Дослідження руху електрона в аксіально-симетричних електростатичних полях

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Загальні відомості про аксіально-симетричні електричні поля

В більшості електронно-променевих приладів для фокусування електронних пучків використовуються поля, які володіють симетрією тіл обертання. Рух заряджених часток в таких полях аналогічний розповсюдженню світла через лінзи. Будь-яке неоднорідне електричне поле, що володіє осьовою симетрією, являється електронною лінзою. Тому в електронній оптиці більша увага приділяється вивченню аксіально-симетричних електричних полей.

Для описання полей, володіючих осьовою симетрією, доцільно використовувати циліндричну систему координат, в якій значення потенціалу в точці р виражається через 3 координати: r, z,, тобто

Умова осьової симетрії в циліндричній системі координат може бути записана наступним чином:

тобто значення z і r однозначно визначають величину U незалежно від кута повороту [U = U (z, r)].

Зазвичай найбільш просто може бути розрахований і виміряний розподіл потенціалу вздовж осі системи (r = 0). Тому зручно представити розподіл потенціалу в деякій області біля осі системи через значення відомого потенціалу на самій осі.

В полі, вільному від об'ємного заряду, потенціал задовольняє рівнянню Лапласа, яке в циліндричній системі координат записується так:

В аксіально-симетричному полі [U = U (z, r) ? f()] останній член рівняння (1-3) перетворюється в нуль, і рівняння приймає вигляд:

Будемо шукати рішення рівняння (1-4) у вигляді ряда по степеням r:

Перший член ряду U0 (z) визначає розподіл потенціалу вздовж осі системи (r = 0). Продиференціюємо отриманий ряд двічі по z, один раз і двічі по r і підставимо його в рівняння (1-4), об'єднавши члени з однаковими степенями r:

Так як ця рівність повинна бути справедливою при будь-яких значеннях r, то очевидно, коефіцієнти при всіх степенях r повинні дорівнювати нулю:

звідки

або в загальному випадку

Підставивши значення коефіцієнтів при rk в ряд, отримаємо вираз потенціалу аксіально-симетричного електричного поля:

З рівняння (1-5) видно, що розподіл потенціалу U (z, r) аксіально-симетричного поля у всьому просторі повністю визначається розподілом потенціалу на осі симетрії поля. Якщо відомий розподіл потенціалу на осі симетрії поля, то тим самим визначені потенціали в будь-якій точці цього поля.

Тепер можна визначити складові напруженості аксіально-симетричного електричного поля відповідно до виразу :

Отримані рівняння для складових вектора напруженості аксіально-симетричного поля є вельми громіздкими. Однак їх можна істотно спростити, враховуючи умови формування електронних пучків в електронно-променевих приладах. У більшості ЕПП електронні пучки формуються в приосьовій області, електрони пучка мають однакову швидкість, яка визначається пройденою різницею потенціалів, і вектори швидкості електронів пучка направлені вздовж осі z.

2. Рух параксіальних електронів в аксіально-симетричному електричному полі

Умови параксіальності електронів можна сформулювати таким чином:

1. Віддалення траєкторії від осі симетрії поля дуже мале, так що протягом всієї траєкторії можна вважати, що величина r набагато більша за r2. Тому в виразах, що описують рух таких електронів, членами, що містять другу та вищі степені r можна знехтувати порівнюючи з членами, що містять r в першій степені.

2. Кут нахилу траєкторії до осі симетрії на всьому протягу настільки малий, що можна вважати проекцію швидкості електронів на ось симетрії z рівною самій швидкості .

3. Швидкість електронів визначається в основному різницею потенціалів, пройденою електроном в електричному полі, і початковою швидкістю електрона при аналізі процесу формування електронних пучків можна нехтувати, тобто 0=0.

Враховуючи умови параксіальності електронів можна істотно спростити аналітичні вирази, що описують розподіли потенціалу в аксіально-симетричному полі, відкинувши з рівняння члени з високими мірами r.

Відповідно складові напруженості електричного поля з осьовою симетрією будуть мати наступний вигляд:

Знаючи значення складових напруженості електричного поля можна перейти до аналізу процесів руху параксіальних електронів в аксіально-симетричному електричному полі.

Зазначимо також, що через осьову симетрію поля, складова його напруженості в напрямі азимута Е дорівнює нулю і електрон, що ввійшов в поле в якійсь площині z - r (в меридіональній площині), буде продовжувати рухатися в цій же площині, тобто траєкторія його буде плоскою кривою.

Тоді виходячи з того, що

та

рівняння руху електрону матимуть наступний вигляд:

Перетворивши та проінтегрувавши перше рівняння, а також враховуючи 2 умову параксіальності електронів отримаємо:

тобто складова швидкості параксіальних електронів у напрямку осі z приблизно дорівнює його повній швидкості і визначається величиною потенціалу на осі симетрії поля.

Перетворивши друге рівняння та підставивши в нього dz/dt можемо виключити з нього час і після скорочення відповідних величин отримати:

Проведемо диференціювання лівої частини виразу:

Вирази (1-11) та (1-12) - дві форми одного й того ж відношення, представляю чого собою рішення рівнянь руху параксіального електрону в аксіально-симетричному електричному полі і зв'язуючого координати електрону r i z. Значить це й є вираз в диференційній формі рівняння будь-якого параксіального електрону в аксіально-симетричному електричному полі. Щоб отримати рівняння траєкторії певного конкретного електрону в явному вигляді, потрібно про інтегрувати диференціальне рівняння траєкторії при відповідних даному електрону початкових умовах.

Цими умовами будуть значення відстані від осі і нахилу траєкторії відносно осі, а також вуличина різниці потенціалів, пройдена електроном в момент входу його в поле.

Точне аналітичне рішення отриманого диференціального рівняння траєкторії в більшості практичних цікавих випадків являє собою досить складну задачу. Але навіть в своєму загальному вигляді воно дає значний матеріал для рішення теоретичних і практичних задач оптичної електроніки. Тому досить часто рівняння (1-11) і (1-12) називають основними рівняннями електронної оптики електричних полів.

Висновки з отриманих результатів:

1. В рівняння входить тільки розподіл потенціалу по осі симетрії поля U(z). Значить для визначення траєкторії частинки в полі, якщо це поле аксіально-симетричне і частинка є параксіальною, не обов'язково знати розподіл потенціалу у всьому просторі. Достатньо тим чи іншим способом визначити розподіл потенціалу по осі симетрії поля.

2. в отримане рівняння не входить ні заряд, ні маса частинки, що рухається в полі. Це означає, що не тільки електрони, але й будь-які інші заряджені частинки, в тому числі й набагато важчі від'ємні іони, будуть при рівних початкових умовах будуть рухатися по одним і тим самим траєкторіях.

3. Основне рівняння (1-12) є лінійним і однорідним відносно U(z). Це означає, що потенціал і його похідні входять в рівняння в першій степені і, крім цього права частина рівняння рівна нулю. Звідси одразу слідує, що якщо потенціали всіх електродів, що створюють поле, змінити у рівну кількість разів, то траєкторії електронів залишаться незмінними.

Дійсно, якщо існують поля з розподілом потенціалу вздовж осі їх симетрії, що мають вигляд U(z) або nU(z), то при їх підстановці в рівняння (1-12) множник n скорочується.

Ця обставина допускає вивчення електронних лінз на моделях з пропорційно зміненими напругами на всіх електродах або з їх підключенням в ланцюг змінного струму, що важливу при роботі на електролітичних ваннах.

4. Рівняння є лінійним і однорідним також відносно r(z), що призводить до того, що модель є збільшеною копією електродів електронно-оптичної системи, то траєкторії електронів в ній, маючи збільшені розміри, залишаються геометрично подібними траєкторіям в реальній системі.

5. Найважливішим є те, що будь-яке аксіально-симетричне поле є електронною лінзою і здатне створювати зображення за допомогою параксіальних електронних променів(траєкторій). Ідеальна лінза повинна дотримуватись 2 умов:

А) Зображення будь-якої точки об'єкта, яким в даному випадку є деякий предмет, випромінюючий електрони і розміщений в площині z=a, перпендикулярній оптичній осі z, повинна являтися певна точка в площині зображення при z=b, в якій знову сходяться всі траєкторії електронів.

Б) Масштаб зображення або відношення відстаней точок об'єкта і точок зображення від оптичної осі, повинен бути сталою величиною.

При виконанні цих умов лінза дає не викривлене, стигматичне, зображення.

Оцінимо силу, що діє на параксіальні електрони в радіальному напрямі:

Тоді якщо UII(z)>0, що відповідає наростанню напруженості поля вздовж осі z, радіальна сила направлена протилежно напряму r до осі z. А значить траєкторія електронів буде вигинатись до осі симетрії поля, яке діючи на пучок електронів, що рухаються в ньому, буде прагнути зібрати його до осі симетрії.

У випадку UII(z)<0, радіальна сила направлена від осі z і пучок буде розсіюватись.

3. Наближені методи визначення траєкторій електронів в електричних полях

аксіальний електричний траєкторія симетричний

Траєкторії параксіальних електронів в аксіально-симетричних електричних полях загалом можуть бути визначені вирішуючи рівняння, якщо відомі аналітичні вирази для U(z), але отримання чіткого аналітичного виразу для U(z) так само як і чітке аналітичне рішення диференційного рівняння (1-12) є досить складним.

Тому для визначення траєкторій електронів в електронних лінзах найчастіше використовують приближені методи, що дають достатньо просту, але прийнятну точність.

Метод лінійних відрізків осьового потенціалу при розрахунку траєкторій електронів в електростатичному полі лінзи.

У тих випадках, коли осьовий розподіл потенціалу, знайдений експериментально або визначений наближено, не піддається апроксимації аналітичною функцією, може бути використаний метод наближеного розв'язку основного рівняння, що отримав назву метода многокутників або методу лінійних відрізків осьового потенціалу. При використанні цього методу область осесиметричного електричного поля, в якій необхідно знайти траєкторію параксіального електрону, розбивається на низку ділянок, усередині кожної з яких осьовий розподіл потенціалу представляється лінійною функцією z, тобто напруженість поля є постійною всередині кожної ділянки і змінюється стрибком при переході до іншої ділянки. Іншими словами, плавна крива розподілу осьового потенціалу замінюється ломаною, що складається з відрізків прямих.

При такому представленні усередині кожної ділянки U0 (z) = kz, U0I(z) = const,

U0II(z) = 0. На границях ділянок U0II(z) переходить у нескінченність.

Позначимо координати границь ділянок через z1, z2, z3, …, zn, значення осьового потенціалу на границях ділянок через U1, U2, U3, …, Un, значення перших похідних dU0/dz усередині ділянок через U1I, U2I, U3I, …, UnI і віддалення траєкторій від осі на границях ділянок через r1, r2, …, rn. Оскільки усередині кожної ділянки U0II(z) = 0, вираз (1.11) для ділянок, що знаходяться між площинами з координатами (z1, z2), (z2, z3), …, (zn-1, zn-2), приймає вигляд

де диференціювання іде по змінній z. Перепишемо це рівняння:

і проінтегруємо по z усередині ділянки від z1 до деякого значення z, що лежить між z1 і z2:

Неважко побачити, що підінтегральні функції зручно представити логарифмами, тобто перетворити це рівняння:

яке після інтегрування запишеться як

де r1 = (dr/dz) z1 (праворуч від площини з координатою z1).

Звідки безпосередньо виходить, що всередині розглянутої ділянки

Тут - стала, що визначається початковими умовами - нахилом дотичної до траєкторії і значенням потенціалу в точці z1.

Інтегрування рівняння в границях ділянки призводить до виразу для r(z) усередині ділянки:

.

На правій границі ділянки (при z = z2)

(індекс І вказує на кут нахилу траєкторії зліва від границі розділу першої і другої ділянки).

Вираз дозволяє побудувати відрізок траєкторії параксіального електрону усередині ділянки, що обмежовується площинами, перпендикулярними до осі, в границях від z1 до z2.

Величина r2, що підрахована в кінці першої ділянки, використовується як початкова при розрахунку траєкторії у другій ділянці. Але значення , що було підраховане в кінці першої ділянки не можна вважати початковим для розрахунку траєкторії у другій ділянці, так як при переході через границю ділянок терпить розрив і траєкторія має злам, тобто не дорівнює (індекс p вказує на кут нахилу траєкторії справа від границі розподілу ділянок).

Для підрахунку кута нахилу траєкторії на початку другої ділянки скористуємось тим, що в околиці точки z2 значення U0 (z) і U0І (z) залишаються кінцевими, а значення U0ІІ обертається у нескінченність. На підставі цього поблизу границь ділянок в рівнянні (1.11) можна не враховувати величину (U0І /2U0) rІ порівняно з (U0ІІ /4U0) r, тобто представити у вигляді

Можна також припустити, що в області U0 (z) = U0 (z2) =const. Тоді інтегрування рівняння (1.25) в границях між точками z2l і z2p, що лежать близько до z2, приводить до виразу

Визначивши r2 і і прийнявши їх за початкові дані для лівої границі другої ділянки, знаходять траєкторії на другій ділянці, визначають r3 і , приймають їх за початкові дані для третьої ділянки і т.д. Таким чином може бути знайдена уся траєкторія електрону у при осьовій області електричного поля, що має властивості осьової симетрії.

Метод кінцевих різниць для розрахунку поля електростатичних лінз.

В основі методу кінцевих різниць лежить заміна похідних в вихідному рівнянні невеликими різницями. Припустимо, що необхідно знайти розподіл потенціалу у просторі між двома непаралельними пластинами відхиляючої системи електронно-променевої трубки.

Розіб'ємо увесь простір між пластинами на клітинки з рівними сторонами д. Неважко показати, що величина потенціалу Ux в точці x, рівновіддаленої від точок a, b, c, d з відомими величинами потенціалів Ua, Ub, Uc, Ud може бути визначена як:

Зіставимо різниці:

При достатньо малих значеннях д можна покласти, що ці різниці приблизно рівні

Використовуючи повторно таку ж операцію, отримаємо

-

-

Складаючи рівняння (1.14), отримаємо в правій частині рівняння Лапласа:

Розв'язок кінечно-різничного рівняння може бути виконано методом послідовних наближень (метод ітерацій).

Задаючи граничні значення потенціалу на електродах, можна орієнтовно нанести величини U a1, a2, …, b1, b2, …, c1, c2, …, d1, d2, … і підрахувати значення потенціалу в точках x1, x2, …. Після цього прийнявши знайдені величини Ux за вихідні, потрібно перерахувати значення потенціалів в точках a, b, c, d, знову уточнити величину Ux і т.д. Повторюючи такий прийом декілька разів можна поступово наблизитись до точних значень потенціалу усього простору. Часто 4-5-е наближення мало відрізняється від попереднього, і подальшого уточнення не потребується.

Вказаний метод може бути використаний для розрахунку не тільки плоских, а й осесиметричних полів. В цьому випадку значення потенціалу в точках площини, що проходить скрізь вісь системи (меридіональної площини), визначається виразом:

аксіальний електричний траєкторія симетричний

де R - відстань точки х від осі системи.

Визначивши шляхом послідовних наближень значення потенціалу в усіх точках досліджуваного поля і з'єднавши точки з однаковими потенціалами неперервними кривими, отримаємо картину еквіпотенціальних ліній, що достатньо повно характеризують електронно-оптичну систему.

Размещено на Allbest.ru