Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Украины

Донбасский государственный технический университет

Кафедра радиофизики

Курсовая работа

по дисциплине Электродинамика

на тему: Решение граничных задач электростатики с помощью функции Грина

Введение

Стационарные электромагнитные поля, т. е. поля, не изменяющиеся со временем, поддаются наиболее полному описанию и чаще всего встречаются на практике. Для решения соответствующих задач электростатики и магнитостатики были разработаны эффективные математические методы, применение которых неизбежно при решении большинства практических задач, возникающих, например, при расчете структуры поля постоянного магнита, постоянного электрического поля и т. д.

Целью данной курсовой работы является нахождение потенциала следующей задачи:

при произвольной функции с помощью функции Грина, определяемой соотношением:

Объем, в котором находиться заряд, конечен. Заряд считаем равным , условие:

, (1)

является граничным условием распространения заряда в объеме.

1. Электростатика

1.1 Электростатическое поле

Электростатика рассматривает постоянное электрическое поле неподвижных зарядов. Математически область электростатических явлений выделяется из всей области электромагнитных явлений следующими требованиями:

- все величины постоянны во времени;

- движение зарядов отсутствует, т. е. .

при этих условиях уравнения Максвелла и граничные условия принимают следующий вид:

Таким образом, уравнения разбились на две группы независимых уравнений, относящихся только к магнитному полю и только к электрическому полю. Поэтому электростатическое поле и магнитостатическое поле можно рассматривать совершенно раздельно. Такое раздельное рассмотрение электрического и магнитного полей возможно лишь в случае независящих от времени полей. В общем случае полей, изменяющихся со временем, электрическое и магнитное поле нельзя отделить друг от друга, их необходимо рассматривать только совместно.

1.2 Основные задачи электростатики

Рассмотрим электростатическое поле в однородной среде ().

Уравнения электростатического поля и граничные условия имеют вид:

(1.1)

Перед теорией электростатического поля стоят три основные задачи:

- по заданному электрическому полю, т. е. по известной величине напряженности поля как функции координат =E (x, y, z), найти распределение электрических зарядов, т. е. определить функции с и у как функции координат;

- по заданному распределению зарядов, т. е. при заданных функциях с и у найти значение вектора во всех точках пространства;

- найти силы, действующие на заряды в электростатическом поле.

Первая из этих задач решается тривиально. В самом деле, уравнения (1.1), переписанные в виде:

(1.2)

сразу дают решение этой задачи. Далее рассмотрим решение второй и третьей задачи.

Векторное поле, ротор которого равен нулю, называется потенциальным. Электростатическое поле является потенциальным исходя из условия:

(1.3)

В электростатическом поле работа сил по перемещению заряда из одной точки в другую не зависит от пути, по которому производится это перемещение, а зависит только от начальной и конечной точек пути. Это следует из уравнения (1.3).

Независимость работы сил поля от пути перемещения заряда между двумя точками обусловливает существование такой скалярной функции ц, разностью значений которой в конечной и начальной точках пути определяется эта работа. Такая скалярная функция называется скалярным потенциалом.

Поскольку ротор градиента всегда равен нулю, то общим решением уравнения (1.3) является:

(1.4)

Благодаря наличию знака минус в формуле (1.4) вектор напряженности электрического поля направлен в сторону уменьшения потенциала. На основании этой формулы можно записать следующее выражение:

(1.5)

Сам по себе потенциал является вспомогательной величиной. Его численная величина не имеет какого-либо физического значения и не может быть измерена на опыте. Физическое значение имеет лишь разность потенциалов, которая может быть измерена. Эта разность потенциалов не изменится, если к значению потенциала во всех точках пространства прибавить одну и ту же постоянную величину, поскольку при вычислении разности потенциалов эта постоянная величина сократится. Поэтому можно сказать, что потенциал определен с точностью до аддитивной постоянной. Эта аддитивная постоянная совершенно произвольна, и мы можем выбрать её по нашему усмотрению. Пользуясь этим, можно потенциал в любой фиксированной точке сделать равным любой наперёд заданной величине. Тогда потенциал всех остальных точек оказывается определенным однозначно. Придание однозначности скалярному потенциалу называется нормировкой потенциала. В теоретической физике обычно принимается, что потенциал равен нулю на бесконечности, если заряды расположены в конечной области пространства.

При такой нормировке потенциала равенство (1.5) в случае, когда точка В находится в бесконечности, приводит к соотношению:

(1.6)

где форма пути интегрирования является произвольной.

Поле точечного заряда e является сферически симметричным. Следовательно, потенциал точечного заряда также является симметричным. Он зависит только от расстояния r между точкой, в которой вычисляется потенциал и точечным зарядом, который создает этот потенциал. Принимая во внимание, что напряженность поля точечного заряда e на расстоянии r от него определяется выражением:

 (1.7)

и пользуясь формулой (1.6), получаем:

(1.8)

При вычислении в качестве пути интегрирования выбран путь вдоль радиус-вектора. Таким образом, потенциал точечного заряда e на расстоянии r от него прямо пропорционален величине заряда, делённой на это расстояние.

2. Уравнения Лапласа и Пуассона

Выведем уравнение Лапласа и Пуассона исходя из двух дифференциальных уравнений электростатического поля (1.1). Для получения дифференциального уравнения, которому подчиняется потенциал ц, подставим в уравнение:

электростатический поле заряд потенциал

(2.1)

выражение напряженности поля (1.4). Учтем при этом следующее выражение:

(2.2)

оператор Лапласа.

Поэтому уравнение (2.1) после замены (1.4) приобретает следующий вид:

. (2.3)

Полученное выражение является Уравнением Пуассона. В той области пространства, где плотность заряда равна нулю , уравнение переходит в так называемое уравнение Лапласа:

(2.4)

Основным требованием для решения уравнения (2.3) является конечность и непрерывность функции потенциала ц, с конечными производными по координатам. Решая дифференциальное уравнение Пуассона, мы найдем искомый потенциал, и этим решим поставленную ранее нами задачу.

3. Функции Грина

3.1 Теорема Грина

Если бы в электростатических задачах мы всегда имели дело с дискретным и непрерывным распределением заряда без всяких граничных поверхностей, то решение (1.8) было бы самой удобной и непосредственной формой таких задач, и не нужны были бы уравнения Лапласа и Пуассона. Однако в действительности в большинстве задач электростатики мы имеем дело с конечными областями пространства (содержащими или не содержащими заряд), на граничных поверхностях которых заданы граничные или краевые условия. Для рассмотрения задач с граничными условиями необходимо расширить используемый нами математический аппарат, а именно ввести формулы Грина.

Формулы Грина получаются непосредственно из теоремы о дивергенции

, (3.1)

которая справедлива для любого векторного поля , определенного в объеме V, ограниченном замкнутой поверхностью S. Пусть , где и - произвольные скалярные функции. Тогда

(3.2)

. (3.3)

Подставляя (3.2) и (3.3) в (3.1), получим первую формулу Грина:

. (3.4)

Если в формуле (3.4) поменять местами и , вычтем её из неё же, получим вторую формулу Грина, называемою теоремой Грина:

. (3.5)

3.2 Граничные условия Дирихле и Неймана

Задание граничных условий влияет на решение задачи. При граничных условиях существует единственное решение задачи Пуассона или Лапласа. На основе данных физического опыта можно полагать, что задание потенциала на замкнутой поверхности единственным образом определяет распределение потенциалов, аналогично можно ожидать, что задание электрического поля на граничной поверхности также однозначно определяет решение. Такие граничные условия носят название граничных условий Неймана.

3.3 Функция Грина

Решение уравнений Пуассона или Лапласа в конечном объёме , ограничивающей поверхности заданы граничные условия Неймана или Дирихле, можно получить с помощью теорем или функций Грина. Предположим функцию равной , тогда уравнение Пуассона имеет вид:

. (3.6)

Функция - лишь одна из множества функций, зависящих от и и удовлетворяющих (3.6). В общем случае:

, (3.7)

. (3.8)

и есть функция Грина.

Здесь F удовлетворяет уравнению Лапласа внутри объёма :

(3.9)

Функцией Грина называется потенциальная функция данной системы заземлённых проводников, в которых имеется один единичный заряд, расположенный в точке . Функция Грина данной задачи представляет собой симметричную функцию координат точки поля и точки, где расположен единичный заряд. Эта функция даёт возможность решать задачи на нахождение потенциала.

Решения задач могут быть получены с помощью теоремы Грина:

, (3.10)

где и - произвольные функции координат, не имеющие особенностей в рассматриваемом объёме.

Пусть - решение какой-либо конкретной задачи, а - -функция Грина этой задачи, тогда, учитывая теорему Грина (3.10), получим:

(3.12)

Представим теорему Грина следующим образом: учтем, что по определению функции Грина на поверхности ; в соотношение (3.12) подставим уравнение Пуассона (2.3):

. (3.13)

Пользуясь свободой в определении функции Грина, мы можем оставить в поверхностном интеграле лишь желательные Граничные значения. Так, при задании граничных условий Дирихле:

, (3.14)

тогда первый член поверхностного интеграла (3.13) обратится в ноль, и мы получим решение:

(3.15)

Если задать граничные условия Неймана:

, (3.16)

тогда и второй член интеграла по поверхности в выражении (3.13) будет равен нулю:

(3.17)

Условия Неймана, при этом, принимаются только в случае, когда объем и поверхность ограничены и конечны.

Полученное нами выражение (3.17) является решением уравнения Пуассона с помощью функции Грина.

Функции Грина, удовлетворяющие граничным условиям (3.14) и (3.16), обладают свойством симметрии: . Поскольку функция Грина, если рассматривать ее как функцию одной из переменных, описывает потенциал точечного единичного заряда, свойство симметрии отражает физический факт возможности перестановки источника и точки наблюдения.

4. Решение поставленной задачи

Для решения поставленной нами задачи будем рассматривать потенциал, создаваемый в пространстве, т. е. зависящий от трёх координат: x, y, z.

Пусть - потенциал электростатического поля, создаваемого во всем пространстве электрическими зарядами, распределенными с плотностью в заданном конечном объёме V. В этом случае краевое условие имеет вид , а искомое решение удовлетворяет уравнению Пуассона (2.3). Поле определяется распределением заряда с, поэтому решение ищем в виде:

, (4.1)

где - решение задачи для точечного источника, т. е. поля, создаваемого точечным единичным зарядом; - радиус-вектор точки наблюдения в объёме ; - радиус-вектор произвольного заряда в объёме . Распределение такого заряда выражается функцией:

(4.2)

где - точка, в которой находится заряд.

Поэтому подставим вместо в уравнение (2.3), учтем при этом выражение (4.2),получим:

 (4.3)

Функция Грина представляет собой потенциал электростатического поля в точке , создаваемый единичным точечным зарядом, помещенным в точку с радиус-вектором . Следовательно, в рассматриваемом случае функцию Грина можно рассматривать как потенциал точечного заряда и, он нам известен из электростатики: на расстоянии R от точечного заряда e потенциал определяется выражением (1.8). Применяя формулу (1.8) к нашей задаче, т. е. , функция Грина, запишется в виде:

(4.4)

Проверим наши предположения, и получим функцию (4.4) используя общий метод нахождения функции Грина. Эта функция определена во всем пространстве, и её можно разложить в интеграл Фурье. Полагая для удобства , имеем:

(4.5)

где - Фурье-образ функции Грина;

Так как . Подставим формулу (4.5) в уравнение (4.3), учтем при этом, что , получим:

 (4.6)

Сравнивая выражение (4.6) с Фурье-преобразованием трёхмерной дельта-функции:

, (4.7)

видим, что

(4.8)

Итак, мы нашли Фурье-преобразование функции Грина. Подставляя его в формулу (4.5) и интегрируя, находим искомую функцию.

Для вычисления интеграла введем для переменных интегрирования сферические координаты с полярной осью, совпадающей с вектором . Тогда , а интеграл (4.5) с учетом формулы (4.8), запишется в виде:

.

Зная, что получаем формулу:

.

Следовательно,

Теперь с помощью формулы (4.1) можно получить решение задачи для произвольного распределения заряда:

(4.9)

Применим выражение (4.9) непосредственно к нашей задаче, проинтегрируем это выражение, считая произвольной постоянной функцией. Для удобства будем искать потенциал, распределенный в сфере, из этого следует:

. (4.10)

Учтем при этом граничное условие задачи (1), в котором определены пределы интегрирования по на плоскости, т. е. будем интегрировать по переменной . Подставим в уравнение (4.9) выражение (4.10) и проинтегрируем, получим:



(4.11)

Полученное выражение является решением с помощью функции Грина поставленной нами задачи электростатики.

5. Анализ полученных результатов

Полученное решение (4.11) выражает потенциал, создаваемый точечным зарядом на плоскости в конечном граничном объёме с заданными граничными условиями. Как мы видим, функция Грина значительно упрощает решение уравнений Лапласа и Пуассона. Самой главной трудностью в данном методе решения является определение и нахождение функции Грина. Вычислив её, подставляем в формулу общего решения и, применяя подходящие методы интегрирования, находим искомую величину.

На вид и значение полученного нами решения (4.11) прежде всего, влияют граничные условия. Так как при выводе формулы мы задавали условия Дирихле и Неймана для формулы общего решения (3.17), наше решение имеет единственное решение. Если бы мы задались только условием Неймана (3.16), или только условием Дирихле (3.14), то получили бы либо ни одного, либо множество решений, при этом способ решения значительно усложнился.

Для удобства мы полагали, что потенциал распределен в сфере. Также можно было взять любой другой объём и продифференцировать его относительно. При этом вид функции имел бы иной вид.

Из условия (1) следует, что мы нашли потенциал на плоскости, таким же образом можно было найти потенциал в пространстве объёма, переходя при этом к сферическим координатам.

При решении мы рассматривали единичный точечный заряд, в том случае, если бы мы имели систему зарядов, решение усложнилось. Прежде всего, нам необходимо было найти функцию Грина, которая носила бы усредненный характер.

Мы рассматривали однородное распределение заряда, т.е. , но в большинстве случаях является неоднородно распределенной функцией, при этом её вид бывает различным. Отсюда следует сделать вывод, что функция имеет большое значение и влияет на результат.

Список используемой литературы

1. Дж. Джексон. Классическая электродинамика: учеб. пособие для Втузов - М.: Мир,1965г, стр. 28-50

2. Матвеев А. Н. Электродинамика и теория относительности: учеб. руководство - М.: Высшая школа, 1964г, стр. 44-53.

3. В. Пановский, М. Филипс. Классическая электродинамика: учеб. пособие - М.: Физматлит. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1963, стр. 52-56.

4. Терлецкий Я. П., Рыбаков Ю. П. Электродинамика: учеб. пособие для студентов физ. спец. университетов. - 2-е изд., перераб. - М.: Высшая школа, 1990, стр. 48-58.

5. Л. С. Левитов, А.В. Шитов. Функции Грина. Задачи с решениями: 2-е изд., дополн. - М.: Физматлит, 2002, стр. 27-44.

6. А. В. Кузнецов. Методы математической физики: учеб. пособие. - Ярославль, 2003, стр. 3-14.

Размещено на Allbest.ru

...