процесса.
• В курсовой работе необходимо определить напряженно-деформированное состояние толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего и внешнего давлений при упругой, пластической и упруго-пластической деформациях.
• 1. Постановка задачи
• Постановка краевой задачи заключается в выборе замкнутой системы уравнений (включая систему координат) и формулировке начальных и граничных условий.
• Исходя из формы трубы, при решении данной задачи целесообразно использовать цилиндрическую систему координат. Направим координатные линии соответственно по радиусу трубы, в окружном направлении и вдоль оси трубы.
• В замкнутую систему уравнений входят:
• - уравнения связи между деформациями и перемещениями
• (1.1)
• - уравнения равновесия:
• (1.2)
• - уравнения состояния при упругой деформации:
• (1.3)
• где л=(2µG)/(1-2µ)
• - уравнения состояния при пластической деформации Генки.
• Зададим следующие начальные и граничные условия:
• - в начальный момент времени напряжения во всех точках трубы равны нулю, а температура одинакова и постоянна, скорость перемещения частиц равна нулю;
• - напряжения на внутренней поверхности трубы , на наружной поверхности .
• При решении задачи примем допущения:
• - удлинение трубы (деформация в направлении оси z) отсутствует, то есть деформированное состояние плоское. При плоско-деформированном состоянии . Так как давления на наружной и внешних поверхностях трубы распределены равномерно, то напряженно-деформированное состояние будет осесимметричным (у_rб= у_бr = 0).
• - материал трубы в пластической области несжимается (µ = µ' = 0.5) и не упрочняется (тогда по энергетической теории пластичности ).
• 2. Определение напряженно-деформированного состояния при упругой деформации
• Так как состояние трубы осесимметричное и плоско-деформированное, то из трех компонент вектора перемещений две ( и ) равны нулю, а зависит только от координаты , т.е. точки трубы перемещаются в радиальных направлениях.
• Исходя из принятых допущений, уравнения замкнутой системы (1.1; 2.1; и 3.1)будут иметь вид:
• ; (2.1)
• (2.2)
• (2.3)
• где - относительное изменение объема.
• Решим задачу в перемещениях. Подставим в (2.3) выражения деформаций по формулам (2.2). Получим
• (2.4)
• Полученные выражения напряжений подставим в уравнение равновесия (2.1). Получим уравнение в перемещениях
• ; (2.5)
• решение, которого имеет вид
• (2.6)
• (2.7)
• (2.8)
• Постоянные , найдем из граничных условий; на внутренней поверхности трубы , на наружной поверхности . Подставив эти значения и в первую формулу (11), получим
• (2.9)
• Решая эту систему уравнений относительно , , найдем
•  (2.10)
• .
• Тогда получим, что
• л= (20,2576000)/(1-20,25)=38000/0,5=76000
• 0,000003294079
• 6,9101293402776
• Подставим эти выражения в (2.8). Получим окончательно
• ; (2.11)
• Тогда получим, что
• = 56,25-1028500/ Мпа (2.12)
• 56,25+1028500/ МПа
• Подставим найденные значения (2.6), (2.7), (2.8) найдем, что
• 0, 00000329r+6, 910129340r МПа (2.13)
• =0,00000329-6,91012934/=-6,90129011/ МПа (2.14)
• 0,00000329+6,91012934/ 6.91013263/ МПа (2.15)
• 3. Определение условия перехода из упругого состояния в пластическое
• Так как напряженно-деформированное состояние осесимметричное, то отличны от нуля только нормальные напряжения . Согласно энергетическому условию пластичности для плоско-деформированного состояния переход из упругой области в пластическую начнется тогда, когда разность главных напряжений достигнет величины, равной .
• Наибольшую величину разность
• ; (3.1)
• достигает при r=a. Тогда разность давлений, при которой начнется пластическая деформация, равна
• ; (3.2)
• =1000,8064=80,64 МПа
• 1/
• 1/200=117,6 МПа
• Найдем , при котором начинается пластическая деформация
• =443,94 Мпа
• 4. Определение напряженно-деформированного состояния при упругопластической деформации
• Пластические деформации вначале возникают вблизи внутренней поверхности трубы, когда разность внутреннего и наружного давлений достигает величины (формула 16). При дальнейшем увеличении разности давлений пластическая деформация распространяется от внутренней поверхности трубы к наружной и при некоторой разности давлений достигает её наружной поверхности, так что вся труба оказывается охваченной пластической деформацией. В пластической области остаются справедливыми дифференциальные уравнения равновесия (4) и соотношения между деформациями и перемещениями (2.2). Поскольку , , , энергетическое условие пластичности принимает вид:
• ; (4.1)
• Так как , то , а в условиях несжимаемости . Тогда условие пластичности (4.1) примет вид:
• ; (4.2)
• Подставим разность в дифференциальное уравнение равновесия (2.1), получим уравнение:
• ; (4.3)
• решение которого имеет вид:
•  ; (4.4)
• Постоянную интегрирования найдем из граничного условия: при . Тогда , откуда =. Окончательно, учитывая условие пластичности, напряжения при пластической деформации трубы равны:
• (4.5)
• r=110; 140; 170; 250
• 350+2100=-350 МПа
• 350+2100 =-302,1 МПа
• 350+2100= -262,94 МПа
• 350+2100= 104,5 МПа
• 2100-350= -150 МПа
• 2100-302,1= -102,1 МПа
• 200-262,94= -62,94 МПа
• Определим разность давлений, при которой пластическая деформация охватывает всю трубу. На наружной поверхности трубы и первая формула (4.5) принимает вид:
• ; (4.6)
• -=-350+2=-350+138,6294361=-211,3705639
• откуда разность давлений, при которой вся труба оказывается охваченной пластической деформацией, равна:
• ;
• =163,94 МПа (4.7)
• =280,33 МПа
• Если , может начаться разрушение трубы под действием растягивающих напряжений , которые достигают максимальной величины на наружной поверхности трубы. Поэтому разрушение трубы начинается с её наружной поверхности, на которой появляются трещины, направленные по образующим.
• В условиях несжимаемости, когда коэффициент Надаи-Лоде для напряжений равен . Поскольку постоянная величина, нагружение трубы является простым, то в условиях несжимаемости уравнения связи между напряжениями и деформациями примут вид:
• (4.8)
• где
• Подставляя выражение для среднего напряжения и учитывая условие пластичности, получим
• (4.9)
• Продифференцируем второе уравнение (2.2) по , получим
• ; (4.10)
• Заменяя в равенстве (4.10) и , найдем уравнение совместности деформаций:
• ; (4.11)
• Заменяя деформации выражениями (25), получим дифференциальное уравнение для нахождения :
• ; (4.12)
• откуда .
• Если пластическая деформация охватывает всю трубу, то можно принять, что на внешней поверхности, в момент начала пластической деформации, откуда . Тогда , а деформации равны:
• ; (4.13)
• =100/276000()=41,25/ МПа
• Радиальные перемещения точек трубы равны:
• ; (4.14)
• 41,25/ МПа
• При упруго-пластическом состоянии трубы пластическая деформация распространяется до цилиндрической поверхности . При этом пластическая область примыкает к внутренней поверхности трубы , а упругая область примыкает к наружной поверхности трубы . Цилиндрическая поверхность является границей пластической и упругой областей. Поэтому на не , откуда . Тогда , а деформации равны:
• ; (4.15)
• =59,4/ МПа
• С=300 мм
• Радиальные перемещения точек трубы равны:
• ; (4.16)
• 0,00066 (90000/) МПа
• Радиальное давление на границе упругой и пластической областей найдем по формуле (21) при
• ; (4.17)
• 350-2100/110=150=1501,004=150,6 МПа
• Часть трубы, находящуюся в упругом состоянии , можно рассматривать, как трубу с внутренним радиусом и наружным радиусом , на которую действуют внутреннее и наружное давления. Тогда напряжения в упругой области найдем по формулам (14), заменив в них на , а на
• ; (4.18)
• =80715937500/ МПа
• =807104812500/ МПа
• Для этой же части трубы формула (3.2) принимает вид:
• ; (4.19)
• =100(62500-90000)/90000=-30,55556 МПа
• Вычтем из этого уравнения соотношение (33), получим:
• ; (4.20)
• 22,007-1,44=-0,3
• 2,574=-0,3
• В условиях несдвижаемости постоянная Ламе , поэтому первое слагаемое в правой части равенства (9) обращается в нуль. Во втором слагаемом необходимо заменить на , а на . Тогда в упругой области, учитывая равенство (35), получим:
•  ; (4.21)
• =23,4861/r МПа
• r;
• =23,4861 МПа
• 23,4861/110=0,21351 МПа
• =23,4861/140=0,16776 МПа
• 23,4861/170=0,1382 МПа
• 23,4861/250=0,9394 МПа
• Заключение
• напряжение деформация упругий пластический

В данной курсовой работе на тему: «Определение напряженно-деформированного состояния трубы нагруженной внутренним и внешним давлением», рассмотрено напряженно-деформированное состояние при упруго-пластической деформации и напряженно - деформированного состояния при упругой деформации.

Выполнены расчеты для нахождения наружного давление р_b, внутреннее давление , деформации и напряжения в упругой области.

Список литературы

1. Аркулис Г.Э., Дорогобид И.Г. Теория пластичности. Учебное пособие для вузов. М.: Металлургия, 1987. 352 с.

2. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1970. Т.1. 492 с.

3. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. 2-е изд., исправл. И доп. М.: Высшая школа, 1966. 512с.

4. Гунн Г.Я. Теоретические основы обработки металлов давлением: Теория пластичности. М.:

Размещено на Allbest.ru