Расчёт напряжения и коэффициента устойчивости

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

1. Задача. Вычислить наибольшее растягивающее и наибольшее сжимающее напряжение, найти допускаемую нагрузку Р для чугунного стержня

2. Задача. Построить эпюры изгибающих и крутящих моментов, установить опасное сечение для стержня круглого поперечного сечения с ломаной осью

3. Задача. Найти размеры поперечного сечения, значение критической силы и коэффициент запаса устойчивости для стального стержня

1. Задача. Вычислить наибольшее растягивающее и наибольшее сжимающее напряжение, найти допускаемую нагрузку Р для чугунного стержня

напряжение эпюра устойчивость нагрузка

Пример. Растяжение сжатие.

Чугунный короткий стержень, поперечное сечение которого изображено на рис. 7.10, а = 3 cм, b = 2 см, сжимается продольной силой Р, приложенной в точке А. Допускаемые нормальные напряжения: на сжатие 120 МПа; на растяжение 120 МПа.

1 вычислить наибольшее растягивающее и наибольшее сжимающее напряжение в поперечном сечении, выразив эти напряжения через Р и размеры сечения

2. найти допускаемую нагрузку Р при заданных размерах сечения и допускаемых напряжениях для чугуна на сжатие [уc] и на растяжение [ур].

Решение

Нормальное напряжение в произвольной точке сечения стержня, определяемой координатами х и у, запишется в виде

где хр, ур - координаты точки приложения силы Р (точки A); F -площадь поперечного сечения стержня; Jxc, Jyc - главные моменты инерции сечения.

1. Определим координаты центра тяжести сечения хс и ус. Для этого выведем вспомогательную систему координат хоу. Тогда де Sy - статический момент сечения: Индексы 1, 2, 3 относятся соответственно к элементарным фигурам, на которые разбито заданное составное сечение (см. рис. 7.11). Отметим также, что площадь первой фигуры следует брать со знаком минус.

Подставляя исходные данные, получим:

Тогда

Ввиду симметрии сечения у = 2b = 4 см. Через найденный центр тяжести проводим главные центральные оси хс и ус.

2. Вычислим главные моменты инерции.

Ввиду совпадения осей хс и хс1, хс2, хс3:

Для вычисления момента инерции относительно оси ус используем формулу изменения момента инерции при параллельном переносе осей:

Здесь через l1, l2, l3 обозначены: соответственно расстояния между осью ус и осями ус1, ус2, ус3.

3. Нахождение наибольших напряжений и допускаемых нагрузок.

Подставляя в формулу (7.7) вычисленные значения моментов инерции, а также координаты точки приложения нагрузки и точек, где возникают наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения, получим:

В точке А(-4.136; 4) - напряжение сжатия

Из условия прочности при сжатии множитель 104 здесь переводит квадратные, сантиметры в метры. Допускаемая нагрузка

В точке D (3.864;-2) возникает максимальное напряжение растяжения

Из условия прочности при растяжении

Допускаемая нагрузка

Выбирая меньшую из двух нагрузок, окончательно принимаем

В ходе решения этой задачи можно также порекомендовать построение нейтральной оси в случаях, когда трудно сразу определить координаты опасных точек. Для определения положения опасных точек в сечении следует параллельно нейтральной оси провести линии, касающиеся контура сечения. Таким образом, будут найдены точки сечения, расположенные по oбe стороны от нейтральной оси и наиболее удаленные от нeё, которые и являются опасными.

2. Задача. Построить эпюры изгибающих и крутящих моментов, установить опасное сечение для стержня круглого поперечного сечения с ломаной осью

Пример. Плоские пространственные системы.

Рассмотрим ППС (рис.11.2,а). Прежде чем строить для этой системы эпюры Mx и Mкр, построим эпюры Мx и Mкр для каждой из четырех возможных нагрузок (они представлены на схеме), так как вообще говоря, любые эпюры Мx и Mкр в силу принципа независимости действия сил будут представлять собой алгебраическую сумму этих простейших эпюр, построенных от каждой нагрузки в отдельности, но, разумеется, с учетом места приложения нагрузок, их направлений и геометрической конфигурации системы.

Для достижения максимальной общности будем считать, что сила F, момент типа M1 и момент типа M2 ( имеется в виду плоскость действия каждого из них) приложены к концевому сечению (т.А на рис.11.2,а), а распределенная нагрузка приложена к первому от свободного конца участку стержня (стержень АВ на рис.11.2,а). Причем, все построения будем выполнять в общем виде, полагая, для наглядности, что a< l.

Пусть к плоско-пространственной системе (рис.11.2,в) приложена только сила F. Построим эпюры MxБ и MкрБ для заданной системы. Здесь, как и при любой другой внешней нагрузке, более сложным является построение эпюры изгибающих моментов Mx. В соответствии с ранее оговоренными принципами, для построения эпюры в заданной ППС выделим 6 характерных сечений. Так как имеется жесткая заделка, то расчет ведем от свободного конца. При вычислении изгибающего момента очень важно правильно определить плоскость изгиба стержня, которому принадлежит рассматриваемое характерное сечение, т.к. плечо действующей нагрузки необходимо определить именно в плоскости изгиба.

Стержень АВ изгибается в вертикальной плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа;

(сжаты верхние волокна).

Стержень ВС изгибается в вертикальной плоскости, параллельной плоскости чертежа:

(сила FРазмещено на http://www.allbest.ru/

не имеет плеча в плоскости изгиба!);

(сжаты верхние волокна).

Стержень СД, как и стержень АВ, изгибается в вертикальной плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа.

(сжаты нижние волокна).

(сила Размещено на http://www.allbest.ru/

не имеет плеча в плоскости изгиба).

Остановимся подробнее на определении изгибающего момента . Как видно из приведенных выше значений: , то есть моменты в сечениях 2 и 5 (обратим внимание на их расположение, а не на нумерацию, которая, естественно, может быть совершенно произвольной) одинаковы по величине, но противоположны по направлению. Это утверждение можно доказать.

Причем, возможно как строгое доказательство, так и некоторые "нестрогие" рассуждения, приводящие к тому же факту. Начнем с последних. Под действием приложенной силы F (рис.11.2,в) происходит "перекос" системы: точка В смещается вверх, а точка С - вниз; при этом обе точки располагаются на одинаковом расстоянии (в вертикальной плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа) от линии действия силы F, следовательно, моменты в сечениях 2 и 5 одинаковы, но противоположны по знаку.

Для иллюстрации другого подхода к "нестрогому" доказательству утверждения о том, что введем в рассмотрение так называемую скользящую систему координат (рис.11.2,в). Такое название связано с тем, что координатные оси как бы скользят вдоль ломаной продольной оси системы, не поворачиваясь вокруг нее. При этом на каждом участке плоско-пространственной системы ось z направлена вдоль продольной оси соответствующего стержня, ось y- вверх (или вниз) при расположении системы в горизонтальной плоскости, а ось x остается перпендикулярной к плоскости yoz. Как следует из чертежа, на участках АВ и СД ось x имеет противоположное направление, следовательно, моменты имеют на этих участках разные знаки, а так как сечения 2 и 5 равноудалены от линии действия силы F, то очевидно равенство моментов в этих сечениях по абсолютной величине.

И, наконец, рассмотрим более строгое доказательство. Двигаясь от свободного конца при выборе отсеченной части, мы получили: (сжаты верхние волокна). Определим момент в сечении 5, двигаясь при выборе отсеченной части со стороны жесткой заделки. Для определения момента таким способом необходимо знать реакции заделки. При действии на систему силы F из всех возможных в общем случае нагружения реакций в жесткой заделке возникают реакция и опорный момент , определяемые из условий равновесия:

Теперь, двигаясь со стороны жесткой заделки, для сечения 5 получим:

(сжаты нижние волокна), то есть (момент не влияет на величину , так как его плоскость действия перпендикулярна плоскости изгиба).

Очевидно, что подобные рассуждения можно провести при любой внешней нагрузке, поэтому в дальнейшем при построении эпюры всегда будем руководствоваться правилом: изгибающий момент в сечении 5 равен изгибающему моменту в сечении 2 (опять-таки, имеется в виду положение сечений, а не их порядковые номера) и противоположен ему по знаку, при условии, что на участке 2-5 не приложен сосредоточенный момент, который для сечения 5 является изгибающим, то есть момент типа (рис.11.2,а). При наличии на участке 2-5 такого момента равенство ординат по модулю в сечениях 2 и 5 "искажается" на величину в соответствующую направлению сторону.

Теперь построим эпюру

Участок АВ не подвержен кручению, так как сила F приложена к продольной оси стержня АВ. Участок ВС закручивается силой F с плечом l, следовательно:

Участок СД также закручивается силой F, но с плечом a, то есть:

Эпюры и представлены на рис.16,г.

Аналогичным образом строятся эпюры изгибающих и крутящих моментов от распределенной нагрузки q (рис.11.2,д), сосредоточенного момента типа (рис.11.2,ж) и сосредоточенного момента типа (рис.11.2,и).

Не останавливаясь детально на построении этих эпюр, отметим некоторые особенности. Эпюра на участке под распределенной нагрузкой (и только на этом участке!)- квадратная парабола, направленная выпуклостью навстречу нагрузке. На участке СД - противоположном тому, где приложена нагрузка q - эпюра пересекает ось в точке, расположенной напротив равнодействующей распределенной нагрузки (рис.11.2,д).

Анализ эпюр от сосредоточенных моментов М1(рис.11.2,з) и М2 (рис.11.2,к) позволяет сделать очевидный вывод о том, что если момент приводит к изгибу какого-либо стержня, то кручение на этом участке отсутствует и наоборот.

Теперь, учитывая накопленный опыт при построении эпюр от раздельного действия каждой из четырех нагрузок, рассмотрим более сложное нагружение (рис.11.2,а).

При указанных на этом рисунке нагрузках для построения эпюры Мх необходимо выделить 8 характерных сечений. Двигаясь от свободного конца, получим по участкам:

Участок АВ изгибается в вертикальной плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа:

(сжаты нижние волокна).

Кручение на участке АВ отсутствует, так как сила F и нагрузка q имеют нулевые плечи относительно продольной оси участка АВ.

Участок ВС изгибается в вертикальной плоскости, параллельной плоскости чертежа.

(сжаты верхние волокна);

(сжаты нижние волокна);

так как момент М1, приложенный к отсеченной части для сечения 5, действует в плоскости, перпендикулярной ВС и на изгиб участка ВС не влияет;

(сжаты нижние волокна).

Для построения эпюры крутящих моментов на участке ВС рассмотрим отдельно участки 3-4 и 5-6, так как между сечениями 4 и 5 приложен момент М1. Участок 3-4 закручивается силой F с плечом 3м и в противоположную сторону - нагрузкой q с плечом 1,5м:

(здесь знак "-" носит сугубо условный характер и может служить только для обозначения направления кручения). Участок 5-6 помимо силы F и нагрузки q закручивается еще и моментом М1, причем, в том же направлении, что и нагрузкой q, поэтому:

Участок 7-8 закручивается нагрузкой q с плечом 2м и в противоположную сторону - силой F с плечом 2м и моментом М2, следовательно:

По вычисленным значениям строим эпюры Мx и Мкр (рис.11.2,б).

3. Задача. Найти размеры поперечного сечения, значение критической силы и коэффициент запаса устойчивости для стального стержня

Задача на устойчивость

Стальной стержень сжимается силой Р, требуется:

1) найти размеры поперечного сечения при допускаемом напряжении на простое сжатие [у] = 160 МПа;

2) найти значение критической силы и коэффициент запаса устойчивости.

Дано:

Р = 100 кН

l = 2.6 м

Решение:

1. Определяем расчётную длину стержня

lпр = vl = 0.7 х 260 см = 182 см

v - коэффициент длины

Подбираем поперечное сечение путём последовательных приближений

Первое приближение. Принимаем коэффициент продольного изгиба ц1 = 0.5; требуемая площадь поперечного сечения

F = P / (ц х [у]) = 100 х 10і / (0.5 х 160 х 106) = 12.5 смІ

По сортаменту подбираем трубу ГОСТ 10704-91 с площадью F = 12.56 смІ, наружным диаметром D = 50 мм, внутренним диаметрм d = 30 мм.

Момент инерции кольцевого круглого сечения стержня

I = р / 64 х (D4 - d4) = 3.14 / 64 х (625 - 81) = 26.69 см4

Радиус инерции сечения

i = vI / F = v26.69 / 12.56 = 1.46 см

Гибкость стержня

л = lпр / l = 182 / 1.46 = 124.7

По таблице при линейной интерполяции

ц = 0.45 - ((0.45 - 0.40) / 10) х 7 = 0.415 < 0.5

Второе приближение

ц = 0.415 + 0.5 / 2 = 0.46

F = P / (ц х [у]) = 100 х 10і / (0.46 х 160 х 106) = 13.59 смІ

По сортаменту подбираем трубу ГОСТ 10704-91 с площадью F = 13.82 смІ, наружным диаметром D = 54 мм, внутренним диаметрм d = 34 мм.

Момент инерции кольцевого круглого сечения стержня

I = р / 64 х (D4 - d4) = 3.14 / 64 х (850 - 134) = 35.12 см4

Радиус инерции сечения

i = vI / F = v35.12 / 13.82 = 1.59 см

Гибкость стержня

л = lпр / l = 182 / 1.59 = 114.5

при линейной интерполяции

ц = 0.52 - ((0.52 - 0.45) / 10) х 4 = 0.49 < 0.5

Допускаемое напряжение

уу = ц х у = 0.49 х 160 = 78.4

Действующее в стойке напряжение

у = Р / F = 100 / 13.82 = 74.9

Перенапряжение

((78.4 - 74.9) / 74.9) х 100 = 4.67 %

2. Определяем значение критической силы и коэффициент запаса устойчивости.

Так как л = 114.5 > 100,

укр = рІЕ / лІ = 10 х 2 х 106 / 114.5І = 1525 кг/смІ,

nу = укр / уу = 1525 / 78.4 = 19.45

Размещено на Allbest.ru