Переходные процессы в электрических цепях

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

Переходные процессы в электрических цепях



Содержание

1. Основные понятия и принципы анализа переходных процессов

2. Переходные процессы при подключении к источнику постоянного напряжения цепи с последовательным соединением элементов с R и L

3. Переходные процессы при зарядке и разрядке конденсатора

4. Переходные процессы при подключении к источнику синусоидального напряжения цепи с последовательным соединением R и L

5. Переходные процессы при подключении к источнику синусоидального напряжения цепи с последовательным соединением R и С

Литература



1. Основные понятия и принципы анализа переходных процессов

Если к цепи приложено постоянное напряжение U, то в цепи протекает постоянный ток I=U/R, а если к цепи приложено синусоидальное напряжение и=U_msinщt, то в цепи с постоянными параметрами протекает синусоидальный ток i=I_msin(щt-ц).

Такие токи устанавливаются лишь через некоторое время после включения цепи или после изменения ее параметров и могут существовать все время, пока к ней приложено напряжение и параметры остаются неизменными. Эти токи называются установившимися токами, а соответствующие напряжения на отдельных участках цепи - установившимися напряжениями.

Каждому установившемуся режиму электрической цепи соответствует строго определенное энергетическое состояние, т. е. определенные значения энергии электрического поля конденсатора и магнитного поля индуктивной катушки:

,

Любое изменение состояния электрической цепи (включение, отключение, изменение параметров цепи и т. п.) называется коммутацией. Будем считать, что процесс коммутации осуществляется мгновенно. Энергетическое же состояние цепи не может измениться мгновенно.

Размещено на http://www.allbest.ru/



Пусть, например, в цепи при разомкнутом выключателе В протекает установившийся ток , определяемый только сопротивлением R цепи. При замыкании выключателя, т. е. при шунтировании резистора R₁ установившийся ток в цепи .

Если предположить, что ток в цепи изменяется мгновенно от I₁ до I₂, то это будет означать, что в индуктивной катушке в этот момент времени переменным током индуцируется ЭДС самоиндукции

Но любая ЭДС самоиндукции препятствует изменению тока в цепи. Поэтому предположение о мгновенном изменении тока в цепи неверно. Только в идеальном случае, когда L=0, можно рассматривать изменение тока как мгновенное.

Таким образом, ток в цепи с индуктивностью не может измениться скачком. В этом заключается первый закон коммутации.

Согласно второму закону коммутации, напряжение на зажимах конденсатора или другого емкостного элемента не может измениться скачком.

Индуктивные и емкостные элементы являются инерционными, вследствие чего для изменения энергетического состояния электрической цепи требуется некоторый промежуток времени, в течение которого происходит переходный процесс. Длительность переходного процесса зависит от параметров цепи. Хотя такой процесс обычно длится несколько секунд или даже доли секунды, токи и напряжения в это время на отдельных участках цепи могут достигать больших значений, иногда опасных для электроустановок. Поэтому нужно уметь рассчитывать токи и напряжения переходных процессов и на основании этих расчетов разрабатывать меры защиты электрической цепи.

Как любой динамический процесс в материальных системах, так и переходный процесс в электрических цепях описывается дифференциальным уравнением. Режим линейных электрических цепей с постоянными параметрами R, L и С описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Так, режим цепи синусоидального тока при последовательном соединении R, L и С и напряжении источника питания описывается уравнением

Полное решение такого неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами ищут в виде

где i' - частное решение данного неоднородного уравнения; i" - общее решение однородного дифференциального уравнения.

Ток i' поддерживается в цепи напряжением источника питания и является установившимся током. Ток i" находят при решении уравнения без свободного члена. Физически это означает, что приложенное к цепи напряжение равно нулю, т. е. цепь представляет замкнутый контур, состоящий из последовательно соединенных R, L и С. Ток в такой цепи может поддерживаться только за счет запасов энергии в магнитном поле индуктивной катушки или в электрическом поле конденсатора. Так как эти запасы ограничены и при протекании тока i" по элементам с сопротивлением R происходит рассеяние энергии в виде теплоты, то через некоторое время этот ток становится равным нулю.

Ток i" называется свободным, так как его определяют в свободном режиме цепи.

Таким образом, полное решение дифференциального уравнения позволяет определить ток i в цепи в переходном режиме или напряжение на элементах цепи .

2. Переходные процессы при подключении к источнику постоянного напряжения цепи с последовательным соединением элементов с R и L

Все катушки и обмотки электрических аппаратов и машин имеют сопротивление R и индуктивность L. Поэтому исследуемую электрическую цепь, изображенную на рисунке, можно считать эквивалентной схемой индуктивной катушки или обмотки, включаемой на постоянное напряжение.

В начальный момент времени тока в цепи нет и энергия магнитного поля индуктивной катушки равна нулю. После подключения цепи к источнику постоянного напряжения U в установившемся режиме в ней протекает ток I и энергия магнитного поля . Следовательно, в то время, когда происходит изменение энергии магнитного поля индуктивной катушки (от 0 до ), в цепи протекает переходный процесс и существует переменный ток i.

Переходный процесс в такой цепи описывается дифференциальным уравнением (по второму закону Кирхгофа)



Ток в установившемся режиме . Свободный ток i" находят, решая однородное дифференциальное уравнение

Решение этого уравнения ищут в виде

где коэффициент р - корень характеристического уравнения .

Таким образом, , а ток в переходном режиме

Постоянную интегрирования А определяем с учетом первого закона коммутации из начальных условий: при t=0 ток в цепи равен нулю. Получаем . В результате

Величина имеет размерность времени и называется постоянной времени цепи. Она характеризует скорость протекания переходного процесса. Чем больше ф (больше L), тем дольше протекает ток i" и тем длительнее переходный процесс.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Как видно из рисунка, свободный ток i" при t=0 равен по значению установившемуся току I, но имеет обратное направление. С течением времени этот ток уменьшается до нуля. Общий ток в цепи изменяется от нуля до установившегося значения по экспоненциальному закону. При t=ф i"=е^-1. Это означает, что постоянная времени цепи равна такому промежутку времени, в течение которого свободный ток уменьшается в е раз.

В моменты времени t=kф значения свободного тока i"=1/e^k и по отношению к значению установившегося тока соответственно составляют (%): 36,00 (при t=ф); 13,50 (t=2ф); 5,00 (t=3ф); 1,80 (t=4ф); 0,67 (t=5ф); 0,25 (t=6ф).

Из этих данных следует, что уже при t=5ф ток в цепи отличается оттока I менее чем на 1%, поэтому его можно считать установившимся.

Падение напряжения на резисторе и_R=Ri изменяется по такому же закону, что и ток. Падение напряжения на индуктивной катушке

т. е. убывает с течением времени от значения напряжения источника питания до нуля.



3. Переходные процессы при зарядке и разрядке конденсатора

Рассмотрим схему, в которой путем включения переключателя П в положение 1 замыкают источник постоянного напряжения U на конденсатор емкостью С. На обкладках конденсатора начинают скапливаться заряды и напряжение и_с увеличивается до значения, равного U. Это процесс зарядки конденсатора - процесс увеличения энергии электрического поля конденсатора, которая в конце процесса достигает значения CU²/2.

Чтобы зарядить конденсатор до напряжения и_с=U, ему надо сообщить заряд Q=CU, Этот заряд не может быть сообщен мгновенно, так как для этого потребовался бы ток i=dQ/dt=Q/0=?.

В действительности зарядный ток в цепи ограничен сопротивлением R и в первый момент не может быть больше U/R. Поэтому процесс зарядки конденсатора растянут во времени и напряжение и_с на конденсаторе нарастет постепенно.

Для переходного процесса зарядки конденсатора, включенного по рассматриваемой схеме, можно записать



Ток в такой цепи

Подставляя данное выражение в предыдущее, получим

Найдем напряжение на конденсаторе:

Свободное напряжение и_с" находят, решая однородное дифференциальное уравнение

которому соответствует характеристическое уравнение RCp+1=0, откуда р=-1/(RC). Тогда свободное напряжение

где ф=RC - постоянная времени цепи.

Таким образом, напряжение на конденсаторе в переходном режиме



а ток

причем

,

В предыдущих двух уравнениях постоянную А находят с учетом второго закона коммутации из начальных условий режима работы цепи, которые различны для процессов зарядки и разрядки конденсатора.

Зарядка конденсатора. Рассмотрим конденсатор, который до включения переключателя П в положение 1 не был заряжен. По окончании процесса зарядки напряжение на конденсаторе равно напряжению источника питания U, что следует из уравнения , если учесть, что в установившемся режиме i=i'=0. Таким образом, установившееся напряжение на конденсаторе и_с=U. Постоянную А в уравнении определяют, полагая, что при t=0 и_с=0. Тогда A=-U. Итак, напряжение в переходном режиме при зарядке конденсатора изменяется по закону

Для определения тока в цепи в необходимо принять i'=0 и А=-U, после чего получим



На рисунке показано изменение тока в цепи и напряжения на конденсаторе при его зарядке. В начальный момент процесса зарядки ток в цепи ограничен только сопротивлением и при малом значении R может достигать больших значений I₀=U/R. Переходный процесс, протекающий при зарядке конденсатора, используют в различных устройствах автоматики, например в электронных реле времени.

Постоянная времени ф=RC характеризует скорость зарядки конденсатора. Чем меньше R и С, тем быстрее заряжается конденсатор.

Разрядка конденсатора. Если переключатель П включить в положение 2, то заряженный до напряжения U_с конденсатор начнет разряжаться через резистор R. Энергия электрического поля конденсатора будет постепенно расходоваться на нагревание резистора и окружающей среды. По истечении некоторого времени установится режим, при котором напряжение на конденсаторе будет равно нулю (конденсатор полностью разряжен), а тока в цепи не будет.

Принимая и_с=0 и находя из начальных условий (при t=0 u_c=U_с) А=U_c, получаем, что напряжение на конденсаторе при разрядке, описываемое формулой

переходный конденсатор напряжение синусоидальный

,



а ток в цепи, описываемый формулой , с учетом, что i'=0,

Итак, напряжение и ток убывают по экспоненциальному закону. Ток в цепи отрицательный, т. е. направлен противоположно току во время процесса зарядки. Скорость разрядки конденсатора определяется постоянной времени ф=RC. В начальный момент ток разрядки I₀=U_c/R. Если бы ток оставался постоянным, то конденсатор полностью разрядился бы через

t_разр=Q/I₀=CU_C/(U_C/R)=RC=ф.

Поэтому, постоянную времени можно определить как промежуток времени, в течение которого конденсатор полностью зарядился (или разрядился) бы, если бы ток зарядки (или разрядки) оставался постоянным и равным начальному значению U/R (или U_c/R).



4. Переходные процессы при подключении к источнику синусоидального напряжения цепи с последовательным соединением R и L

Рассмотрим процессы, протекающие в цепи при подключении ее к источнику синусоидального напряжения. В момент включения мгновенное значение синусоидального напряжения источника питания и=U_msin(щt+ш). Тогда режим цепи описывается уравнением

Ток переходного режима . При этом установившееся значение тока, найденное как частное решение предыдущего уравнения

где ; ; .

Свободный ток i" находят, решая однородное дифференциальное уравнение

:

Следовательно,



Постоянная времени ф не зависит от напряжения источника питания и определяется параметрами цепи. В данном случае ф=L/R.

До включения цепи ток в ней был равен нулю, поэтому для t=0 предыдущее уравнение принимает вид

откуда

Таким образом, ток в цепи в переходном режиме изменяется по закону

Установившийся ток изменяется по синусоидальному закону, а свободный ток - по экспоненциальному закону уменьшается до нуля

В момент включения цепи мгновенные значения токов i' и i" равны по значению, но противоположны по знаку.

В момент времени, когда токи i' и i" совпадают по направлению, мгновенное значение тока в цепи i превосходит амплитуду установившегося тока I_т. Как видно из последней формулы, начальное значение свободного тока зависит от начальной фазы ш напряжения. Если включение цепи происходит в момент, когда начальная фаза напряжения ш=ц±р/2, то начальное значение свободного тока равно амплитуде установившегося тока, т. е. имеет наибольшее из возможных значений. Ток в цепи в конце первого полупериода достигнет значения, превышающего амплитуду установившегося тока почти в два раза.

При включении цепи в момент, когда ш=ц или ш=ц±р, свободный ток равен нулю и в цепи сразу же устанавливается установившийся режим.

Таким образом, значение тока в переходном режиме зависит не только от параметров цепи R и L, но и от начальной фазы напряжения источника питания. Но в любом случае ток i в цепи в начальный момент времени равен нулю. Длительность переходного процесса определяется постоянной времени ф=L/R. Чем больше ф, тем длительнее переходный процесс, тем больше значение тока i в конце первого полупериода.

5. Переходные процессы при подключении к источнику синусоидального напряжения цепи с последовательным соединением R и С

Пусть к электрической цепи подведено синусоидальное напряжение, мгновенное значение которого и=U_msin(щt+ш).

Размещено на http://www.allbest.ru/

По второму закону Кирхгофа для данной цепи можно записать



где и_С - напряжение на конденсаторе.

Принимая во внимание, что мгновенное значение тока в цепи , имеем

Поскольку во время переходного режима напряжение на конденсаторе , а свободное напряжение находится при решении однородного дифференциального уравнения как , где ф=RC - постоянная времени цепи, получаем

Для определения установившегося напряжения можно воспользоваться выражением для установившегося тока в цепи при последовательном соединении элементов с R и L, в котором

; ; .

Тогда



Так как до включения цепи конденсатор не был заряжен (и_с=0 при t=0), то из предыдущих двух уравнений

Следовательно,

,

а окончательно напряжение на конденсаторе в переходном режиме

На рисунке показан характер изменения напряжений на конденсаторе, соответствующий рассмотренному случаю.

В момент включения



Поэтому напряжение на конденсаторе при включении цепи нулевое. Скорость протекания переходного процеса определяется постоянной времени ф=RC.

Изменение напряжения на конденсаторе зависит от начальной фазы ш. Если в момент включения , то и на зажимах конденсатора сразу же устанавливается установившийся режим. При или начальное значение u_C" является максимальным и в конце первого полупериода при больших ф близко к двойному амплитудному значению установившегося напряжения.

Свободный ток

,

a

В момент включения установившийся ток не равен свободному току ни по значению, ни по направлению.

При начальной фазе свободный ток в момент включения цепи, как и свободное напряжение, равен нулю и в цепи сразу возникает установившийся ток, мгновенное значение которого равно амплитудному значению. Таким образом, в отличие от цепи с последовательным соединением R и L в цепи с последовательным соединением R и С в начальный момент ток имеет любое конечное значение и только в частном случае, когда и , и ток .

Если в момент включения цепи или , то установившийся ток начинает изменяться от нуля, а свободный ток имеет максимальное значение .



Амплитуда установившегося в цепи тока

Поэтому, если X_с>R, начальное значение свободного тока может превышать амплитудное в раз. Это имеет место только при малых значениях С, т. е. при малых значениях постоянной времени. Вследствие этого большой свободный ток может протекать в цепи в течение короткого времени, значительно меньшего периода Т



Литература

Механика материалов и структур нано- и микротехники: учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по спец. "Проектирование и технология радиоэлектронных средств" направления подготовки "Проектирование и технология электронных средств";рец.: В.Г. Корнеев, И.В. Штурц, УМО вузов России по .-М.: Академия, 2008. - 217 с..-(Учебное пособие).-Прил.: с. 202-209.-Библиогр.: с. 210-214

Метод дробных производных.-Ульяновск: Артишок, 2008. - 513 с..-(Fractional Calculus).-Библиогр.: с. 450-510 и в конце гл.

Теоретические основы электротехники: Справочник по теории электрических цепей : Учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по направлениям подготовки и спец. техники и технологии;Под ред.: Ю.А. Бычкова и др. ; Рец.: Кафедра теоретических основ электротехники Санкт-Петербургского гос. политехнического ун-та, А.А. Ланнэ ; Ю.А. Бычков и др., УМО вузов России по .-СПб.: Питер, 2008. - 349 с..-(Учебное пособие).-Библиогр.: с. 348

HTML и CSS на 100 %.-СПб.: Питер, 2008. - 352 с..-(На 100 %)

Электротехника и ТОЭ в примерах и задачах: практическое пособие;под ред. В.А. Прянишникова.-СПб.: КОРОНА-Век, 2008. - 334 с..-(Для высших и средних учебных заведений).-Прил.: с. 323-332.-Библиогр.: с. 333-334

Электрические машины (преобразователи): Открытия, изобретения, история : Справочник;Сост.: Е.Е. Антонов, Е.И. Антонов; БелГУ.-Белгород: БелГУ, 2008. - 96 с.

Схемы статорных обмоток, параметры и характеристики электрических машин переменного тока.-Краснодар: [Б.И.], 2007. - 302 с..-Библиогр.: с. 294-300

Размещено на Allbest.ru

...