Электромагнитные колебания

Размещено на http://www.allbest.ru/

Электромагнитные колебания

электромагнитный колебание цепь



1. Свободные колебания в LC-контуре. Дифференциальное уравнение свободных колебаний и его решение

Электромагнитными колебаниями называются периодические изменения во времени значений силы тока и напряжения в электрической цепи, а также обусловленные этим взаимосвязанные колебания электрического и магнитного полей, которые описывают соответственно векторы напряженности электрическогоЕи магнитного Н полей. Примером электрической цепи, в которой возникают такие колебания, является электрический колебательный контур, содержащий последовательно соединенные конденсатор емкостью С, катушку индуктивностью L и резистор сопротивлением R, рис.1.

Если сопротивление R мало (R>0) электрический контур является идеальным (LC - контур). При R?0 часть электрической энергии будет расходоваться на нагревание проводников и будет наблюдаться затухание колебательных процессов.

Свободные колебания в LC-контуре. Колебания электрического тока в контуре можно вызвать, либо сообщив обкладкам конденсатора некоторый начальный заряд q, либо возбудив в индуктивности ток. Воспользуемся первым способом. При разомкнутом ключе К зарядим конденсатор С. Между обкладками конденсатора возникнет электрическое поле, энергия которого W_C = q²/2C. После замыкания ключа К емкость начнет разряжаться и в контуре потечет электрический ток I. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, но возникнет и начнет увеличиваться энергия магнитного поля, обусловленного током, текущим через индуктивность L. Энергия магнитного поля W_L=LI²/2. Если R = 0, то в момент когда напряжение на конденсаторе, заряд, а следовательно и энергия W_C обращаются в нуль, энергия магнитного поля W_L и ток достигают наибольшего значения (начиная с этого момента ток течет за счет э.д.с. самоиндукции Е_с). В дальнейшем ток уменьшается и, когда заряды на обкладках конденсатора С достигнут первоначального значения q (но противоположных знаков), сила тока в цепи станет равной нулю. После этого рассмотренные процессы начнут протекать в обратном направлении, контур вернется в исходное состояние и весь цикл повторится снова. Колебания электрического тока (заряда, напряжения) сопровождаются взаимными превращениями энергий электрического и магнитного полей.

При возрастании электрического заряда на положительно заряженной обкладке конденсатора сила тока в цепи равна

I = dq/dt.(1)

Для расчета электрической цепи запишем закон Ома, условившись, что обход контура будем совершать против часовой стрелки:

IR = ц₁ - ц₂ + E_C. (2)

Подставив разность потенциалов между обкладками ц₂ - ц₁ =q/C и э.д.с. самоиндукции E_c =-LdI/dt, равенство (2) можно переписать в виде дифференциального уравнения второго порядка по отношению к заряду q=q(t) на обкладках конденсатора, и таким образом получим дифференциальное уравнение второго порядка колебаний заряда в контуре:

Ld²q/dt² +Rdq/dt + q/C = 0. (3)



Поскольку внешние э.д.с. в контуре отсутствуют, то рассматриваемые колебания представляют собой свободные колебания.

Если учесть, что R = 0, то процесс периодического превращения электрическойэнергии в магнитную и обратно будет продолжаться неограниченно долго, и мы получим незатухающие электрические колебания. Напряжение на обкладках конденсатора меняется во времени по закону U = U₀cosщ₀t, а ток в катушке индуктивности - I = I₀cosщ₀t, т. е свободныеколебания в контуре являются гармоническими с частотой щ₀ = 2р/Т₀. Используя стандартные обозначения для собственной циклической частоты щ₀ гармонических колебаний:

щ₀ = 1/vLC, (4)

уравнение (3) перепишем так

d²q/dt² + щ₀²q = 0 (3а)

- дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний электрического заряда в контуре. Решением уравнения (3а) является функция

q = q_mcos(щ₀t + б). (5)

Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой щ₀ = 1/vLC, которая называется собственной циклическойчастотой контура, она соответствует собственной частоте гармонического осциллятора. Из (4) получаем выражение для периода колебаний (формула Томсона):

T₀ = 2рv(LC). (6)



Используя известную формулу q = UC и (5), запишем выражение для напряжения на конденсаторе:

U_с = (1/C)q_mcos(щ₀t + б) = U_mcos(щ₀t + б). (7)

Продифференцировав функцию (5) по времени, получим выражение для силы тока в контуре:

I = - щ₀q_m sin(щ₀t + б) = I_m cos(щ₀t + б + р/2). (8)

Из (8) видно, что сила тока в катушке индуктивности L опережает по фазе напряжение на конденсаторе Cна р/2. Сопоставление формул (5), (7) и (8) показывает, что в момент, когда ток достигает наибольшего значения, заряд и напряжение обращаются в нуль, и наоборот, как мы уже это установили ранее, основываясь на энергетических соображениях. Амплитудные значения тока и напряжения:

U_m=q_m/C, I_m = щ₀q_m, U_m = I_mv(L/C).

2. Свободные затухающие колебания. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний и его решение

Свободные затухающие колебания. Поскольку всякий реальный контур обладает активным сопротивлением R?0, это приводит к затуханию колебаний. Введем обозначение в=R/2L, где в - коэффициент затухания, тогда уравнение (3) можно переписать следующим образом

d²q/dt² + 2вdq/dt + щ₀²q = 0. (9)

(9) - дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний.

При условии, что в<щ₀ решение уравнения (9) для заряда q имеет вид затухающих колебаний:

q = q_m e^-вtcos(щt + б), (10)

где щ = v( щ₀² - в²) - частота затухающих свободных колебаний, очевидно, что щ<щ₀. Таким образом, потери энергии приводят к изменению не только амплитуды колебаний, но и их частоты.

После подстановки в последнее выражение значений для щ₀ и в, получим

щ = v(1/LC - R²/4L²). (11)

При R = 0 выражение (11) переходит в (4).

Колебания заряда на обкладках конденсатора происходят с периодом

Т = 2р/щ и убывающей амплитудой q_m (t) = q_mexp(-Rt/2L), рис.2.

Характерное время затухания электрических колебаний в контуре определяется временем релаксации

ф = 1/в = 2L/R,

т.е. индуктивность Lявляется мерой инертности для электрических колебаний заряда, а значит, и силы тока в контуре.

Напряжение на конденсаторе пропорционально заряду q, поэтому оно изменяется синхронно с зарядом q, а сила тока в контуре

I = dq/dt = q_me^-вt [-вcos(щt + б) - щsin(щt + б)].

Это выражение можно преобразовать к виду

I = I_me^-вtcos(щt + б +Д).(12)

Из (12) видно, что сила тока в контуре затухает со временем, а колебания тока происходят с некоторым опережением по фазе (Д) относительно колебания заряда (напряжения) на конденсаторе.

Затухание колебаний принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания

л = lna(t)/a(t+T) = вT, (13)

где a(t) - амплитуда соответствующей величины (q, U или I). Вспомним, что л = 1/N_e, где N_e- число колебаний, совершаемых за время, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Подставив в (13) значение для в=R/2Lи Т=2р/щ, получим

л = (R/2L)(2р/щ) = рR/Lщ, (14)

т.е. логарифмический декремент затухания определяется параметрами контура L, C и R и является характеристикой контура. Если затухание невелико (в<<щ₀), то в (14) можно считать щ ? щ₀ =1/vLC. Тогда

л ? (рR/L)·v(LC) = рR·v(C/L).



Величину v(C/L), которая имеет размерность электрического сопротивления, называют волновым сопротивлением. Качество колебательного контура часто характеризуют его добротностью Q, которая определяется как величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания

Q = р/л = рN_e. (15)

Видно, что добротность контура тем больше, чем большее число колебаний он успевает совершить, прежде чем амплитуда колебаний уменьшиться в е раз. В случае слабого затухания

Q = (1/R)·v(L/C). (16)

При увеличении сопротивления контура R затухание колебаний увеличивается, коэффициент затухания растет и при в² ? щ₀²вместо колебаний в контуре происходит апериодический разряд конденсатора. Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим. Значение критического сопротивления R_k определяется условием

R_k²/4L² = 1/LC,(17)

Откуда R_k = 2v(L/C). (18)

Таким образом, условие возможности колебаний в контуре:

R< 2v(L/C = R_k. (19)



3. Вынужденные электрические колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение

Для получения незатухающих колебаний нужно непрерывно пополнять энергию контура от внешнего источника,чтобы компенсировать потери наджоулево тепло, оказывая внешнее периодически изменяющееся воздействие, например, включив последовательно с элементами контура переменную э.д.с. (Е = Е₀cosщt)или, разорвав контур, подавать на образовавшиеся контакты переменное напряжение (U = U_mcosщt).

Колебания, возникающие в CLR-цепочке при наличии переменной э.д.с., называются вынужденными.

Эту э.д.с. нужно прибавить кэ.д.с. самоиндукции, в результате уравнение (3) из предыдущей темы примет вид

Ld²q/dt² +Rdq/dt + q/C = Е₀cosщt (1)

- дифференциальное уравнение вынужденных гармонических колебаний.

Вынужденные колебания электрического заряда в цепи контура определяются частным решением этого неоднородного уравнения. Это частное решение имеет вид

q = q_mcos(щt - ш), (2)

Установившиеся вынужденные колебания описываются функцией (2), где ш - сдвиг фаз между внешней э.д.с. и напряжением (зарядом) на конденсаторе, а

tgш = R/(1/щC -щL).



Продифференцировав выражение (2) по переменной t, получим выражение для силы тока в контуре при установившихся колебаниях

I = - щq_m sin(щt - ш) = I_m cos(щt - ш + р/2),

где амплитуда силы тока в контуре

I_m = E₀/vR²+ (щL - 1/щC)²,

R_L = щL - реактивное индуктивное сопротивление,

R_C = 1/щC - реактивное емкостное сопротивление,

Х = щL - 1/щC - реактивное сопротивление,

Z = vR²+ (щL - 1/щC)² - полное (эффективное) сопротивление электрической цепи (колебательного контура). Амплитуда вынужденных колебаний зависит не только от амплитуды внешней э.д.с., но и от ее частоты щ. Выражение для силы тока можно записать также в виде

I = I_m cos(щt - ц), (3)

где ц = ш - р/2 -сдвиг по фазе между током в контуре и приложенной э.д.с., а

tgц = tg(ш - р/2) = - 1/tgш = (щL -1/щC)/R. (4)

Разделив выражение (2) на емкость, получим напряжение на конденсаторе

U_C = (q_m/C)cos(щt - ш) = U_Cmcos(щt - ц -р/2), (5)

Где U_Cm = q_m/C = U_m/щCv R²+ (щL - 1/щC)² = I_m/щC. (6)



Умножив производную функции (3) на индуктивность L, получим напряжение на индуктивности

U_L = L(dI/dt) = - щLI_msin(щt - ц) = U_Lmcos(щt - ц + р/2), (7)

где U_Lm = щLI_m.

Сравнивая (3), (5) и (7) видим, что напряжение на емкости отстает по фазе от силы тока на р/2, а напряжение на индуктивности опережает ток на р/2. Напряжение на активном сопротивлении изменяется в фазе стоком. Эти же результаты можно получить с помощью векторной диаграммы, как для переменных токов. Установившиеся вынужденные электромагнитные колебания можно рассматривать как протекание в цепи, содержащей L, C и R, переменного электрического тока.

4. Резонанс напряжений и резонанс токов

Подключим к CLR-контуру переменное синусоидальное напряжение U = U_mcosщt. В цепи переменного тока, с последовательно включенными L, C и R, полное сопротивление контура имеет минимальное значение Z_min = R, если щL = 1/щC. В этом случае падения напряжения на индуктивности и конденсаторе равны, а их фазы противоположны, т.е. (U_L)_рез опережает (U_С)_резпо фазе на р, так что (U_С)_рез + (U_С)_рез= 0. Ток в цепи принимает максимальные значения (возможные при данном U_m), определяемые минимальным сопротивлением, что свидетельствует о наличии резонансной частоты щ_рез для тока, значение которой определяется из условия

щL = 1/щC, откуда щ_рез = 1/vLC = щ₀, (8)

т.е. резонансная частота для силы тока равна циклической частоте собственных колебаний в контуре. Напряжение U_R на активном сопротивлении R в этом случае равно внешнему напряжению, приложенному к цепи (U_R =U). При этом сила тока и внешнее напряжение совпадают по фазе.

Явление резкого возрастания амплитуды силы тока в контуре с последовательно включенными L, C, R иЕ при щ_рез = 1/vLC = щ₀ называется резонансом напряжений (последовательным резонансом).

Кривая зависимости амплитуды силы тока в контуре от частоты внешнего напряжения называется резонансной характеристикой контура, рис.2. Частота щ_рез не зависит от активного сопротивления контура R.Дщ = щ₂ - щ₁ - полуширина резонансной кривой. Частоты щ₁ и щ₂ соответствуют амплитуде силы тока в контуре, которая в v2 раз меньше максимально возможной амплитуды тока.

Поскольку в случае резонанса напряжений (U_L)_рез = (U_С)_рез, то подставив сюда значения резонансной частоты (8) и амплитуды напряжений на катушке индуктивности и конденсаторе (6), (7), получим

(U_L)_рез = (U_С)_рез = I_m vL/C = (U_m/R)vL/C = QU_m, (9)

где Q - добротность контура. Добротность контура определяет остроту резонансных кривых. Так как Q обычных колебательных контуров больше единицы, то (U_L)_рез = (U_С)_рез>Е, т.е. добротность показывает, во сколько раз напряжение на конденсаторе (катушке) больше напряжения (э.д.с.), приложенного к цепи. Поэтому явление резонанса напряжений используется в технике для усиления колебания напряжения какой-либо определенной частоты, выделения из многих сигналов одного колебания определенной н.

Можно показать, что относительная полуширина резонансной кривой связана с добротностью контура следующим соотношением

Дщ/щ_рез=RvC/L=1/Q.(10)

При резонансной частоте сдвиг фаз ц между током и напряжением обращается в нуль (ц=0), т.е. изменения тока и напряжения происходят синфазно колебаниям внешней э.д.с.:

Е = E₀cosщ_резt, I_рез = (E₀/R)cosщ_резt, I₀^max = E₀/R.

Резонанс токов. Рассмотрим цепь переменного электрического тока, содержащую параллельно включенные L и С, рис.3. Пусть активное сопротивление R = 0.

Если U =U_mcosщt, то в ветви 1С2 течет ток

I₁ = I_m1cos(щt-ц₁).(11)



Начальная фаза ц₁ определяется условием tg ц₁ =-?, т.е. ц₁ = (2n+3/2)р, n=1, 2, 3, ... , а амплитуда тока (при условии L = 0 и R = 0) равна

I_m1 = U_m/(1/щC).

Сила тока в ветви 1L2

I₂ = I_m2cos(щt-ц₂), (12)

а начальная фаза ц₂, определяемая из условия tg ц₂ =+?, равна ц₂ = (2n+1/2)р, n=1, 2, 3, ... Амплитуда тока (при R = 0 и С=? - условие отсутствия емкости в цепи) равна

I_m2 = U_m/(щL).

Cравнивая выражения (11) и (12) видим, что ц₂ - ц₁ =р, т.е. токи в ветвях противоположны по фазе. Амплитуда тока во внешней (неразветвленной) цепи согласно первому правилу Кирхгофа равна

I_m = | I_m1 - I_m2 |= U_m|щC - 1/(щL)|.

Если щ = щ_рез = 1/v(LС), то I_m1 = I_m2 и I_m = 0.

Явление резкого уменьшения амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельно включенные конденсатор С и катушку индуктивности L, при приближении частоты щ приложенного напряжения к резонансной частоте щ_рез называется резонансом токов (параллельным резонансом).

Амплитуда тока I_m = 0, так как считали, что активное сопротивление контура R = 0. При R ? 0 разность фаз ц₂ - ц₁ ? р, поэтому I_m ? 0 и сила тока I в подводящих проводах примет наименьшее возможное значение, обусловленное только током через резистор. При резонансе токов силы токов I₁ и I₂ могут значительно превышать силу тока I.

Рассмотренный параллельный контур оказывает большое сопротивление переменному току с частотой, близкой к резонансной. Поэтому его свойства используются в резонансных усилителях, позволяющих выделить одно колебание определенной частоты из сигнала сложной формы.

Размещено на Allbest.ru

...