Интерференция волн

Размещено на http://www.allbest.ru/

ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН

Глубокое знание сути интерференции - одного из интереснейших и впечатляющих явлений в физике и окружающей действительности - является базой для понимания и объяснения механизма целого ряда других физических явлений, например, дифракции, отражения, преломления волн. Привлечение сведений из теории интерференции требуется и при рассмотрении оптико-механической аналогии как экспериментальной основы для изучения волновых свойств микрочастиц и знакомства школьников с началами квантовой механики.

Вместе с тем содержание программ по физике и математике, по которым ведется преподавание этих дисциплин в физико-математических классах и лицеях, и объем времени, выделяемого в них для изучения обсуждаемой темы, позволяют провести более полное и систематическое изложение теории интерференции волн, рассмотреть более широкий круг задач и практических приложений этого явления. Рассмотрим один из возможных вариантов изложения теории интерференции в таких классах.

Пусть в точках А и В (рис. 2.1) находятся два монохроматических источника, волны от которых доходят до точки наблюдения С.

В соответствии с принципом суперпозиции можно определить закон результирующего колебания, возникающего при этом в точке С. В общем случае задача будет состоять в отыскании геометрической суммы векторов, определяющих смещение колеблющейся величины от положения равновесия в произвольный момент времени , и выяснении характера распределения энергии (интенсивности колебаний) в волновом поле. Желая упростить задачу математически (но без ущерба в анализе физической сути явления), выделим проекции векторов смещений, характеризующих колебания в местах расположения источников, на прямую, проходящую через точку наблюдения. Благодаря этому приему мы сведем проблему к случаю сложения волн, характеризуемых циклическими частотами колебаний и и распространяющихся беспрепятственно к точке наблюдения соответственно от двух монохроматических источников и , расположенных с ней на одной прямой.

В таком случае в точке С, лежащей на прямой ОХ и удаленной от источников и соответственно на расстояния и , складываются колебания, описываемые уравнениями

, (2.1)

, (2.2)

в которых величины и определяют сдвиги фаз волн по отношению к колебаниям источников, связанные с конечностью скоростей и распространения волн в среде. В зависимости от природы волн (механические, электромагнитные и т.п.) в качестве и могут выступать величины смещений от положения равновесия, напряженности электрических полей и другие величины. Воспользовавшись принципом суперпозиции для волн, легко найти закон, по которому происходит результирующее колебание в точке С:

. (2.3)

Чтобы избежать громоздких вычислений, предположим, что амплитуды волн (2.1) и (2.2) одинаковы:

.

Тогда выражение (2.3) примет вид:

. (2.4)

При заданных источниках монохроматических волн ( и известны и постоянны) и неизменности свойств среды, в которой распространяются волны (это означает, что и ), величины и зависят лишь от положения точки наблюдения относительно источников и не зависят от времени (рис. 2.2).

Первые слагаемые в аргументах косинуса и синуса в выражении (2.4) с течением времени будут изменяться по линейному закону:

, (2.5)

. (2.6)

Проводя аналогию между уравнениями (2.1), (2.2) и выражением (2.4), последнее можно истолковать как уравнение волны с частотой и амплитудой

, (2.7)

зависящей как от места наблюдения и частоты колебаний источников, так и от времени.

Если мало отличается от , то результирующее колебание в точке С носит характер биений (рис. 3).

Если же предположить, что

, то и

, (2.8)

то есть амплитуда результирующего колебания зависит от места наблюдения и не зависит от времени (рис. 4).



Она максимальна в точках, для которых

,

что реализуется при

, (2.9)

и минимальна в точках, для которых

,

что имеет место тогда, когда различие в удалении источников от точки наблюдения составляет нечётное число половин длины волны:

. (2.10)

В формулах (2.9), (2.10) - длина волны, - целое число.

Оценим теперь интенсивность результирующих колебаний. С этой целью, считая , , , представим сначала уравнения (2.1) и (2.2) в виде:

, (2.11)

, (2.12)

где

, (2.13)

начальные фазы колебаний, обусловленных в точке наблюдения каждым источником.

Результирующее колебание можно описать уравнением

. (2.14)

Из теории колебаний известно, что энергия колебаний (интенсивность волн) пропорциональна квадрату смещения от положения равновесия: . Поэтому получим:

. (2.15)

Поскольку все приёмники, используемые для измерения энергии, инерционны, то выражение (2.15) следует усреднить по времени реакции приёмника , которое, как правило, значительно больше периода колебаний : .

Так как

, ,

,

то из выражения (2.15) следует, что

. (2.16)

Заметим, что первые два слагаемых в выражениях (2.15) и (2.16) определяют интенсивность колебаний, вызываемых в точке наблюдения каждым из источников и в отсутствие другого: ; . Поэтому величину можно представить в виде , после чего выражение (2.16) преобразуется к форме

. (2.17)

Отсюда следует, что интенсивность результирующего колебания не равна сумме интенсивностей складывающихся колебаний, а изменяется от точки к точке в пределах от до в зависимости от величины разности начальных фаз колебаний . При и , .

Взаимное усиление или ослабление двух (или большего числа) волн при их наложении друг на друга при одновременном распространении в пространстве называется интерференцией волн.

Термин «интерференция» происходит от латинского (взаимно, между) и (несущий, переносящий) или (ударяю, поражаю).

Обычно под интерференционным эффектом понимают отличие результирующей интенсивности волнового поля от суммы интенсивностей налагающихся волн.

Мы не случайно до сих пор не конкретизировали природу волн. Интерференция является одним из основных свойств волн любой природы, лишь бы свойства среды допускали их существование. Так, упругие волны не существуют в вакууме.

Вернемся к выражениям (2.8) и (2.17). То, что под влиянием двух воздействий объект наблюдения (например, частица среды), находящийся в точке, в которой , остается в покое (колеблется с амплитудой, равной нулю), недоумения не вызывает. Все мы помним и первый закон Ньютона, и историю про воз, который «и ныне там». Так что претензий к выражению (2.8) нет. А что следует из выражения (2.17)? В одном и том же месте сложились два колебания, характеризуемые энергиями и , и … энергия исчезла?! Закон сохранения энергии не выполняется?!

Парадокс этот - лишь кажущийся. Изменяясь в указанных выше пределах, энергия перераспределяется в пространстве так, что в одних точках интенсивность колебаний равна , в других она равна , а в остальных удовлетворяет условию (рис. 5).

Распределение интенсивностей будут стационарным (не зависящим от времени), если интерферирующие волны когерентны, то есть характеризуются одинаковой частотой () и неизменной во времени разностью начальных фаз колебаний в точке наблюдения.

Если бы мы рассмотрели суперпозицию произвольно ориентированных векторов смещений то выяснилось бы и третье требование: векторы не должны быть ортогональны друг другу, или иначе: волны должны быть поляризованы так, чтобы векторы и имели отличные от нуля проекции на выделенное направление.

Если указанные выше условия выполнены, то говорят, что источники когерентны. Выполнение условий когерентности влечет за собой образование устойчивой интерференционной картины, под которой понимают распределение интенсивностей в области волнового поля, где волны налагаются друг на друга. Если же волны некогерентны, то за время усреднения разность фаз интерферирующих волн многократно изменяется, среднее значение и интенсивность колебаний во всех точках, до которых доходят интерферирующие волны, равна сумме интенсивностей отдельных волн: . Именно в таком случае выполняется закон независимого действия световых пучков, знакомый учащимся по курсу физики 8-го класса.

Из формулы (2.7) следует, что с ростом разности частот интерферирующих волн растет скорость изменения амплитуды результирующего колебания:

.

Особенно велика эта скорость для электромагнитных волн оптического диапазона (для них х ~ 10¹⁴ - 10¹⁶ Гц). В этом случае для экспериментального обнаружения быстрых колебаний суммарной интенсивности освещения при работе двух источников необходима техника, способная регистрировать световые импульсы продолжительностью 10^-9 - 10^-10 с. В ее отсутствие в оптике для получения для получения интерференционных картин, доступных для наблюдения и анализа, пользуются искусственным приемом: созданием когерентных источников путем искусственного разделения световых импульсов по волновому фронту или амплитуде на две или более частей и последующим наложением этих частей после прохождения ими неодинаковых путей. Лишь в тех случаях, когда в распоряжении исследователя есть два лазера, генерирующих на одной и той же частоте, нет необходимости в указанном разделении пучков.

Рассмотрим далее некоторые способы создания когерентных источников и общую схему расчета интерференционных картин, вводя попутно необходимые физические понятия.

Пусть в непрозрачной пластине П, удаленной от экрана Э на расстояние L, имеются две узкие щели s₁ и s₂, симметрично расположенные относительно прямой OS на малом по сравнению с L расстоянием 2l (2l<<L) друг от друга и освещаемые светом, излучаемым источником s и прошедшим сквозь щель s₀ (рис. 6).

В соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля, щели s₁ и s₂ выступают в роли источников вторичных волн. Сферические волны, исходящие из каждой точки s₁ и s₂ , распространяясь в направлении экрана, интерферируют. На экране наблюдается устойчивая интерференционная картина. Действительно, источники s₁ и s₂ появились как результат деления волнового фронта волн, распространяющихся от щели s₀ до диафрагмы П, и, следовательно, частоты излучаемых ими волн одинаковы. Неподвижность всех элементов схемы Юнга относительно друг друга обеспечивает постоянство разности фаз для волн, приходящих в точку наблюдения М, лежащую в области интерференции.

Определим, какова разность расстояний , пройденных до точки М волнами, испущенными соответственно источниками s₁ и s₂. Величину

(2.18)

называют разностью хода волн (разностью хода лучей). Обозначив через h расстояние от оси симметрии системы до точки наблюдения М и воспользовавшись теоремой Пифагора, найдём:

,

.

Вычитая почленно второе уравнение из первого, получим:

. (2.19)

Заметим, что при расстояния и мало отличаются от . Это даёт право считать . С учётом этого соотношения и определения (2.18) выражение (2.19) можно переписать в виде:

,

откуда

. (2.20)

Если разность хода в точке М окажется кратной целому числу длин волн (чётному числу полуволн), то есть при

, (2.21)

то в точке М имеет место интерференционный максимум. При

(2.22)

в точке наблюдения регистрируется минимальная интенсивность излучения. Целое число называют порядком интерференции.

Разрешив выражения (2.21) и (2.22) относительно , легко найти координаты точек экрана, в которых имеют место максимумы и минимумы освещенности:

, (2.23)

. (2.24)

Геометрическое место точек, для которых при каждом реализуется условие , называют интерференционной полосой. Расстояние В между двумя соседними максимумами (или минимумами) в интерференционной картине называют шириной интерференционной полосы.

Найдём ширину полосы как расстояние между максимумами (или минимумами) порядков и :

. (2.25)

Из выражения (2.25) видно, что ширина полосы растет с удалением источников от экрана и с уменьшением расстояния между ними. При использовании коротковолнового излучения она меньше, чем в случае длинноволнового излучения.

Допустим теперь, что один из источников находится в вакууме, а другой - в среде с показателем преломления (рис. 7). Выясним, куда следует поместить источник s₂ , если мы хотим. Чтобы в точку О, лежащую на границе раздела сред, волны пришли с прежней разностью фаз.

Условие неизменности разности фаз волн, приходящих в точку О, можно представить в виде

. (2.26)

В соответствии с формулами (2.13) и с учётом того, что скорость света в вакууме равна с, условие (2.26) можно привести к виду

. (2.27)

Поскольку при переходе волн из одной среды в другую частота колебаний не изменяется (), то из выражения (2.27) следует: . Отсюда получим:

, или . (2.28)

Таким образом, в среде с показателем преломления источник света должен быть смещён на расстояние ближе к точке О. Расстояние

интерференция волна свет колебание

(2.29)

называют оптическим путём света в среде с показателем преломления . В выражении (2.29) - геометрический путь, пройденный светом. Очевидно, что оптический путь численно равен тому расстоянию, на которое сместится волновой фронт в вакууме за то же время, за которое он пройдёт расстояние в среде с показателем преломления .

Пусть теперь в нашем распоряжении один источник света , экран Э и плоское зеркало З (рис. 8).

В точку М волны могут попасть как непосредственно, распространяясь вдоль луча , так и после отражения от зеркала З. Легко увидеть, что и здесь, как и в опыте Юнга, имеет место деление волнового фронта, но оно сопровождается изменением направления распространения части светового пучка. Из свойств изображений, получаемых с помощью плоского зеркала, ясно, что = и . Следует заметить, что в точке К волны отражаются от оптически более плотной среды (показатель преломления материала зеркала больше, чем окружающей его среды) и, следовательно, их фаза изменяется на противоположную. Иначе говоря, происходит потеря полуволны при отражении. Поэтому разность хода волн, дошедших до точки М непосредственно от источника и после отражения от зеркала, будет равна

,

если установка находится в вакууме, и

,

если опыт проводится в среде с показателем преломления . Область, в которой наблюдается интерференционная картина на экране Э, располагается между точками и , в которые приходят волны, отражёные от крайних точек зеркала.

Заметим, что если в схеме Юнга интерферируют волны, идущие от двух действительных источников, то в схеме Ллойда один из источников действительный, а другой - мнимый. Примерами интерференционных опытов, в которых когерентные пучки получают разделением волнового фронта, могут служить установки, использующие бипризму Френеля (рис. 9), бизеркала Френеля (рис. 10), билинзу Бийе. Сравнивая эти схемы с рис. 6, несложно выделить на них расстояния, необходимые для расчета интерференционной картины.

Рассмотрим теперь те опыты, в которых для получения когерентных источников используется деление волн по амплитуде.

Пусть на тонкую пластинку постоянной толщины из вакуума падает волна с плоским фронтом (ей соответствует пучок параллельных лучей), сформированным с помощью точечного источника и линзы , в фокусе которой источник находится. Лучи , отраженный в точке С от верхней поверхности пластинки, и , вышедший из неё после преломления луча 2 в точке А, отражения его в точке В и преломления в точке С, параллельны друг другу. В этом нетрудно убедиться, воспользовавшись законами отражения и преломления света. Поскольку условия распространения всех лучей, падающих на пластинку, в этом опыте одинаковы, то для пар лучей и , а также других, одинаковых с ними по происхождению, разность хода будет одинаковой:

, (2.30)

и, следовательно, при использовании источника белого света вся пластинка будет казаться окрашенной в цвет, соответствующий той длине волны, для которой выполнится условие максимума (2.21). При использовании монохроматического источника пластинка будет казаться либо окрашенной, либо темной в зависимости от того, какое из условий (2.21) и (2.22) реализуется при падении пучка под углом .

Возможность интерференционного гашения волн, отраженных от верхней поверхности пластинки, волнами, отраженными от её нижней поверхности, используется с целью просветления оптических деталей (просветления оптики), например, объективов фотоаппаратов. Энергия обеих отраженных волн «передается» волнам, прошедшим через систему, аналогичную изображенной на рис.

Интерференционная картина, возникающая в опыте, локализована в бесконечности, так как лучи и параллельны друг другу. Находящимися в бесконечности кажутся и два мнимых источника, определяемые системами лучей, отраженных соответственно от верхней и нижней граней пластинки. Расположив на пути лучей и и им аналогичных собирающую линзу, можно получить на экране, удаленном от неё на фокусное расстояние, интерференционные полосы, каждая из которых соответствует лучам, упавшим на пластинку под одним и тем же, но разным для разных полос углом. Поэтому интерференционные полосы в данном случае называют полосами равного наклона.

Уберём теперь линзу из схемы. В таком случае свет от источника упадёт на пластинку расходящимся пучком. Происхождение лучей и в новой ситуации такое же, как и двух предыдущих. Однако теперь эти лучи не параллельны друг другу, а расходятся из точки С. Система лучей, отраженных от верхней поверхности пластинки, определяет положение одного, а система лучей, отраженных от нижней грани (аналогичных по происхождению ), - положение другого из мнимых когерентных источников. Оптическая разность хода лучей и в этом случае рассчитывается по формуле (2.30). Однако положение точки теперь определяется условием , а не .

Интерференционная картина будет иметь вид концентрических колец, центры которых совпадают с основанием перпендикуляра, опущенного из источника на верхнюю грань пластинки, на которой картина и локализована. На одном кольце будут лежать точки выхода лучей, прошедших внутри пластинки одинаковые расстояния . В силу этого обстоятельства систему полос, наблюдаемых в рассматриваемой схеме, называют полосами равной толщины.

Если - источник монохроматических волн, то в интерференционной картине чередуются светлые и темные кольца. При использовании источника белого света интерференционные полосы представляют собой радужные кольца.

Полосы равной толщины можно получить и при освещении параллельным пучком лучей клина с малым углом , изготовленного из материала с показателем преломления . Разность хода лучей и , происхождение которых, также определяется формулой (2.30).

Получаемые в этом случае интерференционные полосы параллельны ребру клина, локализованы на его поверхности и представляют собой геометрические места точек, в которые приходят волны, прошедшие одинаковый путь внутри клина. Будут ли они радужно окрашенными или составят систему светлых и темных полос, как и ранее, определяется спектральным составом падающего излучения.

Разновидностью полос равной толщины являются кольца Ньютона, локализованные на поверхности воздушного клина с переменным углом наклона.

Особое место в физике и технике занимает интерференционная схема Майкельсона

Именно с помощью интерферометра такого типа был впервые установлен факт исключительной важности: скорость света в направлениях вдоль и поперек земной орбиты одинакова. Интерферометрами называют приборы, использующие явление интерференции для прикладных целей.

Свет от источника параллельным пучком направляется на светоделительную пластинку (полупрозрачное зеркало) П, установленную под углом 45⁰ к оси пучка. Часть его проходит к зеркалу и, отразившись от него, снова возвращается к пластинке П, отражается от неё и идёт к наблюдателю. Та часть пучка, которая после отражения от пластинки П прошла к зеркалу , отразившись от него, проходит сквозь пластинку П к наблюдателю. Системы волн, пришедшие к наблюдателю от зеркал и , интерферируют между собой.

В этой схеме можно получить полосы равного наклона, если плоскости зеркал взаимно перпендикулярны, или полосы равной толщины, если угол между зеркалами близок, но не равен .

Обратим внимание на то, что луч 1 проходит через светоделительную пластинку П трижды, в то время как луч 2 - только один раз. Чтобы избежать большой разности хода между лучами и , по ходу луча 2 располагается компенсирующая пластинка К.

А каков смысл выражения «большая разность хода»?

Монохроматические волны являются математической идеализацией, удобной для теоретических расчетов, но не реализующейся в действительности. Для их излучения источник должен представлять собой «вечный двигатель», колеблющийся с постоянной частотой. Реальные же источники волн функционируют в течение времени, ограниченного либо желанием наблюдателя (захотел - и выключил генератор), либо физической природой процессов. Так, оптическое излучение атомов возникает при их переходе между двумя возбужденными состояниями или между возбужденным и основным состояниями. Такой переход совершается за ~ 10^-8 - 10^-10 с, время - очень малое по сравнению с вечностью. Уже по этой причине излучение атома не является монохроматическим и, в лучшем случае, может быть представлено неким «обрывком синусоиды», называемым цугом волн. Если оптическая разность хода волн, полученных из одного цуга длиной ( - скорость света в вакууме), не превышает величины (), то в области интерференции имеет место суперпозиция когерентных цугов, полученных из одного исходного цуга. Если же , то в области интерференции накладываются некогерентные между собой цуги волн, излученных разными атомами, и интерференционная картина не стационарна во времени. В теории интерференции время называют временем когерентности, а расстояние - длиной когерентности излучения. Ограничения, накладываемые конечностью времени когерентности, связывают с понятием временной когерентности волн.

С увеличением разности хода от нуля до происходит постепенное понижение контрастности

интерференционной картины, что объясняется различием времен когерентности излучений цугов, испускаемых как одним элементарным излучателем (атомом), так и разными излучателями. При этом имеет место неполная корреляция хаотических изменений фаз складываемых колебаний, в связи с чем говорят об их частичной когерентности.

Помимо рассмотренной выше временной когерентности, используют понятие пространственной когерентности, характеризующей степень корреляции результатов интерференции в данной точке поля интерференции для разных точек протяженного источника.

В заключение приведем далеко не полный перечень задач, решаемых с помощью интерференционных приборов. Интерферометры применяются ля контроля правильности формы и микрогеометрии плоских, сферически и сложных поверхностей, контроля плоскопараллельности прозрачных пластин, измерения больших и малых перемещений, длины концевых мер, размеров деталей, определения длины волны излучения, показателей преломления и величины деформации прозрачных материалов, для астрономических измерений (звездные интерферометры Майкельсона и Линника) и других целей. Подробную информацию об устройстве интерферометров различного типа и методике их использования для перечисленных измерений можно найти, например, в книге Коломийцова .В. «Интерферометры. Основы инженерной теории. Применение».

Литература

Калитеевский Н.И. Волновая оптика. - М.: Наука, 1971. - 376 с.

Китайгородский А.И. Фотоны и ядра. - М.: Наука, 1979. - 208 с.

Коломийцов Ю.В. Интерферометры. Основы инженерной теории. Применение. - Л.: Машиностроение, 1976. - 296 с.

Размещено на Allbest.ru

...