Магнитное поле постоянных токов

Размещено на http://www.allbest.ru/

13

Размещено на http://www.allbest.ru/

Магнитное поле постоянных токов

1. Уравнения магнитного поля в интегральной и дифференциальной формах

Магнитное поле характеризуется двумя векторными величинами

- вектор напряженности магнитного поля, создается электрическими токами, является первопричиной магнитного поля А/м

- вектор индукции магнитного поля или плотность магнитных силовых линий Тл.

Между векторами и существует связь

,

где ₀ = 410^-7 1,257 10^-6 Гн/м магнитная проницаемость пустоты, относительная магнитная проницаемость.

Известный из курса физики закон Био-Савара-Лапласа устанавливает связь между элементарным вектором магнитной индукции в произвольной точке пространства и элементом тока (рис. 274)

На основе закона Био-Савара-Лапласа выполняется расчет магнитного поля сложных систем проводников с токами.

Закон Ампера определяет силу взаимодействия магнитного поля на элемент проводника с током

^,

откуда следует, что сила, действующая на проводник , равна

^.

На прямолинейный проводник с током I в равномерном магнитном поле действует сила , направление которой определяется по правилу левой руки.

1 -й закон Кирхгофа для магнитной цепи, выражающий непрерывность магнитных силовых линий поля, имеет вид

интегральная форма уравнения непрерывности магнитных линий.

Преобразуем это уравнение по теореме Остроградского-Гаусса

дифференциальная форма уравнения непрерывности магнитных линий.

Закон полного тока для магнитного поля имеет вид

интегральная форма закона полного тока. Преобразуем левую часть этого уравнения по теореме Стокса

,

а в правой части получим:

.

Следовательно:

дифференциальная форма закона полного тока.

Граничные условия в магнитном поле на границе раздела двух сред с различными магнитными проницаемостями ₁ и ₂ выражаются уравнениями

На границе раздела двух сред равны нормальные составляющие вектора В и тангенциальные составляющие вектора Н.

Магнитное поле несет в себе энергию, плотность которой определяется уравнением

Дж/м³

2. Векторный потенциал магнитного поля

Пусть требуется рассчитать магнитное поле в однородной среде (=const), в которой протекает электрический ток, плотность которого задана в виде некоторой функции координат . Для определения векторов поля и необходимо решить систему уравнений

(1)

(2)

(3)

Введем новую векторную величину , позволяющую исключить из системы уравнений неизвестные и и получить одно дифференциальное уравнение, решение которого известно в математике.

Пусть вектор , получивший название вектора потенциала магнитного поля, удовлетворяет условию

Так как divrot любого вектора тождественно равна нулю, то уравнение (1) выполняется тождественно

Из уравнения (2) следует

Из курса математики известно, что

.

В полученном уравнении можно принять , не нарушая равенства

.

Тогда получим

уравнение Пуассона для векторного потенциала магнитного поля для областей среды, где протекают токи проводимости. Для областей среды, где токи проводимости отсутствуют, уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа . Каждое из этих векторных уравнений в декартовой системе координат распадается на три скалярных в направлении координатных осей

Решения уравнений Пуассона для векторного потенциала имеют вид (без вывода)

; ;

Если решение для векторного потенциала найдено, то другие неизвестные величины выражаются через векторный потенциал

Если токи протекают по линейным проводникам, поперечные размеры которых весьма малы по сравнению с их длиной, то то выражение для векторного потенциала можно упростить следующим образом

где ток в проводнике

В последнем уравнении интегрирование по объему заменяется интегрированием по контурам линейных проводов, что упрощает его решение.

3. Скалярный потенциал магнитного поля

Ранее для электростатического поля вне зарядов ( = 0) была получена система уравнений

Для магнитного поля вне токов ( = 0) система уравнений имеет вид

Сравнение этих систем уравнений показывает, что они имеют одинаковую структуру и, следовательно, к их решению применим принцип двойственности.

Это значит, что к расчету магнитного поля в областях вне токов могут быть применены методы, заимствованные из электростатики.

Введем по аналогии понятие скалярного магнитного потенциала _м(x,y,z) из условия

Применение понятия скалярного потенциала _м(x,y,z) в ряде случаев значительно упрощает решение задач по расчету магнитного поля вне токов. Следует иметь в виду, что для электрического поля напряжение

не зависит от выбора пути интегрирования, в то же время магнитное напряжение

зависит от выбора этого пути.

4. Магнитное поле цилиндрического проводника с током

Пусть по бесконечно длинному цилиндрическому проводу радиуса R протекает постоянный ток I . Выберем систему координат x, y, z так, чтобы ось провода совпадала с осью координат z (рис. 276).

Размещено на http://www.allbest.ru/

13

Размещено на http://www.allbest.ru/

Будем считать, что ток равномерно распределяется по сечению провода, тогда его плотность будет равна

Для исследования магнитного поля выделим две неравнозначные области, для каждой из которых выполним расчет параметров магнитного поля

1) область внутри провода при 0 r R ,

2) область вне провода при R r .

Для расчета поля во внутренней области выберем контур интегрирования в виде окружности с текущим радиусом rR . Тогда ток внутри контура интегрирования

 , откуда

Применим к контуру интегрирования закон полного тока в интегральной форме

,

и .

Векторы и направлены по касательной к окружности, их направление определяется по правилу правоходового винта.

При увеличении радиуса на элементарную величину dr произойдет приращение магнитного потока на величину dф на единицу длины провода (l = 1) и приращение магнитного потокосцепления на величину d

Внутренний магнитный поток и внутреннее потокосцепление найдутся в результате интегрирования полученных выше выражений по всему сечению провода

_,

.

Из последнего уравнения следует формула для внутренней индуктивности провода на единицу длины

Гн/м

Внутренняя индуктивность провода зависит от его магнитной проницаемости (для стальных проводов она значительно больше, чем для медных или алюминиевых) и не зависит от его радиуса.

Для расчета поля во внешней области выберем контур интегрирования в виде окружности с текущим радиусом rR . Ток внутри контура интегрирования равен I и не зависит от текущего значения радиуса r. Из закона полного тока следует

, откуда и

Приращения магнитного потока dф и потокосцепления d будут равны

Внешний магнитный поток Ф_внеш и соответственно внешнее потокосцепление _внеш найдутся в результате интегрирования полученных выше выражений по сечению вне провода

,

магнитный поле ток

где R' - внешний радиус в окружающем провод пространстве, где производится расчет параметров поля.

Внешняя индуктивность провода на единицу длины

Гн/м

Размещено на Allbest.ru