Вычисления процессов перехода в электрических цепях

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Переходные функции по току и напряжению

Пусть произвольная электрическая цепь с нулевыми начальными условиями в момент времени включается под действием источника постоянной ЭДС:

Переходной процесс не изменится, если из схемы убрать ключ, а постоянную ЭДС:

Заменить скачкообразной:

Со скачком в момент .

Функция называется единичной скачкообразной функцией, имеющей значения:

Возникающие на любых участках цепи токи и напряжения прямо пропорциональны скачкообразной ЭДС:

Где:

- переходная функция по току, или переходная проводимость.

Переходная функция по току или по напряжению называется функция по времени, численно равная соответствующему току или напряжению при включении цепи с нулевыми начальными условиями к источнику единичной постоянной:

Переходные функции и могут быть рассчитаны для любой схемы классическим или операторным методом.

Пример. Рассчитать переходные функции для тока . И напряжения в цепи R,С.

Выполним расчет переходного процесса в цепи R, C при включении ее к источнику постоянной ЭДС:

В результате найдем:

Искомые переходные функции получим из найденных выражений, заменив в них Е на 1.

Переходные функции используются при расчете переходных процессов методом интеграла Дюамеля.

2. Расчет переходных процессов методом интеграла Дюамеля

Метод интеграла Дюамеля применяется для расчета переходных процессов в электрических цепях в том случае, если в рассматриваемой цепи действует источник ЭДС произвольной формы, отличной от стандартной (постоянной или синусоидальной). Пусть к источнику ЭДС произвольной формы подключается цепь с нулевыми начальными условиями и с заданной переходной проводимостью . Заменим непрерывную кривую ЭДС приближенно ступенчатой с интервалами по оси между отдельными скачками, равными . Первый скачок ЭДС равен и действует в момент . Все последующие скачки ЭДС можно определить:

И действуют они с запаздыванием на , то есть в момент . Ток на выходе цепи в произвольный момент времени t можно рассматривать в соответствии с принципом наложения как сумму частичных токов, возникающих под действием отдельных скачков ЭДС, следующих друг за другом через промежутки в интервале времени от 0 до t.

Частичный ток, вызванный первым источником ЭДС, будет равен:

А частичные токи, вызванные последующими скачками ЭДС, будут равны:

Результирующий ток равен сумме частичных токов:

Перейдем к бесконечно малым интервалам и заменим сумму интегралом:

Полученное выражение для носит название интеграла Дюамеля и применяется на практике для расчета переходных процессов в электрических цепях при воздействии на них источников ЭДС или тока произвольной формы.

Порядок применения интеграла Дюамеля:

Выполняют расчет переходного процесса классическим или операторным методом при включении исследуемой цепи к источнику единичной постоянной ЭДС и таким образом определяют необходимую переходную функцию по току или по напряжению .

Определяют переходную функцию:

Или

Путем замены в выражениях или переменной на .

Находят производную от функции ЭДС:

И в полученном выражении заменяют переменную t на , в результате получают функцию .

Выражения функций :

Или:

Подставляют в формулу интеграла Дюамеля, выполняют интегрирование по переменной и подставляют пределы интегрирования по переменной t.

При необходимости упрощают структуру полученного выражения искомой функции или .

Замечания:

Если функция претерпевает скачки или разрывы, то она разбивается на отдельные участки с плавным изменением функции, при этом интеграл Дюамеля применяется к каждому участку в отдельности.

При расчете переходных процессов в цепях постоянного или синусоидального тока метод интеграла Дюамеля проигрывает классическому и операторному методам, поэтому для таких цепей он не применяется.

Пример. Рассчитать ток в цепи R, C при действии на нее трапециевидного импульса с заданными параметрами:

Переходная проводимость схемы:

Производная от функции ЭДС:

:

Так как функция в момент времени изменяется скачком, то ее разбиваем на два участка, для каждого из которых находим свое решение для искомой функции .

Решение 1:

Решение 2:

3. Расчет переходных процессов методом численного интегрирования дифференциальных уравнений на ЭВМ

Система дифференциальных уравнений, которыми описывается состояние любой электрической цепи, может быть решена методом численного интегрирования на ЭВМ (метод последовательных интервалов или метод Эйлера). Сущность метода состоит в том, что исследуемый промежуток времени Т (при расчете переходных процессов, это Тп - продолжительность переходного процесса) разбивается на большое число N элементарных отрезков времени:

- которые называются шагом интегрирования.

В дифференциальных уравнениях дифференциалы функций заменяются их конечными приращениями, а производные функций - отношениями приращений:

На каждом шаге интегрирования решается система дифференциальных уравнений, в результате решения определяются численные значения производных и самих функций. В качестве исходных данных для их определения используются значения этих же функций на предыдущем шаге, а на начальном 1-ом шаге - их значения в момент коммутации при t =0, т. е. начальные условия. В результате расчета для функций и их производных составляются массивы их значений в исследуемом интервале времени Т, которые после завершения цикла подвергаются соответствующей математической обработке, а именно: строятся графические диаграммы функций, составляются необходимые таблицы, исследуются функции на наличие максимумов и минимумов, устанавливается продолжительность переходного процесса и его характер, и т. д.

Пример. Рассчитать переходный процесс в схеме ниже с заданными параметрами элементов:

R1, R2, R3, L1, L2, С

Путем расчета схемы в установившемся режиме до коммутации определяются независимые начальные условия .

По законам Кирхгофа для схемы после коммутации составляется система дифференциальных уравнений:

Выбирается шаг интегрирования h например, из расчета N=1000 шагов на период Т=0,02 с переменного тока, тогда:

h=Т / N =2·10-5 с

- исходные данные.

- текущее время,

Далее следуют вычисления по тому же алгоритму для (к+1) - го шага и т. д. В соответствии с составленным алгоритмом на любом языке составляется программа вычислений на ЭВМ, что представляет собой несложную инженерную задачу.

В настоящее время метод численного интегрирования является наиболее универсальным и наиболее простым методом расчета переходных процессов в электрических цепях.