Электрические цепи с распределенными параметрами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Электрические цепи с распределенными параметрами

1. Общие определения

Параметры электрических цепей в той или иной мере всегда распределены вдоль длины отдельных участков. В большинстве практических случаев распределением параметров вдоль длины пренебрегают и представляют электрическую цепь эквивалентной схемой с сосредоточенными схемными элементами R, L и C.

Однако существует большой класс электрических цепей, для которых пренебрежение распределением параметров вдоль длины приводит к существенным погрешностям при их расчёте и становится неприемлемым.

Из курса физики известно, что электромагнитное поле распространяется вдоль электрической цепи не мгновенно, а с конечной скоростью х, проходя всю длину цепи l за время:

Если за время ?t режимные параметры в цепи (u, Я) изменяются незначительно и этим изменением можно пренебречь, то для такой цепи пренебрегают распределением параметров вдоль длины и замещают ее схемой с сосредоточенными элементами.

Если за время ?t режимные параметры в цепи (u, Я) изменяются на заметную величину, которую необходимо учитывать в расчете, то такие цепи считаются с распределенными параметрами и расчет их проводится уже с учетам распределения параметров вдоль их длины.

Пример 1.

Воздушная линия электропередачи длиной l = 50 км работает на частоте ѓ = 50 Гц.

Скорость волны х=300000 км/с.

6000км

с

Таким образом, фазовый сдвиг для волн напряжения и тока вначале и в конце линии составляет всего 3,6^о, чем можно пренебречь и считать такую линию как цепь сосредоточенными параметрами.

Пример 2. Линия электропередачи длиной l=500 км: ѓ = 50 Гц, х=300000 км/с.

с

Фазовый сдвиг для волн напряжения и тока в начале и конце линии составляет 36^о.

Расчет режима в такой линии без учета распределения параметров по длине привел бы к существенным ошибкам, поэтому такую линию следует считать как цепь с распределенными параметрами.

Пример 3.

Соединительный кабель от комнатной антенны до входного гнезда телевизора имеет длину l=2 м, телевизионный канал работает на частоте:

ѓ=150 МГц,

х=200000 км/с.

с

1,3 м

с

Соединительный кабель следует рассматривать как цепь с распределенными параметрами.

При синусоидальном режиме цепи критерием необходимости учета распределения параметров по длине может служить соотношение между длиной линии l и длиной волны . Если l<< ,то цепь рассматривается как c сосредоточенными параметрами в примере 1:

Если l и соизмеримы, то цепь рассматривается как с распределенными параметрами в примере 2:

В примере 3:

К цепи с распределенными параметрами относятся все лини связи, линии электропередачи длиной l > 100 км.

Одни и те же электрические цепи в зависимости от формы воздействующего напряжения в одних случаях принимаются с распределенными параметрами, а в других - с сосредоточенными параметрами. Например, обмотки силовых трансформаторов при расчете установившихся режимов в них на частоте ѓ=50 Гц считаются цепями с сосредоточенными параметрами, но при расчете переходных процессов, возникающих в результате коммутации или атмосферных разрядов те же обмотки считаются цепями с распределенными параметрами.

Если параметры цепи распределены равномерно по ее длине, то цепь называется, однородной, если неравномерно - то неоднородной. В курсе ТОЭ рассматриваются только однородные цепи.

2. Дифференциальные уравнения цепи с распределенными параметрами

Рассмотрим двухпроводную однородную линию, физические параметры которой равномерно распределены по ее длине - активное сопротивление пары проводов на единицу длины [Ом/м], определяется по известной формуле:

Зависит от материала провода (г) и от ее температуры:

- индуктивность пары проводов на единицу длины линии [Гн/м], определяется как отношение сцепления потока к току:

- является отображением магнитного поля линии в ее схеме замещения, зависит от магнитных характеристик среды (м) и геометрических размеров линии;

- активная проводимость между проводами на единицу длины линии [См/м], является следствием несовершенства изоляции между проводами, зависит от электрических параметров среды (г) и геометрических размеров линии;

- емкость между проводами на единицу длины линии [Ф/м], определяется как отношение заряда к напряжению:

- является отображением электрического поля линии в ее схеме замещения, зависит от электрических характеристик среды () и геометрических размеров линии.

Удельные параметры линии зависят от физических параметров самих проводов и окружающий их среды, поэтому они получили название физических или первичных.

Разделим всю линию на элементарные участки длиной dх и рассмотрим один из таких участков, находящийся на расстоянии х от начала линии. Схема замещения участка будет иметь вид рисунке ниже. Здесь u и i - напряжение и ток в начале рассматриваемого участка.

В конце участка напряжение и ток получают приращения:

Функции напряжения и тока (u, i) зависят от двух параметров t и x, они изменяются в пространстве и во времени, поэтому дифференциальные уравнения для схемы замещения следует составлять в частных производных.

После упрощения получим:

По закону Ома и 1-му закону Кирхгофа:

В приведенном выражении пренебрегаем слагаемыми второго порядка малости, содержащими . По 1-му закону Кирхгофа для узла:

После упрощения получим:

3. Решение уравнений линии с распределенными параметрами в установившемся синусоидальном режиме

Пусть напряжение и ток в линии с распределенными параметрами изменяются по синусоидальному закону:

Заменим в дифференциальных уравнениях линии синусоидальные функции и и их производные:

(1)

(2)

В уравнениях (1) и (2) приняты обозначения:

- комплексное сопротивление линии на единицу длины [Ом /м].

- комплексная проводимость линии на единицу длины [См /м].

Дифференцируем уравнение (2) по переменной х и делаем в него подстановку из (1):

(3)

Решаем дифференциальное уравнение 2-го порядка (3) классическим методом. Характеристическое уравнение и его корни:

--

++

Решение для искомой функции в общем виде:

Где:

- безразмерная комплексная величина, названная коэффициентом (постоянной) распространения, - комплексные постоянные интегрирования, которые определяются через граничные условия, т. е. через значения искомых функций U(x), I(x) в заданной точке линии, например в ее начале (х=0) или в ее конце (x=l).

Из уравнения (1) находим:

Где:

- волновое или характеристическое сопротивление линии.

Таким образом, решения для искомых функций U(x) и I(x) имеют вид:

(4)

(5)

Волновое сопротивление и постоянная распространения получили название вторичных параметров линии.

Выразим постоянные интегрирования и через граничные условия начала линии.

При:

х=0

- подставим эти значения в уравнения (4) и (5):

Совместное решение этих уравнений позволяет определить постоянные интегрирования:

Подставим полученные значения постоянных интегрирования в решения для искомых функций (4) и (5):

Полученные уравнения используются при расчетах цепей с распределенными параметрами в установившемся синусоидальном режиме.

Если принять х=l ,то получим значения параметров режима в конце линии:

Выразим постоянные интегрирования через граничные условия конца линии. Для этой цели в полученных ранее решениях (4) и (5) заменим переменные х на ly из условия x=ly, где l - длина всей линии, а y - расстояние от конца линии до рассматриваемой точки:

Здесь:

- есть некоторые новые постоянные интегрирования.

При:

y=0

- подставим эти значения в найденные уравнения, получим:

Совместное решение этих уравнений позволяет определить постоянные интегрирования:

Подставляем значение постоянных в решение для искомых функций:

Полученные уравнения используются при расчете цепей с распределенными параметрами в установившемся синусоидальном режиме.

Если принять y=l, то получим значение параметров режима в начале линии:

двухпроводной интегрирование синусоидальный

Размещено на Allbest.ru