Основные уравнения Максвелла и их физический смысл

Основы теории электромагнитного поля или электродинамики были впервые изложены в 1873 г. английским ученым Максвеллом в труде «Трактат об электричестве и магнетизме». Математические уравнения, описывающие физические процессы в переменном электромагнитном поле, называются уравнениями Максвелла. Наиболее важные из них первые четыре, которые называются основными:

( 1 )

( 2 )

( 3 )

( 4 )

( 5 )

( 6 )

( 7 )

( 8 )

Рассмотрим более детально каждое из уравнений Максвелла и вытекающие из них следствия. Физический смысл 1-го основного уравнения: переменное магнитное поле () возбуждается как токами проводимости (), так и токами смещения (). Максвелл назвал плотностью тока смещения изменение во времени вектора электрического смещения :

Ток проводимости () и ток смещения () эквиваленты в отношении создания магнитного поля, но представляют собой различные физические явления. Если ток проводимости соответствует движению свободных зарядов, то ток смещения может существовать в пустоте, где заряды отсутствуют вообще.

Так как

, то

Таким образом, плотность тока смещения в диэлектрике складывается из плотности тока смещения в пустоте () и члена (), учитывающего поляризацию диэлектрика (перемещение связанных зарядов).

1-е уравнение Максвелла представляет собой дифференциальную форму обобщенного закона полного тока. Для доказательства этого положения проинтегрируем обе части уравнения по некоторой неподвижной поверхности S, опирающейся на контур l:

Левая часть уравнения преобразуется по теореме Стокса:

,

а в правой части равенства получим:

, ,

следовательно:

закон полного тока в интегральной форме.

Для стационарного поля и , тогда первое уравнение Максвелла превращается в уравнения магнитного поля постоянного тока:

, .

Из последнего равенства вытекают уравнения 2-го закона Кирхгофа для магнитной цепи:

.

Возьмем операцию div от левой и правой части основного уравнения (1):

Из математики известно, что div rot = 0 тождественно, тогда получим:

уравнение непрерывности линий вектора плотности тока , которое гласит, что линии вектора непрерывны, концами линий плотности тока проводимости являются начала линий плотности тока смещения и наоборот.

Проинтегрируем обе части последнего уравнения по некоторому замкнутому объему V. В левой части по теореме Остроградского получим:

,

а в правой части:

,

следовательно: - закон сохранения заряда в интегральной форме.

Полученное уравнение показывает, что в переменном электромагнитном поле токи и заряды связаны и не могут задаваться независимо друг от друга.

Физический смысл 2-го основного уравнения: переменное электрическое поле () возбуждается не только зарядами q, но и изменением во времени магнитного поля ().

2-е уравнение Максвелла представляет собой дифференциальную форму закона электромагнитной индукции. Для доказательства этого положения проинтегрируем обе части уравнения по некоторой неподвижной поверхности S, опирающейся на контур l:

.

Левая часть уравнения преобразуется по теореме Стокса:

,

а в правой части равенства получим:

следовательно:

В электрических машинах переменного тока (генераторах, двигателях, трансформаторах) магнитное поле изменяется во времени по синусоидальному закону В обмотках машин это поле наводит синусоидальную ЭДС:

.

Действующее значение этой ЭДС равно:

уравнение трансформаторной ЭДС.

Для стационарного поля , и 2-е уравнение Максвелла превращается в уравнения электростатического поля:

Из совместного анализа 1-го и 2-го уравнений Максвелла следует вывод, переменное электрическое и переменное магнитное поля должны рассматриваться как два связанных проявления единого электромагнитного процесса. Каждое из этих полей и их изменения во времени и пространстве являются одновременно и причиной и следствием друг друга. Совокупность этих двух полей называется электромагнитным полем.

3-е уравнение Максвелла устанавливает истоки линий магнитного поля. Оно гласит, что линии вектора магнитной индукции непрерывны, т.е. замкнуты сами на себя. Проинтегрируем это уравнение по некоторому объему V, ограниченному поверхностью S:

есть 1-й закон Кирхгофа для магнитной цепи.

4-е уравнение Максвелла устанавливает истоки линий электрического поля. Оно гласит, что линии вектора электростатической индукции имеют разрыв, они начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. Проинтегрируем это уравнение по некоторому объему V, ограниченному поверхностью S:

или

есть уравнение теоремы Гаусса в интегральной форме.

2. Теорема Умова-Пойтинга для электромагнитного поля

Теорема Умова-Пойтинга устанавливает баланс мощностей в произвольном объеме электромагнитного поля. Математическая база теоремы разработана русским математиком Умовым в 1874 году, а в 1884 году английский физик Пойтинг применил идеи Умова к электромагнитному полю.

Выделим в переменном электромагнитном поле некоторый объем V, ограниченный поверхностью S. Внутри выделенного объема могут оказаться частично или полностью источники и приемники электрической энергии в любых сочетаниях. Электромагнитное поле внутри объема описывается системой уравнений Максвелла:

( 1 )

( 2 )

( 3 )

Умножим скалярно уравнение (1) на , уравнение (2) на , и вычтем почленно левые и правые части уравнений:

.

Из курса математики известно, что

Преобразуем правые части уравнения. Из закона Ома (3) следует:

;

.

После преобразования получим:

Проинтегрируем все члены полученного уравнения по выделенному объему V:

Исследуем каждое слагаемое уравнения. По теореме Остроградского-Гаусса:

,

где вектор Пойгинга [Вт/м], численно равный плотности потока энергии в единицу времени (потока мощности) через единицу поверхности вокруг рассматриваемой точки;

мощность тепловых потерь или потребляемая мощность в заданном объеме, эта мощность всегда положительна;

мощность источников энергии внутри объема, эта мощность отрицательна, если векторы и совпадают, и положительна, если эти векторы не совпадают;

мощность электромагнитного поля, она положительна, если идет процесс накопления энергии в объеме, и отрицательна, если идет процесс возврата энергии.

Таким образом, после принятых обозначений теорема Умова-Пойтинга получит вид:

.

электромагнитный поле провод

Формулировка теоремы Умова-Пойтинга: небаланс мощности в заданном объеме V компенсируется потоком вектора Пойтинга, направленным внутрь объема (знак ) через замкнутую поверхность S, ограничивающую этот объем.

Вектор Пойтинга направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы поля и , характеризует величину и направление энергии, проходящей в единицу времени через единицу площади в направлении вектора.

Теорема Умова-Пойтинга позволяет сделать важный теоретический вывод, что электрическая энергия от генератора к приемнику передается не по проводам линии электропередачи, а электромагнитным полем, окружающим эти провода, а сами провода выполняют две другие функции: 1) создают условия для получения электромагнитного поля, 2) являются направляющими для потока электроэнергии.

Размещено на Allbest.ru