Размещено на http://www.allbest.ru/

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

НА ТЕМУ: КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ

1. Дуализм света

Впервые проблема корпускулярно-волнового дуализма проявила себя при поисках природы света. В 17 веке Исаак Ньютон предложил считать свет потоком мельчайших корпускул. Это позволяло просто объяснить ряд наиболее характерных свойств света - например, прямолинейность световых лучей и закон отражения, согласно которому угол отражения света равен углу падения. Вообще вся геометрическая оптика прекрасно согласуется с корпускулярной теорией света. Но - увы - явления интерференции и дифракции света никак в эту теорию не вписывались. Объяснить их удалось в 19 веке создателям волновой теории света, среди которых наиболее яркой фигурой является французский физик Френель. А теория электромагнитного поля и знаменитые уравнения Максвелла, казалось бы, вообще поставили точку в этой проблеме. Оказалось, что свет - это просто частный случай электромагнитных волн, то есть процесса распространения в пространстве электромагнитного поля. Мало того, волновая оптика объяснила не только те явления, которые не объяснялись с помощью корпускулярной теории, но и вообще все известные к 19 веку световые эффекты. И все законы геометрической оптики тоже оказалось возможным доказать в рамках волновой оптики.

Но уже в самом начале 20 века опять возродилась корпускулярная теория света, так как были обнаружены явления, которые с помощью волновой теории объяснить не удавалось.

Это - давление света, фотоэффект, Комптон-эффект и законы теплового излучения. В рамках корпускулярной теории эти явления прекрасно объяснялись, и корпускулы (частицы) света даже получили специальные названия. Макс Планк назвал их световыми квантами (по-русски - порциями), а Альберт Эйнштейн - фотонами. Оба этих названия прижились и употребляются до сих пор.

Основной постулат корпускулярной теории электромагнитного излучения:

Электромагнитное излучение (и в частности, свет) - это поток частиц, называемых фотонами. Фотоны распространяются в вакууме со скоростью, равной предельной скорости распространения взаимодействия c = 3 - 10 м/с, масса и энергия покоя любого фотона равны нулю, энергия фотона E связана с частотой электромагнитного излучения и длиной волны формулой:

Где:

h - постоянная Планка, равная h = 6,6210 Дж/с.

Обратите внимание: формула связывает корпускулярную характеристику электромагнитного излучения - энергию фотона - с волновыми характеристиками - частотой и длиной волны. Она представляет собой мостик между корпускулярной и волновой теориями. Существование этого мостика неизбежно, так как и фотон, и электромагнитная волна - это всего-навсего две модели одного и того же реально существующего объекта - электромагнитного излучения. Всякая движущаяся частица (корпускула) обладает импульсом, причём согласно теории относительности энергия частицы E и её импульс p связаны формулой:

Где:

E - энергия покоя частицы. Так как энергия покоя фотона равна нулю, то следуют две очень важные формулы:

Итак, в физике сложилась удивительная ситуация - сосуществование двух серьёзных научных теорий, каждая из которых объясняла одни свойства света, но не могла объяснить другие. Вместе же эти две теории полностью дополняли друг друга. Выход из этой ситуации был найден следующий. Во-первых, электромагнитное излучение и его разновидность - свет - это более сложный объект нашего мира, чем волна или корпускула. Во-вторых, нужна синтетическая теория, объединяющая в себе и волновую и корпускулярную теории. Она была создана и получила название квантовой физики.

Очень важно, что квантовая физика не отвергает ни корпускулярную, ни волновую теории. Каждая из них имеет свои преимущества и свой достаточно развитый математический аппарат. В следующих двух параграфах мы познакомимся с тем, как объясняет и описывает корпускулярная теория явление светового давления и эффект Комптона. Предполагается, что с теорией фотоэффекта, а так же с волновой оптикой читатель уже достаточно знаком.

В заключение данного параграфа рассмотрим несколько физических величин, имеющих важное значение как в корпускулярной теории, так и в квантовой физике вообще. Читателю эти величины должны быть уже знакомы из молекулярной физики и электродинамики. Однако полезно их ещё раз вспомнить.

Плотностью потока частиц j называется вектор, направление которого совпадает с направлением вектора скорости этих частиц, а величина равна количеству частиц, падающих в единицу времени на единичную площадку, перпендикулярную j.

Единицы измерения плотности потока фотонов в СИ - 1 м/с.

Плотность потока частиц j связана со скоростью частиц v известным соотношением:

Где:

n - концентрация частиц, то есть число частиц в единице объёма.

Потоком частиц на некоторую поверхность площадью S называется интеграл:

Где:

j_n - проекция вектора j на нормаль к поверхности.

Физический смысл этого интеграла - количество частиц (например фотонов), падающих в единицу времени на поверхность площадью S. Единицы измерения потока частиц в СИ - с.

Плотностью потока энергии j_w электромагнитной волны (фотонного пучка) называется вектор, направление которого совпадает с направлением скорости волны (фотонов), а величина равна количеству энергии, падающей в единицу времени на единичную площадку, перпендикулярную j_w.

Часто вектор плотности потока энергии j_w называют вектором Умова-Пойнтинга. Единицы измерения j_w в СИ - Вт/м. Интенсивностью I электромагнитной волны (фотонного пучка) называется физическая величина, равная модулю вектора плотности потока энергии j_w:

Единицы измерения интенсивности - те же, что и единицы измерения плотности потока энергии. В СИ это - Вт/м. Интенсивность связана следующей простой формулой с плотностью энергии w:

Потоком энергии электромагнитной волны (фотонного пучка) _w на некоторую поверхность площадью S называется интеграл:

Где:

j_wn - проекция вектора j_w на нормаль к поверхности.

Физический смысл этого интеграла - энергия излучения, падающая в единицу времени на поверхность площадью S. Единицы измерения потока энергии в СИ - Вт. Для монохроматического излучения, в котором каждый фотон имеет одну и ту же энергию:

E = h = hc /

- векторы j и j_w связаны друг с другом соотношением:

Аналогичной формулой связаны друг с другом поток фотонов и поток энергии _w:

2. Давление света

Фотонный пучок, падая на поверхность какого-либо материального объекта, передаёт ему импульс, а значит, оказывает силовое давление. Величина этого давления P зависит от интенсивности пучка I, угла падения пучка на поверхность и коэффициента отражения фотонов от поверхности R. Определим эту зависимость.

Пусть монохроматический пучок фотонов с плотностью потока j падает под углом на некоторую материальную поверхность (будем называть её стенкой). Каждый фотон в пучке обладает импульсом p, при падении фотон передаёт стенке импульс p_с, а его импульс становится равным p. За время dt на малый элемент поверхности стенки площадью S попадёт число фотонов, равное:

Общий импульс, который они передадут стенке, равен:

Изменение импульса стенки означает, что на неё действует сила. Согласно второму закону Ньютона эта сила равна:

Отношение нормальной составляющей силы F к площади поверхности S, на которую действует эта сила, равно по определению давлению. Итак, давление света на стенку равно:

Для определения p_сn следует применить закон сохранения импульса. Согласно этому импульс фотона p до его падения на стенку, импульс стенки p_с и импульс фотона p после его взаимодействия со стенкой связаны выражением:

Взаимодействие фотона со стенкой может завершиться одним из двух взаимоисключающих событий: с вероятностью R фотон отражается от стенки, с, вероятностью (1 - R) поглощается. Рассмотрим последовательно оба этих события.

А) Фотон поглощается.

При этом:

Тогда следует, что если бы все фотоны поглощались, то давление света было бы равно:

Так как доля поглощённых фотонов составляет (1 - R) от общего их количества, то поглощённые фотоны оказывают на стенку давление P₁, равное:

Б) Фотон отражается. На рисунке 1 показана схема отражения фотона и все три импульса p, pи p_с, участвующие в процессе отражения и входящие в выражение. Угол - это угол падения фотона, - угол отражения. Как известно из оптики, = .

Рисунок 1. - Отражение фотона от стенки:

Так как длина волны света при отражении не изменяется, то из формулы, однозначно связывающей длину волны и импульс фотона p, следует, что импульс отражённого фотона равен по модулю импульсу падающего фотона.

Тогда уравнения приобретают следующий вид:

Откуда следует, что:

Таким образом, импульс p_с, который получает стенка, направлен по нормали к поверхности стенки, и при этом:

Подставив этот результат, получим давление фотонного пучка при условии, что все фотоны отражаются:

Если же учесть, что доля отражённых фотонов составляет величину R от общего их количества, то получим, что давление P₂, которое оказывают на стенку отражающиеся фотоны, равно:

Складывая давления P₁ и P₂, получим полное давление монохроматического фотонного пучка:

Если импульс фотона p выразить через его энергию E по формуле, то выражение можно записать в виде:

Произведение Ej - это плотность потока энергии j_w, которая равна интенсивности света I. Поэтому выражение для давления монохроматического фотонного пучка можно записать в виде:

Если пучок - не монохроматический, то его можно представить как смесь монохроматических пучков (компонентов) и находить давление как сумму давлений, создаваемых каждым компонентом:

Как правило, коэффициент отражения:

R_k = R * (_k)

- слабо зависит от длины волны, поэтому, если диапазон длин волн в пучке не очень велик, можно с достаточной степенью точности считать, что для всех компонентов значение R одно и то же. При этом следует:

Так как сумма интенсивностей - это полная интенсивность пучка I, то:

Таким образом, формула позволяет находить давление не только монохроматического фотонного пучка, но и пучка с произвольным спектральным составом - надо лишь, чтобы выполнялось условие слабой зависимости коэффициента отражения от длины волны.

Итак, из корпускулярной теории электромагнитного излучения следует, что это излучение оказывает давление на материальные предметы, причём величина давления пропорциональна интенсивности излучения и квадрату косинуса угла падения. Эксперименты прекрасно подтверждают этот вывод.

3. Комптон-эффект

Этот эффект был обнаружен в начале 20 века английским физиком Артуром Комптоном. Эффект состоит в следующем. Если моноэнергетический пучок рентгеновского излучения пропустить через среду, содержащую свободные электроны, то излучение будет рассеиваться под различными углами, при этом длина волны рассеянного излучения зависит от угла рассеяния.

Корпускулярная теория комптон-эффекта очень простая. В ней предполагается, что взаимодействие фотонов рентгеновского излучения и электронов - это обычное упругое взаимодействие, аналогичное соударению двух упругих шариков. В этом случае можно использовать два закона сохранения: закон сохранения кинетической энергии и закон сохранения импульса.

Здесь K и p - кинетическая энергия и импульс фотона до рассеяния, то есть до его столкновения с электроном, K и p - кинетическая энергия и импульс фотона после рассеяния, K_e и p_e - кинетическая энергия и импульс электрона после его столкновения с фотоном. До столкновения электрон неподвижен.

Рисунок 2. - Изменение импульса фотона при эффекте Комптона:

Перенеся корень в левую часть уравнения, а всё остальное - в правую и возводя затем обе части уравнения в квадрат, получим:

Второе уравнение запишем в виде:

Затем возведём обе части в квадрат, в результате чего получится:

Где:

- угол между векторами p и p, то есть угол рассеяния.

В результате получается:

Теперь учтём формулу:

И тогда следует формула Комптона:

Обычно эту формулу записывают короче, для чего вводят обозначение:

В итоге:

Величина _С называется комптоновской длиной волны. Никакого особого смысла она не имеет, это просто удобное обозначение. Значение комптоновской длины волны зависит от энергии покоя тех частиц, на которых происходит рассеяние излучения. Это могут быть не только электроны. Для электронов _С = 2,4310 м.

Зависимость длины волны рассеянного излучения от длины волны не рассеянного излучения и от угла рассеяния, которая следует из формулы Комптона, прекрасно согласуется с экспериментальными данными.

4. Волновые свойства микрочастиц

То, что свет обладает как волновыми, так и корпускулярными свойствами, наводит на мысль, что это, может быть, вообще универсальное качество материи. И тогда электронный пучок или пучок атомов какого-нибудь вещества (например, струя газа) должны проявлять наряду с естественными корпускулярными свойствами ещё и волновые свойства. Это означает, что такой пучок можно при определённых условиях считать волной, и описывать эту волну такими характеристиками, как длина волны и частота колебаний . Что колеблется в этой волне, мы обсудим позже. А сейчас обратим внимание на то, что волновые характеристики пучка и должны быть как-то связаны с корпускулярными характеристиками, то есть с импульсом p и с кинетической энергией K каждой отдельной частицы пучка. Естественно предположить, что эта связь должна описываться теми же самыми формулами, которые известны для света, а именно:

Однако нетрудно убедиться, что для частиц с отличной от нуля энергией покоя эти формулы противоречат релятивистскому выражению, связывающему K и p:

Французский физик Луи де Бройль высказал предположение, что в этом случае правильной является только одна из формул, а именно вторая. Это предположение получило название гипотезы де Бройля.

Гипотеза де Бройля:

Пучок микрочастиц обладает волновыми свойствами. Если пучок моноэнергетический, то в определённых условиях он ведёт себя как монохроматическая волна. При этом длина волны связана с импульсом каждой частицы в пучке p формулой:

Длина волны , связанная с импульсом микрочастицы p соотношением, называется дебройлевской длиной волны микрочастицы. Оценим порядок величины дебройлевской длины волны. Пусть из электронной пушки вылетает электронный пучок, ускоренный напряжением U. При этом кинетическая энергия каждого электрона:

K = e * U

Если напряжение U не слишком велико, так что импульс электрона можно определить по нерелятивистской формуле:

Из этого выражения видно, что с ростом напряжения уменьшается. Наименьшее напряжение ускоряющего напряжения, при котором электроны ещё могут образовать пучок и не разлететься из-за электростатического расталкивания, составляет примерно 100 В. Тогда расчёт по формуле даёт 0,15 нм. Это очень маленькая длина волны. Например, длины волн видимого света составляют примерно 500 нм.

Поэтому создать условия, при которых могут проявиться волновые свойства электронного пучка, непросто. Например, дифракционная решётка, с помощью которой можно наблюдать чередование минимумов и максимумов интенсивности пучка, должна иметь период порядка единиц, а лучше десятых долей нанометра.

Сделать такую решётку невозможно, но, к счастью, в природе существуют естественные решётки с таким периодом. Это - кристаллы. Поэтому опыт по дифракции электронного пучка можно провести, например, так. Надо взять очень тонкую металлическую фольгу и направить на неё электронный пучок. Атомы в металле расположены упорядоченно - в узлах кристаллической решётки, но металл - это, к сожалению, не один кристалл, а “каша” из мелких кристаллов.

Для того, чтобы электронный луч проходил не через “кашу”, а через один кристалл, надо сделать образец достаточно тонким (в виде фольги) и луч достаточно узким. Тогда, поставив за фольгой фотопластинку, можно после проявления увидеть на ней под микроскопом чередование дифракционных колец. Эти кольца называются электронограммой. У каждого металла своя индивидуальная кристаллическая структура, поэтому электронограмма для каждого из металлов почти столь же индивидуальна, как и отпечатки пальцев у людей.

В этом опыте поразительно, что вид электронограммы совершенно не зависит от интенсивности электронного пучка. Даже если электроны выпускать из пушки по одному, всё равно на фотопластинке при достаточно большом времени экспозиции получится та же самая электронограмма. Этот факт можно истолковать только так: волновыми свойствами обладает не только пучок из микрочастиц, но каждая микрочастица сама по себе.

Электроны - это самые лёгкие микрочастицы, для частиц с большей массой дебройлевская длина волны, как это следует из формул ещё меньше, чем для электронов. Поэтому наблюдать дифракцию, например, протонного пучка уже практически невозможно. Тем не менее существуют другие эксперименты, подтверждающие, что и протонные пучки обладают волновыми свойствами.

Таким образом, гипотеза де Бройля прекрасно подтверждается многочисленными опытными данными, и поэтому она уже давно перестала быть гипотезой, а является неоспоримым фактом, отражающим характерную особенность микрочастиц. Проверить, обладают ли и макро частицы волновыми свойствами, невозможно, так как их масса на много порядков превышает массу микрочастиц, вследствие чего дебройлевская длина волны макро частиц есть ничтожно малая величина, наблюдать которую и тем более измерить просто нереально.

5. Пси-функция и уравнение Шрёдингера

Математическое описание частиц и волн различается прежде всего способом описания их состояния. Состояние частицы характеризуется шестью числами: тремя координатами (x, y, z) и тремя проекциями скорости (v_x, v_y, v_z), а состояние волны - некоторой функцией от координат: например, состояние звуковой волны в газе характеризуется значениями давления газа p в каждой точке той области пространства, в которой распространяется звук, то есть функцией p (x, y, z).

Состояние электромагнитной волны описывается двумя векторными функциями E (x, y, z) и H (x, y, z), определяющими напряжённость электрического и напряжённость магнитного полей в каждой точке области пространства, занятой распространяющейся волной.

Наличие у микрочастиц корпускулярных и волновых свойств ставит проблему: как описывать их состояние - с помощью набора координат и скоростей или с помощью какой-то функции от координат? А может, есть какой-то третий способ описания состояния? Исследование этой проблемы привело немецкого физика Эрвина Шрёдингера к выдвижении постулата, который мы назовём первым постулатом квантовой физики.

Первый постулат квантовой физики:

Существует такая функция от координат частицы и времени (x, y, z, t), которая полностью и однозначно характеризует состояние частицы в каждый момент времени. Эту функцию называют волновой функцией или короче - пси-функцией.

Какой смысл имеет эта функция и какую информацию можно из неё извлечь, мы выясним несколько позже. А сейчас выясним, как узнать -функцию. Основное свойство любого объекта - как материального, так и идеального - это его существование во времени. Иными словами, состояние любого объекта каким-то вполне закономерным образом меняется со временем.

Например, выпущенный из пушки снаряд движется по параболической траектории, при этом его скорость сначала убывает - до момента подъёма снаряда на максимальную высоту, а потом - нарастает. Зная начальное состояние снаряда, то есть набор его координат (x, y, z) и проекций скорости (v_x, v_y, v_z) в момент времени t = 0, можно с помощью законов механики рассчитать, как будет меняться состояние снаряда со временем, то есть найти шесть функций x(t), y(t), z(t), v_x(t), v_y(t) и v_z(t).

Точно такая же ситуация должна быть и с состоянием микрочастицы: если известно начальное её состояние, то есть пси-функция в момент времени t = 0, то дальнейшее изменение пси-функции со временем однозначно предопределено. Это значит, что в квантовой физике должно быть правило нахождения функции (x, y, z, t) при заданных начальных условиях, то есть при заданной функции (x, y, z, 0). Правило это представляет собой второй постулат квантовой физики.

Второй постулат квантовой физики:

Пси-функция частицы является решением дифференциального уравнения, которое называется уравнением Шрёдингера и имеет вид:

Это - краткая форма записи уравнения Шрёдингера, в ней h - вторая постоянная Планка, равная:

h = h / 2 = 1,054·10 Дж/с

А символ называется оператором Гамильтона. Что такое операторы, объясняется в следующей главе. Здесь отметим лишь, что оператор Гамильтона обозначает следующее:

Где:

U (x, y, z) - потенциальная энергия частицы, зависящая от координат частицы. Эта зависимость определяется силовым полем, в котором находится частица. Например, в однородном гравитационном поле Земли при ориентации оси OZ вертикально вверх:

U = U * (z) = mgz

А в поле силы упругости, направленной вдоль оси OX:

Уравнение Шрёдингера - непростое, поэтому найти его аналитическое решение удаётся в немногих простейших случаях. Однако с помощью компьютеров можно решать это уравнение численно с любой степенью точности. свет оптика фотон

Кроме того, в квантовой механике разработан ряд весьма эффективных приближённых методов.

Размещено на Allbest.ru