Гармонические колебания
Малые колебания вблизи положения равновесия. Дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебаний. Уравнение второго закона Ньютона. Энергия гармонических колебаний. Затухающие гармонические колебания. Характеристики колебательной системы.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 17.07.2013 |
| Размер файла | 330,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Гармонические колебания
Малые колебания вблизи положения равновесия
Дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебаний
Рассмотрим механическую систему, положение которой может быть задано с помощью одной величины, которую мы обозначили через x. В таких случаях говорят, что система имеет одну степень свободы. Величиной х, определяющей положение системы, может быть угол, отсчитываемый от некоторой плоскости, или расстояние, отсчитываемое вдоль заданной кривой, в частности прямой линии и т.п. Потенциальная энергия системы в этом случае будет функцией одной переменной х:
Допустим, что система обладает положением устойчивого равновесия. В этом положении функция (х) имеет минимум. Условимся координату х и потенциальную энергию отсчитывать от положения равновесия. Тогда . Разложим функцию (x) в ряд по степеням х, причем ограничимся рассмотрением малых колебаний, так что высшими степенями х можно будет пренебречь.
Поскольку при х = 0 имеет минимум, , а положительна. Кроме того, по условию . Введя обозначение , получим:
Это выражение идентично с выражением для потенциальной энергии деформированной пружины. Воспользовавшись соотношением между потенциальной энергией и консервативной силой, найдем:
- проекция силы на направление х.
В дальнейшем индекс х при обозначении силы будем опускать и писать:
Это выражение тождественно выражению для упругой силы деформированной пружины. Поэтому силы вида , независимо от их природы, называют квазиупругими. Эти силы всегда направлены к положению равновесия, а модуль их пропорционален величине отклонения системы от равновесного положения. Такие силы еще называют возвращающими.
В качестве примера рассмотрим систему, состоящую из шарика массы m, подвешенного на пружине, массой которой можно пренебречь по сравнению с m.
В положении равновесия сила тяжести mg уравновешивается упругой силой :
(1)
Будем характеризовать смещение шарика из положения равновесия координатой х, причем ось х направим вниз, а нуль оси х совместим с положением равновесия шарика.
Если сместить шарик в положение, характеризуемое координатой х, то удлинение пружины станет и проекция результирующей силы на ось х примет значение:
или, учитывая (1):
,
т.е. результирующая силы тяжести и упругой силы имеет характер квазиупругой силы.
Сообщим шарику смещение , после чего предоставим систему самой себе.
Уравнение второго закона Ньютона для шарика имеет вид:
Введем обозначение , тогда получим:
- (2)
- дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебаний.
Общее решение этого уравнения имеет вид:
, (3)
где x - смещение точки от положения равновесия, A и - произвольные постоянные.
Колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону косинуса или синуса, называются гармоническими колебаниями.
Таким образом, движение системы, находящейся под действием силы вида , представляет собой гармоническое колебание.
Параметры гармонического колебания:
А - амплитуда, т.е. максимальное смещение от положения равновесия;
- фаза колебаний, которая измеряется в радианах;
- начальная фаза, т.е. фаза в момент времени ;
T - период колебаний, т.е. время одного полного колебания;
- частота колебаний, т.е. число колебаний в единицу времени. (измеряется в герцах, ).
Поскольку косинус - функция периодическая с периодом , то
- циклическая частота.
В случае колеблющегося шарика, подвешенного на пружине:
Продифференцировав x(t) по времени, получим выражение для скорости:
,
а, продифференцировав еще раз, найдем выражение для ускорения:
На рисунке сопоставлены графики для смещения, скорости и ускорения.
Из сравнения этих выражений следует, что скорость v опережает смещение х по фазе на , а ускорение а и смещение х находятся в противофазе.
Маятник
В физике под маятником понимают твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки или оси. Принято различать математический и физический маятники.
Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке.
Если колеблющееся тело нельзя представить как материальную точку, маятник называется физическим. При отклонении от положения равновесия на угол возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен:
,
где m - масса маятника, l - расстояние между точкой подвеса О и центром инерции C маятника. Знак “ - ” имеет тоже значение, что и в случае квазиупругой силы . Обозначив момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, буквой I, можно написать основной закон динамики:
В случае малых колебаний это уравнение переходит в уже известное нам уравнение незатухающих гармонических колебаний:
,
где через обозначена в данном случае следующая величина:
Из этого уравнения следует, что при малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания. При этом период колебаний физического маятника определяется выражением:
Проведенное выше рассмотрение имеет место и для математического маятника. В этом случае маятник представляет собой материальную точку, момент инерции которой относительно оси, проходящей через точку подвеса, равен . С учетом этого, получаем формулу для периода колебаний математического маятника:
Для физического маятника вводится понятие приведенной длины . Приведенная длина физического маятника - это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника, т.е. .
Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром инерции, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника (см. точку на рисунке). Можно показать, что при подвешивании маятника в центре качания приведенная длина, а значит, и период колебаний будут теми же, что и вначале. Следовательно, точка подвеса и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания точка подвеса становится новым центром качания.
Энергия гармонических колебаний
Квазиупругая сила является консервативной силой. Поэтому полная энергия гармонического колебания должна оставаться постоянной. Как уже указывалось, колеблющаяся система обладает потенциальной энергией:
,
где k - положительная постоянная. Качественно колебательное движение можно описать с помощью потенциальной кривой, т.е. графика функции . В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно, причем в моменты наибольшего отклонения от положения равновесия полная энергия E состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения:
.
При прохождении же системы через положение равновесия полная энергия системы состоит лишь из кинетической энергии, которая в эти моменты достигает своего наибольшего значения
.
Эти выражения равны друг другу, так как . Выясним, как изменяется со временем кинетическая и потенциальная энергия гармонического колебания.
- кинетическая энергия гармонического колебания.
- потенциальная энергия гармонического колебания.
Сложив эти два выражения и приняв во внимание, что , получим формулу для полной энергии:
Таким образом, полная энергия гармонического колебания действительно оказывается постоянной.
Затухающие гармонические колебания
Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут затухать. В простейшем, и вместе с тем наиболее часто встречающемся случае, сила сопротивления пропорциональна величине скорости:
,
где R - постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак минус обусловлен тем, что сила имеют противоположные направления; следовательно, их проекции на ось х имеют разные знаки.
Второй закон Ньютона при наличии сил сопротивления имеет вид:
Применив обозначения:
получим: - (4)
- дифференциальное уравнение затухающих гармонических колебаний.
Отметим, что представляет собой ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания системы в отсутствие сопротивления среды (при R = 0). Эту частоту называют собственной частотой системы.
При не слишком сильном затухании (при < ) общее решение уравнения (4) имеет вид: , (5)
где A0 и - произвольные постоянные, - величина, определяемая формулой . На рисунке дан график функции (5). Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки х.
В соответствии с видом функции (5) движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание частоты с амплитудой, изменяющейся по закону:
.
гармонический колебание затухающий равновесие
Верхняя из пунктирных кривых дает график функции A(t), причем величина представляет собой амплитуду в начальный момент времени.
Скорость затухания колебаний определяется величиной , которую называют коэффициентом затухания.
Период затухания колебаний равен:
(6)
При незначительном сопротивлении среды () период колебаний практически не изменяется и равен . Последующие наибольшие отклонения в какую-либо сторону (например, и т.д. на рис.) образуют геометрическую прогрессию. Действительно, если , то , и т.д.
Вообще, отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно:
Это соотношение называется декрементом затухания, а его логарифм - логарифмическим декрементом затухания.
. (7)
Для характеристики колебательной системы обычно используется логарифмический декремент затухания . Выразив в соответствии с (7) через и , можно закон убывания амплитуды со временем записать в виде:
.
Для характеристики колебательной системы часто употребляется также величина
, называемая добротностью колебательной системы.
Ранее мы установили, что полная энергия колеблющейся системы пропорциональна квадрату амплитуды. В соответствии с этим энергия системы при затухающих колебаниях убывает со временем по закону:
,
где - значение энергии при .
Из формулы периода затухающих колебаний (6) следует, что с ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается. При период колебаний обращается в бесконечность, т.е. движение перестает быть периодическим.
При решение дифференциального уравнения (5) оказывается равным сумме двух экспонент:
,
где и - постоянные, значения которых зависят от начальных условий (от и ),
,
.
Движение в этом случае носит апериодический (непериодический) характер - выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний.
На рисунке показано два возможных способа возвращения системы к положению равновесия при апериодическом движении. Каким из этих способов приходит система к положению равновесия, зависит от начальных условий.
Вынужденные колебания
Вынужденные колебания - это колебания, которые происходят в колебательной системе под действием внешней вынуждающей силы:
,
где - частота внешней силы.
В этом случае уравнение второго закона Ньютона имеет вид:
Введем обозначения
Тогда получим
- (8)
- дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.
Это уравнение является неоднородным дифференциальным уравнением. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного. Общее решение однородного уравнения мы уже знаем (см. уравнение (4) и его решение (5)).
Остается найти частное (не содержащее произвольных постоянных) решение уравнения (8). Это частное решение имеет вид:
, (9)
где .
Функция (9) описывает установившиеся вынужденные колебания. Они представляют собой гармонические колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы. Амплитуда вынужденных колебаний
(10)
пропорциональна амплитуде вынуждающей силы, а также зависит от частоты вынуждающей силы. Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, причем величина отставания также зависит от частоты вынуждающей силы.
На рисунке приведены графики функции при различных значениях коэффициента затухания . Как видно из рисунка, при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота - резонансной частотой. Чтобы определить резонансную частоту , нужно найти максимум функции (10) или, что тоже самое, минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе.
Продифференцировав это выражение по и приравняв нулю, мы получим условие, определяющее :
.
Это уравнение имеет три решения: и .
Решение, равное нулю, соответствует максимуму знаменателя. Из остальных двух решений отрицательное должно быть отброшено, как не имеющее физического смысла. Таким образом, для резонансной частоты получается одно значение
. (11)
Подставив это значение частоты в (10), получим выражение для амплитуды при резонансе:
. (12)
Из этого выражения следует, что при отсутствии сопротивления среды амплитуда при резонансе обращалась бы в бесконечность. Согласно (11) резонансная частота при тех же условиях (при ) совпадает с собственной частотой колебания системы .
Изображенная на рисунке совокупность графиков функции , соответствующих различным значением параметра , называется резонансными кривыми.
Из формулы (12) вытекает, что при малом затухании (т.е. при ) амплитуда при резонансе приближенно равна .
Разделим это выражение на смещение от положения равновесия под действием постоянной силы (), равное . В результате получим:
Таким образом, добротность Q показывает, во сколько раз амплитуда в момент резонанса превышает смещение системы из положения равновесия под действием постоянной силы той же величины, что и амплитуда вынуждающей силы (это справедливо лишь при небольшом затухании).
С явлением резонанса приходится считаться при конструировании машин и различного рода сооружений. Собственная частота колебаний этих устройств ни в коем случае не должна быть близка к частоте возможных внешних воздействий, т.к. в этом случае возникают вибрации, которые могут вызвать катастрофу. Вместе с тем явление резонанса часто оказывается весьма полезным, особенно в акустике, радиотехнике и т.д.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Определения и классификация колебаний. Способы описания гармонических колебаний. Кинематические и динамические характеристики. Определение параметров гармонических колебаний по начальным условиям сопротивления. Энергия и сложение гармонических колебаний.
презентация [801,8 K], добавлен 09.02.2017Единый подход к изучению колебаний различной физической природы. Характеристика гармонических колебаний. Понятие периода колебаний, за который фаза колебания получает приращение. Механические гармонические колебания. Физический и математический маятники.
презентация [222,7 K], добавлен 28.06.2013Гармонические колебания и их характеристики. Скорость и ускорение колеблющейся материальной точки, ее кинетическая и потенциальная энергии. Понятие колебательных систем. Примеры гармонических осцилляторов (математический, физический и пружинный маятники).
презентация [185,7 K], добавлен 24.09.2013Метод векторной диаграммы. Представление гармонических колебаний в комплексной форме; сложение гармонических колебаний; биения. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний: уравнение траектории результирующего колебания; уравнение эллипса; фигуры Лиссажу.
презентация [124,5 K], добавлен 24.09.2013Сложение взаимно перпендикулярных механических гармонических колебаний. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний и его решение; автоколебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Амплитуда и фаза колебаний; резонанс.
презентация [308,2 K], добавлен 28.06.2013Понятие об устойчивости равновесия, критерий равновесия консервативной системы. Свойства малых колебаний точек системы. Вынужденные, малые свободные и малые затухающие колебания системы с одной степенью свободы. Линеаризированное уравнение Лагранжа.
презентация [1,4 M], добавлен 26.09.2013Малые колебания, тип движения механических систем вблизи своего положения устойчивого равновесия. Теория свободных колебаний систем с несколькими степенями свободы. Затухающие и вынужденные колебания при наличии трения. Примеры колебательных процессов.
курсовая работа [814,3 K], добавлен 25.06.2009Законы изменения параметров свободных затухающих колебаний. Описание линейных систем дифференциальными уравнениями. Уравнение движения пружинного маятника. Графическое представление вынужденных колебаний. Резонанс и уравнение резонансной частоты.
презентация [95,6 K], добавлен 18.04.2013Исследование понятия колебательных процессов. Классификация колебаний по физической природе и по характеру взаимодействия с окружающей средой. Определение амплитуды и начальной фазы результирующего колебания. Сложение одинаково направленных колебаний.
контрольная работа [1,6 M], добавлен 24.03.2013Общие характеристики колебаний, их виды, декремент затухания, добротность колебательной системы. Уравнение собственных затухающих колебаний физического и пружинного маятников. Сущность периодического и непериодического механизма затухающих колебаний.
курсовая работа [190,0 K], добавлен 13.11.2009Способы представления гармонических колебаний. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Аналитический, графический и геометрический способы представления гармонических колебаний. Амплитуда результирующего колебания. Понятие некогерентных колебаний.
презентация [4,1 M], добавлен 14.03.2016Одномерные и гармонические колебания. Сложение двух гармонических колебаний с одинаковыми амплитудами, частотами. Распространение колебаний в материальной среде. Электромагнитные волны и рентгеновские лучи. Дифракция и интерференция волн. Атомный фактор.
реферат [2,8 M], добавлен 07.03.2009Условия возникновения колебаний. Гармонические колебания и их характеристики. Скорость и ускорение. Затухающие, вынужденные колебания, резонанс. Период математического и пружинного маятников. Волны в упругой среде. Длина, интенсивность и скорость волны.
шпаргалка [62,5 K], добавлен 08.05.2009Свободные, гармонические, упругие, крутильные и вынужденные колебания, их основные свойства. Энергия колебательного движения. Определение координаты в любой момент времени. Явления резонанса, примеры резонансных явлений. Механизмы колебаний маятника.
реферат [706,7 K], добавлен 20.01.2012Принцып генерирования гармонических сигналов. Спектральный состав и анализ периодических колебаний. Частотный состав непериодического колебания. Распределение энергии в спектре непереодического колебания. Расположение энергетически участков спектра.
реферат [103,5 K], добавлен 05.05.2009Основные первичные и вторичные параметры колебательного контура в идеальном и практическом вариантах. Определение возможных режимов установившихся гармонических колебаний в параллельном колебательном контуре. Сущность и порядок режима резонансных токов.
лекция [137,6 K], добавлен 01.04.2009Динамические эффекты в различных средах. Колебания системы сред. Колебания жидкого слоя с покрытием под действием установившихся гармонических колебаний. Состояние идеальной жидкости с упругим покрытием. Двумерное и обратное преобразование Фурье.
дипломная работа [546,5 K], добавлен 09.10.2013Понятие и физическая характеристика значений колебаний, определение их периодического значения. Параметры частоты, фазы и амплитуды свободных и вынужденных колебаний. Гармонический осциллятор и состав дифференциального уравнения гармонических колебаний.
презентация [364,2 K], добавлен 29.09.2013Маятник под воздействием сил тяжести и электростатического взаимодействия. Колебания стержня и маятника под действием сил тяжести и упругости. Примеры комбинированных маятников, расчет частоты колебаний. Затухающие колебания комбинированного осциллятора.
курсовая работа [307,1 K], добавлен 11.12.2012Повышение динамического качества станков с помощью возмущений подшипников качения. Колебания при отсутствии вынуждающей силы и сил вязкого сопротивления. Незатухающие гармонические вынужденные колебания. Нарастание амплитуды во времени при резонансе.
реферат [236,6 K], добавлен 24.06.2011
