Изучение законов вращательного движения твердого тела

Размещено на http://www.allbest.ru/

Изучение законов вращательного движения твердого тела

закон ньютон твердый тело

Цель работы

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг оси ОО ^/ (рисунок 2.1).

Рис.

Разобьем его на множество малых элементов. Рассмотрим один из элементов массой m_i, расположенный на расстоянии r_i от оси вращения. Пусть на него действует сила F_i, направленная по касательной к траектории движения элемента.

Моментом силы относительно оси называют физическую величину, численно равную произведению силы на плечо. Плечом силы относительно данной оси называют кратчайшее расстояние между осью вращения и линией действия силы.

Так как вращающий момент задается тангенциальной составляющей силы, то он равен

F_i · r_i = m_i · a_i · r_i,

где a_i тангенциальная составляющая линейного ускорения.

Учитывая, что линейное и угловое ускорения связаны между собой соотношением

a = r,

уравнение (2.1) можно переписать в виде

F_i · r_i = m_i · · r_i².

Такие равенства можно написать для всех элементарных масс, просуммировав их получим

.

Угловое ускорение постоянно для всех элементарных масс, поэтому его можно вынести из под знака суммы

Величина представляет собой сумму моментов сил, действующих на все элементы твердого тела, то есть это полный момент сил относительно оси ОО ^/, действующих на твердое тело.

Величину называют моментом инерции элемента материальной точки относительно оси ОО ^/. Сумму всех моментов инерции отдельных элементарных масс

называют моментом инерции тела относительно данной оси ОО ^/. Вводя полный момент сил М и момент инерции J, перепишем равенство (2.4) в виде

.

или в векторной форме

.

Из (2.6) следует, что момент силы относительно оси сонаправлен с вектором углового ускорения . При вращении тела вокруг неподвижной оси, направлен вдоль оси вращения, в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости (при ускоренном движении сонаправлен с , при замедленном - противоположен ему) (рис. 2.2).

Рис.

Формула (2.6) и есть основное уравнение динамики вращательного движения - второй закон Ньютона для вращательного движения: момент сил, вращающих тело относительно данной оси, равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловое ускорение тела.

Сравнивая (2.6) с математическим выражением второго закона Ньютона для поступательного движения

,

можно заключить, что при вращательном движении роль силы F выполняет момент силы М, роль массы - момент инерции. Следовательно, момент инерции является мерой инертности вращающегося тела.

Применение основного уравнения динамики вращательного движения к маятнику Обербека.

Справедливость основного уравнения динамики вращательного движения можно проверить на маятнике Обербека, схема которого изображена на рисунке 2.3.

Рис. 2.3

Маятник Обербека состоит из четырех стержней 1, укрепленных на втулке под прямым углом друг к другу. На стержнях закрепляются грузы 2, которые могут быть закреплены на разных расстояниях R от оси вращения. На ось насажен диск 3 радиусом r. Гиря 4, приводящая маятник во вращение, прикреплена к концу нити, которая перекинута через блок 5 и наматывается на диск 3. На основную гирю 4 могут надеваться от одного до четырех дополнительных грузов 6.

Вращение маятника происходит под действием момента М силы натяжения нити и противоположно направленного момента сил трения М_тр. Таким образом, согласно равенству (2.6) уравнение движения маятника имеет вид

Или

.

Из равенства (2.8) видно, что если сила трения постоянна (не зависит от скорости), то зависимость величины М от е является линейной функцией вида . При этом J играет роль углового коэффициента k. Таким образом, экспериментальное исследование взаимосвязи между моментом силы натяжения М и угловым ускорением е позволяет найти момент инерции маятника J.

Движение гири 4 происходит под действием силы тяжести (где m - масса гири) и силы натяжения нити F. Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения гири имеет вид

,

где а - ускорение гири, которое можно найти зная время t ее опускания и пройденный путь h. Используя известное уравнение равноускоренного движения, имеем

.

Из равенств (2.9) и (2.10) получаем выражение для определения момента сила натяжения

.

Учитывая соотношение , связывающее угловое и линейное ускорения для точек окружности диска, из формулы (2.10) находим

.

Формулы (2.11) и (2.12) позволяют найти по экспериментальным данным момент силы натяжения М и угловое ускорение е. Тогда, проведя опыты с гирями различной массы m, можно исследовать зависимость М от е и построить соответствующий график.

Таким образом, определение момента инерции маятника сводится к определению углового коэффициента найденной из опыта функции коэффициента М (е), а определение момента силы трения М_тр - к экстраполяции найденной зависимости на е = 0.

Экспериментальная часть

Приборы и принадлежности

маятник Обербека;

блок электронный ФМ - 1/1;

набор грузов.

Описание установки

Общий вид установки с маятником Обербека приведен на рисунке 3.1. На вертикальной стойке 1 со шкалой, установленной на основании 2 прикреплены кронштейн 3 две втулки 4 и 5, флажок 6.

Основание снабжено регулируемыми ножками 7, обеспечивающими горизонтальную установку прибора. На верхней втулке 5 закреплен диск 8, через который переброшена нить 9. Один конец нити прикреплен к диску 10, а на другом конце закреплены грузы 11.

На кронштейне 3 закреплен фотоэлектрический датчик 12 и находится разъем 13 для подключения блока электронного ВМ - 1/1.

Рис.

Требования по технике безопасности

Прежде чем приступить к работе, внимательно ознакомьтесь с заданием и оборудованием.

О замеченных неисправностях сообщите преподавателю или лаборанту.

Не загромождайте рабочее место предметами, не относящимся к выполняемой работе.

Тщательно закрепляйте грузы на крестовине, чтобы они не слетали при раскручивании маятника.

Следите за равномерной намоткой нити на шкив.

По окончании работы обесточьте прибор и приведите в порядок рабочее место.

Порядок выполнения работы

Проверка зависимости углового ускорения от момента силы натяжения М при постоянном моменте инерции J.

1. Снять грузы со стержней крестовины маятника Обербека.

2. Установить кронштейн с фотодатчиком в нижней части вертикальной стойки таким образом, чтобы гиря с грузами при движении вниз проходила по центру рабочего окна фотодатчика.

3. К концу нити подвесить груз массы m₁. Установить нижний край груза на определенной высоте, используя для этого красный флажок на вертикальной стойке.

4. Включить электросекундомер. Одновременно нажать на кнопку «ПУСК» и отпустить груз. Гиря начинает опускаться, и таймер начинает отсчет времени. При пересечении гирей оптической оси фотодатчика отсчет времени прекратиться. Записать показания таймера, т.е. время движения гири t.

5. Определить пройденный грузом путь h - расстояние от нижней плоскости гири до оптической оси фотодатчика.

6. Записав значения h, m, t нажать клавишу «СБРОС». Для повышения точности измерений опыт повторить до 3-х раз, не изменяя h.

7. Определить среднее значение времени движения груза.

8. По формуле (2.12) по среднему времени рассчитать угловое ускорение маятника.

9. По формуле (2.11) по среднему времени рассчитать момент силы натяжения.

10. Повторить п.п. 4-9 для грузов с массами m₂, m₃, m₄, m₅.

11. Все данные занести в таблицу 5.1 и построить график зависимости , в виде прямой.

12. Из графика найти момент инерции маятника без грузов и момент силы трения М_тр.

Таблица 5.1