Динамика кулисного механизма

Размещено на http://www.allbest.ru/

Динамика кулисного механизма

Кулисный механизм (рис. 1), состоящий из маховика 1, кулисы 2 и катка 3, расположен в горизонтальной плоскости и приводится в движение из состояния покоя вращающим моментом , создаваемым электродвигателем. Заданы массы звеньев механизма; величина вращающего момента; радиус инерции катка и радиусы его ступеней; радиус маховика, представляющего собой сплошной однородный цилиндр, R₁ = 0,36 м; OA = 0,24 м. (табл. 1).

Определить:

· Угловую скорость маховика при его повороте на угол .

· Угловое ускорение маховика при его повороте на угол .

· Силу, приводящую в движение кулису в положении механизма, когда и реакцию подшипника на оси маховика.

· Силу, приложенную в центре катка и уравновешивающую механизм в положении, когда .

Записать дифференциальное уравнение движение механизма, используя уравнение Лагранжа второго рода и уравнение движения машины.

Подготовить презентацию в Pоwer Point к защите работы.

кулисный угловой скорость маховик

Таблица 1.

, кг	, кг	, кг	, Н·м	, м	,м	, рад
63	16	30	115	0.2	0.2	р/4



1. Кинематический анализ механизма

1.1 Определение кинематических характеристик

Механизм состоит из трех звеньев. Ведущим является маховик 1, к которому приложен вращающий момент со стороны электродвигателя. От маховика посредством кулисы 2 движение передается ведомому звену 3 - катку. Маховик совершает вращательное движение, кулиса - поступательное, каток - плоское. Начало координат помещаем в точку , ось направляем вправо, ось - вверх (рис. 2).

Скорость и ускорение поступательно движущейся кулисы находим по теоремам сложения скоростей и ускорений, рассматривая движение кулисного камня как сложное. Переносная скорость и переносное ускорение т. определяют скорость и ускорение кулисы в ее поступательном движении.

Так как

и ,

То , .

Откуда , .

Скорость центра катка находим из условия пропорциональности скоростей его точек расстояниям до мгновенного центра скоростей

.

Откуда , .



Угловую скорость катка находим как отношение скорости его центра к расстоянию до мгновенного цента скоростей, угловое ускорение дифференцированием угловой скорости

, .

Укажем векторы ,,,,,,, и в положении механизма, изображенном в условии задачи, когда . Так как динамический расчет еще не проведен и информация об угловой скорости маховика и его угловом ускорении отсутствует, то изображение носит иллюстративный характер, с учетом того, что в данном положении и кулиса и каток движутся замедлено. Каток приближается к его крайнему нижнему положению.

1.2 Уравнения геометрических связей

Как и раньше, начало координат помещаем в точку , ось направляем вправо, ось - вверх.

Уравнения связей:

, , , ,

, , .

Последние два соотношения получены интегрированием равенств

и .



2. Определение угловой скорости и углового ускорения маховика

2.1 Кинетическая энергия системы

Кинетическую энергию механизма находим как сумму кинетических энергий его звеньев

.

Кинетическая энергия вращающегося маховика:

,

- момент инерции маховика относительно оси вращения.

Кинетическая энергия поступательно движущейся кулисы:

,

Кинетическая энергия катка, совершающего плоское движение:

,

- момент инерции маховика относительно оси вращения.

Кинетическая энергия системы:



.

После тождественных преобразований:

- приведенный к ведущему звену момент инерции.

2.2 Производная кинетической энергии по времени

Производную кинетической энергии по времени находим по правилу вычисления производной произведения и производной сложной функции

.

Здесь

2.3 Элементарная работа и мощность внешних сил и работа внешних сил на конечном перемещении (механизм в горизонтальной плоскости)

В случае, когда механизм расположен в горизонтальной плоскости работу совершает только вращающий момент .



Элементарная работа при этом определяется равенством

.

Мощность

Работа при повороте маховика на угол

.

2.4 Определение угловой скорости маховика при его повороте на угол ц*

Для определения угловой скорости маховика применяем теорему об изменении кинетической энергии в конечной форме, полагая, что механизм в начальный момент находился в покое.

, , .

Подстановка в это равенство найденных выражений и дает

,

где .



Тогда

2.5 Определение углового ускорения маховика при его повороте на угол ц*

Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергией в дифференциальной форме

, .

Подставляя в это уравнение найденные выше значения, находим

.

Откуда

(1)

И

Это дифференциальное уравнение второго порядка описывает движение кулисного механизма. Оно может быть проинтегрировано только численно, а также использовано для нахождения углового ускорения маховика в произвольном его положении.

Определим угловое ускорение маховика при угле его поворота



.



3. Определение сил

3.1 Определение реакций внешних и внутренних связей в положении ц*

Определим реакцию подшипника на оси маховика и силу, приводящую в движение кулису с помощью принципа д`Аламбера, рассматривая движение маховика отдельно от других тел системы.

Маховик совершает вращательное движении. Внешними силами, помимо пары сил с моментом , на него действуют реакция подшипника и реакция кулисы (рис.3). Система сил инерции приводится к паре с моментом , направленным против вращения, т.к. оно ускоренное.

Записывая условие уравновешенности плоской системы внешних сил



находим

.

При угле

Сила , приводящая в движение кулису, по третьему закону динамики равна реакции кулисы и направлена в противоположную сторону.

3.2 Определение силы уравновешивающей кулисный механизм

Найдем силу, которую надо приложить к оси катка, чтобы она уравновешивала действие момента, создаваемого электродвигателем в положении маховика . Для этого воспользуемся принципом виртуальных перемещений или в аналитической форме, с учетом действующих на систему активных сил:

.

Используя уравнения связей



, ,

находим вариации координат

, .

Подстановка этих соотношений в уравнение принципа виртуальных перемещений дает

H.

Любая сила, имеющая такую проекцию на ось уравновешивает действие вращательного момента.



4. Составление дифференциального уравнения движения кулисного механизма

4.1 Уравнение Лагранжа второго рода

Составим дифференциальное уравнение движения кулисного механизма в форме уравнения Лагранжа второго рода, выбирая за обобщенную координату угол поворота маховика

.

Обобщенная сила определяется отношением

,

Где .

Тогда .

Воспользовавшись найденным ранее выражением для кинетической энергией системы

,

находим ее производные



Подстановка найденных значений в уравнение Лагранжа дает

(2)

4.2 Уравнение движения машины

Машиной называется совокупность твердых тел (звеньев), соединенных между собой так, что положение и движение любого звена полностью определяется положением и движением одного звена, называемого ведущим. Если ведущим звеном является кривошип, то уравнение машины записывается в форме

, (3)

(4+0,62cos ²)+0,32 sin2*²=115

- момент инерции машины, приведенный к оси вращения ведущего звена; - вращающийся момент, приведенный к оси вращения ведущего кривошипа.

Приведенный момент инерции найден в п.2.1 курсовой работы. Приведенный вращающий момент определяется равенством



.

Для рассматриваемого кулисного механизма

.

Дифференциальные уравнения движения механизма, полученные с помощью теоремы об изменении кинетической энергии (1), уравнения Лагранжа (2) и уравнения движения машины (3) совпадают.



5. Результаты вычислений

В таблице 2 приведены угловая скорость и угловое ускорений маховика, а также динамические и статические усилия.

кулисный угловой скорость маховик

Таблица 2.

, рад/с	, рад/с2	, Н	, Н	, Н	, Н
4.56	50	495	-495	0	-676.5

Размещено на Allbest.ru

...