Кинематика и динамика поступательного и вращательного движения

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Кинематика материальной точки

Материальная точка, система отсчёта, путь, перемещение, скорость и ускорение материальной точки. Поступательное движение материальной точки и твердого тела. Движение равномерное и ускоренное (замедленное). Уравнения движения.

Кинематика изучает движения тел, не интересуют причины, кот. вызвали это движение.

материальная точка - тело, обладающее массой, размерами которого в данной задаче можно пренебречь.

Система отсчета это совокупность системы координат и часов, связанных с телом отсчета. В декартовой системе координат, положение точки А в данный момент времени по отношению к этой системе характеризуется тремя координатами x, y и z или радиус-вектором r, проведенным из начала системы координат в данную точку

При движении материальной точки ее координаты с течением времени изменяются. В общем случае ее движение определяется скалярными уравнениями эквивалентными векторному уравнению . Эти уравнения называются кинематическими уравнениями движения материальной точки.

Линия, описываемая телом при движении наз. траекторией, длина линии - путь.

Вектор, т. е. приращение радиус-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени, называется перемещением.

Для характеристики движения материальной точки вводится векторная величина - скорость, которой определяется быстрота движения, и его направление в данный момент времени. Вектором средней скорости <v> называется отношение приращения  радиус-вектора точки к промежутку времени :

Направление вектора средней скорости совпадает с направлением . При неограниченном уменьшении  средняя скорость стремится к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью v:

Мгновенная скорость v, это векторная величина, равная первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени. Таким образом, модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени:

При неравномерном движении модуль мгновенной скорости с течением времени изменяется, поэтому пользуются скалярной величиной <v> - средней скоростью неравномерного движения:

Физической величиной, характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению в случае неравномерного движения, является ускорение

Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до  называется векторная величина, равная отношению изменения скорости  к интервалу времени :

Мгновенным ускорением a (ускорением) материальной точки в момент времени t будет предел среднего ускорения:

Таким образом, ускорение a есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени.

Тангенциальная составляющая ускорения

т. е., определяет быстроту изменения скорости по модулю.

Вторая составляющая ускорения, равная называется нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории к центру се кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением).

Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих:

Итак, тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения - быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории).

Абсолютно твердым телом называется тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя точками этого тела остается постоянным.

Любое движение твердого тела можно представить как комбинацию поступательного и вращательного движений. Поступательное движение - это движение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллельной своему первоначальному положению.

В случае равномерного движения числовое значение мгновенной скорости постоянно; тогда выражение примет вид

Длина пути, пройденного точкой за промежуток времени от t₁ до t₂ дается интегралом

При неравномерном движении модуль мгновенной скорости с течением времени изменяется, поэтому пользуются скалярной величиной <v> - средней скоростью неравномерного движения:

2. Криволинейное движение

Кривизна траектории и радиус кривизны. Нормальное, тангенциальное и полное ускорение. Связь между ними. Направление векторов ускорений.

Кривизна траектории и радиус кривизны. Нормальное, тангенциальное и полное ускорение. Связь между ними. Направление векторов ускорений.

Произвольное криволинейное движение:

a = a тангенсальное = dv / dt = v ` ( t )

a нормальное = v / r * lim (при delta t 0) delta s / delta t = v (ст.2) / r

Причем r в выражении - это не радиус окружности, а радиус кривизны траектории в этой точку.

Физической величиной, характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению в случае неравномерного движения, является ускорение

Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до  называется векторная величина, равная отношению изменения скорости  к интервалу времени

:

Мгновенным ускорением a (ускорением) материальной точки в момент времени t будет предел среднего ускорения:

Таким образом, ускорение a есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени.

Тангенциальная составляющая ускорения

т. е., определяет быстроту изменения скорости по модулю.

Найдем вторую составляющую ускорения. Допустим, что точка В достаточно близка к точке А, поэтому  можно считать дугой окружности некоторого радиуса r. Тогда из подобия треугольников АОВ и EAD следует , но так как, то

В пределе при получим .

Поскольку , угол EAD стремится к нулю, а так как треугольник EAD равнобедренный, то угол ADE между v и , стремится к прямому. Следовательно, при  векторы  и v оказываются взаимно перпендикулярными. Так как вектор скорости направлен по касательной к траектории, то вектор , перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру ее кривизны. Вторая составляющая ускорения, равная

называется нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории к центру се кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением).

Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих:

Ускоренное движение точки

Итак, тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения - быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории).

В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движение можно классифицировать следующим образом:

1) , - прямолинейное равномерное движение;

2)  ,  - прямолинейное равнопеременное движение. При таком виде движения

Если начальный момент времени t₁ = 0, а начальная скорость v₁= v₀, то, обозначив t₂ = t и v₂=v, получим a=(v-v₀)/t, откуда

Проинтегрировав эту формулу в пределах от нуля до произвольного момента времени t, найдем, что длина пути, пройденного точкой, в случае равнопеременного движения

3),  - прямолинейное движение с переменным ускорением;

4) , . При  скорость по модулю не изменяется, а изменяется по направлению. Из формулы следует, что радиус кривизны должен быть постоянным. Следовательно, движение по окружности является равномерным;

5),  - равномерное криволинейное движение;

6) ,  - криволинейное равнопеременное движение;

7) ,  - криволинейное движение с переменным ускорением.

3. Движение точки по окружности

Уравнения движения. Связь между линейными и угловыми кинематическими характеристиками движения. Соотношения между векторами линейны и угловых величин.

При вращении точки по окружности достаточно иметь одну характеристику - угловой путь или угол поворота

Угловой скоростью движения (щ) наз. векторная физическая величина, равная 1-й производной от углового пути по времени

Вектор щ направлен вдоль оси вращения и связан с напр. вращ. правого буравчика.

Угловое ускорение - векторная физическая величина, равная первой производной от угловой скорости 2-й производной углового пути.

;

V=V₀+at;

щ=щ₀+at;

S=V₀t+;

Связь между линейными и угловыми кинематическими характеристиками движения.

S=R*ц, R-лин.путь, ц-угл.путь

S=R*ц; V=R*щ;

a_n=R*щ²;

4. Динамика материальной точки

Первый закон Ньютона. Инерциальная система отсчёта. Принцип относительности Галилея.

Первый закон Ньютона. Инерциальная система отсчёта. Принцип относительности Галилея.

В основе динамики лежат три закона Ньютона, которые являются обобщением результатов огромного человеческого опыта. Их рассматривают как систему взаимосвязанных законов. Первый закон Ньютона: всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние. Свойство тела сохранять свое состояние называется инертностью. Поэтому первый закон Ньютона называют законом инерции.

Механическое движение относительно, и его характер зависит от выбора системы отсчета. Первый закон Ньютона выполняется только в инерциальных системах отсчета. Инерциальной системой отсчета является такая система отсчета, относительно которой материальная точка, свободная от внешних воздействий, либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчета (ИСО). Таких систем существует бесконечно много и все они равноправны, т.к. никакими измерениями характеристик движения нельзя установить движется система отсчета или покоится (принцип относительности Галлилея).

Из опыта известно, что при одинаковых воздействиях различные тела приобретают различные ускорения. Ускорение зависит не только от величины воздействия, но и от свойств самого тела. Масса тела - физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные (инертная масса) и гравитационные (гравитационная масса) свойства. В настоящее время можно считать доказанным, что инертная и гравитационная массы равны друг другу (с точностью, не меньшей 10^-12 их значения).

 импульс тела

Мерой воздействия в первом законе Ньютона является сила. Под действием сил тела изменяют скорость движения, или деформируются, т. е. изменяют свою форму и размеры. В каждый момент времени сила характеризуется числовым значением, направлением в пространстве и точкой приложения.

Следовательно, сила - это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.

5. Основной закон динамики поступательного движения

Понятие о силе и массе. Виды сил. Второй закон Ньютона и его физическое содержание. Третий закон Ньютона и его физическое содержание.

Понятие о силе и массе. Виды сил. Второй закон Ньютона и его физическое содержание. Третий закон Ньютона и его физическое содержание.

Масса тела - физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные (инертная масса) и гравитационные (гравитационная масса) свойства. В настоящее время можно считать доказанным, что инертная и гравитационная массы равны друг другу (с точностью, не меньшей 10^-12 их значения).

Сила - это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.

Основной закон динамики поступательного движения - это второй закон Ньютона, он определяет, как изменяется механическое движение материальной точки или тела под действием приложенных сил.

Если рассмотреть действие различных сил на одно и то же тело, то оказывается, что ускорение, приобретаемое телом, всегда прямо пропорционально равнодействующей приложенных сил:

а ~ F (m = const)

При действии одной и той же силы на тела с разными массами их ускорения оказываются различными

а ~ 1/m (F = const)

Используя выражения а ~ F (m = const) и а ~ 1/m (F = const) и учитывая, что сила и ускорение - величины векторные, можем записать

Соотношение выражает второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой или телом, пропорционально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела). В СИ коэффициент пропорциональности k=1. Тогда

а = F/m, или

Учитывая, что масса в классической механике есть величина постоянная, в выражении ее можно внести под знак производной:



Векторная величина  , численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется импульсом (количеством движения) этой материальной точки.

Подставляя p=mv в (1.10), получим_. Это выражение - называется уравнением движения материальной точки - более общая формулировка второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе.

Единица силы в СИ - ньютон (Н): 1 Н - сила, которая массе 1 кг сообщает ускорение 1 м/с² в направлении действия силы:

1 Н = 1 кг м/с².

Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета. Первый закон Ньютона можно получить из второго. Однако первый закон Ньютона рассматривается как самостоятельный закон, так как именно он утверждает существование инициальных систем отсчета, в которых только и выполняется второй закон.

В механике большое значение имеет принцип независимости действия сил: если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было. Согласно этому принципу, силы и ускорения можно разлагать на составляющие, использование которых приводит к существенному упрощению решения задач.

Взаимодействие между материальными точками (телами) определяется третьим законом Ньютона: силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки: F₁₂=-F₂₁ , где F₁₂ - сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй; F₂₁ - сила, действующая на вторую материальную точку со стороны первой. Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют парами и являются силами одной природы.

Третий закон Ньютона позволяет осуществить переход от динамики отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек. Это следует из того, что и для системы материальных точек взаимодействие сводится к силам парного взаимодействия между материальными точками.

6. Импульс

Динамическая характеристика движения - импульс. Закон сохранения импульса системы (вывод). Положение центра тяжести (системы).

Векторная величина  , численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется импульсом (количеством движения) этой материальной точки.

Совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое, называется механической системой.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n тел, масса и скорость которых соответственно равны m₁, m₂, ...,m_n, и v₁, v₂, ..., v_n,. Пусть F₁',F₂',…,F_n'- равнодействующие внутренних сил, действующих на каждое из этих тел, a F₁, F₂, ..., F_n, - равнодействующие внешних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы:

Складывая почленно эти уравнения, получаем

Но так как геометрическая сумма внутренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то

Или

Рассмотрим замкнутую мех.систему. Для нее:

т.е.

Закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени. Этот закон носит универсальный характер, т. е. закон сохранения импульса - фундаментальный закон природы. Закон сохранения импульса является следствием определенного свойства симметрии пространства - его однородности. Однородность пространства заключается в том, что при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства и законы движения не изменяются, т.е., не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета. В механике Галилея-Ньютона из-за независимости массы от скорости импульс системы может быть выражен через скорость се центра масс. Центром масс системы материальных точек называется воображаемая точка С, радиус-вектор которой равен

Скорость центра масс

2 закон для центра масс.

Центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным.

7. Работа переменной силы

Работа силы упругости, гравитационной и силы тяжести (вывод). Мощность. Единицы измерения работы и мощности.

Работа силы тяжести не зависит от траектории, по которой движется мат. точка, а определяется только разностью высот начальной и конечной точек траектории и равна

A_mg12=mg(h₁-h₂)

Работа силы упругости. Пусть пружина первоначально была деформирована на величину x1, а потом деформация изменилась и стала равна x2. Тогда хороша известна нам формула, по которой можно рассчитать работу силы упругости

Она получилась след. образом: пусть пружина растягивается, тогда проекция перемещения равна , а сила при этом меняется по линейному закону, поэтому можно в формулу работы подставить просто модуль средней силы и с учетом знаков (сила направлена против перемещения, cos?=-1) получим окончательно:

Работа силы упругости не зависит от пути, а зависит только от начальной и конечной точки.

Работа гравитационной силы:

Где r₁ и r₂ - расстояния между материальными точками с массами m₁ и m₂.Работа гравитационной силы не зависит от пути, а зависит только от начальной и конечной точки.

Единица работы - джоуль (Дж): 1 Дж - работа, совершаемая силой 1 Н на пути 1 м (1 Дж=1 Н?м).Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности

кинематика динамика скорость вектор

За время dt сила F совершает работу Fdr, и мощность, развиваемая этой силой, в данный момент времени

т. е. равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы; N - величина скалярная.

Единица мощности - ватт (Вт): 1 Вт - мощность, при которой за время 1 с совершается работа 1 Дж (1 Вт=1 Дж/с).

8. Энергия

Определение энергии. Кинетическая энергия частицы и её связь с работой (вывод). Кинетическая энергия системы частиц.

Энергия - универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и др. Изменение механического движения тела вызывается внешними силами. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы.

Кинетическая энергия механической системы - это энергия ее механического движения этой системы.Энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы силы F.

dA = dT.

Используя второй закон Ньютона , и умножая на перемещение dr, получаем

.

Так как  то , откуда

Таким образом, тело массой т, движущееся со скоростью v, обладает кинетической энергией

Поскольку кинетическая энергия системы зависит только от массы и скорости тела, то она является функцией состояния ее движения.

При выводе выражения для кинетической энергии предполагалось, что движение рассматривается в инерциальной системе отсчета, иначе нельзя использовать законы Ньютона. В разных инерциальных системах отсчета, движущихся друг относительно друга, скорость тела, а, следовательно, и его кинетическая энергия будут неодинаковы. Таким образом, кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета.

9. Потенциальное поле сил

Стационарное поле сил. Работа в потенциальном поле по замкнутому пути. Потенциальная энергия частицы и системы частиц. Связь консервативной силы с потенциальной энергией.

Потенциальное поле силы. Если работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое не зависит от траектории перемещения, а зависит только от начального и конечного значения, то такие поля называются потенциальными, а действующие в них силы- консервативными. Работа консервативных сил природных тел равна изменению потенциальной энергии этого тела взятого с обратным знаком, то есть убыли E_p.

В декартовых координатах производную запишем следующим образом.

Оператор Набла:

Если оператор Набла действует на скалярную величину, то это действие называется градиентом.



Если действует скалярно на векторную величину, то называется дивергентом, если действует векторно на векторную величину, то называется ротором. Градиент E_p - это вектор направленный по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону возрастания E_p.

10. Общефизический закон сохранения и превращения механической энергии

Система частиц (определение). Виды сил, действующих в системе. Диссипация энергии. Закон сохранения энергии. Условия равновесия системы.

Система частиц- это механическая система частиц, которая рассматривается как единое целое.

Закон сохранения энергии - это результат обобщения многих экспериментальных данных. Идея этого закона принадлежит М. В. Ломоносову , изложившему закон сохранения материн и движения, а количественная формулировка закона сохранения энергии дана немецким врачом Ю. Майером и немецким естествоиспытателем Г. Гельмгольцем .

Рассмотрим систему материальных точек массами m₁, m₂, ..., m_n, движущихся со скоростями v₁, v₂, ..., v_n,. Пусть , - равнодействующие внутренних консервативных сил, действующих на каждую из этих точек, a - равнодействующие внешних сил, которые также будем считать консервативными. Кроме того, будем считать, что на материальные точки действуют еще и внешние неконсервативные силы; равнодействующие этих сил, действующих на каждую из материальных точек, обозначим f₁, f₂,…,f_n. При v << c массы материальных точек постоянны и уравнения второго закона Ньютона для этих точек следующие:



Двигаясь под действием сил, точки системы за интервал времени dt совершают перемещения, соответственно равные dr₁, dr₂, ..., dr_n. Умножим каждое из уравнений скалярно на соответствующее перемещение и, учитывая, что dr_i=v_idt, получим

,

,

,

Сложив эти уравнения, получим

(1)

Первый член левой части равенства (1)

где dT - приращение кинетической энергии системы. Второй член  равен элементарной работе внутренних и консервативных внешних сил, взятой со знаком минус, т. е. равен элементарному приращению потенциальной энергии dП системы .

Правая часть равенства (1) задает работу внешних неконсервативных сил, действующих на систему. Таким образом, имеем d(T+П) = dA (2)

При переходе системы из состояния 1 в какое-либо состояние 2

,

т. е. изменение полной механической энергии системы при переходе из одного состояния в другое равно работе, совершенной при этом внешними неконсервативными силами. Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то из (2) следует, что d(T+П) = 0,откуда T + П = Е = const (3)т. е. полная механическая энергия системы сохраняется постоянной. Выражение (3) представляет собой закон сохранения механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т. е. не изменяется со временем.Закон сохранения и превращения энергии - фундаментальный закон природы, он справедлив как для систем макроскопических тел, так и для систем микротел.

Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени. Однородность времени проявляется в том, что физические законы инвариантны относительно выбора начала отсчета времени.

В диссипативных системах механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии. Этот процесс получил название диссипации (или рассеяния) энергия. Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными.

В системе, в которой действуют также неконсервативные силы, например силы трения, полная механическая энергия системы не сохраняется. Следовательно, в этих случаях закон сохранения механической энергии несправедлив. Однако при «исчезновении» механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом и заключается физическая сущность закона сохранения и превращения энергии - сущность неуничтожимости материи и ее движения.

11. Центральный удар абсолютно упругих тел

Определения центрального удара. Закон сохранения энергии и импульса соударяющихся тел. Скорость тел до и после удара.

Ударом (или столкновением) принято называть кратковременное взаимодействие тел, в результате которого их скорости испытывают значительные изменения.

Применение законов сохранения энергии и импульса во многих случаях позволяет исключить из рассмотрения сам процесс столкновения и получить связь между скоростями тел до и после столкновения, минуя все промежуточные значения этих величин.

Абсолютно упругим ударом называется столкновение, при котором сохраняется механическая энергия системы тел.

При абсолютно упругом ударе наряду с законом сохранения импульса выполняется закон сохранения механической энергии.

Простым примером абсолютно упругого столкновения может быть центральный удар

Центральным ударом шаров называют соударение, при котором скорости шаров до и после удара направлены по линии центров.

В общем случае массы m₁ и m₂ соударяющихся шаров могут быть неодинаковыми. По закону сохранения механической энергии

Здесь х₁ - скорость первого шара до столкновения, скорость второго шара х₂ = 0, u₁ и u₂ - скорости шаров после столкновения. Закон сохранения импульса для проекций скоростей на координатную ось, направленную по скорости движения первого шара до удара, записывается в виде: m₁х₁ = m₁u₁ + m₂u₂

Мы получили систему из двух уравнений. Эту систему можно решить и найти неизвестные скорости u₁ и u₂ шаров после столкновения:

Таким образом, пользуясь законами сохранения механической энергии и импульса, можно определить скорости шаров после столкновения, если известны их скорости до столкновения.

12. Центральный удар абсолютно неупругих тел

Определение центрального удара и его параметры. Закон сохранения импульса. Изменение энергии соударяющихся тел (вывод).

Удар (или соударение) - это столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. Силы взаимодействия между сталкивающимися телами очень велики, поэтому внешними силами, действующими на них, можно пренебречь. Это позволяет систему тел в процессе их соударения приближенно рассматривать как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения.

Абсолютно неупругий удар - столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое. Характеризуется тем, что потенциальной энергии деформации не возникает; кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию; после удара столкнувшиеся тела либо движутся с одинаковой скоростью, либо покоятся. При абсолютно неупругом ударе выполняется закон сохранения импульса, закон сохранения механической энергии не соблюдается.

Если массы шаров т₁ и m₂ их скорости до удара v₁ и v₂, то, используя закон сохранения импульса, можно записать

m₁v₁+m₂v₂=(m₁+m₂)v

где v - скорость движения шаров после удара. Тогда

_(1.1)

Если шары движутся навстречу друг другу, то они вместе будут продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигался шар, обладающий большим импульсом.

Вследствие деформации происходит «потеря» кинетической энергии, перешедшей в тепловую или другие формы энергии. Эту «потерю» можно определить по разности кинетической энергии тел до и после удара:

Используя (1.1), получаем

Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (v₂=0), то

13. Момент силы

Момент силы материальной точки относительно произвольной точки и оси вращения. Величина и направление момента. Тангенциальная и нормальная составляющая момента силы. Момент пары сил.

Моментом силы F относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора r, проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу F: М = [rF].

Здесь М - псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F.

Модуль момента силы М = Frsinб=Fl, где б - угол между r и F; rsin б=l - кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О - плечо силы.

Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина M_z , равная проекции на эту ось вектора М момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси z . Значение момента М_z не зависит от выбора положения точки О на оси z.

Если ось z совпадает с направлением вектора М, то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью: M_z= [rF]_z.

Разложим вектор силы F на три взаимно перпендикулярные составляющие: F-параллельную оси z, F_R-перпендикулярную к оси z и F-перпендикулярную к плоскости, проходящей через ось и точку приложения силы. Если представить себе окружность радиуса R с центром на оси z, то составляющая F будет направлена по касательной к этой окружности. Момент силы F относительно точки О равен сумме моментов составляющих :

M=M+M_R+M.

Векторы M и M_R перпендикулярны к оси z, поэтому их проекции на ось равны нулю. Момент M имеет модуль, равный r F, и образует с осью z угол , косинус которого равен R/r. Следовательно, момент составляющей F относительно оси z имеет величину Mcos=R F . Т. о., момент силы F относительно оси z равен:

M_z= R F_.

До сих пор под F мы понимали модуль составляющей F . Однако, F можно рассматривать как проекцию вектора F на орт , касательный к окружности радиуса R и направленный так, что движение по окружности в направлении образует с направлением оси z правовинтовую систему. При таком истолковании F формула M_z= R F будет определять и знак M_z.

Момент силы M характеризует способность силы вращать тело вокруг точки, относительно которой он берется. Составляющие Fи F_R не могут вызвать вращения вокруг оси z. Такой поворот может быть вызван только составляющей F_, причем эта составляющая тем успешнее осуществит поворот, чем больше ее плечо R.

Две равные по величине противоположно направленные силы, не действующие вдоль одной прямой, называются парой сил.

14. Момент импульса

Момент силы материальной точки относительно произвольной точки и оси вращения. Величина и направление момента. Связь момента импульса с моментом инерции. Закон сохранения момента импульса.

Моментом импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

L =[rр] = [r,mv],

где r - радиус-вектор, проведенный из точки О в точку A; p=mv - импульс материальной точки; L - псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к р. Модуль вектора момента импульса

L = rpsinб = mvrsin б = pl,

где б - угол между векторами r и р, l - плечо вектора p относительно точки О.

Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина L_z, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Момент импульса L_z не зависит от положения точки О на оси z.



Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость. В замкнутой системе момент внешних сил M=0 и , откуда L=const. Это выражение представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени. Закон сохранения момента импульса - фундаментальный закон природы. Продемонстрировать закон сохранения момента импульса можно с помощью скамьи Жуковского.

15. Момент инерции

Момент инерции материальной точки и системы точек. Момент инерции простых тел вращения (тонкого однородного стержня) (вывод). Теорема Штейнера.

Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

,

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами х, у, z.

В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси. Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и массой dm. Момент инерции каждого такого цилиндра dJ=r²dm (так как dr << r, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r). Если с - плотность материала, объем 2рrhdr, то dm=2рrhсdr и dJ=2рhсr³dr. Тогда момент инерции сплошного цилиндра

но так как  - объем цилиндра, то его масса , а момент инерции

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции J_с относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы т тела на квадрат расстояния а между осями:

J=J_с+ma²

Значение моментов инерции некоторых тел: Полый тонкостенный цилиндр радиусом R (Ось симметрии) mR². Прямой тонкий стержень длиной l (Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину) _. Прямой тонкий стержень длиной l (Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец) _. Шар радиусом R (Ось проходит через центр шара)

16. Основной закон динамики вращательного движения

Связь момента силы с моментом импульса. Кинетическая энергия вращательного движения (вывод). Работа при вращательном движении (вывод).

(1)

Момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Продифференцируем уравнение (1) по времени:

Это выражение -форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

Кинетическая энергия. Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной оси z, проходящей через него. Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами т₁, т₂,..., m_n находящиеся на расстоянии r₁, r₂,…, r_n от оси. При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объемы массами m_i опишут окружности различных радиусов r, и имеют различные линейные скорости v_i. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова:

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов:

_,

или

Отсюда, получаем

где J_z - момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела

_.

Работа. Найдем выражение для работы при вращении тела. Пусть сила F приложена в точке В, находящейся от оси z на расстоянии r, б - угол между направлением силы и радиус-вектором r. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол dц точка приложения В проходит путь ds=rdц и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения: dA=Fsinб r dц.

Учитывая М = Frsinб=Fl, можем записать: dA=M_zdц

где Frsinб=Fl=M_z - момент силы относительно оси z. Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота. Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии: dA=dT, но , поэтому , или

Это уравнение представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

Если ось z совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство _.

17. Гармонический осциллятор

Основные признаки гармонический колебаний. Уравнение гармонических колебаний. Амплитуда, период, фаза (начальная фаза). Скорость, ускорение, импульс, силы и энергия колебаний.

Гармонические колебания - колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Гармонические колебания величины s описываются уравнением типа:

s = A cos (щ₀ + ц),

где А - максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания, щ₀ - круговая (циклическая) частота, (ц - начальная фаза колебания в момент времени t = 0, (щ₀t + ц) - фаза колебания в момент времени t. Фаза колебания определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус изменяется в пределах от +1 до -1, то s может принимать значения от +А до -А. период колебания - промежуток времени за который фаза колебания получает приращение 2р, т. е.

щ₀(t+T)+ц =(щ₀t +ц)+2р.

Откуда

Т=2р/щ_0.

дифференциальное уравнение гармонических колебаний

_.

Сила F=ma, действующая на колеблющуюся материальную точку массой m, равна F = - тщ₀²х. Полная энергия равна Е=тА²щ₀²/2, остается постоянной, так как при гармонических колебаниях справедлив закон сохранения механической энергии, поскольку упругая сила консервативна. Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида s+щ₀s=0. скорость и ускорение равны соответственно первой(Aщ₀ cos (щ₀t +ц+р/2)) и второй (Aщ₀²cos (щ₀ t+ц+р )) производным от колеблющейся величины s.

18. Колебания под действием упругих сил

Колебания груза на пружине. Дифференциальное уравнение и его решение. Частота и период колебаний.

Пружинный маятник - это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F= - kx, где k - жесткость пружины. Уравнение движения маятника mx= - kx или x^?+kx/m=0. пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону х=А cos (щ₀ t+ц) с циклической частотой и периодом _. Величина, обратная периоду колебаний, т.е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний - н = 1/T. период колебания - промежуток времени за который фаза колебания получает приращение 2р, т. е. щ₀(t+T)+ц =(щ₀t +ц)+2р. Откуда Т=2р/щ_0. дифференциальное уравнение гармонических колебаний _, Решением этого уравнения является выражение s = A cos (щ₀ + ц). Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний d²s/dt² + 2дds/dt + щ₀²s= x₀ cos щt. Решение данного уравнения s₁ = A₀e^-дt cos(щ₁t + ц₁).

19. Свободные гармонические колебания

Затухающие колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение (вывод). Коэффициент и логарифмический декремент затухания. Энергия колебаний (вывод). Добротность системы.

затухающие колебания- колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшаются. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы задается в виде d²s/dt² + 2дds/dt + щ₀²s = 0. где s - колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс, д=const - коэффициент затухания, щ₀ - циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т. е. при д=0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы.

Решение уравнения рассмотрю в виде s = e^-дtu, где u=u(t). После нахождения первой и второй производных выражения и подстановки их в получим u + (щ₀² - д²)u = 0. Решение данного уравнения зависит от знака коэффициента перед искомой величиной. Рассмотрю случай, когда этот коэффициент положителен: щ² = щ₀^{2 -} д² . (если (щ₀^{2 -} д²)>0, то такое обозначение мы вправе сделать). Тогда получим уравнение типа ы + щ²u = 0, решением которого является функция u=A₀cos(щt+ц). Таким образом, решение дифференциального уравнения свободных затухающих колебаний в случае малых затуханий (д²<<щ²). s = A₀e^-дt cos(щt+ц). где А=A₀e^{- дt} - амплитуда затухающих колебаний, а А₀ - начальная амплитуда. Если А (t) и A(t+Т) - амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение A(t)/A(t+T)=e^дT называется декрементом затухания, а его логарифм и = ln(A(t)/A(t+T)) = дT = T/ф = 1/N_0. логарифмическим декрементом затухания; N_e - число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания - постоянная для данной колебательной системы величина. Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности Q, которая при малых значениях логарифмического декремента равна Q = р/и = рN_e = р/(дT₀) = щ₀/(2д) - (так как затухание мало (д²<<щ²), то T принято равным Т_о). что добротность пропорциональна числу колебаний N_e, совершаемых системой за время релаксации.

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания, равна T = mv² /2 = mA²щ₀²sin²(щ₀t + ц)/2, или T = mA²щ₀²[1-cos2(щ₀t + ц)]/4. Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием упругой силы F, равна П = -? Fdx = mщ₀²x²/2 = m A² щ₀²cos²(щ₀t+ц)/2 или П = mA²щ₀² [l + cos 2 (щ₀t + ц)]/2 Сложив оба уравнения получим формулу для полной энергии: Е=Т+П = тА²щ₀²/2.

20. Вынужденные колебания

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Частота и период колебаний. Амплитуда и начальная фаза колебаний. Резонанс.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний d²s/dt² + 2дds/dt + щ₀²s= x₀ cos щt. Решение данного уравнения s₁ = A₀e^-дt cos(щ₁t + ц₁). Период колебания - промежуток времени за который фаза колебания получает приращение 2р, т. е. Т=2р/щ₀. Величина, обратная периоду колебаний, н = 1/T т. е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний.

Максимальное значение колеблющейся величины, называется амплитудой колебания. Связь амплитуды с частотой вытекает из уравнения колебаний: s = A cos (щ₀ + ц),где А - максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания, щ₀ - круговая (циклическая) частота, (ц - начальная фаза колебания в момент времени t = 0, (щ₀t + ц) - фаза колебания в момент времени t. Фаза колебания определяет значение колеблющейся величины в данный момент времени. Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы, называется резонансом. А_рез = x₀/(2д). амплитуда скорости при механическом резонансе равна (A_v)_max = x₀/(2д) = F₀/r. Следующие данные можно принципе не писать ---------- Явления резонанса могут быть как вредными, так и полезными. Например, при конструировании машин и различного рода сооружений необходимо, чтобы собственная частота колебаний их не совпадала с частотой возможных внешних воздействий, в противном случае возникнут вибрации, которые могут вызвать серьезные разрушения. С другой стороны, наличие резонанса позволяет обнаружить даже очень слабые колебания, если их частота совпадает с частотой собственных колебаний прибора. Так, радиотехника, прикладная акустика, электротехника используют явление резонанса.

...