Упругие волны

Размещено на http://www.allbest.ru/

УПРУГИЕ ВОЛНЫ

Распространение волн в упругой среде. Уравнение плоской волны. Стоячие волны. Эффект Доплера в акустике

Если в упругую среду поместить колеблющееся тело (источник колебаний), то соседние с ним частицы среды тоже придут в колебательное движение. Колебание этих частиц передается (силами упругости) соседним частицам среды и т.д. Через некоторое время колебание охватит всю среду. Однако, оно будет совершаться с различными фазами: чем дальше расположена частица от источника колебаний, тем позднее она начнет колебаться и тем больше будет запаздывать по фазе ее колебание. Распространение колебаний в среде называется волновым процессом или волной. Пример: сейсмические волны, волны на воде. Направление распространения волны (колебания) называется лучом.

Волна называется поперечной, если частицы среды колеблются перпендикулярно лучу, т.е. она является упругой волной сдвига. Если же частицы среды колеблются вдоль луча, то упругая волна сжатия называется продольной.

Рис.1. Поперечная волна

Продольные волны могут возникнуть в среде обладающей упругостью объема, т.е. в твердых телах, жидкостях и газообразных телах. Поперечные волны возникают только в среде, обладающей упругостью формы (деформацией сдвига), т.е. только в твердых телах. Исключение составляют волны на поверхности воды.

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими.

Основные закономерности волнового процесса справедливы не только для механических волн упругой среды, но и для волн любой природы, в частности для волн электромагнитного поля. Волны подчиняются законам геометрической оптики, отражаясь и преломляясь у поверхностей раздела сред, где скорость их распространения изменяется.

Уравнение плоской волны

Пусть колебания источника О гармонические, т.е. описываются уравнением Х = Аsin t. С течением времени все частицы среды тоже придут в гармоническое колебание с той же частотой и амплитудой, но с различными фазами. В среде возникнет синусоидальная волна.

Рис.2.

График волны внешне похож на график гармонического колебания, но по существу они различны. График колебания - зависимость смещения данной частицы от времени, график волны - смещение всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени. Он является как бы моментальной фотографией волны.

Получим уравнение волны. Рассмотрим некоторую частицу С. Очевидно, что если частица О колеблется уже в течение времени t, то частица С колеблется еще только в течение времени (t - ), где - время распространения колебаний от О до С. Тогда уравнение колебания для частицы С будет

Х = Аsin(t - ) ,

но =y/V, где V - cкорость распространения волны.

Тогда Х = Аsin(t - y/V) - уравнение волны (1)

Учитывая, что длина волны VT = V/, откуда V = /T, = 2/T =2 получим

Х = Аsin2(t/T - y/) = Asin2(t -y/) = Asin(t -2y/)= Asin(t - кy),

где к = 2/ -волновое число. Если поменять оси координат, то

y(x,t) = Asin(t kx).

Знак (+) указывает противоположное направление распространения.

Расстояние, на которое распространяется колебание за один период, называется длиной волны.

Скорость распространения волнового движения является скоростью распространения фазы (фазовая скорость). В однородной среде скорость постоянна. При переходе из одной среды в другую меняется скорость распространения волн, ибо меняются упругие свойства среды, однако частота колебаний, как показывает опыт, остается неизменной. Это значит, что при переходе из одной среды в другую будет меняться .

Если мы возбудили колебания в какой-либо точке среды, то колебания передадутся всем окружающим ее точкам, т.е. колебаться будет совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Распространяясь от источника колебаний волновой процесс охватывает все новые и новые части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к некоторому моменту времени t, называется фронтом волны.

Т.о., фронт волны является той поверхностью, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновые поверхности могут быть различной формы. Простейшие из них имеют форму сферы или плоскости. Волны, имеющие такие поверхности, называются соответственно сферическими или плоскими.

Часто при решении задач о распространении волн надо строить волновой фронт для некоторого момента времени по волновому фронту, заданному для начального момента времени. Это можно сделать, используя принцип Гюйгенса, сущность которого в следующем.

Рис.3

Пусть волновой фронт, перемещающийся в однородной среде, занимает в данный момент времени положение 1, рис. 3. Требуется найти его положение через промежуток времени t. Согласно Гюйгенсу, 1)каждая точка среды, до которой дошла волна, сама становится источником вторичных волн (первое положение).

Это значит, что от нее, как из центра, начинает распространяться сферическая волна. Чтобы построить вторичные волны, вокруг каждой точки исходного фронта опишем сферы радиусом

y = Vt,

где V -скорость волны.

2) Вторичные волны взаимно гасятся во всех направлениях, кроме направлений исходного фронта (второе положение принципа Гюйгенса).

Иными словами, колебания сохраняются только на внешней огибающей вторичных волн. Построив эту огибающую, получим исходное положение 2 волнового фронта.

Принцип Гюйгенса применим и к неоднородной среде. В этом случае значения V, а, следовательно, и y неодинаковы в различных направлениях.

Т.к. прохождение волны сопровождается колебанием частиц среды, то вместе с волной перемещается в пространстве и энергия колебаний.

Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии волнами количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Направление этого вектора совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль называется

интенсивностью волны (или плотностью потока энергии) и представляет собой отношение энергии E, переносимой волною сквозь площадь S₊., перпендикулярную лучу, к продолжительности времени переноса ?t и размеру площади.

I = E/?t•S₊,

откуда I=E, если ?t=1 и S₊=1. Единица интенсивности: ватт на метр в квадрате (Вт/м²).

Пусть в 1 см³ среды содержится n₀ частиц массой m. Тогда энергия колебания среды в единице объема равна

Е = n₀m²A²/2 = ²A²/2,

где =n₀m.

Очевидно, за 1с сквозь площадку в 1 см² переносится энергия, содержащаяся в объеме прямоугольного параллелепипеда с основанием 1 см² и высотой, равной V, следовательно интенсивность

Рис.4

Т.о., интенсивность волны пропорциональна плотности среды и скорости, квадрату круговой частоты и квадрату амплитуды волны.

Стоячие волны

упругий волна доплер акустика

Часто приходится наблюдать взаимное наложение волн, при этом частицы среды участвуют сразу в нескольких волновых движениях. Опыт показывает, что в этом случае смещение каждой частицы среды является суммой ее смещений, соответствующим всем налагающимся волнам. Явление наложения называется сложением волн. Одним из важнейших примеров такого сложения служит наложение двух плоских волн, бегущих вдоль оси ОХ в среде без затухания в противоположных направлениях с одинаковыми амплитудой и частотой. Кроме того, начало координат выберем в точке, в которой обе волны имеют одинаковую начальную фазу, а отсчет времени начнем с момента, когда начальные фазы обеих волн равны нулю. В этом случае результирующее смещение определяется формулой

Y(x,t)=Asin(t - kx)+Asin(t +kx)=2Asin t coskx=B(x) sint - уравнение стоячей волны.

Такое сложение мы можем наблюдать при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная, накладываясь друг на друга, дают результирующее колебание, называемое стоячей волной. Колебания струны.

Из уравнения стоячей волны видно, что в каждой точке этой волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, причем амплитуда В зависит от координаты х:

В(х) = 2А cos kx = 2Acos2x/.

В тех точках, где 2x/ = n (n = 0,1,2,...), амплитуда В достигает максимума, равного 2А. Эти точки наз. пучностями стоячей волны.

Координата пучности равна х_n = n/2. В точках, где 2х/ = (n+1/2), амплитуда В обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов равны

X_y = (n Ѕ)/2.

Из формул для координат узлов и пучностей следует, что расстояние между соседними узлами (так же как и соседними пучностями) равно /2.

На границе, где происходит отражение волны, может возникнуть узел или пучность, это зависит от соотношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то в месте отражения возникнет пучность, если более плотная - узел. Образование узла связано с тем, что волна, отражаясь от более плотной среды, меняет фазу на противоположную и у границы происходит сложение колебаний с противоположными фазами, в результате чего получается узел. Если же волна отражается от менее плотной среды, то изменения фазы не происходит и у границы колебания складываются с одинаковыми фазами - образуется пучность.

В случае стоячей волны переноса энергии колебаний нет, так как падающая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. Поэтому полная энергия результирующей стоячей волны, заключенной между узловыми точками, остается постоянной.

Эффект Доплера в акустике

Звуковые волны - механические колебания в определенном интервале частот, распространяющиеся в упругой среде (н = 16 - 20000 Гц).

Если источник, излучающий звуковые волны с частотой н₀ = 1/Т₀, и приемник звука (наблюдатель-слушатель) неподвижны относительно среды, в которой распространяются волны, то частота колебаний н, воспринимаемых приемником, будет равна частоте н₀ колебаний источника (н₀ = н).

Если источник или приемник звука перемещаются относительно среды, то частота н₀ ? н. Это явление называется эффектом Доплера.

Эффектом Доплера называется изменение частоты колебаний, воспринимаемых приемником, при движении источника этих колебаний и приемника друг относительно друга. Пример: лабораторная работа в БГУ.

Предположим, что источник и приемник звука движутся вдоль соединяющей их прямой, причем скорости V_ист и V_пр положительны при сближении приемника и источника, и отрицательны при их взаимном удалении.

1)Сначала рассмотрим случай, когда приемник приближается к источнику звука, а источник покоится, т.е. V_пр>0, V_ист =0. Тогда скорость распространения волны относительно приемника станет равной V + V_пр. Так как длина волны л при этом не меняется, то

н = (V + V_пр)/л = (V + V_пр)/VT = (V + V_пр) н₀/V, (*)

т.е. частота колебаний, воспринимаемых приемником, в (V + V_пр)/V раз больше частоты колебаний источника.

2) Источник приближается к приемнику, а приемник покоится, т.е. V_ист >0, V_пр = 0. Поскольку скорость распространения колебаний зависит лишь от упругих свойств среды, поэтому за время, равное периоду колебаний источника, излученная им волна пройдет в направлении к приемнику расстояние VT (равное длине волны л = VT) независимо от того, движется ли источник или покоится. За это же время источник пройдет в направлении распространения волны расстояние V_истТ , т.е. длина волны в направлении движения сократится и станет равной

л^' = л - V_истТ = (V - V_ист)Т,

н = V/ л^' = V/(V - V_ист)Т = V н₀/(V - V_ист), (*)

т.е. частота н колебаний, воспринимаемых приемником, увеличится в V/(V - V_ист) раз. В первом и втором случаях, если V_ист< 0 и V_пр< 0, знак в формулах (*) будет противоположным.

3) Источник и приемник движутся относительно друг друга. Объединив оба уравнения (*), получим общее выражение для частоты н, воспринимаемой приемником звука:

н = (V ± V_пр) н₀/(V -+ V_ист),(**)

причем, в формуле верхние знаки перед скоростями берутся в том случае, когда векторы скорости приемника и источника направлены в сторону сближения, нижние знаки - в случае взаимного удаления источника и приемника.

Если направления скоростей V_ист и V_пр не совпадают с проходящей через источник и приемник прямой, то вместо этих скоростей в формуле (**) надо брать их проекции на направление этой прямой.

Разновидностью эффекта Доплера является так наз. двойной эф. Доплера - смещение частоты волн при отражении их от движущихся тел, поскольку отражающий объект можно рассматривать сначала как приемник, а затем как переизлучатель волн.

Доплеровский эффект позволяет измерять скорость движения источников излучения или рассеивающих волны объектов (используется в радио- и гидролокации для измерения скорости движущихся целей). В астрофизике эффект Д. используется для определения скорости движения звезд и скорости вращения небесных тел. В спектроскопии доплеровское уширение линий излучения атомов и ионов дает способ неконтактного измерения их температуры.

Размещено на Allbest.ru