Кристаллическое состояние твердых тел
Анизотропия как характерная черта твердых тел, имеющих кристаллическое строение. Симметрия, точечные и линейные дефекты кристаллической решетки. Статистические свойства фононного газа. Внутренняя энергия и теплоемкость кристаллического твердого тела.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 17.07.2013 |
| Размер файла | 154,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Кристаллическое состояние
Содержание
1. Отличительные черты кристаллического состояния
2. Классификация кристаллов
3. Физические типы кристаллических решеток
4. Дефекты в кристаллах
5. Квантовая теория теплоемкости кристаллов. Теория теплоемкости Эйнштейна
6. Фононы. Статистические свойства фононного газа
7. Внутренняя энергия и теплоемкость кристалла. Закон Дебая
1. Отличительные черты кристаллического состояния
Подавляющее большинство твердых тел в природе имеет кристаллическое строение. Так, например, почти все минералы и все металлы в твердом состоянии являются кристаллами.
Характерная черта кристаллического состояния, отличающая его от жидкого и газообразного состояний, заключается в наличии анизотропии, т. е. зависимости ряда физических свойств (механических, тепловых, электрических, оптических) от направления.
Тела, свойства которых одинаковы по всем направлениям, называются изотропными. Изотропны, кроме газов и, за отдельными исключениями, всех жидкостей, также аморфные твердые тела. Последние представляют собой переохлажденные жидкости.
Причиной анизотропии кристаллов служит упорядоченное расположение частиц (атомов или молекул), из которых они построены. Упорядоченное расположение частиц проявляется в правильной внешней огранке кристаллов. Кристаллы ограничены плоскими гранями, пересекающимися под некоторыми, определенными для каждого данного рода кристаллов, углами. Раскалывание кристаллов легче происходит по определенным плоскостям, называемым плоскостями спайности.
Правильность геометрической формы и анизотропия кристаллов обычно не проявляются по той причине, что кристаллические тела встречаются, как правило, в виде поликристаллов, т. е. конгломератов множества сросшихся между собой, беспорядочно ориентированных мелких кристалликов. В поликристаллах анизотропия наблюдается только в пределах, каждого отдельно взятого кристаллика, тело же в целом вследствие беспорядочной ориентации кристалликов анизотропии не обнаруживает. Создав специальные условия кристаллизации из расплава или раствора, можно получить большие одиночные кристаллы - монокристаллы любого вещества. Монокристаллы некоторых минералов встречаются в природе в естественном состоянии.
Упорядоченность расположения атомов кристалла заключается в том, что атомы (или молекулы) размещаются в узлах геометрически правильной пространственной решетки. Весь кристалл может быть получен путем многократного повторения в трех различных направлениях одного и того же структурного элемента, называемого элементарной кристаллической ячейкой (рис. 110.1, а). Длины ребер a, b и с кристаллической ячейки называются периодами идентичности кристалла.
Кристаллическая ячейка представляет собой параллелепипед, построенный на трех векторах а, b, с, модули которых равны периодам идентичности. Этот параллелепипед, кроме ребер а, b, с, характеризуется также углами б,в и г между ребрами (рис. 110.1, б).Величины а, b, с и б, в, г однозначно определяют элементарную ячейку и называются ее параметрами.
Элементарную ячейку можно выбрать различными способами. Это показано на рис. 110.2 на примере плоской структуры. Облицовку стены чередующимися светлыми и темными треугольными плитками можно получить многократным повторением в двух направлениях различных ячеек (см., например, ячейки 1, 2 и 3; стрелками указаны направления, в которых повторяются ячейки). Ячейки 1 и 2 отличаются тем, что включают минимальное количество структурных элементов (по одной светлой и по одной темной плитке). Кристаллическая ячейка, включающая наименьшее число атомов, характеризующих химический состав кристаллического вещества (например, один атом кислорода и два атома водорода для кристалла льда), называется примитивной ячейкой. Однако обычно вместо примитивной выбирают элементарную ячейку с большим числом атомов, но обладающую той же симметрией, как и весь кристалл в целом. Так, изображенная на рис. 110.2 плоская структура совпадает сама с собой при повороте на 120° вокруг любой перпендикулярной к ней оси, проходящей через вершины плиток. Таким же свойством обладает элементарная ячейка 3. Ячейки 1 и 2 имеют меньшую степень симметрии: они совпадают сами с собой только при повороте на 360°.
2. Классификация кристаллов
кристалл анизотропия фонон теплоемкость
Кристаллическая решетка может обладать различными видами симметрии. Под симметрией кристаллической решетки понимается свойство решетки совпадать с самой собой при некоторых пространственных перемещениях.
Всякая решетка прежде всего обладает трансляционной симметрией, т. е. совпадает сама с собой при перемещении (трансляции) на величину периода идентичности При рассмотрении симметрии решетки отвлекаются от конечных размеров кристалла и считают решетку бесконечной.. Из других видов симметрии отметим симметрию по отношению к поворотам вокруг некоторых осей, а также к зеркальному отражению относительно определенных плоскостей.
Если решетка совпадает сама с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол 2л/n (следовательно, за один полный поворот вокруг оси решетка совпадает сама с собой п раз), то эта ось называется осью симметрии n-го порядка. Можно показать что, кроме тривиальной оси 1-го порядка, возможны только оси симметрии 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядков. Примеры структур, обладающих такими осями симметрии, показаны схематически на рис. 111.1 (белыми кружками, черными кружками и крестиками обозначены атомы разных сортов).
Плоскости, при зеркальном отражении от которых решетка совпадает сама с собой, называются плоскостями симметрии. Пример плоскости симметрии также дан на рис. 111.1.
Различные виды симметрии называются элементами симметрии кристаллической решетки. Кроме осей и плоскостей, возможны другие элементы симметрии, в рассмотрение которых мы, однако, входить не станем.
Кристаллическая решетка, как правило, обладает одновременно несколькими видами симметрии. Однако не всякое сочетание элементов симметрии оказывается возможным. Как показал выдающийся русский ученый Е.С. Федоров, возможны 230 комбинаций элементов симметрии, получившие название пространственных групп. Эти 230 пространственных групп разбиваются по признакам симметрии на 32 класса. Наконец, по форме элементарной ячейки все кристаллы делятся на семь кристаллографических систем (или сингоний), каждая из которых включает в себя несколько классов симметрии.
В порядке возрастающей симметрии кристаллографические системы располагаются следующим образом.
1. Триклинная система. Для нее характерно, что ;. Элементарная ячейка имеет форму косоугольного параллелепипеда.
2. Моноклинная система. Два угла - прямые, третий (в качестве которого принято выбирать угол ) отличен от прямого. Следовательно, ; ; . Элементарная ячейка имеет форму прямой призмы, в основании которой лежит параллелограмм (т. е. форму прямого параллелепипеда).
3. Ромбическая система. Все углы - прямые, все ребра - разные: ; . Элементарная ячейка имеет форму прямоугольного параллелепипеда.
4. Тетрагональная система. Все углы - прямые, два ребра - одинаковые: ; . Элементарная ячейка имеет форму прямой призмы с квадратным основанием.
5. Ромбоэдрическая (или тригональная) система. Все ребра - одинаковые, все углы также одинаковые и отличные от прямого: ; . Элементарная ячейка имеет форму куба, деформированного сжатием или растяжением вдоль диагонали.
6. Гексагональная система. Ребра и углы между ними удовлетворяют условиям: ;,. Если составить вместе три элементарные ячейки так, как показано на рис. 111.2, то получается правильная шестигранная призма.
7. Кубическая система. Все ребра - одинаковые, все углы - прямые: a=b=c;. Элементарная ячейка имеет форму куба.
3. Физические типы кристаллических решеток
В зависимости от природы частиц, помещающихся в узлах кристаллической решетки, и от характера сил взаимодействия между частицами различают четыре типа кристаллических решеток и соответственно четыре типа кристаллов: ионные, атомные, металлические и молекулярные.
1. Ионные кристаллы. В узлах кристаллической решетки помещаются ионы разных знаков. Силы взаимодействия между ними являются в основном электростатическими (кулоновскими). Связь, обусловленная электростатическими силами притяжения между разноименно заряженными ионами, называется гетерополярной (или ионной).
Типичным примером ионной решетки может служить изображенная на рис. 112.1 решетка каменной соли (NaCl). Эта решетка принадлежит к кубической системе. Белыми кружками изображены несущие положительный заряд ионы натрия, черными кружками - отрицательные ионы хлора. Как видно из рисунка, ближайшими соседями иона данного знака будут ионы противоположного знака. В газообразном состоянии NaCl состоит из молекул, в которых объединяются попарно ионы натрия с ионами хлора. Образующая молекулу группировка из иона Na и иона Сl утрачивает в кристалле обособленное существование. Ионный кристалл состоит не из молекул, а из ионов. Весь кристалл в целом можно рассматривать как одну гигантскую молекулу.
2. Атомные кристаллы. В узлах кристаллической решетки помещаются нейтральные атомы. Связь, объединяющая в кристалле (а также и в молекуле) нейтральные атомы, называется гомеополярной (или ковалентной). Силы взаимодействия при гомеополярной связи имеют также электрический (но не кулоновский) характер. Объяснение этих сил может быть дано только на основе квантовой механики.
Гомеополярная связь осуществляется электронными парами. Это означает, что в обеспечении связи между двумя атомами участвует по одному электрону от каждого атома. По этой причине гомеополярная связь имеет направленный характер. При гетерополярной связи каждый ион воздействует на все достаточно близкие к нему ионы. При гомеополярной связи воздействие направлено на тот атом, с которым у данного атома имеется совместная электронная пара. Гомеополярная связь может осуществляться только валентными, т. е. наименее связанными с атомом, электронами. Поскольку каждый электрон может обеспечить связь только с одним атомом, число связей, в которых может участвовать данный атом (число соседей, с которыми он может быть связан), равно его валентности.
Типичными примерами атомных кристаллов могут служить алмаз и графит. Оба эти вещества тождественны по химической природе (они построены из атомов углерода), но отличаются кристаллическим строением. На рис. 112.2, а показана решетка алмаза, на рис. 112.2, б - решетка графита. На этом примере отчетливо видно влияние кристаллической структуры на свойства вещества.
Такую же решетку, как у алмаза (решетку типа алмаза), имеют типичные полупроводники - германий (Ge) и кремний (Si). Для этой решетки характерно то, что каждый атом окружен четырьмя равноотстоящими от него соседями, расположенными в вершинах правильного тетраэдра. Каждый из четырех валентных электронов входит в электронную пару, связывающую данный атом с одним из соседей.
3. Металлические кристаллы. Во всех узлах кристаллической решетки расположены положительные ионы металла. Между ними беспорядочно, подобно молекулам газа, движутся электроны, отщепившиеся от атомов при образовании ионов. Эти электроны играют роль "цемента", удерживая вместе положительные ионы; в противном случае решетка распалась бы под действием сил отталкивания между ионами. Вместе с тем и электроны удерживаются ионами в пределах кристаллической решетки и не могут ее покинуть.
Большинство металлов имеет решетки одного из трех типов: кубическую объемно-центрированную (рис. 112.3, а), кубическую гранецентрированную (рис. 112.3, б) и так называемую плотную гексагональную (рис. 112.3, в). Последняя представляет собой гексагональную решетку с отношением с/а, равным . Кубическая гранецентрированная и плотная гексагональная решетки соответствуют наиболее плотной упаковке одинаковых шаров.
4. Молекулярные кристаллы. В узлах кристаллической решетки помещаются определенным образом ориентированные молекулы. Силы связи между молекулами в кристалле имеют ту же природу, что и силы притяжения между молекулами, приводящие к отклонению газов от идеальности. По этой причине их называют ван-дер-ваальсовскими силами. Молекулярные решетки образуют, например, следующие вещества: Н 2, N2, О 2, СО 2, Н 2О. Таким образом, обычный лед, а также так называемый сухой лед (твердая углекислота) представляют собой молекулярные кристаллы.
4. Дефекты в кристаллах
Дефектами кристаллов называют нарушения идеальной кристаллической структуры. Такое нарушение может заключаться в отсутствии атома в узле решетки (вакансия), в замене атома данного вещества (своего атома) чужим атомом (атомом примеси), во внедрении лишнего атома (своего или чужого) в межузельное пространство. Подобные дефекты называются точечными. Они вызывают нарушения правильности решетки, распространяющиеся на расстояния порядка нескольких периодов.
Кроме точечных, существуют дефекты, сосредоточенные вблизи некоторых линий. Их называют линейными дефектами или дислокациями. Дефекты такого вида нарушают правильное чередование кристаллических плоскостей. Простейшими видами дислокаций являются краевая и винтовая дислокации.
Краевая дислокация обусловливается лишней кристаллической полуплоскостью, вдвинутой между двумя соседними слоями атомов (рис. 113.1). Край этой полуплоскости образует дислокацию данного вида. Линией дислокации является перпендикулярная к плоскости рисунка прямая, отмеченная знаком .
Винтовую дислокацию можно представить как результат разреза кристалла по полуплоскости и последующего сдвига лежащих по разные стороны разреза частей решетки навстречу друг другу на величину одного периода (рис. 113.2). Внутренний край разреза образует винтовую дислокацию (см. пунктирную прямую на рисунке). Кристалл с винтовой дислокацией фактически состоит из одной кристаллической плоскости, которая изогнута по винтовой поверхности (такую поверхность называют геликоидом). Линия дислокации совпадает с осью винта. При каждом обходе вокруг этой линии кристаллическая плоскость смещается на один период.
Мы рассмотрели два простейших (предельных) вида дислокаций. В обоих случаях линии дислокации являются прямыми. В общем случае линии дислокации могут быть кривыми.
Дефекты оказывают сильное влияние на физические свойства кристаллов, в том числе и на их прочность. В частности, дислокации служат причиной того, что пластическая деформация Пластической называется деформация, сохраняющаяся после того, как снимается напряжение, вызвавшее деформацию. реальных кристаллов происходит под воздействием напряжений на несколько порядков меньших, чем вычисленное для идеальных кристаллов.
У монокристаллов металлов легко происходит сдвиг вдоль атомных слоев. Не следует представлять себе этот процесс так, что все атомы слоя смещаются одновременно как одно целое. В действительности атомы перескакивают в новые положения небольшими группами поочередно. Такое поочередное перемещение атомов может быть представлено как движение дислокации. Для перемещения дислокации достаточно напряжений, много меньших, чем для перемещения всего атомного слоя сразу. На рис. 113.3 показаны последовательные стадии процесса, происходящего в кристалле под действием сил, обусловливающих сдвиг. Первоначально имевшаяся дислокация под воздействием созданных в кристалле напряжений перемещается вдоль кристалла. Это перемещение сопровождается поочередным сдвигом атомов слоя, лежащего над дислокацией, относительно атомов слоя, лежащего под дислокацией.
Перемещению дислокаций препятствует наличие других дефектов в кристалле, например, присутствие атомов примеси. Дислокации тормозятся также при пересечении друг с другом. Если количество дислокаций и других дефектов в кристалле мало, дислокации перемещаются практически свободно. В результате сопротивление сдвигу будет невелико. Увеличение плотности дислокаций и возрастание концентрации примесей приводит к сильному торможению дислокаций и прекращению их движения. В результате прочность материала растет. Так, например, повышение прочности железа достигается растворением в нем атомов углерода (такой раствор представляет собой сталь).
Пластическая деформация сопровождается разрушением кристаллической решетки и образованием большого количества дефектов, препятствующих перемещению дислокаций. Этим объясняется упрочение материалов при их холодной обработке.
Винтовая дислокация часто возникает в процессе роста кристаллов из раствора или расплава. Захват атома гладкой плоской кристаллической поверхностью энергетически менее выгоден и поэтому менее вероятен, чем присоединение атома к ступеньке, существующей на поверхности кристалла с винтовой дислокацией. Поэтому кристаллы предпочитают расти со встроенной внутрь винтовой дислокацией. Новые атомы присоединяются к краю ступеньки, вследствие чего рост кристалла происходит по спирали.
5. Квантовая теория теплоемкости кристаллов. Теория теплоемкости Эйнштейна
Расположение частиц в узлах кристаллической решетки отвечает минимуму их взаимной потенциальной энергии. При смещении частиц из положения равновесия в любом направлении появляется сила, стремящаяся вернуть частицу в первоначальное положение, вследствие чего возникают колебания частицы. Колебание вдоль произвольного направления можно представить как наложение колебаний вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений. Поэтому каждой частице в кристалле следует приписывать три колебательные степени свободы.
Как было ранее выяснено, на каждую колебательную степень свободы в среднем приходится энергия, равная двум половинкам kТ - одна в виде кинетической и одна в виде потенциальной энергии. Следовательно, на каждую частицу - атом в атомной решетке, ион в ионной или металлической решетке В случае молекулярных кристаллов дело обстоит сложнее. Молекулы наряду с поступательными колебаниями совершают также крутильные колебания. Кроме того, происходят колебания атомов внутри - приходится в среднем энергия, равная 3kT. Энергию моля вещества в кристаллическом состоянии можно найти, умножив среднюю энергию одной частицы на число частиц, помещающихся в узлах кристаллической решетки. Последнее число совпадает с числом Авогадро NA только в случае химически простых веществ. В случае такого, например, вещества, как NaCl, число частиц будет равно 2NА, ибо в моле NaCl содержится NA атомов Na и NA атомов С 1.
Ограничившись рассмотрением химически простых веществ, образующих атомные или металлические кристаллы, для внутренней энергии моля вещества в кристаллическом состоянии можно написать выражение
.
Приращение внутренней энергии, соответствующее повышению температуры на один градус, равно теплоемкости при постоянном объеме. Следовательно,
.
Поскольку объем твердых тел при нагревании меняется мало, их теплоемкость при постоянном давлении незначительно отличается от теплоемкости при постоянном объеме, так что можно положить и говорить просто о теплоемкости твердого тела.
Рис. 1.
Итак, теплоемкость моля химически простых тел в кристаллическом состоянии одинакова и равна 3R. Это утверждение составляет содержание закона Дюлонга и Пти, установленного опытным путем. Закон выполняется с довольно хорошим приближением для многих веществ при комнатной температуре. Однако, например, алмаз имеет при комнатной температуре теплоемкость, равную всего примерно 0,7R.
Более того, теплоемкость кристаллов зависит от температуры, причем зависимость имеет характер, показанный на рис. 1. Вблизи абсолютного нуля теплоемкость всех тел пропорциональна T 3, и только при достаточно высокой, характерной для каждого вещества температуре начинает выполняться закон Дюлонга и Пти. У большинства тел это достигается уже при комнатной температуре, у алмаза же теплоемкость достигает значения 3R лишь при температуре порядка 1000°С.
Применение квантовой теории позволило Эйнштейну уже в 1906 г. дать принципиальное объяснение падения теплоемкости кристаллов вблизи абсолютного нуля температуры. Эйнштейн рассматривал кристалл как совокупность N независимых гармонических осцилляторов, колеблющихся около положения равновесия с одной и той же частотой щ. Средняя энергия, приходящаяся на одну степень свободы, в этом случае определяется формулой Планка:
(1)
в которой опущен член , представляющий нулевую энергию осциллятора. Этот член надо учитывать в тех вопросах, когда существенна амплитуда колебаний, например в вопросе зависимости рассеяния рентгеновских лучей от температуры. В вопросе о теплоемкости нулевая энергия роли не играет, поскольку она не зависит от температуры.
При высоких температурах формула (1) переходит в классическое выражение , а потому в вопросе о теплоемкости приводит к закону Дюлонга и Пти. При низких температурах формула, полученная Эйнштейном, дает убывание теплоемкости с температурой, причем теплоемкость стремится к нулю в согласии с тем, что требует эмпирически установленная теория Нернста. Однако согласие теории с опытом получается только качественное. Так, по формуле Эйнштейна вблизи абсолютного нуля теплоемкость кристалла должна убывать с температурой по экспоненциальному закону, тогда как опыт приводит к более медленному убыванию по степенному закону. Можно было думать, что такое расхождение теории с опытом связано не с принципиальными недостатками теории, а обусловлено грубостью примененной модели. В теории Эйнштейна осцилляторы считаются независимыми. Но будет гораздо ближе к действительности, если их рассматривать связанными. В таком случае в теле возбуждается не колебание с одной частотой, а получится целый спектр частот . Число этих частот равно 3N, т.е. числу степеней свободы N частиц, из которых состоит кристаллическое тело.
6. Фононы. Статистические свойства фононного газа
Если кристаллическое тело рассматривать как систему N связанных частиц, то смещение одного из атомов из положения равновесия влечет за собой смещение других соседних с ним атомов. В результате этого в кристалле возникает упругая волна. Дойдя до границы кристалла, волна отражается. При наложении прямой и отраженной волн образуется стоячая волна.
В соответствии с гипотезой Де Бройля с каждой бегущей монохроматической волной связаны энергия и импульс, определяемые соотношениями
, , (2)
введенными по аналогии с теорией фотонов. Волна, несущая энергию и импульс, определяемые формулами (2), в каком-то отношении ведет себя как частица. Частица, уподобляемая звуковой волне в вышеуказанном смысле, называется фононом.
Фонон во многих отношениях ведет себя так, как если бы он был частицей с энергией и импульсом (2). Однако в отличие от обычных частиц (электронов, протонов, фотонов) фонон не может возникнуть в вакууме - для своего возникновения и существования фонон нуждается в некоторой среде. Подобного рода частицы называются квазичастицами.
Фононы хорошо приспособлены для описания слабых коллективных возбуждений атомов в кристалле. Между последовательными столкновениями фонон движется свободно, и если "длина свободного пробега" его достаточно велика по сравнению с постоянной кристаллической решетки, то возбужденное состояние кристалла можно в известном отношении рассматривать как фононный газ, подобно тому, как электромагнитное излучение можно представить как фотонный газ, заполняющий полость. Формально оба представления весьма схожи - и фотоны, и фононы подчиняются одной и той же статистике Бозе-Эйнштейна. Однако между фотонами и фононами имеется существенное различие: в то время как фотоны являются истинными частицами, фононы являются квазичастицами.
Так как волны, длина которых меньше удвоенного межатомного расстояния, не имеют физического смысла, то существует минимальная длина волны упругих волн в кристалле:
,
где d - расстояние между соседними атомами в кристаллической решетке. Минимальной длине волны соответствует максимальная частота колебаний:
,
где - скорость упругих волн в кристалле.
Согласно этому энергетический спектр фононов в кристалле ограничен сверху максимальной энергией фононов (рис. 2)
Рис. 2.
. (3)
Для вычисления энергии фононного газа в кристалле воспользуемся статистическим методом. Для этого в энергетическом спектре фононов выделим узкую полосу спектра с энергиями в интервале от е до е + dе, где dе - ширина полосы спектра энергии фононов.
Тогда энергия фононов в полосе спектра dе равна:
, (4)
где dn - число фононов в полосе спектра dе.
Это число фононов dn определяется функцией распределения фононов по состояниям f (е) и числом состояний dg в полосе спектра dе :
, (5)
Поскольку фононы подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна, то:
, (6)
Число состояний dg в полосе спектра dе нам предстоит вычислить. Для этого рассмотрим фазовое пространство, характеризуемое шестью координатами (x, y, z, px, py, pz). Чтобы подсчитать число квантовых состояний в элементе объема данного фазового пространства, надо этот элемент объема разделить на объем элементарной ячейки равный . Тогда, если мы хотим подсчитать число состояний dg в интервале импульсов от р до р+dp, надо объем, заключенный между двумя сферами с радиусами р и р+dp, умножить на V и разделить на
, (7)
где V - объем кристалла. Учитывая связь между импульсом и энергией фонона
,
получим:
. (8)
Формула (8) не учитывает возможных видов поляризации волны. В твердой среде вдоль некоторого направления могут распространяться три разные волны с одним и тем же значением частоты щ, отличающиеся направлением поляризации: одна продольная и две поперечные со взаимно перпендикулярными направлениями колебаний. В соответствии с этим формулу (8) нужно видоизменить следующим образом:
,
где - фазовая скорость продольных, а -поперечных упругих волн.
Положим для простоты , тогда
. (9)
Максимальную энергию фононов еmax в кристалле можно найти, приравнивая полное число всех квантовых состояний числу степеней свободы, равному 3N
Отсюда
, (10)
Исключив из равенств (9) и (10) скорость , получим для числа квантовых состояний dg в полосе спектра энергии dе следующее выражение:
. (11)
Тогда энергия фононов в полосе спектра dе равна
. (12)
7. Внутренняя энергия и теплоемкость кристалла. Закон Дебая
С учетом (12) внутренняя энергия кристаллического твердого тела равна
, (13)
где
- энергия нулевых колебаний атомов в кристалле.
Возьмем один моль вещества, тогда N = NA, и производная от U по T даст молярную теплоемкость кристалла:
. (14)
Величину и, определяемую условием , называют характеристической температурой Дебая. По определению
. (15)
Температура Дебая указывает для каждого вещества ту область, где становится существенным квантование энергии колебаний.
Введем также переменную. Тогда выражение для теплоемкости примет вид:
, (16)
где
.
Запишем в этих обозначениях выражение для внутренней энергии кристалла
. (17)
1) При Т << и верхний предел интеграла будет очень большим, так что его можно приближенно положить равным бесконечности (xmax ? ?). Тогда интеграл в формуле (17) будет представлять собой некоторое число, а именно
.
Внутренняя энергия U в этом случае будет равна:
,
а молярная теплоемкость окажется пропорциональной кубу температуры:
(18)
Эта приближенная зависимость известна как закон Дебая. При достаточно низких температурах этот закон выполняется во многих случаях очень хорошо.
2) При T >> и, т.е. при , формулу (13) можно упростить, положив
.
Тогда для внутренней энергии получается выражение:
,
а для молярной теплоемкости значение
, (19)
фигурирующее в законе Дюлонга и Пти.
График зависимости теплоемкости кристалла от температуры показан на рис. 1.
Формула Дебая (18) хорошо передает ход теплоемкости с температурой для тел с простыми кристаллическими решетками, т.е. для химических элементов и некоторых простых соединений.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Общие свойства твердого тела, его состояния. Локализированные и делокализированные состояния твердого тела, отличительные черты. Сущность, виды химической связи в твердых телах. Локальное и нелокальное описания в неискаженных решетках. Точечные дефекты.
учебное пособие [2,6 M], добавлен 21.02.2009Физика твердого тела – один из столпов, на которых покоится современное технологическое общество. Физическое строение твердых тел. Симметрия и классификация кристаллов. Особенности деформации и напряжения. Дефекты кристаллов, способы повышения прочности.
презентация [967,2 K], добавлен 12.02.2010Тепловое движение частиц твердого тела. Развитие теории теплоемкости и теплопроводности кристаллической решетки материала. Основные механизмы переноса тепла в твердом теле. Фотоны. Фотонный газ. Электронная теплопроводность. Закон Видемана-Франца.
курсовая работа [242,1 K], добавлен 24.06.2008Атомная подсистема твердого тела. Анизотропия и симметрия физических, физико-химических, механических свойств кристаллов. Модель идеального кристалла и независимых колебаний атомов в нем. Классическое приближение. Модель Эйнштейна. Энергия решетки.
презентация [303,4 K], добавлен 22.10.2013Кристаллическое и аморфное состояния твердых тел, причины точечных и линейных дефектов. Зарождение и рост кристаллов. Искусственное получение драгоценных камней, твердые растворы и жидкие кристаллы. Оптические свойства холестерических жидких кристаллов.
реферат [1,1 M], добавлен 26.04.2010Структура кристаллов. Роль, предмет и задачи физики твердого тела. Кристаллические и аморфные тела. Типы кристаллических решеток. Типы связей в кристаллах. Кристаллические структуры твердых тел. Жидкие кристаллы. Дефекты кристаллов.
лекция [2,0 M], добавлен 13.03.2007Закон сохранения энергии и первое начало термодинамики. Внешняя работа систем, в которых существенную роль играют тепловые процессы. Внутренняя энергия и теплоемкость идеального газа. Законы Бойля-Мариотта, Шарля и Гей-Люссака, уравнение Пуассона.
презентация [0 b], добавлен 25.07.2015Главные черты линейных колебаний: одномерная цепочка с одним и двумя атомами в ячейке. Трехмерный кристалл. Фононы. Акустическая и оптическая ветки колебаний. Энергия колебаний и теплоемкость кристаллической решетки: модель Эйнштейна и модель Дебая.
курсовая работа [219,4 K], добавлен 24.06.2008Агрегатное состояние тела, его виды и характеристика. Процессы перехода из одного состояния в другое. Плавление - переход вещества из кристаллического (твёрдого) состояния в жидкое. Удельная теплота плавления, температура плавления и кипения воды.
реферат [1,0 M], добавлен 08.01.2011Дефекты реальных кристаллов, принцип работы биполярных транзисторов. Искажение кристаллической решетки в твердых растворах внедрения и замещения. Поверхностные явления в полупроводниках. Параметры транзистора и коэффициент передачи тока эмиттера.
контрольная работа [2,9 M], добавлен 22.10.2009Кинетическая энергия вращения твердого тела и момент инерции тела относительно нецентральной оси. Основной закон динамики вращения твердого тела. Вычисление моментов инерции некоторых тел правильной формы. Главные оси и главные моменты инерции.
реферат [287,6 K], добавлен 18.07.2013Тепловые свойства твердых тел. Классическая теория теплоемкостей. Общие требования к созданию анимационной обучающей программы по физике. Ее реализация для определения удельной теплоемкости твердых тел (проверка выполнимости закона Дюлонга и Пти).
дипломная работа [866,2 K], добавлен 17.03.2011Момент инерции тела относительно неподвижной оси в случае непрерывного распределения масс однородных тел. Теорема Штейнера. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела. Плоское движение твердого тела. Уравнение динамики вращательного движения.
презентация [163,8 K], добавлен 28.07.2015Основы динамики вращений: движение центра масс твердого тела, свойства моментов импульса и силы, условия равновесия. Изучение момента инерции тел, суть теоремы Штейнера. Расчет кинетической энергии вращающегося тела. Устройство и принцип работы гироскопа.
презентация [3,4 M], добавлен 23.10.2013Деформация как изменение взаимного положения частиц тела, связанное с их перемещением относительно друг друга, ее причины и механизмы. Виды: растяжение, сжатие, кручение, изгиб и сдвиг. Основные факторы, влияющие на жесткость и прочность твердого тела.
презентация [1,3 M], добавлен 26.01.2014Описание реальных газов в модели идеального газа. Особенности расположения молекул в газах. Описание идеального газа уравнением Клапейрона-Менделеева. Анализ уравнения Ван-дер-Ваальса. Строение твердых тел. Фазовые превращения. Диаграмма состояния.
реферат [1,1 M], добавлен 21.03.2014Удельное сопротивление полупроводников. Строение кристаллической решетки кремния. Дефекты точечного типа и дислокации. Носители заряда и их движение в электрическом поле. Энергетические уровни и зоны атома. Распределение носителей в зонах проводимости.
презентация [150,3 K], добавлен 27.11.2015Классификация твердых тел по электропроводности. Процесс образования пары электрон - дырка. Преимущества использования кремния в качестве полупроводникового материала. Структура кристаллической решетки типа "алмаз". Электронно-дырочный p-n-переход.
презентация [823,2 K], добавлен 09.07.2015Определение понятия "газ" как агрегатного состояния вещества, характеризующегося очень слабыми связями между молекулами, атомами и ионами. Основные состояния жидкостей: испарение, конденсация, кипение, смачивание и смешиваемость. Свойства твердых тел.
презентация [711,7 K], добавлен 31.03.2012Понятие и основные черты конденсированного состояния вещества, характерные процессы. Кристаллические и аморфные тела. Сущность и особенности анизотропии кристаллов. Отличительные черты поликристаллов и полимеров. Тепловые свойства и структура кристаллов.
курс лекций [950,2 K], добавлен 21.02.2009
