Теоретические основы электротехники
Топологические методы расчета электрических цепей. Топологические определения схемы. Уравнения Ома и Кирхгофа в матричной форме. Контурные уравнения в матричной форме. Узловые уравнения в матричной форме. Топологическая матрица, матрица соединения.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 23.07.2013 |
| Размер файла | 66,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
3
Топологические методы расчета электрических цепей
1. Топологические определения схемы
С появлением ЭВМ и их широким применением для решения сложных математических задач были разработаны специальные топологические расчёты сложных электрических цепей, графов и матриц.
Схема сложной электрической цепи (рис. 83 а) может быть заменена (представлена) направленным графом (рис. 83 б) с соблюдением следующих условий:
1) узлы графа соответствуют узлам схемы;
2) ветви графа соответствуют ветвям схемы;
3) направление ветвей соответствует направлению токов в ветвях схемы.
Любая часть графа называется подграфом. Минимальный связанный подграф, соединяющий все узлы графа и не образующий контуров, называется деревом графа (на схеме графа обозначается жирной линией). Для конкретного графа может быть составлено определенное множество вариантов деревьев, но в расчете схемы принимается любой из вариантов. Ветви графа, не входящие в его дерево, называются связями или хордами.
Структура графа и соответственно структура электрической схемы может быть описана с помощью топологических матриц или матриц соединения. Таких матриц несколько, для расчета электрических цепей используются две основные: матрица соединений «узлы-ветви» и матрица соединений «контуры-ветви».
В общем случае сложная схема содержит «m» ветвей и «n» узлов, при этом максимальное число ветвей зависит от числа узлов: .
Составим таблицу соединений «узлы-ветви» руководствуясь следующими правилами:
1 - ветвь выходит из узла,
1 - ветвь входит в узел,
0 - отсутствие связи с узлом.
Таблица 1.
|
№ узла \ № ветви |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
1 |
1 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
2 |
-1 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
3 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
|
|
4 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
-1 |
1 |
Так как каждая ветвь имеет только один вход (1) и один выход (+1), то сумма чисел по вертикали для любого столбца равна нулю. Из этого следует, что независимыми являются только 3 из 4 строк таблицы. Матрица соединений «узлы-ветви» (табл. 2) получается из приведенной выше таблицы путем вычеркивания любой строки (например, строки №4):
Таблица 2.
|
№ узла \ № ветви |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
1 |
1 |
-1 |
1 |
||||
|
2 |
-1 |
-1 |
1 |
||||
|
3 |
1 |
1 |
-1 |
Размерность матрицы соединений «узлы-ветви» равна , где n1 - число независимых узлов, m - число ветвей.
Независимыми называются контуры графа, образованные одной из хорд и ветвями дерева. Число независимых контуров соответствующих числу хорд графа: , контуры нумеруются по номеру хорды (1, 2, 3). Направление обхода контура принимается по направлению хорды, которая входит в состав этого контура. топологический метод матричный
Составим таблицу соединений «контуры-ветви», руководствуясь следующими правилами:
1 - направление ветви совпадает с направлением обхода контура,
1 - направление ветви не совпадает с направлением обхода контура,
0 ветвь не входит в контур.
Таблица 3.
|
№ контура \ № ветви |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
0 |
|
|
2 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
3 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
Данная таблица получила название матрицы соединений «контуры-ветви». Размерность матрицы соединений равна , где - число независимых контуров, m - число ветвей.
Если матрицы соединений и составлены верно, то должно выполняться условие: .
2. Уравнения Ома и Кирхгофа в матричной форме
Если в исследуемой сложной схеме содержатся параллельно включенные ветви, то для составления матриц соединений такие ветви необходимо заменить (объединить) одной эквивалентной ветвью.
В общем случае любая ветвь схемы кроме комплексного сопротивления (проводимости) может содержать источник ЭДС Ек, источник тока Jк. Схема и граф обобщенной ветви показаны на рис. 1 а, б:
Ток ветви Iк, напряжение ветви Uк = 1 2.
Из потенциального уравнения ветви следуют:
уравнения Ома для к-ой ветви.
Для всех «m» ветвей составим систему уравнений по этой форме:
Заменим полученную систему из «m» уравнений матричной формой. Для этой цели введем следующие обозначения матриц:
столбцовые матрицы соответственно напряжений, токов, источников тока и источников ЭДС.
;
диагональные матрицы соответственно сопротивлений и проводимостей.
Уравнения Ома в матричной форме получат вид:
Уравнения Кирхгофа в обычной форме имеют вид: первый закон Кирхгофа для узлов, - второй закон Кирхгофа для контуров.
Система уравнений Кирхгофа в матричной форме получается через матрицы соединений и :
Составленная система уравнений содержит “m” неизвестных токов и “m” неизвестных напряжений, всего 2“m” неизвестных, и непосредственно не может быть решена.
Сделаем подстановку матрицы из матричных уравнений закона Ома, получим:
Для сравнения приведем те же уравнения в обычной форме:
Сделаем подстановку матрицы из матричного уравнения закона Ома, получим:
Для сравнения приведем те же уравнения в обычной форме:
3. Контурные уравнения в матричной форме
Вводим понятия контурных токов Iк. Контурные токи замыкаются по контурам-ячейкам графа, именуются по имени хорды, их направление совпадает с направлением хорды. Столбовая матрица контурных токов:
.
Действительные токи связаны с контурными через матрицу :
.
Заменим в уравнениях 2-го закона Кирхгофа действительные токи [I] на контурные согласно формуле:
Введем обозначения:
матрица контурных ЭДС.
система контурных уравнений в обобщенной матричной форме.
4. Узловые уравнения в матричной форме
Вводим понятие узловых потенциалов у. Потенциал последнего n-го узла, для которого отсутствует строка в матрице [A] принимается равным 0. Столбовая матрица узловых потенциалов:
.
Напряжения ветвей связаны с потенциалами узлов через матрицу :
.
Подставим в уравнения 1-го закона Кирхгофа , получим:
Введем обозначения:
матрица узловых проводимостей.
матрица узловых токов.
система узловых уравнений в обобщенной матричной форме.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Ориентированный граф схемы электрической цепи и топологических матриц. Уравнения по законам Кирхгофа в алгебраической и матричной формах. Определение токов в ветвях схемы методами контурных токов и узловых потенциалов. Составление баланса мощностей.
практическая работа [689,0 K], добавлен 28.10.2012Представление законов Кирхгофа в матричной форме и в виде системы уравнений. Переход к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных токов в ветвях. Расчет значений узловых напряжений методом Гаусса. Устойчивость системы по критерию Гурвица.
курсовая работа [190,4 K], добавлен 03.11.2014Математический метод планирования экспериментов. Матрица планирования, расчет дисперсий и их однородностей. Адекватность модели и переход от кодовых обозначений факторов к натуральным обозначениям. Причины несоответствия структуры уравнения и уравнения.
курсовая работа [328,6 K], добавлен 09.05.2013Расчет линейной электрической цепи постоянного тока. Уравнения по законам Кирхгофа для определения токов в ветвях. Уравнение баланса мощностей и проверка его подстановкой числовых значений. Расчет электрической цепи однофазного переменного тока.
контрольная работа [154,6 K], добавлен 31.08.2012Общие характеристики, энергия и масса электромагнитного поля. Закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме. Дивергенция плотности тока проводимости. Уравнения электромагнитного поля в интегральной форме. Сущность теоремы Умова-Пойнтинга.
презентация [326,8 K], добавлен 29.10.2013Плоская система сходящихся сил. Момент пары сил относительно точки и оси. Запись уравнения движения в форме уравнения равновесия (метод кинетостатики). Принцип Даламбера. Проекция силы на координатную ось. Расчетная формула при растяжении и сжатии.
контрольная работа [40,6 K], добавлен 09.10.2010Составление характеристического уравнения и расчёт его корней. Определение принужденных составляющих. Расчет независимых и зависимых начальных условий. Составление дифференциального уравнения по законам Кирхгофа. Построение графиков токов и напряжений.
курсовая работа [484,5 K], добавлен 16.07.2015Основные свойства преобразования Лапласа. Законы Кирхгофа и Ома в операторной форме. Соотношения в элементах электрических цепей. Операторные схемы замещения элементов при ненулевых начальных условиях. Нахождение реакций при ненулевых начальных условиях.
реферат [126,1 K], добавлен 25.04.2009Характеристика основных заданий электротехники - науки о техническом (прикладном) использовании электрических и магнитных явлений. Электрическая схема и её топологические элементы, которые позволяют описать структуру цепи. Связные и несвязные графы.
реферат [473,0 K], добавлен 21.11.2010Ознакомление с основами метода уравнений Кирхгофа и метода контурных токов линейных электрических цепей. Составление уравнения баланса электрической мощности. Определение тока любой ветви электрической цепи методом эквивалентного источника напряжения.
курсовая работа [400,7 K], добавлен 11.12.2014Основные элементы и характеристики электрических цепей постоянного тока. Методы расчета электрических цепей. Схемы замещения источников энергии. Расчет сложных электрических цепей на основании законов Кирхгофа. Определение мощности источника тока.
презентация [485,2 K], добавлен 17.04.2019Вывод операторных передаточных функций. Составление системы уравнений в матричной форме на базе метода узловых потенциалов для вывода функции коэффициента передачи по напряжению. Расчет и построение карты особых точек, частотных, переходных характеристик.
курсовая работа [488,5 K], добавлен 07.06.2012Определение параметров схемы замещения электрической системы. Формирование матрицы узловых проводимостей. Схемы замещения элементов электрической системы и ее расчет. Диагональная матрица проводимостей ветвей. Нелинейные уравнения установившегося режима.
курсовая работа [698,6 K], добавлен 16.11.2009Использование электрических и магнитных явлений. Применение преобразования Лапласа и его свойств к расчету переходных процессов. Переход от изображения к оригиналу. Формулы разложения. Законы цепей в операторной форме. Операторные схемы замещения.
реферат [111,9 K], добавлен 28.11.2010Ток и плотность тока проводимости. Закон Ома в дифференциальной форме. Стороннее электрическое поле. Законы Кирхгофа в дифференциальной форме. Уравнение Лапласа для электрического поля в проводящей среде. Дифференциальная форма закона Джоуля-Ленца.
презентация [512,3 K], добавлен 13.08.2013Основные методы расчета токов и напряжений в цепях, в которых происходят переходные процессы. Составление системы интегро-дифференциальных уравнений цепи, используя для этого законы Кирхгофа и уравнения связи. Построение графиков токов и напряжения.
курсовая работа [125,4 K], добавлен 13.03.2013Значимость кинетических уравнений типа Больцмана и Власова. Сдвиг плотности вдоль траекторий динамической системы. Уравнения геодезических и эволюция функции распределения на римановом многообразии. Одномерная модельная задача для уравнения Власова.
дипломная работа [1,8 M], добавлен 16.05.2011Прямое преобразование Лапласа. Замена линейных дифференциальных уравнений алгебраическими уравнениями. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме. Метод переменных состояния. Особенности и порядок расчета переходных процессов операторным методом.
презентация [269,1 K], добавлен 28.10.2013Знакомство с уравнениями прямолинейного движения материальной точки. Характеристика преимуществ безразмерных переменных. Рассмотрение основных способов построения общего решения неоднородного уравнения. Определение понятия дифференциального уравнения.
презентация [305,1 K], добавлен 28.09.2013Конвективный теплообмен - распространение тепла в жидкости (газе) от поверхности твердого тела или к ней. Смысл закона Ньютона, дифференциального уравнения Фурье - Кирхгофа и критериального уравнения Навье – Стокса. Теплоотдача при конденсации паров.
реферат [208,1 K], добавлен 15.10.2011
