Описание свойств кристаллов с помощью тензоров и матриц

Размещено на http://www.allbest.ru/

Описание свойств кристаллов с помощью тензоров и матриц

физический кристалл магнитный поле

Принцип Неймана и его использование для изучения симметрии физических свойств

Ключом к вопросу о связи симметрии кристалла с симметрией его физических свойств является постулат кристаллографии, известный под названием принципа Неймана и формулируемый следующим образом:

Элементы симметрии любого физического свойства кристалла должны включать элементы точечной группы кристалла.

Что понимается под "симметрией физических свойств"? Физическое свойство кристалла - это соотношение между определенными измеримыми величинами, характеризующими кристалл. Например, "плотность" - есть соотношение между массой и объемом. "Упругость" - соотношение между однородным напряжением и однородной деформацией в кристалле. Иначе говоря, свойства кристалла описываются тензорами (нулевого ранга - т.е. скалярами, первого ранга - т.е. векторами, второго ранга и т.д.). Симметрия свойства - т.е. его инвариантность по отношению к определенным операциям симметрии (ортогональным преобразованиям системы координат) - автоматически может быть перенесена на соответствующий тензор. Тензор, описывающий некоторое свойство кристалла, инвариантен по отношению к определенным операциям симметрии. Формальный набор этих операций образует группу симметрии тензора (свойства). Очевидно, например, что свойства, описываемые скалярами - полно-симметричны. Они вообще не зависят от симметрии, от системы координат и т.д. Если свойство описывается вектором, то его симметрия - это симметрия конуса (вектор можно вращать вокруг собственной оси на любой угол, отражать в плоскостях, проходящих через эту ось). Если обозначить группу симметрии свойства через G(св) (или G(тенз)), то принцип Неймана приобретет формальный вид:

Физическое свойство может иметь собственную симметрию, которая проявляется независимо от того, какой симметрией обладает кристалл. Но вместе с тем в соответствии с принципом Неймана физическое свойство кристалла должно иметь и все те элементы, которыми обладает кристалл. К примеру, все свойства, описываемые тензорами II ранга - центро-симметричны. Они инварианты по отношению к инверсии, ибо поскольку

то для произвольного тензора II ранга:

Однако далеко не все кристаллы обладают в своей группе симметрии инверсией. Практическое применение принципа Неймана состоит в определении независимых компонент тензора, описывающего некоторое свойство кристалла с использованием ортогональных преобразований, соответствующих операциям симметрии кристалла. Тензор должен быть инвариантен по отношению к этим преобразованиям, т.е.

К примеру, простейшая задача на применение принципа Неймана для тензора I ранга (вектора) может быть сформулирована и решена следующим образом:

Определить независимые компоненты вектора в группе симметрии . (С физической точки зрения это означает решение вопроса о том, в каких направлениях в кристалле с указанной симметрией возможны свойства, описываемые вектором?).

В группе имеется три операции симметрии: E - тождественное преобразование; и - повороты на 120 градусов вокруг оси z "по" и "против" часовой стрелки. Очевидно, что применение принципа Неймана с использованием матрицы тождественного преобразования

ничего - кроме тождества - не дает. Матрицы поворотов имеют вид:

Применяя поочередно эти ортогональные преобразования к компонентам вектора и учитывая требования принципа Неймана получим систему уравнений:

из которой очевидно, что x и y компоненты вектора p равны нулю, а единственной ненулевой (независимой) компонентой вектора в группе симметрии является z-компонента.

Таким образом, если в кристалле с симметрией исследуется некое свойство, описываемое вектором, то оно может существовать только в направлении выделенной оси.

Очевидно, что применение принципа Неймана для определения независимых компонент тензоров второго и более высоких рангов в кристаллах несколько сложнее (возникает набор аналогичных систем линейных уравнений), но "идеологически" ничем не отличается от вышеприведенного решения.

В качестве примера физических свойств, описываемых в кристаллах тензорами различных рангов, приведем ниже список различных эффектов.

2. Тензоры первого ранга

В кристаллах, имеющих спонтанную поляризацию и спонтанную намагниченность при изменении температуры их абсолютная величина (и, вообще говоря, направление) изменяется. Прирост - пироэлектрический эффект, описывается уравнением

где - пироэлектрический коэффициент (полярный вектор), а прирост - пиромагнитный эффект:

где - пиромагнитный коэффициент (аксиальный вектор). Обратное пироэффекту явление - электрокалорический эффект - состоит в изменении температуры кристалла при изменении его спонтанной поляризации. Описывается этот эффект, однако, не через величину , а через напряженность электрического поля , приложенного к кристаллу для изменения его спонтанной поляризации и, в конечном счете, температуры:

где - коэффициент электрокалорического эффекта (полярный вектор).

3. Тензоры второго ранга

Тензор напряжений - связывает два полярных вектора: вектор действующей на кристалл силы и единичный вектор нормали к поверхности , абсолютная величина которого равна единице площади

Надо иметь в виду, что напряженное состояние возникает в кристалле под действием внешних сил в том случае, когда кристалл лишен возможности деформироваться (простейший пример - тепловое расширение некоторой кристаллической пластинки, деформация которой ограничена внешними препятствиями).

При воздействии внешних сил на находящийся в свободном состоянии кристалл возникает деформация, описываемая тензором деформаций . Он связывает два полярных вектора: единичный вектор положения некоторой точки в кристалле до деформации и ее же радиус-вектор после деформации :

В однородном тепловом поле кристалл испытывает деформацию, называемую тепловым расширением (частный случай деформации). Необходимо знать связь между компонентами тензора деформации и температурой. При условии, что во всем объеме кристалла происходит одинаково малое изменение температуры, его деформация является однородной, т.е.

где - коэффициенты теплового расширения (являющиеся компонентами тензора теплового расширения). Из вышеописанных тензоров второго ранга именно этот тензор является первым примером тензора, описывающего свойство кристаллов. Все остальные по сути описывали состояние кристалла. Именно к тензорам, описывающим свойства, применим принцип Неймана.

Электропроводность - это свойство кристаллов к переносу электрически заряженных частиц под действием внешнего электрического поля. Она описывает связь между напряженностью поля и плотностью тока :

где - тензор удельной электропроводности. Обратный тензор определяет собой тензор удельного электрического сопротивления:

Кристаллы диэлектриков, помещенные во внешнее электрическое поле, поляризуются. Напряженность электрического поля внутри диэлектрика может быть определена только с учетом его поляризации . В общем случае состояние диэлектрика характеризуется векторами , и вектором электрической индукции , связь между которыми определяется равенствами:

где - поляризуемость диэлектрика (тензор второго ранга), - диэлектрическая проницаемость (тензор второго ранга).

Аксиальный вектор магнитной индукции связан с аксиальным вектором напряженности магнитного поля через магнитную проницаемость среды (полярный тензор второго ранга) уравнением, аналогичным третьему уравнению, описывающему процесс электрической поляризации:

Явление электрической поляризации под действием магнитного поля - магнитоэлектрический эффект (равно как и намагничивание под действием электрического поля) - описывается аксиальным тензором второго ранга :

В пластинке полупроводника, по которой течет электрический ток , помещенной в перпендикулярно к току ориентированное магнитное поле , возникает поперечная разность потенциалов (эффект Холла). Внутренний эффект Холла имеет место в кристаллах со спонтанной намагниченностью при наложении электрического поля, и в кристаллах со спонтанной поляризацией при наложении магнитного поля и описывается для этих случаев простой системой:

где и - константы Холла ( - полярный тензор второго ранга, - аксиальный тензор второго ранга).

В некоторых кристаллах плоскость поляризации при прохождении световой волны поворачивается, причем угол поворота пропорционален пути света в кристалле. Этот поворот может быть охарактеризован аксиальным вектором . Сам эффект описывается связью угла поворота и единичного вектора направления светового луча:

Симметричная часть аксиального тензора второго ранга описывает оптическую активность кристаллов.

Следует еще раз обратить внимание на важное различие между тензорами, описывающими свойства кристаллов (т.н. материальные тензора), и тензорами "состояния" кристалла (полевые тензора). Первые - такие как магнитная восприимчивость и др. - имеют определенную ориентацию в кристалле и их симметрия должна согласовываться с симметрией кристалла (принцип Неймана). Полевые же тензоры (тензор напряжений, деформаций т.п.) могут иметь любую ориентацию и по смыслу близки к "силе", приложенной к кристаллу. В этом отношении полевые тензоры подобны электрическому полю, которое, естественно, может иметь любое направление в кристалле (отсюда и термин - полевые тензоры).

Аналогично тому, что тензорами второго ранга описываются явления, обусловленные взаимодействием между двумя векторами (обобщенно ), тензорами третьего ранга могут быть описаны явления, обусловленные взаимодействием между тензорами второго ранга и векторами. При этом возможны следующие сочетания:

1. полярный тензор - полярный вектор.

2. аксиальный тензор - аксиальный вектор.

3. полярный тензор - аксиальный вектор.

4. аксиальный тензор - полярный вектор.

Рассматривая некоторое явление, обусловленное взаимодействием вектора и тензора второго ранга (неважна их полярность или аксиальность), можно обобщенно записать эффект в виде:

Это выражение существенно упрощается, если тензор симметричен. Тогда применяется т.н. матричная форма записи, использующая только один индекс у тензора второго ранга, вводимый по правилу kn->m:

Таблица

Тогда в свернутой форме выражение имеет вид

Тензорами третьего ранга описываются прямой и обратный пьезоэлектрический эффекты, линейный электрооптический эффект (эффект Покельса), пьезомагнетизм, электрогирация и др.

Тензорами четвертого ранга описываются обобщенный закон Гука (связь между тензорами деформаций и напряжений), фотоупругость, квадратичный электрооптический эффект (эффект Керра), электрострикция.

Размещено на Allbest.ru