Свойства электромагнитного поля

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Поток вектора Пойтинга в коаксиальном кабеле

Устройство коаксиального кабеля показано на рис. 281. К кабелю приложено постоянное напряжение U и протекает постоянный ток I.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Особенностью режима работы коаксиального кабеля является то, что его электрическое и магнитное поле не выходит за пределы наружной оболочки.

Рассмотрим режим точки 1, расположенной в диэлектрике на расстоянии r от оси кабеля. Линейная плотность заряда:

.

Напряженность электрического поля:

.

Напряженность магнитного поля:

.

Векторы поля и направлены под углом в 90^о друг к другу.

Вектор Пойтинга:

стресс тревога фрустрация гиперестезический

.

Вектор Пойтинга направлен вдоль оси кабеля по направлению тока I. Поток вектора Пойтинга через поперечное сечение диэлектрика:

.

Вывод: поток вектора Пойтинга через поперечное сечение диэлектрика равен передаваемой мощности Р, т. е. вся энергия от источника к приемнику передается электромагнитным полем, сосредоточенным в диэлектрике между жилой и оболочкой.

Рассмотрим режим точки 2, расположенной на наружной поверхности жилы.

Плотность тока в жиле кабеля:

.

Напряженность электрического поля:

.

Напряженность магнитного поля:

.

Векторы поля и направлены под углом в 90^о друг к другу.

Вектор Пойтинга:

.

Вектор Пойтинга направлен по радиусу к центру кабеля.

Поток вектора Пойтинга через боковую поверхность внутренней жилы:

.

Вывод: поток вектора Пойтинга через наружную поверхность жилы направлен внутрь провода и равен мощности тепловых потерь.

2. Уравнения Максвелла в комплексной форме

Если векторы поля и изменяются во времени по синусоидальному закону, то синусоидальные функции времени могут быть представлены комплексными числами и, соответственно, сами векторы будут комплексными:

В записанных выражениях черта снизу символа означает «комплекс», а черта сверху - «вектор», соответственно читается «комплекс-вектор».

Учитывая, что операции дифференцирования в комплексной форме соответствует умножение комплексного изображения на множитель , то в уравнениях Максвелла в комплексной форме время, как координата, в явной форме отсутствует.

С учетом принятых обозначений система основных уравнений Максвелла в комплексной форме получит вид:

Комплексный вектор Пойтинга можно представить по аналогии с комплексной мощностью:

.

Теорема Умова-Пойтинга в комплексной форме (без вывода):

.

3. Плоская гармоническая волна в диэлектрике

Плоской называется электромагнитная волна с плоским фронтом, у которой векторы поля и взаимно перпендикулярны и при соответствующем выборе направления осей координат будут зависеть только от одной пространственной координаты z и времени t. Волна называется гармонической, если векторы поля и изменяются во времени по синусоидальному закону. Волна распространяется в однородном диэлектрике (), проводимость которого равна нулю ().

Выберем направления осей координат x, y, z так, чтобы вектор совпадал с осью x , вектор совпадал с осью y , тогда вектор Пойтинга будет направлен вдоль оси z (рис. 282):

Размещено на http://www.allbest.ru/

Система уравнений Максвелла в комплексной форме:

Раскроем операцию rot в декартовой системе координат и учтем, что векторы поля содержат только по одной пространственной составляющей:

,

:

(вектор направлен по оси х),

(вектор направлен по оси у)

Таким образом, система уравнений Максвелла получит вид:

Решим данную систему дифференциальных уравнений относительно одной из переменных, например, . Для этой цели продифференцируем уравнение (2) по переменной z и выполним в него подстановку из уравнения (1):

,

где фазовая скорость волны.

Таким образом получилось дифференциальное уравнение 2-го порядка с одной переменной :

Решение для искомой функции:

где корни характеристического уравнения:

В неограниченной однородной среде отраженные волны отсутствуют, поэтому примем С₂=0, С₁=Сe^j, тогда решение для искомой функции получит окончательный вид:

где .

Решение для переменной получим из уравнения (2) путем подстановки в него найденного решения для переменной :

,

где - волновое сопротивление среды; для пустоты

Ом.

Перейдем от комплексного изображения функций к их оригиналам:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Таким образом, электромагнитное поле в диэлектрике распространяется в виде незатухающих взаимно перпендикулярных в пространстве волн и со скоростью (рис. 283).

Отношение мгновенных значений волн в любой точке пространства и в любой момент времени постоянно и равно волновому сопротивлению

.

Длиной волны л называют расстояние, на котором фаза волны изменяется на 2р:

откуда следует, что

Каждая из волн переносит энергию в направлении своего движения, при этом объемные плотности энергий электрического и магнитного полей равны между собой.

4. Плоская гармоническая волна в проводящей среде

Пусть плоская гармоническая волна проникает в проводящую среду ) через плоскость, нормальную и направленную движения волны.

Система уравнений Максвелла в комплексной форме будет иметь вид:

Плотностью тока смещения () в уравнении (1) пренебрегаем в связи с ее малостью по сравнению с плотностью тока проводимости .

Выберем направления осей координат так, чтобы вектор сопадал с осью x (), вектор совпадал с осью y (), тогда вектор Пойтинга будет направлен по оси z () (рис. 284). При таком выборе направлений осей координат и система уравнений Максвелла получит вид:

Решим данную систему дифференциальных уравнений относительно одной из переменных, например, . Для этой цели продифференцируем уравнение (2) по переменной (z) и сделаем в него подстановку из уравнения (1):

Введем обозначения:

,

где .

С учетом принятых обозначений дифференциальное уравнение получит стандартную форму:

.

Решение дифференциального уравнения:

,

где ₁= p = b - jb, ₂ = b+jb корни характеристического уравнения.

Если среда распространения волны не ограничена, то отраженная волна отсутствует и второе слагаемое из решения можно исключить, тогда решение в комплексной форме получит вид:

Перейдем от комплексного изображения к функции времени:

Решение для волны в комплексной форме получим из уравнения (2) путем подстановки в него найденного решения для :

,

где комплексное волновое сопротивление среды, которое носит активно-индуктивный характер.

Перейдем от комплексного изображения к функции времени:

Таким образом, электромагнитное поле в проводящей среде распространяется в виде затухающих взаимно перпендикулярных волн и . Множитель показывает, что амплитуды волн при своем перемещении затухают по экспоненциальному закону. Глубиной проникновения поля называется расстояние, на котором амплитуды волн затухают в раза, т.е , откуда

.

Фазовая скорость определяется из условия, что , откуда следует, что

.

Длина волны равна расстоянию, на котором фаза волны изменяется на 2, т. е. , откуда

.

На расстоянии длины волны z = затухание волны составит раз.

Размещено на Allbest.ru