Переходные процессы в электрических цепях

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция

Переходные процессы в электрических цепях



1. Определение переходных процессов

коммутация переходный процесс интегрирование

Установившимся режимом называется такое состояние электрической цепи (схемы), при котором наблюдается равновесие между действием на цепь источников энергии и реакцией элементов цепи на это действие. Различают следующие 4 вида установившихся режимов в цепи:

1) режим отсутствия тока и напряжения;

2) режим постоянного тока;

3) режим переменного синусоидального тока;

4) режим периодического несинусоидального тока.

В установившемся режиме токи и напряжения в элементах цепи могут существовать неограниченно долго, не изменяя своих величин и характеристик. При этом энергетическое состояние каждого элемента цепи может быть однозначно определено для любого момента времени.

Переходным называется процесс, возникающий в электрической цепи при переходе ее от одного установившегося режима (старого) к другому установившемуся режиму (новому). Переходные процессы в цепи возникают в результате коммутаций. Под коммутацией понимают скачкообразные (мгновенные) изменения структуры (схемы) цепи или параметров ее отдельных элементов, вызванные включением, отключением или переключением отдельных ее участков. На электрических схемах коммутация обозначается в виде ключей в разомкнутом (рис. 1а) или замкнутом (рис. 1б) положении, при этом разомкнутый ключ в момент t = 0 замыкается, а замкнутый в момент t = 0 размыкается.

Размещено на http://www.allbest.ru/



Запасы энергии в магнитном поле катушки и в электрическом поле конденсатора в момент коммутации соответствуют старому (докоммутационному) установившемуся режиму и не могут измениться скачкообразно. Требуется некоторое время, чтобы эти запасы энергии пришли в соответствие с новым (послекоммутационным) установившимся режимом цепи. Таким образом, физически переходный процесс есть переход цепи из одного энергетического состояния в другое.

По времени переходные процессы в электрических цепях являются быстропротекающими, их длительность составляет обычно доли секунды и в редких случаях несколько секунд.

В результате переходных процессов токи и напряжения на отдельных участках цепи могут значительно возрасти и превысить их значения в установившемся режиме. Расчет переходных процессов в электрических цепях является весьма важным мероприятием: результаты таких расчетов в инженерной практике используются для правильного выбора уровня изоляции токоведущих частей электроустановок и для проверки технических устройств на динамическую устойчивость.

коммутация электрический интегрирование

2. Законы (правила) коммутации

Первый закон коммутации гласит, что ток i_L в цепи с катушкой индуктивности L в момент коммутации не может измениться скачкообразно, т.е.



Предположим обратное, что ток i_L изменяется скачком, что означает . Из этого следует, что напряжение на катушке

,

и мощность, потребляемая магнитным полем катушки

.

Полученные выводы противоречат физическим законам, так как нельзя получить напряжение u= и в природе не существует источников энергии, способных развивать бесконечную мощность. Следовательно, наше первоначальное предположение является некорректным, и мы вправе утверждать, что , или ток i_L в цепи с катушкой L в момент коммутации не может измениться скачкообразно.

Второй закон коммутации гласит, что напряжение u_C на выводах конденсатора C в момент коммутации не может измениться скачкообразно, т.е.

.

Предположим обратное, что напряжение u_C изменяется скачком, что означает . Из этого следует, что ток в конденсаторе



,

и мощность, потребляемая электрическим полем конденсатора

.

Полученные выводы противоречат физическим законам, так как нельзя получить ток i= и не существует источников энергии бесконечной мощности. Следовательно, наше первоначальное предположение является некорректным, и мы вправе утверждать, что, или напряжение u_C на выводах конденсатора С в момент коммутации не может измениться скачкообразно.

Законы коммутации используются на практике для определения начальных условий при расчете переходных процессов.

3. Начальные условия переходного процесса

Начальными условиями называются мгновенные значения отдельных токов и напряжений, а также их первых, вторых и т.д. производных в начале переходного процесса, т.е. в момент коммутации при t=0. Начальные условия делятся на 2 вида: независимые и зависимые.

К независимым начальным условиям относятся токи в катушках i_L(0) и напряжения на конденсаторах u_C(0). Независимые начальные условия определяются законами коммутации, они не могут измениться скачкообразно и не зависят от вида коммутации. Их значения определяются из расчета схемы цепи в установившемся докоммутационном режиме на момент коммутации t=0.

Пример. Определить независимые начальные условия i_L(0), u_C(0) в схеме рис. 2 при заданных значениях параметров элементов: R₁=50 Ом, L=100 мГн, R₂=100 Ом, C=50мкФ, а)для постоянной ЭДС e(t)=E=150 В = const; б)для синусоидальной ЭДС e(t) =150sinщt, f=50 Гц.

Размещено на http://www.allbest.ru/

а) При постоянной ЭДС источника e(t) =E расчет схемы производится как для цепи постоянного тока: катушка L закорачивается, ветвь с конденсатором С размыкается, учитываются только резистивные элементы R.

Независимые начальные условия: i_L(0) =1 A, U_С(0) =100 В.

б) При синусоидальной ЭДС источника e(t)=Е_msinщt расчет схемы производится как для цепи переменного тока в комплексной форме для комплексных амплитуд функций.

Ом; Ом



Ом

Ом

А

В

A

B

Независимые начальные условия:

A

B

К зависимым начальным условиям относятся значения всех остальных токов и напряжений, а так же значения производных от всех переменных в момент коммутации при t=0. Зависимые начальные условия могут изменяться скачкообразно, их значения зависят от вида и места коммутации.

Зависимые начальные условия определяются на момент коммутации t=0 из системы дифференциальных уравнений (уравнений Кирхгофа), составленных для схемы в состоянии после коммутации, путем подстановки в них найденных ранее независимых начальных условий.

Для рассматриваемой схемы рис. 129 система дифференциальных уравнений имеет вид:



а) При постоянной ЭДС источника e(t) =E=const зависимые начальные условия будут равны:

В

В

А/с

В/с

Для определения начальных условий для вторых производных исходные дифференциальные уравнения дифференцируют почленно по переменной t и подставляют в них найденные на предыдущем этапе значения зависимых начальных условий, и т.д.

б) При синусоидальной ЭДС источника e(t)=Е_msinщt зависимые начальные условия определяются точно также, как и для цепи с источником постоянной ЭДС.

Начальные условия используются при расчете переходных процессов любым методом.

4. Классический метод расчета переходных процессов

Переходные процессы в любой электрической цепи можно описать системой дифференциальных уравнений, составленных для схемы цепи по законам Кирхгофа. В математике известно несколько методов решения систем дифференциальных уравнений: классический, операционный, численный и др. Название метода расчета переходных процессов адекватно названию математического метода решения системы дифференциальных уравнений, которыми описывается переходные процессы.

Исключая из системы дифференциальных уравнений Кирхгофа лишние переменные, получим в результате для искомой функции x(t) неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка:

,

где х - искомая величина, например i или u; a_k - постоянные коэффициенты; F(t) - некоторая функция времени, определяемая источником энергии.

Из курса математики известно, что решение (общий интеграл) линейного неоднородного дифференциального уравнения состоит из суммы двух решений: а) полного решения однородного (без правой части) дифференциального уравнения и б) частного решения неоднородного дифференциального уравнения для t= ?:

.

Вид частного решения для t = ? определяется источниками энергии и соответствует значению искомой функции в установившемся послекоммутационном режиме: . В электротехнике эта составляющая решения получила название установившейся.

Полное решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

,

где А₁, А₂,…, Аn - постоянные интегрирования; p₁, p₂,…, p_n - корни характеристического уравнения, которое получают из однородного дифференциального, заменив в нем х>1, dx/dt>p и т.д.:

.

Эта составляющая решения не зависит от источников энергии, в электротехнике она получила название свободной: .

Таким образом, решение для искомой функции (тока, напряжения) может быть представлено в принятой в электротехнике форме:

.

Физический смысл имеет только полное решение для искомой функции x(t), а ее отдельные составляющие и являются расчетными величинами.

Метод расчета переходного процесса, заключающийся в решении неоднородного дифференциального уравнения классическим методом математики, получил название классического.

Расчет переходного процесса классическим методом состоит из следующих составных частей или этапов:

а) расчет установившейся составляющей ;

б) составление характеристического уравнения и определение его корней p₁,…, p_n;

в) определение постоянных интегрирования А₁, А₂,….

Следует отметить, что расчет переходного процесса классическим методом выполняется не в строгом соответствии с математическим методом решения неоднородного дифференциального уравнения. Физические законы электротехники позволяют существенно упростить это решение.

5. Определение установившейся составляющей

Как известно, установившаяся составляющая искомой функции , являясь частным решением неоднородного дифференциального уравнения при t=?, соответствует значению искомой функции в установившемся после коммутации режиме. Определение этой составляющей математическим методом из решения дифференциального уравнения довольно сложно и трудоемко. Гораздо проще найти эту функцию инженерным методом путем расчета схемы цепи в установившемся режиме после коммутации, что и делают на практике.

Пример. Определить установившуюся составляющую для тока i_у в схеме рис. 3 при заданных значениях параметров элементов: R₁=50 Ом, L=100 мГн, R₂=100 Ом, C=50мкФ, а)для постоянной ЭДС e(t) =E=150 В = const; б)для синусоидальной ЭДС e(t) =150sinщt, f=50 Гц.

Размещено на http://www.allbest.ru/



После коммутации ветвь с резистором R₂ отключается и не оказывает влияния на режим остальной схемы.

а) При постоянной ЭДС источника e(t)=Е=const ток в схеме протекать не может (сопротивление конденсатора постоянному току равно ?), следовательно i_у(t)=0.

б) При переменной ЭДС источника e(t)=Е_msinщt расчет установившегося режима выполняется в комплексной форме для комплексных амплитуд функций. По закону Ома:

A

A

Вид установившейся составляющей соответствует виду источников энергии, которые действуют в схеме цепи.

6. Методы составления характеристического уравнения

Свободный режим схемы не зависит от источников энергии, определяется только структурой схемы и параметрами ее элементов. Из этого следует, что корни характеристического уравнения p₁, p₂,…, p_n будут одинаковыми для всех переменных функций (токов и напряжений).

Характеристическое уравнение можно составить различными методами. Первый метод - классический, когда характеристическое уравнение составляется строго в соответствии с дифференциальным по классической схеме. При расчете переходных процессов в сложной схеме составляется система из “m” дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа для схемы цепи после коммутации. Так как корни характеристического уравнения являются общими для всех переменных, то решение системы дифференциальных уравнений выполняется относительно любой переменной (по выбору). В результате решения получают неоднородное дифференциальное уравнение с одной переменной. Составляют характеристическое уравнение в соответствии с полученным дифференциальным и определяют его корни.

Пример. Составить характеристическое уравнение и определить его корни для переменных в схеме рис. 4. Параметры элементов заданы в общем виде.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа:

Решим систему уравнений относительно переменной i₃, в результате получим неоднородное дифференциальное уравнение:



Характеристическое уравнение и его корень:

[c^-1]

Второй способ составления характеристического уравнения заключается в приравнивании нулю главного определителя системы уравнений Кирхгофа для свободных составляющих переменных.

Пусть свободная составляющая произвольного тока имеет вид , тогда

Система уравнений для свободных составляющих получается из системы дифференциальных уравнений Кирхгофа путем замены производных от переменных на множитель р, а интегралов - на 1/р. Для рассматриваемого примера система уравнений для свободных составляющих имеет вид:

Характеристическое уравнение и его корень:



Третий способ составления характеристического уравнения (инженерный) заключается в приравнивании нулю входного операторного сопротивления схемы относительно любой ее ветви.

Операторное сопротивление элемента получается из его комплексного сопротивления путем простой замены множителя jщ на р, следовательно

Для рассматриваемого примера:

;

;

.

Третий способ является наиболее простым и экономичным, поэтому он чаще других применяется при расчете переходных процессов в электрических цепях.

Корни характеристического уравнения характеризуют свободный переходной процесс в схеме без источников энергии. Такой процесс протекает с потерями энергии и поэтому затухает во времени. Из этого следует, что корни характеристического уравнения должны быть отрицательными или иметь отрицательную вещественную часть.

В общем случае порядок дифференциального уравнения, которым описывается переходный процесс в схеме, и, следовательно, степень характеристического уравнения и число его корней равны числу независимых начальных условий, или числу независимых накопителей энергии (катушек L и конденсаторов C). Если в схеме цепи содержатся параллельно включенные конденсаторы С₁, С₂,… или последовательно включенные катушки L₁, L₂,…, то при расчете переходных процессов они должны быть заменены одним эквивалентным элементом С_Э =С₁ +С₂+… или L_Э =L₁ +L₂+…

Таким образом, общий вид решения для любой переменной при расчете переходного процесса может быть составлен только из анализа схемы цепи, без составления и решения системы дифференциальных уравнений.

Для рассматриваемого выше примера:

а) - при e(t)=E=const;

б) - при e(t)=E_msin(щt+).

7. Определение постоянных интегрирования

Определение постоянных интегрирования производится на заключительном этапе расчета переходного процесса, когда остальные составляющие решения уже найдены. Постоянные интегрирования определяются путем подстановки в решение для искомой функции соответствующих начальных условий.

Пусть решение для искомой функции i(t) содержит только одну постоянную интегрирования:

Постоянная интегрирования находится путем подстановки в решение начального условия для самой функции, т.е. i(0):



.

Пусть решение для искомой функции i(t) содержит две постоянных интегрирования и имеет вид:

Постоянные интегрирования в этом случае находятся путем подстановки в решение начальных условий для самой функции i(0) и для ее первой производной :

В результате совместного решения этой системы уравнений определяют искомые постоянные интегрирования А₁ и А₂.

Последовательность выполнения отдельных этапов расчета переходных процессов классическим методом показана ниже в виде диаграммы.



8. Алгоритм расчета переходных процессов классическим методом

Размещено на http://www.allbest.ru/

Примечания: 1. Выполнение всех этапов, обозначенных в диаграмме клетками, является обязательным и необходимым.

Выполнение первых пяти этапов, находящихся в верхнем горизонтальном ряду диаграммы, может производиться в любой последовательности, так как они не зависят друг от друга.

Пример. Для схемы рис. 5 с заданными параметрами элементов: Е=100 В, R=50 Ом, R₁=20 Ом, R₂=30 Ом, С=83,5 мкФ, определить ток i₁ после коммутации.

Размещено на http://www.allbest.ru/



1) Общий вид решения для искомой функции:

2) Определение установившейся составляющей из расчета схемы после коммутации:

А

3) Характеристическое уравнение и его корень:

, с^-1

4) Независимое начальное условие u_с(0) из расчета схемы до коммутации:

В

5) Система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа для схемы после коммутации:

(1)

(2)

(3)

6) Начальное условие i₁(0), необходимое для определения постоянной интегрирования из уравнения (1):

А

7) Определение постоянной интегрирования:

А

8) Решение для искомой функции:

9) Графическая диаграмма искомой функции i₁(t) показана на рис. 6:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на Allbest.ru

...