Цифрові методи обробки інформації

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вступ

Останнім часом в техніці йде перехід на цифрові методи обробки інформації. Це пов'язано з тим, що цифрову інформацію легко зберігати (з'явилися дешеві і зручні пристрої для зберігання інформації, такі як жорсткі диски комп'ютерів або лазерні диски), а також з тим, що цифрову інформацію легко передавати по сучасних лініях зв'язку практично без втрат.

Задача абсолютно точного відновлення сигналу на практиці зазвичай не ставиться, на відміну від задачі мінімального фізичного об'єму інформації, при якому зберігається можливість її відновлення в неперервній формі з визначеним допустимим значенням похибки. Така задача актуальна завжди, а особливо при дистанційних методах реєстрації та обробки інформації, передачі сигналів по каналах зв'язку і при підготовці інформації до тривалого зберігання. Одним з методів розв'язання цієї задачі є дискретизація сигналів за критерієм найбільшого відхилення.

У першій половині ХХ століття при реєстрації та обробці інформації використовувалися, в основному, вимірювальні прилади та пристрої аналогового типу, що працюють в реальному масштабі часу, при цьому навіть для величин, дискретних в силу своєї природи, застосовувалося перетворення дискретних сигналів в аналогову форму. Положення змінилося з поширенням мікропроцесорної техніки та ЕОМ. Цифрова реєстрація і обробка інформації виявилася більш досконалою і точною, більш універсальною, багатофункціональною і гнучкою. Потужність і простота цифрової обробки сигналів настільки переважають над аналоговою, що перетворення аналогових за природою сигналів в цифрову форму стало виробничим стандартом.

Під дискретизацією сигналів розуміють перетворення функцій неперервних змінних у функції дискретних змінних, за якими вихідні безперервні функції можуть бути відновлені із заданою точністю. Роль дискретних відліків виконують, як правило, квантовані значення функцій у дискретній шкалі координат. Під квантуванням розуміють перетворення безперервної за значеннями величини у величину з дискретною шкалою значень з кінцевого безлічі дозволених, які називають рівнями квантування. Якщо рівні квантування нумеровані, то результатом перетворення є число, яке може бути виражене у будь-який числовий системі. Округлення з певною розрядністю миттєвих значень безперервної аналогової величини з рівномірним кроком по аргументу є найпростішим випадком дискретизації і квантування сигналів при їх перетворенні у цифрові сигнали.

Як правило, для виробничих завдань обробки даних зазвичай потрібно значно менше інформації, ніж її надходить від вимірювальних датчиків у вигляді безперервного аналогового сигналу. При статистичних флуктуацій вимірюваних величин і кінцевої похибки засобів вимірювань точність реєстрованої інформаціятакож завжди обмежена певними значеннями. При цьому раціональне виконання дискретизації і квантування вихідних даних дає можливість знизити витрати на зберігання і обробку інформації.

сигнал дискретизація квантування цифровий кодування



1. Дискретизація сигналів

Задача абсолютно точного відновлення сигналу на практиці зазвичай не ставиться, на відміну від задачі мінімального фізичного об'єму інформації, при якому зберігається можливість її відновлення в неперервній формі з визначеним допустимим значенням похибки. Така задача актуальна завжди, а особливо при дистанційних методах реєстрації та обробки інформації, передачі сигналів по каналах зв'язку і при підготовці інформації до тривалого зберігання. Одним з методів розв'язання цієї задачі є дискретизація сигналів за критерієм найбільшого відхилення.

В процесі дискретизації за критерієм найбільшого відхилення задається допустиме значення похибки відновлення сигналу . При відновленні сигналу неперервна функція s(t) апроксимується, як правило, степеневими поліномами n-го порядку. Похибка відновлення функції s(t) поліномом визначається залишковим членом L(t):

Крок дискретизації вибирається з умови забезпечення по всьому інтервалу визначення функції s(t). Як правило, динаміка функції s(t) може суттєво змінюватися в різні моменти часу за інтервалом реєстрації, при цьому крок дискретизації також може змінюватися, за умови не перевищення заданої похибки на кожному кроці. При установленому значенні зменшення числа відліків забезпечується підвищенням степені апроксимувального багаточлена. На практиці зазвичай обмежуються сходинковим, лінійним та параболічним апроксимаційними поліномами відповідно нульового, першого і другого степенів.

Як було сказано вище, як інтерполювальні багаточлени використовують багаточлени Лагранжа, а як екстраполювальні багаточлени використовують багаточлени Тейлора. Для багаточлена Тейлора нульового степеня умови відновлення сигналу практично не відрізняються від багаточлена Лагранжа, за винятком напряму (від поточного зареєстрованого відліку і вперед до t). Для багаточленів Тейлора більш високих степенів при відновленні сигналу крім відліку використовуються також відповідні значення похідних в точці відліку. Відновлення сигналу багаточленами Тейлора відбувається без затримки в часі. Однак при використанні багаточленів вище нульового степеня для точного відновлення сигналу порівняно з інтерполяційними методами потрібно в два рази більш висока частота дискретизації.

Для t Лагранжа нульового степеня значення в момент часу t на інтервалі між двома послідовними відліками функції приймається рівним відліку . Якщо відновлення сигналу s(t) проводити за двома відліками: , то при цьому ж кроці дискретизації похибка відновлення сигналу зменшується вдвічі. Але при використанні двох послідовних відліків краще застосовувати багаточлени Лагранжа першого степеня, тобто з'єднання двох послідовних відліків прямою лінією, що дає ще більше зменшення похибки відновлення аналогової форми сигналу.

1.1 Адаптивна дискретизація

Частота рівномірної дискретизації інформації розраховується за граничними значеннями частотних характеристик сигналів. Адаптивна дискретизація орієнтована на динамічні характеристики сигналу, що дозволяє забезпечити його відновлення при мінімальній кількості вибірок. В основі принципів адаптивної дискретизації лежить спостереження за поточною похибкою відновлення сигналу. Найбільш широке застосування отримали алгоритми дискретизації з адаптацією по довжині інтервалу апроксимації. Суть дискретизації полягає в послідовному нарощенні інтервалу апроксимації з неперервним порівнянням сигналу s(t) з відтворювальною функцією . При досягненні заданого значення? нарощення інтервалу зупиняють, і проводиться відлік значень , тобто дискретизація є нерівномірною. Для відтворення сигналів нерегулярної дискретизації зазвичай використовують степеневі алгебраїчні поліноми нульового чи першого степеня в інтерполяційному чи в екстраполяційному варіантах.

Найбільш простою є техніка адаптивної дискретизації з використанням багаточлена нульового степеня. На момент початку кожного інтервалу апроксимувальний поліном . приймається рівним , обчислюється поточна різниця і проводиться порівняння її значення із заданим значенням. При фіксуванні рівності L(t) та заданого значення проводиться черговий відлік і починається наступний інтервал.

При використанні апроксимувального багаточлена першого степеня обчислюється значення де s'(t) - похідна сигналу. Момент чергового відліку визначається виконанням рівності Варто мати на увазі, що даний алгоритм неефективний при наявності високочастотних завад, до яких досить чутлива операція диференціювання.

Дискретизація випадкових сигналів належить до класу непростих задач аналізу випадкових сигналів. Тому обмежимось лише згадуванням основних особливостей такого аналізу на прикладі дискретизації квантованих за рівнем випадкових сигналів.

Отож, для обчислення оптимального кроку рівномірної дискретизації достатньо знати лише величину інтервалу квантування та кореляційну функцію вимірюваного процесу.

При оперативних змінах із запам'ятовуванням результату лише останньої відлікової операції оптимальна тривалість наступного кроку практично не залежить від цього результату і дорівнює оптимальному кроку рівномірної дискретизації вимірюваного процесу.

В околі точки оптимуму існує деякий досить широкий інтервал приблизно рівнозначних значень кроку дискретності . Так в межах 10%-вих відхилень від оптимального значення зміни імовірнісного показника якості не перевищують 1%.

Оптимальний крок дискретизації визначається так

де - величина кванта;

- середньоквадратичне відхилення процесу.

Дана формула дозволяє визначити оптимальний крок дискретизації безпосередньо на графіку кореляційної функції. На практиці переважно використовують інше співвідношення:

,

де .

Усереднена за усіма номерам k похибка визначається як

.

Варто зазначити, що при розрахункову похибку оптимального значення критерію якості вимірювальної системи можна оцінити однією похибкою, яка складає приблизно 0,5%.



1.2 Практичні питання дискретизації реальних сигналів

Повідомлення, передавані по каналах зв'язку (мова, музика, телевізійний сигнал, телеметричні дані і так далі), на практиці є функціями з обмеженим спектром. Наприклад, верхня частота спектру Fm приблизно рівна: для мови - 3,5 кГц, для музики - 10 - 12 кГц (задовільне відтворення), для телевізійних сигналів - 6 Мгц. Деяка некоректність полягає в тому, що теорема відліків доведена для функцій Х(t), заданих на необмеженому інтервалі t (- ). Відповідно відліки { Х(i t), i = 0, 1, 2. . } є безконечною послідовністю. Проте в реальних умовах повідомлення Х(t) мають початок і кінець, а отже, кінцеву тривалість T< . Умови фінітності спектру і кінцевої тривалості повідомлення, строго кажучи, несумісні. Спектр функції з кінцевою тривалістю теоретично має значення, відмінні від нуля, при будь-яких значеннях частоти F(- ). Тоді при будь-якому виборі кроку дискретизації t сусідні бічні смуги спектру (див. ріс.1) перекриваються, і на виході ідеального фільтру нижніх частот з частотою зрізу F = 1/2t буде відновлений сигнал Х*(t), не повністю співпадаючий з вихідним сигналом Х(t). По-перше, відсікаються частотні складові спектру з |f| >F. По-друге, в смугу пропускання фільтру потрапляють "хвости" періодичного продовження спектру. В той же час завжди можна задати крок дискретизації t (або верхню частоту спектру Fm =1/2t) так, щоб енергія Е зосереджена в "хвостах" спектру (на частотах f >1/2t), що відсікаються, була нехтує мала в порівнянні з енергією всього сигналу Ех. Помилка відновлення сигналу Х*(t) на виході фільтру залежить від відношення Е /Еx і може бути вибором t (або F=1/2t) зроблена менше будь-якої заданої величини. Абсолютно очевидно, що якщо спотворення повідомлень, обумовлені тимчасовою дискретизацією, будуть значно менше спотворень, викликаних перешкодами в каналі зв'язку і допустимих технічними умовами для даної системи передачі інформації, то такі спотворення істотного значення не мають і можуть не враховуватися. Таким чином, приблизно можна прийняти, що реальні повідомлення мають кінцеву тривалість T і одночасно їх спектри обмежені по частоті велічиной Fm. При цьому безконечний ряд Котельникова (13) перетвориться в кінцевий з числом ненульових відліків n, приблизно рівним відношенню тривалості повідомлення до інтервалу дискретності: (14) Основні формули теореми відліків для сигналів, відмінних від нуля на кінцевому інтервалі t (0, T), набирають вигляду: (15) (16) (17) Нарешті, коли сигнал {X(t), t(0, T)} заданий кінцевим числом відліків X(0), X(t). ., x(kt), у формулах (15) - (17) на відміну від відповідних точних формул слід було б писати знак наближеної рівності (). Проте зазвичай цього не роблять. Ще одним наближенням, яке не може бути виконане насправді, є припущення про "ідеальність" амплітудно-частотної характеристики поновлюючого про фільтру H(f). Річ у тому, що фільтр з ідеально прямокутною АЧХ має ІПХ безконечної тривалості і не може бути реалізований на практиці. Фільтри ж з кінцевою ІПХ мають теоретично безконечну смугу. Неважко показати, що вплив кінцевої тривалості ІПХ поновлюючого фільтру на сигнал Х*(t) має той же характер, що і обмеженість інтервалу спостереження функції Х(t). Отже, для фільтру НЧ із заданою АЧХ завжди можна вибрати крок дискретизації t таким, щоб енергія Е, що просочується через "хвости" його амплітудно-частотної характеристики (на частотах f >1/2t), була нехтує мала в порівнянні з енергією всього сигналу Ех. У зв'язку з цим на практиці крок дискретизації реальних повідомлень Х(t) роблять декілька меншим, а частоту дискретизації, відповідно, - декілька більшою (принаймні, на 30 - 50%), ніж наказує теорема Котельникова.



2. Квантування сигналів

Дискретизація аналогових сигналів з перетворенням в цифрову форму пов'язана з квантуванням сигналів. Суть квантування полягає в заміні нескінченної множини можливих значень функції, в загальному випадку випадкових, скінченною множиною цифрових відліків, і виконується округленням миттєвих значень вхідної функції в моменти часу до найближчих значень , де r - крок квантування шкали цифрових відліків. Квантування з постійним кроком r називають рівномірним. Математично операція квантування може бути виражена формулою:

де результат обчислення в дужках округляється до цілого значення.

Квантування за амплітудою - це процес заміни реальних (виміряних) значень амплітуди сигналу значеннями, наближеними з деякою точністю. Кожен з 2N можливих рівнів називається рівнем квантування, а відстань між двома найближчими рівнями квантування називається кроком квантування. У випадку лінійного розбиття амплітудної шкали на рівні, квантування називають лінійним (однорідним). Як бачимо, результатом такого оцифрування став ступінчатий сигнал, складений із прямокутників, кожен з яких має ширину, рівну величині кроку дискретизації, і висоту, рівну виміряному значенню амплітуди сигналу. Очевидно, що точність округлення залежить від вибраної кількості (2N) рівнів квантування, яка, в свою чергу, залежить від кількості бітів (N), відведених для запису значення амплітуди. Число N називають розрядністю квантування (маючи на увазі кількість розрядів, тобто бітів, в кожному слові), а отримані в результаті округлення значень амплітуди числа - відліками чи семплами (от англ. «sample» - «замір»). Вважається, що квантування з розрядністю 16 біт залишається для слухача майже непомітним.

При квантуванні сигналів у великому динамічному діапазоні значень крок квантування може бути й нерівномірним, наприклад, логарифмічним, тобто пропорційним логарифму значень вхідного сигналу. Установлений діапазон шкали квантування від до і крок квантування r визначають число поділок шкали і відповідно цифрову розрядність квантування. В результаті дискретизації й квантування неперервна функція s(t) замінюється числовою послідовністю {s(kt)}. Похибка округлення знаходиться в межах і називається шумом квантування. Необхідна точність квантування оцінюється за впливом на подальшу обробку сигналів виниклого шуму квантування.

При достатньо малому кроці квантування будь-яке значення в його межах можна вважати рівноймовірним, при цьому значення розподілені за рівномірним законом.

Відповідно дисперсія та середнє квадратичне значення шуму квантування:

При заданому рівні шуму квантування з використанням попередньої формули неважко визначити допустиме значення кроку квантування.

Вхідний сигнал містить, як правило, адитивну суміш власне сигналу s(t) та завади q(t) з дисперсією відповідно . Якщо завади не корельовані із сигналом, то після квантування сумарна дисперсія шумів:



На практиці крок квантування вибирають зазвичай таким, щоб не відбувалось помітної зміни відношення сигнал/шум, тобто .

Цифрове подання інформації можна коротко зробити таким чином. Якщо сигнал, який був дискретизований за часом і рівнем, потім подається у цифровому вигляді, то такий процес називається аналого-цифровим перетворенням. Оскільки в порівнянні із, наприклад, записаним на носії (касеті чи пластинці) аналоговим сигналом, цифровий запис характеризується високим відношенням сигнал-шум і широким динамічним діапазоном (відношенням мінімального сигналу до максимального неспотвореного сигналу) і забезпечує високу якість відтворення, наприклад, звуку. Але для відтворення записаного звуку його слід знову перевести в аналогову форму з допомогою цифро-аналогового перетворення, про що буде йти мова далі.

Перейдемо до розгляду позиційних систем числення. Позиційна система числення з основою P має P цифр , що звичайно позначають натуральні числа від 0 до P-1. Ці записи та позначені ними числа - значення цих записів - називаються однорозрядними.

Цифри десяткової системи 0, 1, 2, … , 9 називаються арабськими, хоча й були запозичені арабами в індусів.

У програмуванні широко застосовується шістнадцяткова система, в якій перші 10 цифр арабські, а наступні шість, A, B, C, D, E, F, позначають числа, десятковий запис яких 10, 11, 12, 13, 14, 15, відповідно.

Число P у P-ковій системі позначається дворозрядним записом , число P+1 - записом тощо. Наприклад, 10, 11, ... , 99 у десятковій системі, 10, 11 у двійковій, 10, 11, … , 1F, 20, … , FF у 16-ковій. Наприклад, 100, 101, … , 999 у десятковій системі, 100, 101, 110, 111 у двійковій, 100, 101, … , FFF у 16-ковій.

Наприклад, двійковий запис (10011)2 позначає число, яке в десятковому записі має вигляд 12⁴+02³+02²+12¹+12⁰=19. 16-ковий запис (1BC)16 позначає десяткове 1162+1116+12=444.

Права цифра в записі числа позначає кількість одиниць і називається молодшою, ліва - кількість чисел і називається старшою.

Ми звикли до десяткового подання чисел, і саме воно, головним чином, використовується в програмах, але в комп'ютері числа, як правило, подаються в двійковій системі. Таким чином, виникає необхідність створювати двійкове подання числа за його десятковим записом і навпаки.

За P-ковим записом натурального числа N можна побудувати десяткове подання, обчисливши значення полінома за допомогою операцій множення та додавання в десятковій системі.

P-кове подання чисел, менших 1, має вигляд ,

де - P-кові цифри. Цей запис позначає дійсне число - значення виразу

.

Нагадаємо, що якщо основа P має прості дільники, відмінні від 2 і 5, то число зі скінченним P-ковим записом зображується нескінченним, але періодичним десятковим дробом. Якщо ж простими дільниками P є тільки 2 і 5, то й десятковий дріб скінченний.

Перейдемо до цифрового кодування. При цифровому кодуванні дискретної інформації застосовують потенціальні й імпульсні коди.

У потенціальних кодах для подання логічних одиниць і нулів використовується тільки значення потенціалу сигналу, а його перепади, що формують закінчені імпульси, до уваги не беруться. Імпульсні коди дозволяють подати двійкові дані або імпульсами певної полярності, або частиною імпульсу - перепадом потенціалу певного напрямку.



2.1 Вимоги до методів цифрового кодування

При використанні прямокутних імпульсів для передачі дискретної інформації необхідно вибрати такий спосіб кодування, який одночасно досягав би декількох цілей:

а) мав при одній і тій же бітовій швидкості найменшу ширину спектра результуючого сигналу;

б) забезпечував синхронізацію між передавачем і приймачем;

в) мав здатність розпізнавати помилки;

г) мав низьку вартість реалізації.

Більш вузький спектр сигналів дозволяє на одній і тій же лінії (з однієї і тією же смугою пропускання) домагатися більш високої швидкості передачі даних. Крім того, часто до спектра сигналу висувається вимога відсутності постійної складової, тобто наявності постійного струму між передавачем і приймачем. Зокрема застосування різних трансформаторних схем гальванічної розв'язки перешкоджає проходженню постійного струму.

Синхронізація передавача і приймача потрібна для того, щоб приймач точно знав, у який момент часу необхідно зчитувати нову інформацію з лінії зв'язку. Ця проблема в мережах важить більше, ніж при обміні даними між близько розташованими пристроями, наприклад між блоками усередині комп'ютера чи між комп'ютером і принтером. На невеликих відстанях добре працює схема, що базується на окремій тактовій (синхронізуючій) лінії зв'язку (рис. 4.3), тому інформація знімається з лінії даних тільки в момент приходу тактового імпульсу.



Рис. 2.2 Синхронізація приймача і передавача на невеликих відстанях

У мережах використання цієї схеми спричиняє труднощі через неоднорідність характеристик провідників у кабелях. На великих відстанях нерівномірність швидкості поширення сигналу може привести до того, що тактовий імпульс прийде настільки пізніше чи раніше відповідного сигналу даних, що біт даних буде пропущений чи врахований повторно. Іншою причиною, через яку у мережах відмовляються від використання тактуючих імпульсів, є економія провідників у дорогих кабелях.

Тому в мережах застосовуються самосинхронізуючі сигнали, які несуть для передавача інформацію про те, у який момент часу потрібно здійснювати розпізнавання чергового біта (чи декількох біт, якщо код орієнтований більш ніж на два стани сигналу). Будь-який різкий перепад сигналу - що називається фронтом - може нести інформацію для синхронізації приймача з передавачем.

При використанні синусоїд як несучого сигналу результуючий код має властивість самосинхронізації, тому що зміна амплітуди несучої частоти дає можливість приймачу визначити момент появи вхідного коду.

Розпізнавання і корекцію перекручених даних складно здійснити засобами фізичного рівня, тому найчастіше цю роботу беруть на себе протоколи, що лежать вище: канальний, мережний, транспортний чи прикладний. З іншого боку, розпізнавання помилок на фізичному рівні заощаджує час, тому що приймач не чекає повного переміщення кадру в буфер, а відбраковує його відразу при розпізнаванні помилкових бітів усередині кадру.

3. Квантування сигналів за рівнем. Похибки квантування. Характеристика сигналу та каналу зв'язку

Весь діапазон значень неперервної функції x(t) розбивається на N дискретних рівнів, відстань між якими h=const називається кроком квантування. Замість дійсних значень функцій передається лише N дискретних рівнів, якими заміняється функція

Рис. 3.1 Крок квантування

При цьому виникає похибка, яка називається шумом квантування. Абсолютна похибка Дx=±h/2 - шум квантування. Відносна похибка .

3.1 Похибки при квантуванні по часу

Запишемо вибір кроку дискретизації з врахуванням особливостей конкретного способу апроксимації.

,

де - коефіцієнт, який залежить від способу апроксимації.

=1,35 - для лінійної апроксимації - задана або допустима

=0,55 - для ступінчатої апроксимації середньоквадратична

=- для лінійної апроксимації похибка квантування по часу

В загальному випадку, де с=0,1,2,3,4,… - порядок лімаризації

Значення абсолютних похибок квантування по часу:

- при лінійній інтерполяції ().

- при ступеневій інтерполяції ().

де - частота сигналу.

Крок квантування, виходячи із заданої величини похибки

Кількість рівнів квантування:

N-1=.

В частковому випадку при

=0 :

Закон розподілу похибок квантування - рівномірний та симетричний. Середньоквадратична похибка квантування по рівню



3.2 Квантування за рівнем та часом

Сумісне квантування дає можливість впорядкувати отримання відліків в часі і обмежити число значень функції N рівнями.

Похибки квантування дещо більші:

.

, де - похибка квантування по рівню, - похибка квантування по часу

Кількість рівнів за час T при умові вибору кроку за Котельниковим визначається як .

3.3 Диференційне квантування

Обов'язкова умова - передається лише один квант або приріст в цю чи іншу сторону (тобто додатній чи від'ємний імпульс в колах зв'язку). Виникає похибка за рахунок відставання сигналу від функції при її швидких змінах.

3.4 Фізичні характеристики сигналу та каналу зв'язку

Для зручності подальшого аналізу наведемо та спів ставимо деякі характеристики:

Таблиця 3.1 Фізичні характеристики сигналу та каналу зв'язку

Для сигналу	Для каналу звязку
Тс - тривалість сигналу	Тк - час, на який подано канал для передачі повідомлень
Fc - ширина спектру сигналу (частина спектру, що зберігається)	Fк - смуга частот каналу зв'язку
Нс - перевищення рівня сигалу над рівнем завади Рш	Нк - допустиме електричне навантаж. приймально-передавльної апаратури.
Нс=.	Об'єм каналу зв'язку:.
Об'єм сигналу:. (величина безрозмірна)

Умова передачі сигналу по каналу зв'язку:

Крім того є ще часткові умови:



4. Синтез комбінаційної схеми в обмеженому базисі

4.1 Розрахунок таблиці істиності

Вислів - твердження, по відношенню до якого має сенс стверджувати істинне воно чи хибне.

Вислови бувають складні чи прості. Прості вислови - логічні змінні. Складні -- логічні функції від логічних змінних. Логічні функції називають також бульовими або перемикаючими.

Функціонування цифрових обчислювальних пристроїв комбінаційного типу, які мають n входів та m виходів, у загальному випадку може бути описано системою функцій виду :

,

де значення функції y_i визначають значення вихідних сигналів, а набори аргументів (x₁,x₂,…,x_n) відповідають вхідним сигналам. Як функції, так і аргументи можуть приймати тільки кінцеве число значень (як правило x_j,y_j{0,1}). Саме такі функції отримали назву перемикаючих (нульових, двозначних, логічних).

Перемикаючі функції частіше всього задають за допомогою таблиць, що називаються таблицями істинності, шляхом перечислення їх значень на всіх наборах значень аргументів. З метою спрощення таблиць істинності набори аргументів нумерують. Номер х набору аргументів дорівнює двійковому числу, яке відповідає цьому набору, тобто

. (4.1)



Якщо функція залежить від n аргументів, то число різних наборів дорівнює 2ⁿ, оскільки кожен набір має свій номер, а загальне число номерів дорівнює кількості різних двійкових n-розрядних чисел.

Дві функції відрізняються одна від одної, якщо вони приймають різні значення хоча б на одному наборі аргументів. Число різних функцій від n аргументів дорівнює ,так як для задання функцій необхідно вказати набір з 2ⁿ констант , , а число 2ⁿ-розрядних наборів дорівнює . В таблиці істинності значення функції на деяких наборах можуть бути не визначені, тобто можуть приймати як значення 0, так і значення 1. Серед функцій n змінних завжди можна вказати функції, аналогічні по властивостям функціям двох змінних. До таких функцій, наприклад, відносяться константи 0 і 1; змінні x₁,x₂,…,x_n; кон'юнкція, що приймає одиничне значення тільки на одному наборі аргументів; диз'юнкція, що приймає нульове значення тільки на одному наборі аргументів; сума по модулю 2; рівнозначність; функції Пірса і Шеффера та ін.

Логічну функцію можна вважати повністю заданою, якщо задано її значення на всіх можливих поєднаннях значень змінних, що називається набором.

Розрахуємо таблицю істинності для заданих функцій F1, F2, F3:



Таблиця істинності

X1	X2	X3	X4	F1	F2	F3
0	0	0	0	0	0	1
0	0	0	1	0	1	1
0	0	1	0	0	0	0
0	0	1	1	1	1	0
0	1	0	0	0	0	0
0	1	0	1	0	1	0
0	1	1	0	0	0	0
0	1	1	1	1	1	0
1	0	0	0	0	0	0
1	0	0	1	0	1	0
1	0	1	0	0	0	0
1	0	1	1	0	1	0
1	1	0	0	0	1	0
1	1	0	1	0	1	0
1	1	1	0	1	1	0
1	1	1	1	0	1	0

4.1 Мінімізація методом послідовного виключення логічних змінних

Мінімальною формою представлення перемикаючої функції називають таку форму, яка не дозволяє більше ніяких спрощень. Процес спрощення функції з метою отримання найменшої форми називають мінімізацією. Мінімізувати функцію треба для того, щоб спростити їх реалізацію на практиці.

Мінімізація функції методом винятку логічних змінних шляхом спрощення форми по законам алгебри логіки.

Основні закони алгебри логіки.

Переставний закон:



Сполучний:

(4.4)

(4.5)

Розподільний:

(4.6)

(4.7)

Заперечення (правило де Моргана):

(4.8)

(4.9)

Константи:

(4.10)

(4.11)

(4.12)

(4.13)

Доповнення:

(4.14)

(4.15)



Поглинання:

(4.16)

Склеювання:

(4.17)

(4.18)

Подвійного повторювання:

(4.19)

(4.20)

10. Подвійного заперечення:

(4.21)

Мінімізуємо дані функції методом послідовного виключення логічних змінних, використавши основні закони та тотожності алгебри логіки.

4.3 Мінімізація методом діаграм Вейча

Діаграма Вейча - це графічне представлення таблиці істинності. Карти Карно налічують стільки клітинок, скільки рядків є в таблиці істинності.

Основу мінімізації за допомогою діаграм Вейча складають такі положення:

1) Дві одиниці, які знаходяться в сусідніх клітинках карти можуть бути замінені однією кон'юнкцією, яка містить на одну змінну менше.

2) Якщо сусідніми є дві пари одиниць, то така група змінюється на кон'юнкцію, яка містить на дві змінних менше, відповідно якщо сусідніми є 2ⁿ одиниць, то така група може бути замінена кон'юнкцією, яка містить на n змінних менше.

3) Сусідніми є клітинки розміщенні поряд по горизонталі і вертикалі, а також клітинки, які знаходяться на протилежних границях діаграми Вейча.

4) Поєднувати можна тільки 2ⁿ одиниць за принципом квадрату, прямокутнику або тору.

5) На основі теоретичних відомостей мінімізуємо функції F1, F2, F3 графічним методом.

Функція F1 Функція F2

F1min= F2 min=

Рис. 4.1 Функція F1 Рис. 4.2 Функція F2

Функція F3

F3min=

Рисунок 4.3 Функція F3

4.4 Зведення до базису

Функціонально повною системою, або базисом перемикаючих функцій називають систему перемикаючих функцій F(xl,x2,...,x_n), за допомогою якої може бути представлена будь-яка функція алгебри логіки.

Функціонально повними системами є базиси: І, АБО, НЕ (базис 1); І, НЕ (базис 2); АБО, НЕ (базис 3); І-НЕ або базис Шефера (базис 4); АБО-НЕ або базис Пірса (базис 5) та І-АБО-НЕ (базис 6). Універсальним називають такий базис, за допомогою якого можна реалізувати всі три основні бульові операції І, АБО та НЕ.

Приведення перемикаючих функції до обмеженого універсального базису І-НЕ проводиться в такій послідовності:

1.Задана функція мінімізується в базисі І, АБО, НЕ.

2.Над отриманим виразом перемикаючої функції ставиться подвійне заперечення.

3.При перетворенні перемикаючої функції використовують такі вирази:

На основі теоретичних відомостей, закону подвійного заперечення і закону де-Моргана приведемо дані функції до обмеженого базису I-HE:

4.5 Синтез комбінаційної схеми

Логічна схема, яку можна повністю описати таблицею істинності і булевими виразами називається комбінаційною схемою.

Комбінаційна схема - це така схема, в якій значення вхідних даних в даний момент часу повністю визначає значення х змінних.Для синтезу комбінаційної схеми ми користуємося логічним елементом АБО і входами А і В (де А і В= або х1, або х2, або х3, або х4) і ін вектором на виході.

Розглянемо мікросхеми серії К555, К155 та К561.Оскільки, нам дано двоходовий базис І-НІ, тому розглянемо мікросхеми, які містять саме такий логічний елемент, а саме : К555 ЛЕ1, К155 ЛЕ1, К155 ЛЕ5, К155 ЛЕ6. Ці мікросхеми містять по чотири логічних елементів. На рис. 6.1 показано умовне позначення елемента 2І-НІ. Тут А і В - входи ; Y - вихід. Логічне рівняння роботи елемента записується у вигляді : Y=A + B.

Серед мікросхем АБО є дві буферні, з більш потужними виходами: К155 ЛЕ5 і К155 ЛЕ6. Для них допускається струм до 70мА.

A

B & Y

Рис. 4.4 - Умовне позначення елемента 2І-НІ

Рис 4.5 Комбінаційна схема

4.6 Часові діаграми

Часова діаграма представляє собою часову організацію найбільш важливих подій, що виникають в цифровій схемі, якою керує генератор тактових сигналів(таймер). Опорний сигнал часової діаграми виробляється генератором тактових сигналів, в якості яких завжди застосовується кварцовий генератор.

Тактові і часові сигнали, а також дані, що представляються, являються в дійсності імпульсами, високі і низькі рівні яких відповідають передачі 1 та 0, на часовій діаграмі суцільною горизонтальною лінією позначаються ті з них, які в даний момент часу є активними. Ці лінії забезпечують достатньо наочну інтерпретацію сигналів. Сигнали високого рівня з'являються на виході схеми тоді, коли обидва вхідні сигнали будуть відповідати високому рівню.В загальному випадку для часової діаграми сигналами низького рівня відповідають напруги від 0.3В до 0.8В, а сигналам високого рівня - напруга в 4.3В.

Рис. 4.6 Часова діаграма



Висновки

Під час виконання курсової роботи я більше дізнався про дискретизацію та квантування сигналів. Також склав таблицю істинності для функції F1, F2, F3. Мінімізував ці функції за основними законами алгебри логіки та мінімізуючим методом «діаграма Вейча». Потім ці функції звів до базису, а згодом і синтезував комбінаційну схему на основі отриманих результатів. І в кінці я побудував часову діаграму.



Перелік посилань

1. Лідовскій В.І. Теорія інформації. - М., "Вища школа", 2002р. - 120с.

2. Цапенко М.П. Вимірювальні інформаційні системи. - М.: Енергоатом видавн., 2005. - 440С.

3. Зюко А.Г., Кловський Д.Д., Назаров М.В., Фінк Л.М. Теорія передачі сигналів. М: Радіо і зв'язок, 2001 р. - 368 с.

4. Харкевіч А. А., Боротьба з перешкодами, 2 видавництва, М., 1965; Маркюс Же., Дискретизація і квантування, пер. з франц., М., 1969

5. Методичні вказівки до виконання курсової роботи з дисципліни «Організація і функціонування ЕОМ» /Уклад. Н.О.Біліченко, Д.В.Кисюк - Вінниця: ВНТУ, 2008. - 36 с.

Размещено на Allbest.ru

...