Варианты формулы Кирхгофа

Размещено на http://www.allbest.ru/

Варианты формулы Кирхгофа

Кулигин В.А., Кулигина

Введение

Нами была опубликована работа «Волна в фокусе и функции Бесселя» [1] в популярной форме. Статья вызвала отклики. Отвечая на них, мы продолжили изложение этого вопроса в качестве дополнения к указанной статье.

1. Определение потенциала поля внутри сферы

Плоский случай. Рассмотрим бесконечно малый элемент поверхности. Его можно считать плоским. Пусть на поверхности задан потенциал и задана нормальная производная этого потенциала. Поскольку поверхность элемента мала, потенциал и его производную можно считать постоянными, а поле вблизи этой поверхности можно представить как сумму двух плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях колинеарно нормали. Потенциал удовлетворяет уравнению u = 0.

Рис. 1

Потенциал падающей волны u_пe^ikx, а выходящей волны u_вe^-ikx . При малых расстояниях и размерах амплитуды этих постоянны, но имеют комплексную форму. На поверхности S (при х = Х) будем иметь следующие выражения для потенциала на поверхности и его производной:

(1.1)

(1.2)

Комбинируя (1.1) и (1.2) можно найти амплитуды падающей и выходящей волн.

(1.3)

Таким образом, задача решена, т.е. найдены комплексные амплитуды падающей и выходящей волн.

Косое падение волны. Тот же подход возможен при подходе волны под углом - к поверхности y = 0.

Пусть волна описывается потенциалом

На поверхности y = 0 потенциал будет равен

,(1.4)

где (х) можно рассматривать как фазу волны в точке х.

Нормальная производная при y = 0 равна (нормаль совпадает по направлению с осью у)

(1.5)

Нам необходимо, пользуясь этими значениями, записать волны, переносящие энергию. Но необходимо записать их так, чтобы эти волны удовлетворяли специфическому волновому уравнению в окрестности бесконечно малой площадки поверхности.

Иными словами, это волны, идущие коллинеарно нормали. С этой точки зрения выражения (1.4) и (1.5) мы формально можем представить в виде суммы двух волн с волновым вектором k, идущих нормально к поверхности, но в противоположных направлениях.

Отсюда можно найти

Такова, на наш взгляд, интерпретация этой задачи.

Сферическая поверхность. Задача определения потенциала внутри сферы, ограничивающей некоторый объем, по заданной величине потенциала и его нормальной производной на поверхности решается аналогично.

Пусть имеется сферическая поверхность, на которой задан потенциал и его нормальная производная. Пусть потенциал внутри сферы, включая ее границы (поверхность) описывается уравнением Гельмгольца u = 0. Источники, создающие потенциал, находятся вне этой сферы. Необходимо определить потенциал внутри сферы.

Это обычная (классическая) задача, с которой сталкиваются в теории дифракции, теории антенн и т.д. Ее решение сводится к решению предыдущей задачи.

Потенциал на поверхности сферы радиуса R определяется суммой волн, которые распространяются как внутрь сферы, так и из этой сферы. Можно сказать, что потенциал на поверхности и вблизи нее в каждом бесконечно малом элементе поверхности складывается из потенциала уходящей из сферы волны и потенциала входящей в сферу волны

U(R,;) = u_п(;) e^ikR + u_в(;) e^-ikR, (1.4)

где ; - координаты поверхности сферы радиуса R. Амплитуды u_п(;) и u_в(;) являются, вообще говоря, комплексными.

Будем считать, что потенциал и его нормальная производная непрерывны вблизи поверхности сферы и имеют следующий вид на сколь угодно малом расстоянии от нее

U(r,;) = u_п(;) e^ikr + u_в(;) e^-ikr,

R + > r > R - ;

где - сколь угодно малая величина.

Нормальная производная на поверхности R = const также будет складываться из производных по нормали от потенциалов этих волн, как и в предыдущем случае

(1.5)

Комбинируя выражения (1.4) и (1.5) можно определить амплитуды u_п(s) и u_в(s) на поверхности сферы.

(1.6)

(1.7)

Теперь, зная амплитуды падающей и выходящей волн, можно определить потенциалы внутри сферы. Для этого запишем выражения для каждой из этих волн в виде ряда.

(1.8)

(1.9)

где a_mn и b_mn - неизвестные коэффициенты, H(kr) - функции Ганкеля первого и второго рода, Y_nm - шаровые (сферические) функции.

Приравняем выражения (1.6) и (1.8), а также (1.7) и (1.9) попарно при r = R. Теперь, раскладывая выражения (1.6) и (1.7) в ряд по шаровым функциям, можно определить неизвестные коэффициенты a_mn и b_mn.

Здесь следует обратить внимание на тот факт, что выражения (1.8) и (1.9) имеют особенность в начале координат («скрытые» источники). Об этом мы писали в статье [1].

В решении, которое определяется суммой выражений (1.8) и (1.9), таких источников не будет. Покажем это.

Пусть потенциал внутри сферы определяется суммой выражений (1.8) и (1.9).

(1.10)

Сделаем замену переменных в этом выражении: r - r; - ; + . Как следует из [1], мы используем тождественное преобразование, когда каждая точка возвращается на свое место (не меняет своего положения).

Выражение (1.10) примет вид

(1.11)

Сравнивая (1.10) и (1.11), можно заметить, что оба выражения совпадут, если коэффициенты a_mn и b_mn будут тождественно равны друг другу. В этом случае мы получаем окончательное выражение для потенциала внутри сферы и на ее поверхности

Это есть решение поставленной задачи.

2. Разные варианты формулы Кирхгофа

формула кирхгоф сферический физический

Как известно, потенциал u волнового поля внутри объема Т, ограниченного замкнутой поверхностью , можно найти с помощью формулы Кирхгофа. Для вычисления потенциала в любой точке М внутри объема Т достаточно знать потенциал u(Р) и нормальную производную потенциала на этой поверхности u(Р) / n [2], где Р - точка, принадлежащая поверхности (см. [2]).

(2.1),

где r - расстояние между точками М и Р.

Результаты работы [1] позволяют записать несколько эквивалентных формулировок уравнения Кирхгофа (см. формулы (2.2), (2.7) и (2.8) в [1]), которые приводят к одному и тому же решению.

(2.2)

(2.3)

Однако есть и отличие. Поясним причину такого утверждения. Сама логика доказательства формулы Кирхгофа корректна. Однако есть один момент, который допускает определенный произвол.

В качестве функции v в формуле Грина [2] мы могли бы выбрать любую другую функцию, удовлетворяющую однородному уравнению Гельмгольца

u +k²u = 0,

а не только функцию e^-ikr / r.

Любое решение этого уравнения, которое мы выберем в качестве функции v, позволяет однозначно дать решение задачи по нахождению потенциала внутри объема.

Действительно, потенциал на замкнутой поверхности (равно его производная по нормали на поверхности) определяет не только волны, проникающие внутрь объема, но и волны, которые движутся изнутри объема к его поверхности и выходят из него.

По этой причине в объеме Т в окрестности точки М обязательно будут существовать не только поля, сходящиеся к этой точке (типа e^-ikr / r), но также поля, уходящие от нее (типа e^ikr / r). Потенциал и нормальная производная на поверхности полностью определяют искомый потенциал u. В первом параграфе мы уже об этом говорили.

Хотя все три формулы дают одинаковый результат, между ними имеется одно отличие. Попробуем ответить на вопрос: получим ли мы равенство u(M) = u(Р), если мы точку М совместим с точкой Р, лежащей на поверхности ? Логика подсказывает, опираясь на непрерывность потенциала и его нормальной производной, что в пределе мы должны иметь это равенство при М = Р.

u(M) = u(Р)(2.4).

Оказывается, что такое равенство не всегда возможно. Оно возможно лишь в том случае, если только в качестве функции v выбрана функция sin (kr) / r. Если же мы выберем функцию e^ikr / r или же е^-ikr / r, то в пределе мы получим бесконечное значение величины u(M) , т.е. u(M) u(Р), если M = Р. Это обусловлено появлением на поверхности «скрытых» источников потенциала, обусловленных выбором функции v.

Источники информации

1. Кулигин В.А., Кулигина Г.А., Корнева М.В.. Волна в фокусе и функции Бесселя. http://kuligin.mylivepage.ru/file/index , 2006.

2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. ГИТТЛ, М. 1953.

Размещено на Allbest.ru