Волны. Механизм образования и распространение волн в упругой среде

Размещено на http://www.allbest.ru

Волны. Механизм образования и распространение волн в упругой среде

Продольные и поперечные волны

Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газообразной) среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью v. Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной.

Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются волной в поступательное движение, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению распространения волны, различают продольные и поперечные волны.

Продольная волна - это волна, в которой частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны.

Поперечная волна - это волна, в которой частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны.

Упругие поперечные волны могут возникать лишь в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн.

На рисунке показано движение частиц при распространении в среде поперечной волны. Номерами 1, 2 и т.д. обозначены частицы, отстоящие друг от друга на расстоянии 1/4 vT, т.е. на расстояние, проходимое волной за четверть периода колебаний, совершаемых частицами. В момент времени, принятый за нулевой, волна, распространяясь вдоль оси слева направо, достигла частицы 1, вследствие чего частица начала смещаться из положения равновесия вверх, увлекая за собой следующие частицы. Спустя четверть периода частица 1 достигнет крайнего верхнего положения; одновременно начинает смещаться из положения равновесия частица 2. По прошествии еще четверти периода частица 1 будет проходить положение равновесия, двигаясь в направлении сверху вниз, вторая частица 2 достигнет крайнего верхнего положения, а частица 3 начнет смещаться вверх из положения равновесия. В момент времени, равный T, частица 1 закончит полный цикл колебания, и будет находиться в таком же состоянии движения, как и в начальный момент времени. Волна к моменту времени T, пройдет путь vT и достигнет частицы 5.

На рисунке показаны колебания частиц, положения, равновесия которых лежат на оси x. В действительности колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси x, а совокупность частиц в некотором объеме. Распространяясь от источника колебаний, волновой процесс охватывает все новые и новые части пространства.

Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны (или волновым фронтом).

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт каждый момент времени только один. Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической.

Расстояние , на которое распространяется волна за время, равное периоду колебания частиц среды, называется длиной волны. Очевидно, что:

,

где v- скорость волны, T- период колебаний. Длину волны можно определить также как расстояние между ближайшими точками среды, колеблющихся с разностью фаз, равной 2. Заменив T через , где - частота колебаний, получим связь между длиной волны, частотой колебаний и скоростью распространения волны:

.

Уравнение плоской бегущей волны

Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат x, y, z и времени t:

,

где имеются в виду координаты равновесного положения частицы. Найдем вид функции в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Для простоты направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярными к оси x и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение будет зависеть только от x и t:

Пусть колебания точек, лежащих в плоскости , имеют вид:

.

Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Для того, чтобы пройти путь от плоскости до этой плоскости, волне требуется время , где v - скорость распространения волны. Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости x, будут отставать по времени на от колебаний частиц в плоскости , т.е. будут иметь вид:

Итак, уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении оси x, выглядит следующим образом:

Начальная фаза волны определяется выбором начал отсчета x и t. При рассмотрении одной волны начала отсчета времени и координаты обычно выбираются так, чтобы . Зафиксируем какое-либо значение фазы, положив

.

Это выражение определяет связь между временем t и тем местом x, в котором фаза имеет зафиксированное значение. Вытекающее из него значение dx/dt дает скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Продифференцировав указанное выше выражение, получим

.

Таким образом, скорость распространения волны v есть скорость перемещения фазы, в связи с чем ее называют фазовой скоростью.

Уравнению плоской волны можно придать симметричный относительно x и t вид (полагаем ):

,

где введена величина , которая называется волновым числом. Таким образом

-

- уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся вдоль оси x,

где - волновое число. Или

.

Теперь найдем уравнение сферической волны. Амплитуда колебаний в этом случае убывает с расстоянием от источника по закону 1/r. Тогда получим

- уравнение сферической волны,

где А - постоянная величина, численно равная амплитуде на расстоянии от источника, равном единице.

Уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся в произвольном направлении

Найдем уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении, задаваемым единичным вектором нормали . Пусть колебания в плоскости, проходящей через начало координат имеют вид:

.

Возьмем волновую поверхность, отстоящую от начала координат на расстояние L.

Колебания в этой точке будут отставать от колебаний на время

,

где . Выразим L через радиус-вектор точек рассматриваемой поверхности и единичный вектор нормалиэтой поверхности: .

Тогда , где - волновой вектор. Полагая , получим уравнение плоской волны распространяющейся в направлении .

.

Волновое уравнение

Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым. Чтобы установить вид волнового уравнения, сопоставим вторые частные производные по координатам и по времени от функции , описывающей плоскую волну. Для простоты рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси x:

.

Продифференцировав эту функцию дважды по t и дважды по x, получим

, , , (1)

, , , (2)

Сопоставив (1) и (2) и заменив через , получим

- волновое уравнение,

где v - скорость волны.

В случае плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении, аналогичным образом получим:

.

Если ввести дифференциальный оператор Лапласа:

,

волновое уравнение можно записать в виде:

- волновое уравнение.

Энергия волны.

Перенос энергии волновым движением. Вектор Умова

Пусть в некоторой среде распространяется в направлении оси x плоская продольная волна

.

Выделим в среде элементарный объем dV, настолько малый, чтобы скорость движения и деформацию во всех точках этого объема можно было считать одинаковыми и равными, соответственно , .

Пусть dm - масса элемента среды, dV = Sdx - элементарный объем. Выделенный объем обладает dW - кинетической энергией, связанной с его движением, и dU - потенциальной энергией, связанной с его деформацией.

Введем плотность полной энергии объема dV:

,

где - плотность кинетической энергии, - плотность потенциальной энергии.

Вычислим и .

, (3)

где - плотность среды.

. (4)

При вычислении использован закон Гука: , где -напряжение, - относительная деформация, Е- модуль Юнга.

Модуль Юнга выразим через фазовую скорость волны v, согласно соотношению:

.

Тогда для плотности энергии среды в волновом поле получим следующее выражение:

.

Подставив сюда

,

,

и приняв во внимание, что , получим

. (5)

В случае поперечной волны для плотности энергии получается такое же выражение.

Из (5) следует, что плотность энергии каждый момент времени в разных точках пространства различна. В одной и той же точке плотность энергии изменяется со временем по закону квадрата синуса. Среднее значение квадрата синуса равно половине. Соответственно, среднее по времени значение плотности энергии в каждой точке среды равно

.

Итак, среда, в которой распространяется волна, обладает дополнительным запасом энергии. Эта энергия доставляется от источника колебаний в различные точки среды самой волной; следовательно, волна переносит с собой энергию. Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии через эту поверхность:

-

- поток энергии, переносимой волной через некоторую поверхность.

Для характеристики течения энергии в разных точках пространства вводится векторная величина, называемая плотностью потока энергии:

- плотность потока энергии.

Плотность потока энергии- это энергия, переносимая волной через единичную площадку, перпендикулярную к направлению распространения волны, в единицу времени.

Как видно из рисунка, энергия, переносимая через площадку за время , заключена в объеме цилиндра с основанием и высотой , где v- фазовая скорость волны.

.

Тогда плотность потока энергии равна . Наконец, введя вектор , модуль которого равен фазовой скорости волны, а направление совпадает с направлением распространения волны, можно написать:

- вектор плотности потока энергии.

Этот вектор был впервые введен в рассмотрение русским физиком Н.А.Умовым и называется вектором Умова. Вектор , как и плотность энергии w, различен в различных точках пространства, а в данной точке изменится со временем по закону квадрата синуса. Его среднее значение равно

.

Это выражение справедливо для волны любого вида (сферической, затухающей и т.д.).

Стоячие волны

Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн по отдельности. Это вытекающее из опыта утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) волн.

В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волнами в каждой из точек среды, обладают постоянной разностью фаз, волны называются когерентными. При сложении когерентных волн возникает явление интерференции, заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других точках ослабляют друг друга. Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной.

Стоячая волна - это волна, которая образуется при наложении двух волн с одинаковой амплитудой и частотой, когда волны движутся навстречу друг другу.

Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна налагаясь друг на друга, дают стоячую волну.

Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси x в противоположных направлениях:

,

.

Сложив эти уравнения и преобразовав результат по формуле для суммы косинусов, получим:

.

Чтобы упростить это уравнение, выберем начало отсчета x так, чтобы разность стала равной нулю, а начало отсчета t - так, чтобы оказалась равной нулю сумма .Тогда

- уравнение стоячей волны.

Заменив волновое число к его значением , получим уравнение стоячей волны, удобное для анализа колебаний частиц в стоячей волне:

.

Из этого уравнения видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, причем амплитуда колебаний зависит от x:

.

В точках, координаты которых удовлетворяют условию

,

амплитуда колебаний достигает максимального значения. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Значения координат пучностей равны:

.

В точках, координаты которых удовлетворяют условию:

,

амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов имеют значения:

.

Из этих формул следует, что расстояние между соседними пучностями, так же как и расстояние между соседними узлами, равно . Пучности и узлы сдвинуты друг относительно друга на четверть длины волны.

На рисунке представлен график отклонений точек от положения равновесия для момента времени t (сплошная кривая) и график отклонений точек для момента времени (пунктирная кривая). Как видно из рисунка точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Все точки, заключенные между двумя соседними узлами, колеблются синфазно (т.е. в одинаковой фазе).

Стоячая волна не переносит энергию. Дважды за период происходит превращение энергии стоячей волны то полностью в потенциальную, сосредоточенную в основном вблизи узлов волны, то полностью в кинетическую, сосредоточенную в основном вблизи пучностей волны. В результате происходит переход энергии от каждого узла к соседним пучностям и обратно. Средний по времени поток энергии в любом сечении волны равен нулю.

Колебания струны

В закрепленной с обоих концов натянутой струне при возбуждении поперечных колебаний устанавливаются стоячие волны, причем в местах закрепления струны должны располагаться узлы. Поэтому в струне возбуждаются с заметной интенсивностью только такие колебания, половина длины волны которых укладывается на длине струны целое число раз. Отсюда вытекает условие

или ,

где l - длина струны. Этим длинам волны соответствуют частоты

,

волна энергия движение гармоника

где v - фазовая скорость волны, определяемая силой натяжения струны и массой единицы длины. Частоты n называются собственными частотами струны. Собственные частоты являются кратными частоте , которая называется основной частотой. Гармонические колебания с частотами n называются собственными или нормальными колебаниями. Их называют также гармониками. В общем случае колебание струны представляет собой наложение различных гармоник.

Размещено на Allbest.ru