Электростатическое поле

Размещено на http://www.allbest.ru/

15

Размещено на http://www.allbest.ru/

Теория электромагнитного поля

1. Основные понятия и определения

дифференциальный электростатический поле

Электротехника Ї это отрасль знаний об электромагнитных явлениях и их практическом применении в технике. Физической основой всех электромагнитных явлений является электромагнитное поле.

Электромагнитное поле представляет собой вид материи, характеризующийся воздействием на заряженные частицы. Как вид материи электромагнитное поле обладает массой, энергией, количеством движения, оно может превращаться в вещество и наоборот.

Электромагнитное поле имеет две составляющие или две стороны электрическую и магнитную. В каждой точке пространства оно определяется двумя векторными величинами: вектором напряженности электрического поля [В/м] и вектором напряженности магнитного поля [A/м].

Следует помнить, что в природе существует единое электромагнитное поле, а отдельные его стороны электрическое или магнитное поле могут проявляться независимо друг от друга только в частных случаях и при определенных условиях.

Электростатическое поле представляет собой частный случай электромагнитного поля. Оно создается системой неподвижных по отношению к наблюдателю (в выбранной системе отсчета) зарядов.

Электрические заряды, создающие электростатическое поле, могут быть распределены в пространстве по тому или иному закону.

Если заряд q распределен в некотором объеме v, то он характеризуется объемной плотностью [Кл/м³], откуда следует, что .

Если заряд q распределен по некоторой поверхности s, то он характеризуется поверхностной плотностью [Кл/м²], откуда следует, что .

Если заряд q распределен вдоль тонкого провода или оси, то он характеризуется линейной плотностью [Кл/м], откуда следует, что .

И, наконец, если заряд q сосредоточен в точке, объем которой стремиться к нулю, то такой заряд называется точечным. Понятие точечного заряда является идеализированным, в природе точечных зарядов не существует, однако введение понятия точечного заряда имеет большое теоретическое значение.

Электростатическое поле в произвольной точке пространства характеризуется вектором напряженности [В/м]. Напряженность поля уединенного точечного заряда q определяется по формуле:

,

где [Ф/м] диэлектрическая проницаемость пустоты; относительная диэлектрическая проницаемость среды, показывающая во сколько раз проницаемость данной среды больше проницаемости пустоты; единичный радиус-вектор, направленный по радиусу от заряда, если q>0, и к заряду, если q<0 (рис. 254а).

Если электростатическое поле создается системой зарядов, то к расчету вектора напряженности применим принцип наложения, т.е. результирующее значение вектора напряженности поля в произвольной точке пространства будет равно геометрической сумме составляющих этого вектора от каждого точечного заряда в отдельности, т.е. . На рис.254б электростатическое поле создается системой из двух точечных зарядов ( и ). Модуль результирующего вектора напряженности Е можно определить по формуле, вытекающей из теоремы косинусов:

.

Если электростатическое поле создается системой распределенных в пространстве зарядов, то эти заряды разбиваются на элементарные точечные заряды dq, а операция сложения заменяется интегрированием по объему, площади или длине, в зависимости от того, как распределены заряды в пространстве.

Пусть точечный заряд q перемещается в электростатическом поле из точки 1 в точку 2 по произвольной траектории 1а2 (рис. 255.)

При перемещении заряда будет совершаться некоторая работа:

.

Напряжением между точками 1 и 2 называется отношение работы по перемещению заряда из точки 1 в точку 2 к величине заряда q:

.

Если переместить заряд обратно в точку 1 по некоторой новой траектории 2b1, то согласно закону сохранения энергии суммарная работа по перемещению заряда будет равна нулю:

.

Из полученного выражения следует два вывода:

1) циркуляция вектора напряженности поля по замкнутому контуру равна нулю;

2) или напряжение между двумя точками 1 и 2 не зависит от выбора пути интегрирования.

Второй вывод позволяет ввести в расчет некоторую функцию координат под названием потенциала поля, разность значений которой в рассматриваемых точках 1 и 2 численно равна напряжению между этими точками:

.

Пусть потенциал точки 1 известен (), а точка 2 перемещается в пространстве и ее потенциал будет функцией координат x, y, z:

.

В электротехнике за базовую точку с заданным нулевым потенциалом принимают “землю”, а при отсутствии заземления любую точку цепи или схемы.

Принимая за постоянную интегрирования, перейдем к неопределенному интегралу:

,

откуда, т.е. проекция вектора на любое направление l показывает скорость убывания потенциала в этом направлении. Аналогично можно записать составляющие вектора по координатным осям x, y, z:

Просуммируем отдельные составляющие вектора:

,

где оператор пространственного дифференцирования (Гамильтона).

Поверхность, на которой потенциал имеет постоянное значение, называется эквипотенциальной. Вектор напряженности поля направлен в сторону наибольшего убывания потенциала и, следовательно, перпендикулярно к эквипотенциальной поверхности.

2.Уравнения электростатического поля в интегральной и дифференциальной форме

Интегральная форма уравнений описывает поле в конечных размерах объема, поверхности, линии, расположенных в пространстве. Дифференциальная форма тех же уравнений описывает поле в произвольных точках пространства.

1.Закон Кулона определяет силу взаимодействия между двумя точечными зарядами:

.

Сила взаимодействия двух точечных зарядов направлена по прямой, соединяющих эти заряды, при этом одноименные заряды отталкиваются, а разноименные притягиваются.

2.Ранее была получена интегральная форма уравнения циркуляции вектора напряженности поля по замкнутому контуру:

интегральная форма.

По теореме Стокса перейдем к дифференциальной форме этого уравнения:

.

Так как площадка выбиралась произвольно, то очевидно проекция вектора на любое направление равна нулю, следовательно и сам вектор равен нулю:

дифференциальная форма.

Ротор вектора характеризует его вихри в пространстве. Равенство означает, что электростатическое поле является безвихревым, т.е. потенциальным.

В декартовой системе координат операция rot запишется так:

.

3. Теорема Гаусса является одной из фундаментальных теорем в теории поля:

интегральная форма записи теоремы гласит, что поток вектора электрического смещения сквозь замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме свободных зарядов, расположенные внутри поверхности S.

Для однородной среды , тогда .

По теореме Остроградского перейдем к дифференциальной форме уравнения теоремы Гаусса:

, ,

следовательно:

Ї дифференциальная форма.

Дивергенция вектора характеризует его истоки в пространстве, следовательно, линии вектора начинаются на положительных зарядах и заканчи- ваются на отрицательных.

В декартовой системе координат операция div запишется так:

.

Для однородной среды , тогда .

4. Электростатическое поле обладает способностью запасать энергию. Объемная плотность этой энергии выражается уравнением:

 [Дж/м³].

Для определения запаса энергии в заданном обьеме v необходимо выполнить интегрирование плотности энергии по заданному обьему:

.

3. Граничные условия в электростатическом поле

Выделим произвольную точку n, расположенную в электростатическом поле на поверхности раздела двух диэлектриков с разными значениями диэлектрической проницаемости и (рис. 3)

Окружим точку n элементарной призмой, у которой высота бесконечно мала по сравнению с линейными размерами основания. Применим к поверхности призмы теорему Гаусса, при этом пренебрежем потоком вектора через боковые поверхности ввиду их малости. Тогда получим:

 , или

, .

На границе раздела двух диэлектриков равны нормальные составляющие вектора электрического смещения .

Окружим выделенную точку n элементарным прямоугольником, высота которого бесконечно мала по сравнению с его длиной (рис. 256б). Найдем значение циркуляции вектора по периметру прямоугольника:

, или

, .

На границе раздела двух диэлектриков равны тангенциальные составляющие вектора напряженности поля .

Разделим почленно вторые уравнения на первые и учтем, что , получим

или ,

откуда следует

 Ї условие преломления линий поля на поверхности раздела двух диэлектриков с различными значениями и диэлектрической проницаемости( и ).

Если линии поля направлены нормально к поверхности раздела (), то

, .

Рассмотрим граничные условия на поверхности раздела диэлектрика с проводником.

Электрическое поле внутри проводника отсутствует (= 0), а его поверхность является эквипотенциальной. На поверхности проводника бесконечно тонким слоем будут располагаться свободные разряды с поверхностной плотностью . Лини поля в диэлектрике будут направлены нормально к поверхности проводника как к эквипотенциальной поверхности. Применяя рассуждения, аналогичные предыдущему примеру, получим:

, .

4. Уравнение Пуассона и Лапласа. Теорема единственности решения

Расчет электростатических полей с использованием уравнений и возможен только в простейших случаях. Наиболее общим методом является расчет электростатических полей на основе решения уравнений Пуассона и Лапласа. Выведем эти уравнения.

Ранее было получено . Подставим это выражение в уравнение дивергенции:

,

откуда следует:

или Ї уравнение Пуассона.

Уравнение Пуассона справедливо для тех точек среды, где существуют объемные заряды .

В реальных условиях свободные заряды располагаются на поверхности проводников бесконечно тонким слоем. Объемная плотность таких зарядов равна бесконечности и уравнение Пуассона применительно к ним теряет свой смысл. В диэлектриках, которыми разделены заряженные проводники, объемные заряды отсутствуют (), уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа:

или Ї уравнение Лапласа.

Таким образом, электростатическое поле в диэлектрике описывается уравнением Лапласа, внутри проводников поле отсутствует вообще, а на границе раздела диэлектрика с проводником вступают в силу граничные условия, .

В декартовой системе координат операцию двойного дифференцирования записывают так:

.

Уравнение Лапласа в электростатике имеет исключительно важное значение.

Уравнения Пуассона и Лапласа, как уравнения в частных производных, допускают множество линейно независимых частных решений. Однако в реальных условиях каждой конкретной задаче соответствует только одно определенное решение.

Теорема единственности решения гласит, что найденное любым способом решение уравнений Пуассона или Лапласа, является единственно верным решением, если оно удовлетворяет граничным условиям данной задачи.

Предположим, что существует два решения для вектора напряженности поля и, оба удовлетворяющие граничным условиям задачи. Тогда получим:

.

Если rot и div от вектора равны нулю, то сам вектор тождественно равен нулю, следовательно , или , что требовалось доказать.

Из теоремы единственности решения вытекают два следствия, имеющее важное практическое значение:

электростатическое поле в некотором объеме, ограниченном эквипотенциальной поверхностью, не изменится, если эту поверхность заменить бесконечно тонким проводящим слоем;

электростатическое поле по одну сторону некоторой поверхности S не изменится, если по другую сторону поверхности изменить параметры среды (например, заменить поводящую среду диэлектриком) и изменить расположение свободных зарядов так, чтобы на этой поверхности сохранились прежние граничные условия.

Второе следствие лежит в основе так называемого метода зеркальных отображений, применяемого на практике для расчета электростатических полей.

Размещено на Allbest.ru