Закони механіки і просторо-часова симетрія

Размещено на http://www.allbest.ru/

26

Закони механіки і просторо-часова симетрія

Вступні зауваження

Симетрія фізичних законів (на неї вперше звернув увагу Пуанкаре) полягає у їх незмінності відносно тих чи інших перетворень, пов'язаних, зокрема, з умовами спостереження явищ. Так, якийсь закон збереження, як відбиття якоїсь інваріантності природи чи предмета, завжди пов'язаний із симетрією простору-часу. Ця сама виражає однорідність простору-часу та інваріантність простору. Наука пояснює певну закономірність (регулярність) або закон тим, що за конкретних просторово-часових умов діє загальніший, ширший закон. Зараз - це всеосяжні категорії спостережуваних законів збереження, однорідності та ізотропності Всесвіту.

У ньютонівській механіці кожній властивості простору-часу можна поставити у відповідність певний закон збереження. Так, закон збереження енергії нерозривно пов'язаний з однорідністю часу; закон збереження імпульсу - з однорідністю простору, а закон збереження моменту імпульсу невіддільний від властивості ізотропності простору. Цей фундаментальний зв'язок було виявлено в 1918 році - теорема Еммі Нетер. Застосування теореми Нетер - це найпростіший і водночас один з найуніверсальніших методів відшукання законів збереження в різних фізичних теоріях: механіці, релятивістській теорії поля, у квантовій фізиці, термодинаміці тощо.

У світоглядному сенсі закони збереження механіки (і не тільки) завжди відображають сталість якісь фізичних величин. Вони допускають будь-які взаємодії і мають інтегральну природу, відрізняються загальністю. Так, якщо рівняння руху ще не відкриті, закони збереження являють собою ефективний засіб дослідження фізичних систем, іноді дозволяють установлювати й самі рівняння. Закони збереження так само універсальні як універсальні властивості симетрії простору-часу.

Ці проблемні питання у фізико-методичній літературі ХХ ст., особливо у другій половині, посідають одне із чільних місць. Обговорення їх тривають і тепер, не втрачаючи актуальності і широти пошуку.

Однорідність простору-часу та ізотропність простору

Однорідність простору означає, що коли в замкнутій системі будь-яке тіло перенести з одного місця простору в інше, зберігши всі попередні умови, то це перенесення не відіб'ється на ході наступних явищ. Тобто, переносячи деяку вихідну точку в будь-якому напрямі, ми попадемо в точку, що не відрізняється від вихідної. Так, результати експерименту, проведеного в одній із лабораторій, будуть такі самі, коли за незмінних умов у той самий час цей експеримент виконати в сусідній лабораторії.

У цьому сенсі треба розуміти також ізотропію простору, тільки, замість переносу замкнутої системи, треба вести мову про її поворот у просторі на довільний кут. Повернувши, наприклад, при виконанні досліду прилад на деякий кут, ми отримаємо такі самі, що і раніше, показання, якщо інші умови досліду, зокрема місце і час проведення, збережено. Також не зміниться відстань між двома точками на площині від того, що систему координат повернули на якийсь кут, усі інші умови зберігши.

Однорідність часу означає, що коли в будь-які два моменти часу всі тіла замкнутої системи поставити в однакові умови, то надалі, починаючи з цих моментів, усі явища в ній відбуватимуться цілком однаково. Отже, будь-які явища, що відбуваються за тих самих умов, але в різні моменти часу, проявляються без змін. Так, якщо матеріальна точка падає за одну секунду приблизно на 5м, то це було і в минулому і буде в майбутньому (місце досліду не змінювати). Також маса спокою замкнутої та адіабатно ізольованої системи не залежить від часу. Умова тепло-ізольованості, що не відіграє ролі при аналізі залежностей простору, тут дуже істотна, бо при наявності теплообміну маса спокою з часом змінюється, порушуючи цим принцип однорідності часу.

Реальне здійснення якогось явища в природі обумовлена властивостями симетрії матерії взагалі, не поокремо симетріями простору й часу. При цьому помічено, що чим сильніша взаємодія, тим вона симетричніша. Найслабкіші взаємодії - гравітаційні. Сили тяжіння виражають неоднорідність простору й часу. Для гравітаційного поля не можна однозначно сформулювати закони збереження, бо воно, порушуючи симетрію простору й часу, сягне в безмежність (від нього не сховатися).

Закон збереження імпульсу замкнутої системи є наслідком відсутності її взаємодії з зовнішніми системами (тілами) й однорідності простору. Однорідність виступає умовою, яка забезпечує сталість імпульсу, являючись тим знаковим фактом, що простір (місцеположення) сам по собі не змінює імпульсу. Однорідність простору передбачає пустотний простір, без матеріальних тіл, які збуджують гравітаційні поля, чим порушують його однорідність.

Уявлення про повну симетрію використовують для систематизації елементарних частинок, обговорення проблеми антисвітів тощо.

Доведення законів збереження механіки на тлі ідей просторо-часової симетрії

Усі три механічні закони збереження виконуються лише в інерціальних та замкнутих системах відліку. Під замкнутою (ізольованою) системою, де виконуються закони збереження імпульсу і моменту імпульсу, не можна розуміти увесь Всесвіт. Якщо поступити так, то всі властивості і симетрії тоді стануть самочевидними і втратять будь-який реальний сенс. Це тому, що говорити про переноси й повороти системи тіл можна тільки по відношенню до якихось інших тіл. Тому ми вестимо мову не про весь Всесвіт у цілому, а про такі частини його, які можна розглядати (наближено) як замкнуті системи. Тоді властивості простору-часу, про які ішлося вище, стануть зовсім не самоочевидними.

Закон збереження імпульсу виконується як у класичній (ньютонівській), так і релятивістській механіці, але в останній враховують залежність маси від швидкості. Нехай Wp(x;y;z) - потенціальна енергія замкнутої механічної системи (у ній можна знехтувати дією зовнішніх сил у порівнянні з внутрішніми). Сила, що діє на якусь довільну точку такої системи,

(ІІІ.1)

де (x;y;z) - радіус-вектор матеріальної точки. Диференціал функції Wp(x;y;z)

.

Позаяк кінетична енергія і швидкість тіла масою m , то, продиференціювавши скалярну функцію по векторному аргументу , матимемо

. (ІІІ.2)

Тут - прискорення системи, а - другий закон Ньютона.

Для механічної системи з потенціальною енергією і кінетичної енергією , де індекс «і» нумерує матеріальні точки, що входять у систему, повна енергія

. (ІІІ.3)

Після цих загальних допоміжних зауваг розглянемо конкретно інтерпретування законів збереження (та інших) у світлі властивостей симетрії простору й часу. Почнемо з закону збереження імпульсу.

а) Збереження імпульсу . Вважатимемо, що простір однорідний, тобто в ньому немає точок з особливими властивостями. Отже, довільне паралельне перенесення замкнутої системи як цілого не повинне змінювати її властивостей.

При паралельному перенесенні системи на безмежно малий вектор радіуси-вектори всіх точок системи збільшуються також на . При сталій швидкості матеріальних точок система змінює свою енергію на величину

Тож при довільному , тому

,

або

.

Це означає, що повний імпульс замкнутої системи тіл зберігається під час будь-яких взаємодій тіл цієї системи між собою.

Довільне зовнішнє поле порушує однорідність простору, тому імпульс системи не залишається сталим, хоч окремі складові імпульсу можуть зберігатися і при наявності зовнішнього поля. Так, у полі сил тяжіння поблизу поверхні Землі зберігаються горизонтальні компоненти імпульсу.

б) Збереження моменту імпульсу (кількості руху). Момент імпульсу - динамічна характеристика обертального руху точки або тіла. Момент імпульсу матеріальної точки відносно точки (полюса) О дорівнює векторному добутку радіуса-вектора (проведеного з очки О до матеріальної точки) на вектор імпульсу цієї точки: . Момент імпульсу системи точок відносно полюса О дорівнює геометричній сумі моментів імпульсу її точок, тобто

.

Величина входить в основний закон динаміки обертального руху: , де - повний (головний) момент зовнішніх сил, t - час. Якщо , то , тобто, якщо момент зовнішніх сил відносно нерухомої точки дорівнює нулю (механічна система замкнута), то момент імпульсу системи відносно того самого полюса залишається сталим за часом. Це твердження стосується також системи, яка знаходиться у зовнішньому центральному полі (поле, створене однією силовою точкою - центром, бо таке поле не порушує ізотропності відносно свого центра).

Доведемо це положення, виходячи з ізотропності простору. Тобто вважатимемо, що поворотом системи як цілого на довільний нескінченно малий кут не змінює її властивостей. Кут розглядається як вектор, напрямлений у бік обертання.

Нехай - моменти внутрішніх сил, що діють на матеріальні точки системи відносно довільного нерухомого полюса О. Повернемо всю систему як ціле навколо точки О на кут , причому так, щоб швидкості всіх матеріальних точок повернулися на той самий кут без зміни свого значення. Враховуючи ізотропність простору, на такий поворот не треба затрат роботи, яка виражається скалярним добутком .

Цей добуток має дорівнювати нулю незалежно від того, яким був поворот. Це означає, що для замкнутої системи сумарний геометричний момент .

Позаяк , то , тобто момент імпульсу замкнутої системи матеріальних точок є сталим. Цей висновок стосується також системи, яка зазнає зовнішніх впливів, за умови, що сумарний момент зовнішніх сил, які діють на тіла системи, дорівнює нулю.

в) Збереження енергії. У силу однорідності часу повна енергія W замкнутої адіабатної механічної системи не залежить від часу явно, тому визначатиметься співвідношенням (ІІІ.3). Якби вона залежала від часу, то дорівнювала б сумі

,

що заперечує принцип інваріантності по відношенню до переносів у часі, тобто однорідність часу. Тож, згідно з (ІІІ.1) і (ІІІ.2), повна похідна від енергії замкнутої системи по часу дорівнює нулю. Це справді так:

Рівність означає, що .

Отже, повна енергія замкнутої механічної системи з часом не змінюється, залишаючись сталою. Звичайно, рух системи розглядається у стаціонарному, тобто незалежному від часу потенціальному полі. Таким полем, зокрема, є гравітаційне поле Землі.

Бачимо: класичні закони збереження замкнутих систем - наслідок відсутності зовнішньої взаємодії тіл і того факту, що час і простір самі по собі не змінюють фундаментальних величин механіки (в цьому симетричність простору-часу). Остання обставина виступає як умова, а не причина збереження.

Ці майже самоочевидні, математично неускладнені інтерпретації походження і становлення основних законів механіки переконують нас у всесильності і унікальності ідей симетрії у наукових дослідженнях. Підтверджують спосіб розуміння ролі симетрії простору-часу також численні астрофізичні спостереження і факти. Відмітимо окремі найпоказовіші з них.

г) Збереження центра інерції (мас). Центр інерції (мас) - це точка перетину прямих, уздовж яких повинні бути напрямлені сили, щоб тіло рухалося поступально. Центр інерції тіла рухається так, як рухається матеріальна точка з масою, що дорівнює масі тіла, під дією сили, рівної вектору рівнодійної всіх прикладених до тіла сил. Координати центра інерції визначаються формулами:

а) для тіл з дискретним розподілом мас:

, , ;

б) для суцільного тіла:

, , ,

де М - маса тіла (системи), , V - його густина і об'єм. На відміну від центра ваги поняття центра інерції не пов'язане з ніяким полем сил. Якщо тверді тіла малі, то їх центри інерції та ваги збігаються.

При русі механічної системи її центр інерції рухається так само, як він рухався б, якби в ньому була зосереджена вся маса системи, а на неї діяли всі зовнішні сили, що діють на цю систему. Рівняння руху системи відносно СВ, початок якої збігається з центром інерції, мають той самий вигляд що й для руху відносно ІСВ.

Тож у законі руху центра інерції (мас) фізичної системи лежить симетрія при переході від одної інерціальної системи відліку до іншої.

Центр інерції двох точок поділяє відстань між ними обернено пропорційно до їх мас. Центр інерції трьох матеріальних точок поділяє відстань між центром інерції якихось двох із них і третьою матеріальною точкою обернено пропорційно до відношення суми двох мас до третьої маси. Такий самий перехід від трьох матеріальних точок до чотирьох і взагалі до будь-якого їх числа.

Запитання. Як рухається центр мас шрапнелі після того, як її осколки розлітаються у різні боки під час руху шрапнелі вздовж параболічної траекторії?

Відповідь. Продовжує рухатися вздовж параболічної траекторії, по якій рухався б снаряд, якщо б вибуху не відбулося.

Реальні підтвердження властивостей симетрії простору-часу

простір час симетрія енергія

а) Як відомо, закон всесвітнього тяжіння Ньютона (1684) безвідмовно і надійно описує сталий у часі факт взаємного притягання тіл, яке існувало до Ньютона і після нього. Сталість стосується і всіх інших механічних законів і залежностей. Якби вони змінювались у часі, то кожний науковець був би змушений кожний раз у своїх дослідженнях усе починати спочатку. В світі тоді одні ті самі причини кожного іншого дня призводили б до інших наслідків. Проте ці часові аномалії не спостерігаються в реальному житті.

б) Позаяк разом із Землею спостерігач бере участь у поворотах і перенесеннях навколо Сонця, то, якби фізичні закони були при цьому не сталі, а мінливі, вони б змінювалися у часі з періодом один рік. Тоді результати дослідів, знайдені не в один той самий час, відчутно різнилися б між собою. Проте просторо-часові відхилення досі ще ніким не зафіксовані.

в) Коли геліоцентризм перемістив центр світобудови з Землі на Сонце, фізичні закони від цього не змінилися. Залишилися незмінними навіть ті, що були ще відкриті до Коперніка.

г) У Всесвіті відсутні будь-які центри світобудови. В усякому разі їх досі ні один із астрономів не відкривав. Якби вони існували, напрями до них позначалися б якимось особливими фізичними властивостями. Це, в свою чергу, заперечило б основну ідею рівносильності всіх напрямів у природі, тобто ізотропність простору. Проте ні «центрів світобудови», ні якіхось інших визначальних напрямів у Всесвіті досі не помічено. Цей достовірний факт утверджує непорушність ізотропності Всесвіту.

Для більшої переконаності ролі симетрії простору-часу у вивчені законів механіки доведемо закон збереження енергії, використавши співвідношення релятивістської механіки між енергією W=mc² та імпульсом тіла ( - маса тіла, коли воно рухається зі швидкістю )

. (ІІІ.4)

У правій частині рівності (ІІІ.4) - енергія спокою тіла, с - швидкість тіла у вакуумі, а співвідношення між масою і енергією

,

де - маса спокою тіла.

Продиференціювавши (ІІІ.4) по часу з врахуванням того, що (і ), ми отримаємо

dW = vdp. (ІІІ.5)

У рівності (ІІІ.5)

dp =(F+f)dt, (ІІІ.6)

причому F і f - модулі зовнішньої і внутрішньої сил. Позаяк система замкнута, то зовнішня сила (рівнодійна сил) . В силу однорідності простору також f = 0, тому dp = 0 і dW = 0.

Отже, для замкнутої і адіабатно ізольованої системи з факту однорідності простору (f = 0) випливає рівність dW = 0, тобто W= const - закон збереження енергії.

Інша точка зору на проблему симетрії простору-часу

З проведеного аналізу, пов'язаного з законами збереження в механіці, випливає інший цікавий, але протилежного змісту очевидний методичний варіант. На нього в свій час (кінець ХХ ст.) звернули увагу І.С.Жолудєв і Д.В.Сивухін.

Справа в тому, що на підставі щойно викладеного можна стверджувати обернене: всі основні механічні величини зберігаються не тому, що простір і час побудовані якимсь особливим чином. Навпаки, однорідність простору-часу та ізотропність простору випливають з функціонування в макросвіті класичних законів збереження. Цей висновок (підсумок) можна було вже зробити в процесі виведення цих законів, читаючи прикінцеві формули у зворотному порядку - з кінця до початку. Проілюструємо це твердження доведенням однорідності простору на підставі закону збереження імпульсу для замкнутої системи тіл.

Нехай механічна система замкнута, а всі сили , що діють на кожну з матеріальних точок системи, - внутрішні сили. Зовнішні сили відсутні або їх рівнодійна дорівнює нулю.

Перенесемо систему з якогось довільного положення в інше, причому так, щоб усі її матеріальні точки мали однакове зміщення , а швидкості їхні залишалися попередніми за величиною і напрямом.

Позаяк для замкнутої системи сумарний імпульс

то

де , та - відповідно маса, швидкість і прискорення деякої матеріальної точки системи. Отже, сума всіх внутрішніх сил , що діють у системі, дорівнює нулю. Але виконання цієї умови являється свідченням однорідності простору. Відтак фізичний простір однорідний. Цей висновок ми зробили з відповідного закону збереження.

Діючи аналогічно, на підставі законів механіки про збереження моменту імпульсу та енергії можна довести, що простір ізотропний і час однорідний. Щодо однорідності простору, то вона особливо наочно випливає із співвідношення (ІІІ.6). Так, якщо F = 0 і dp = 0 (імпульс сталий), то f = 0 - свідчення однорідності.

Наближена єдність симетричних властивостей простору-часу

Інваріантні властивості простору-часу в макросвіті слабкіші, так різко не виражені, так нероздільні чітко між собою, як у мікро- і мегасвіті. Вони іноді накладаються одна на другу, взаємопроникають і навіть випливають одна з одної. З цього приводу кілька суттєвих фактів.

З однорідності простору випливає (походить) ізотропія простору стосовно напряму руху (переміщення) і навпаки. Це означає, що для заданого напрямку переміщення тіл «вперед» і «назад» рівноправні, тож простір не прискорюється ні в одному з виділених напрямів. Цікаво, що ця його особливість вже обумовлена другим законом динаміки. Справді, як відомо, закони класичної механіки інваріантні щодо змін знака часу на протилежний. Так, у рівнянні другого закону Ньютона

(ІІІ.7)

зміна знака часу через дворазове диференціювання по часу не викликає ніяких змін рівняння. Тому зміна часу в класичній механіці не призводить до яких-небудь додаткових обмежень у симетрії простору-часу, підтверджуючи її різносторонність, всеоохопність. Бачимо: в класичній механіці простір, якщо враховувати тільки його однорідність, має симетрію скаляра. Цей висновок не заперечує і передбачає можливість для простору стискуватись або розширюватись ізотропно. Підтвердженням цього є астрофізичний закон Габбла (1929).

При якомусь повороті замкнутої системи в просторі як цілого механічні властивості її не змінюються, тому момент імпульсу являє собою аксіальний вектор. Із його закону збереження випливає важливий факт: простір не обертається ні по одному з можливих напрямів. Ця обставина, однак, не виключає для нього спроможності бути закрученим, але по всіх напрямах однаково. Таке закручування допускається як за правилом правого, так і за правилом лівого гвинта.

Скалярна природа енергії передбачає одновимірність часу, а векторна природа імпульсу й моменту імпульсу наперед визначає тривимірність простору.

Ізотропія простору прихована навіть у формулі кінетичної енергії рухомого тіла: не залежить від напряму його руху. Тут також прихована незалежність від часу, бо є квадратичною функцією часу.

Закони динаміки на основі уявлень про симетрію простору і закон збереження імпульсу

Перший закон (закон інерції у формулюванні Ньютона). Ізольоване тіло зберігає відносно інерціальних систем відліку стан спокою або рівномірного прямолінійного руху.

Це тому, що для будь-якого тіла, яке не взаємодіє з іншими тілами, завдяки однорідності простору імпульс , де і - відповідно маса і швидкість тіла. Якщо , то тіло перебуває в спокої, якщо , то тіло рухається рівномірно і прямолінійно. Зміна імпульсу тіла відбувається лише в результаті взаємодії з іншими тілами, тобто, коли на нього діє сила, чого не передбачає ІСВ.

Другий закон. Його математичний вигляд . Якщо , то , де - прискорення тіла в однорідному просторі при взаємодії з іншими тілами.

Третій закон. Два тіла взаємодіють між собою з силами, рівними за числовим значенням і протилежними за напрямом. Без сумніву, коли два тіла (їх маси і , а швидкості і ) взаємодіють одне з одним, то зміни їхніх імпульсів рівні, тільки протилежних знаків. Тобто , або , або і , до чого зводиться суть третього закону динаміки. Він є наслідком закону збереження імпульсу, який, у свою чергу, передбачає однорідність простору.

Продемонструвавши універсальність закону збереження імпульсу, ми тим самим наблизилися до певних логічних суперечностей із тими міркуваннями, на підставі яких цей закон було знайдено, тобто з другим і третім законами динаміки (Ньютона). Справді, закони збереження в шкільних підручниках отримують як наслідки законів динаміки, які являються підсумком узагальнення експериментів тільки з обмеженим колом взаємодій (пружними, гравітаційними і кулонівськими). Ці взаємодії не мають місця у мікросвіті (квантовій механіці), описують порівняно неширокий ареал явищ природи. Натомість, закони збереження можна отримати без застосування законів руху, безпосередньо із принципів симетрії, що виходить за межі якихось поодиноких теорій. Відтак видається доцільним знайти загальніші принципи, ніж закони динаміки, з якими були б пов'язані закони збереження.

Такі принципи справді існують. Це принципи симетрії простору-часу. Той факт, що закони збереження нерозривно пов'язані з такими загальними принципами, слугує яскравим підтвердженням їх універсальної значущості. Порушення їх при виконанні якихось експериментів означало б порушення інваріантності відносно переносів у часі, а також переносів і поворотів у просторі, чого ніколи не спостерігалося. Ця обставина разом з поєднанням універсальності засвідчує фундаментальність законів збереження енергії, імпульсу і момента імпульсу. Також фундаментальними мають бути величини, що зберігаються - енергія, імпульс і момент імпульсу.

Для звичайних тіл (наприклад, пружної кулі) ці величини можна подати у вигляді

(ІІІ.8)

або

. (ІІІ.9)

Позаяк величини (ІІІ.8) виражаються через швидкість і координати тіла, то можна подумати, що швидкість і координати виступають у ролі фундаментальних, а не . Проте це не так, бо в квантовій механіці поняття швидкості мікрооб'єктів втрачає зміст, і праві частини рівностей (ІІІ.8) стають непридатними. Обсяг їх застосування обмежується лише макросвітом. Щодо величин (), які зберігаються, то вони мають сенс у обох механіках - класичній і квантовій, але вже не виражаються одна через другу. В силу нерівності Гейзенберга друга рівність із співвідношень (ІІІ.9) не має місця у мікросвіті. Перша рівність у (ІІІ.9) виконується лише в разі мікротіл, що вільно рухаються. Для зв'язаного мікрооб'єкта (електрон в атомі) енергія квантується і не приймає неперервний ланцюг значень. Конкретному енергетичному рівню не можна приписати певне значення імпульсу. Тож квантова механіка надійно дозволяє виявити фундаментальність величин, які зберігаються. Універсальність законів збереження переконує нас у тому, що величини, які зберігаються, застосовуються повсюдно.

Тому область застосування законів збереження так само широка, як і область застосування відповідних їм принципів інваріантності, хоча в макросвіті їх можна добути із законів динаміки. Ці останні мають обмежений простір дії, зокрема у мікросвіті, де принципи симетрії і закони збереження проявляють себе в усій повноті, виразно і чітко. Закони збереження тут зовсім не пов'язанні з механікою Ньютона, можливості якої обмежені переважно макросвітом. Щодо самої симетрії, то як вже згадувалося, вона лежить в основі законів природи, виражає те загальне, що властиве усім предметам і явищам. Якщо закони природи керують явищами, то принципи симетрії дають змогу передбачити закони природи, виражаючи спільне, що властиве різним явищам. Вони не просто діють навколо нас, а й лежать в основі всього. Таких обсягів прояву не фіксують механічні закони збереження. Широкоосяжний метод аналогій у науковому пізнанні макросвіту випливає з принципу симетрії. Відтак зрівнювання законів збереження механіки, про що йшлося вище, з властивостями простору-часу, необґрунтоване, хоча в макросвіті ця різниця проявляється не так різко, як у мікросвіті.

Зроблені висновки випливають із осяжніших теоретичних міркувань, чим є принцип найменшої дії Гамільтона.

Зв'язок однорідності простору та часу із законом збереження імпульсу на підставі принципу Гамільтона

Як зазначав Р.Фейнман, “між законами симетрії і законами збереження існує глибокий зв'язок, але цей зв'язок тримається на принципі мінімуму”. Під ним мають на увазі один із варіаційних принципів механіки - принцип найменшої дії. Він полягає у тому, що у стані рівноваги потенціальна енергія досягає мінімуму. Зв'язок між симетрією і законами збереження базується на варіаційних принципах механіки. Вони, зокрема принцип найменшої дії Гамільтона, виражають загальну тенденцію систем до статичної рівноваги, до упорядкованості, або симетрії.

Наступний розгляд у такій послідовності.

1. Загальні поняття і визначення. Фізична величина дія (S) має розмірність енергії, помноженої на час t. Згідно з Гамільтоном,

де - функція Лагранжа для всіх узагальнених координат і узагальнених швидкостей . Вона дорівнює різниці кінетичної і потенціальної енергій. Серед усіх кінетично можливих переміщень системи з одного стану в близький стан (за той самий час) дійсним буде те, для якого дія найменша. Тому диференціальне рівняння руху системи знаходять з умови . Якщо відома Гамільтона функція Н системи, то S визначають із диференціального рівняння

Вираз для S дається у формі Лагранжа: , де Т - кінетична енергія. З усіх можливих переміщень системи між точками А та В, що здійснюються з однаковою енергією, матиме місце те, для якого S буде найменшою. З цього принципу дістають диференціальне рівняння руху системи.

2. Для ізольованої системи матеріальних точок функції Лагранжа

, (ІІІ.10)

де - потенціальна енергія взаємодії точок системи.

Покажемо, що коли простір однорідний, то дія інваріантна відносно просторових перетворень. Відтак здійснимо зсув дx системи координат XYZ у напрямі осі Ох, знайдемо приріст дії д і прирівняємо його до нуля. Матимемо:

Позаяк (з рівнянь Лагранжа), то

Тут інтервал інтегрування і величина перенесення (зсуву) цілком довільні, тому

звідки

З цієї рівності, врахувавши (ІІІ.10), остаточно отримуємо

Розглядаючи перенесення системи координат у напрямі осей Oх,Oу, дістанемо рівності

Останнім трьом рівностям можна придати векторну форму

Отож, однорідності простору відповідає закон збереження імпульсу.

Закони небесної механіки і принципи інваріантності

Ця швидкість - характеристика руху точки в полі центральних сил, яка свідчить про темпи зростання площі S, яку описує радіус-вектор точки М, що рухається в площині хОу. Характеристикою швидкості зміни в часі площі S є похідна , яку називають секторною швидкістю . Вектору приписують напрям, перпендикулярний до площини орбіти і звернутий у той бік, звідки рух по орбіті видно проти годинникової стрілки, тобто , де - вектор моменту кількості руху. Обчислимо .

Елементарний приріст площі пл.ОММґ=пл.ОМN+пл.МNМґ, де МN - дуга кола радіуса ОN з центром у точці О (рис.101).З точністю до малих другого порядку dS=пл.ОММґ=пл.ОМN=, бо MN=rdц. Відтак секторна швидкість

(ІІІ.11)

Подамо її в декартових координатах. Позаяк

x=rcosц, y=rsіnц,

то

dx=drcosц-rdцsіnц, dy=dsіnц+rdцcosц.

Легко бачити, що

xdy-ydx=r²dц.

Згідно з (ІІІ.10),

,

або остаточно

.

Векторне значення секторної швидкості

,

де - орбітальна (лінійна) швидкість точки.

Рух у центральному силовому полі

Силове поле - це частина простору, в кожній точці якого на тіло діє сила, що залежить від координат розглядуваної точки і часу. Силове поле називається центральним, якщо лінія дії сили, що діє на точку, незмінно проходить через одну й ту саму нерухому точку простору (центр сил).

Рух планети навколо Сонця, рух супутника навколо Землі та ін. - приклади руху матеріальної точки в центральному силовому полі.

Згідно з теоремою про зміну момента імпульсу, маємо:

Права частина цієї рівності дорівнює нулю, бо вектор центральної сили весь час проходить через точку О (центр силового поля), яку можна розглядати як початок координат. Тому



звідки

Помножимо ліву й праву частини цієї рівності скалярно на , дістанемо в лівій частині нуль (згідно з означенням скалярного добутку векторів). Отож

що рівносильне такій рівності:

A_xx+A_yy+A_zz=0,

де A_x,A_yA_z - сталі проекції вектора .

Тож координати x,y,z рухомої точки (планети) задовольняють рівняння площини, що проходить через центр сил (початок координат). Це тому, що в центральному силовому полі відсутні сили, які спричиняють відхилення рухомої точки від площини, що проходить через вектор початкової швидкості і нерухомий центр поля (центральна сила лежить у цій площині). Це твердження тісно пов'язане з однорідністю простору-часу та ізотропністю простору. Остання має безпосереднє відношення до закону збереження моменту імпульсу.

3.Другий закон Кеплера. Нехай прямокутна система координат має початок притягання (силового поля), що збігається з центром притягання, а площина хМу співпадає з площиною орбіти тіла (рис.102). Тоді основне рівняння динаміки можна записати у вигляді

Перемноживши ці два рівняння відповідно на у і х і віднявши перше із другого, маємо

або

Із рис. 59 отримуємо співвідношення , маємо .

Тому

що рівносильне

На підставі (ІІІ.11) і (ІІІ.12) отримуємо остаточно

Отже, площа, описана радіусом-вектором за одиницю часу, є величина стала, що є математичним виразом другого закону Кеплера.

Інваріантність закону всесвітнього тяжіння

Вона проявляється відносно просторових зсувів, про що коротко йшлося в розділі, поворотів у просторі і в симетрії відносно переносів у часі.

Якби закон всесвітнього тяжіння не був інваріантний відносно переміщень і поворотів у просторі, то він строго не виконувався б у різні дні року, чого не спостерігається.

Задача. Довести, що просторове перенесення залишає інваріантним закон всесвітнього тяжіння

.

Розв'язання. Нехай і - положення у полі тяжіння тіл відносно якоїсь точки Галактики - початку системи координат у якийсь момент. У цій системі . Виконавши просторове перенесення, добавимо до векторів і вектор . Матимемо . Бачимо: величина R у формулі закону всесвітнього тяжіння не змінюється. Цей закон інваріантний стосовно просторових переносів. Ця симетрія відносно переносу в просторі свідчить про однорідність простору.

Той факт, що цей закон сталий у часі, свідчить також про інваріантність його стосовно до переносів у часі. Так, учні в школі не задають питання, чи закон Архімеда зараз такий самий, яким він був у ІІІст. до н.е., коли його відкрив Архімед. Обчислення, проведені на підставі закону всесвітнього тяжіння, дають однакові кінцеві підсумки незалежно від того, у який календарний час вони були здійснені: вчора, сьогодні, через рік.

З допомогою закону всесвітнього тяжіння можна отримати всі три закони Кеплера, в чому його універсальність. Ця задача математично досить громіздка, тому ми отримаємо лише третій закон, що не являє порівняно велику складність.

Якщо планета рухається по коловій орбіті, то її доцентрове прискорення

де r - радіус орбіти, а Т - період обертання по колу. Якщо тіло масою m рухається по колу навколо центрального тіла, маса якого М, то відносне прискорення

Тут G - гравітаційна сила.

Позаяк ці прискорення рівні, що зрівнявши їх праві частини, матимемо

Якщо планета рухається по еліпсу, то r=a, де a - велика піввісь орбіти планети, а Т дорівнюватиме періоду обертання тіла по еліпсу. Тому

Для двох тіл масою m і m₂, великі півосі яких , а періоди обертання навколо центральних тіл з масами М₁ і М₂ дорівнюють Т₁ і Т₂, виконуватиметься рівність

Якщо розглядати рух відносно Сонця двох планет (М₁=М₂=М) і врахувати, що m₁<<M₁, m₂<<M₂, то

яку отримав Кеплер із спостережень.

Відмітимо також, що закон всесвітнього тяжіння Ньютона можна вивести із трьох законів Кеплера. Але ця задача ускладнена досить громіздким математичним аналізом і ми її не розглядатимемо.

Закони Кеплера взаємопов'язані з законом всесвітнього тяжіння і математично випливають одні з одних. Щось подібне ми вже спостерігали, аналізуючи співвідношення законів збереження механіки із законами динаміки. Спільним у них є те, що всі вони органічно нерозривно пов'язані із симетрією простору-часу, тобто з однорідністю простору-часу та ізотропічністю простору.

Вже той факт, що у законі всесвітнього тяжіння використовується відстань між будь-якими двома тілами, а не якась цілком конкретна відстань, скажімо, до центру Всесвіту, переконує, що цей закон допускає переноси у просторі. Це саме можна сказати і про електростатичні взаємодії (закон Кулона). Будь-який напрям рівнозначний.

Закон всесвітнього тяжіння - універсальний закон природи, що засвідчує єдність просторово-часової симетрії. Він має аксіоматичний характер, узагальнюючи результати багатьох макродослідів, не зводиться до простіших співвідношень і законів.

Короткі підсумки

Інваріантні властивості простору-часу в макросвіті нероздільні між собою, накладаються одна на одну, взаємопроникають і навіть випливають одна з другої, про що вже мовилося. Закони збереження відбивають повну інваріантність. У макросвіті вони пов'язані з однорідністю та ізотропністю простору, однорідністю часу, але не дублюють їх, не ототожнюються з ними. На рівні механічної форми руху матерії, як частковий випадок, закони збереження однаково добре описують фізичні явища й процеси, за певних умов випливають один з одного однозначно.

За різних умов основну роль відіграють якісь конкретні величини. Вони такі ж фундаментальні, як і закони збереження, які в заданій ситуації проявляються найвиразніше, повніше. Показовим є ось такий приклад. Якщо тіла (скажімо, планета Плутон) далекі від центрів мас, навколо яких вони обертаються (від Сонця), то моменти їх імпульсу , де - відповідно маса, швидкість і відстань до центрів обертання, а - імпульс, залежать лише від їхніх мас і швидкостей, бо r ? const. Тоді із закону збереження моменту імпульсу випливає факт збереження імпульсу: .

З іншого боку, закон збереження імпульсу передбачає незмінність положення центра мас тіл, які взаємодіють. Коли, наприклад, ракета викидає гази назад, вона змушена піднятися вперед так, щоб положення її центра мас не змінилося. Так само переміщення людини в одному напрямі викликає відповідне переміщення човна у протилежному напрямі, причому так, що центр мас цієї системи зберігає стале положення. Складається неймовірно дивна ситуація-збереження положення центра мас тіла (нібито випадкова і малосуттєва обставина) обумовлює закон збереження імпульсу й моменту імпульсу, а ті, в свою чергу, - однорідність та ізотропність простору. Причина й наслідок дивним чином міняються ролями. Чому так?

Справа в тому, що в природі діє багато складних і дуже точних законів різних взаємодій. Але вся їхня різноманітність пройнята деякими загальнішими принципами, які, так чи інакше, містяться в кожному з них. Прикладом таких всеохопних принципів можуть служити деякі властивості симетрії, закони збереження. Але й вони функціонують не ізольовано один від одного, і то лише за певних умов. Якщо якась величина чи властивість зберігається, то це відбувається локально (думка А.Ейнштейна), де умови перебігу фізичних явищ сталі. Це саме можна сказати про просторо-часову симетрію. За різних умов основну роль відіграють якісь певні величини. В.І.Вернадський у 1927 році писав: "Новим у науці стало не виявлення принципу симетрії, а виявлення його загальності." Так, скалярна природа енергії зумовлює одновимірність часу, а векторна природа імпульсу і моменту імпульсу наперед передбачає тривимірність простору.

Тільки у ХХ столітті закони збереження імпульсу і моменту імпульсу вийшли в розряд першочергових (у XVІІ - XVІІІ століттях вони відігравали в науці другорядну роль). Цьому посприяв установлений зв'язок законів з принципами інваріантності. Він незрівнянно посилив позиції обох законів серед інших, де вони посіли провідне становище.

Простір і час - об'єктивні форми існування матерії. Вони нероздільно пов'язані між собою, проявляють себе в єдності всіх форм саморуху матерії. Наслідком відносності і взаємного зв'язку простору й часу, як ми вже бачили, є інваріантність інтервалу s (), хоча треба відмітити: визначити чи установити симетрію часу на підставі геометрії простору (і навпаки) взагалі неможливо.

Будь-який сталий фактор змін у природі викликає адекватне відображення у просторо-часових сутностях. Так, місцеві згустки мас в оточуючому нас світі істотно деформують метрику простору-часу, усуваючи її строгу симетричність. Проте, виявлення нових симетрій у явищах природи завжди проливає світло на глибинні процеси матеріальної першооснови світу. В цих відносностях виражається причинно-наслідкова залежність простору-часу від прихованих внутрішніх процесів і змін матерії. Водночас осягнувши закономірності простору й часу, можна вивчати фізичні явища, встановлювати їх закони, опосередковано виявляти своєрідні неповторні риси самої матеріальної субстанції, не вдаючись до експериментів. Тут симетрія виступає як універсальний теоретичний метод пізнання природи.

У макросвіті домінує гравітаційна взаємодія - помірна й широкомасштабна. Можливості симетрії тут обмежені, не багатогранні, як у мікросвіті, але доступні і зрозумілі. Щодо властивостей симетрії, то у макросвіті, в якому живе людина, вони проявляються чи не найслабше. Характерний приклад: елементарні частинки (електрон, протон, нейтрон та ін.) у мікросвіті на диво всі однакові, тоді як у макросвіті така ідентичність тіл цілком відсутня.

Властивості простору-часу в класичній механіці треба розуміти в сенсі інваріантності функції Лагранжа (чи Гамільтона) відносно зміни початку відліку часу, переносу початку координат і повороту координатних осей.

Задачі і запитання

1. Чи можна визначити положення матеріальної точки відносно простору?

2. Можливо, розвиток механіки від класичної до сучасної квантової - результат змін, викликаних плином часу?

3. Ви продемонстрували незалежність періода коливань математичного маятника від маси й амплітуди коливань. Чи вплине на результати ваших дослідів перенесення маятника з однієї кімнати в другу або той факт, що ці досліди повторили в тій самій кімнаті через тиждень?

4. Припустимо, що увесь Всесвіт - замкнута система. У разі можливості яка буде роль симетрії у такому світі?

5. Змінюється чи не змінюється фізична нерівноцінність різних напрямів від переходу од геоцентричної моделі світу до геліоцентричної? У яких точках цих моделей світу простір ізотропний?

6. Чи можуть внутрішні сили змінити імпульси тіл, що входять у замкнуту систему? повний імпульс системи?

7. Вертоліт нерухомо стоїть на горизонтальній поверхні Землі. Іншим разом він нерухомо парить над Землею на малій висоті. Коли вертоліт діє на Землю з більшою силою?

8. Космонавт вийшов у відкритий космос і втратив будь-який зв'язок з кораблем. Як йому повернутися на корабель?

9. Чи змінить хоча б якусь масу води те, що вниз по річці пливе пароплав?

10. Два тіла рухаються вздовж однієї тієї самої прямої у протилежних напрямах. Їх маси дорівнюють , а модулі швидкостей - відповідно і . Знайти значення швидкості такої системи координат, у якій сумарний імпульс двох тіл дорівнює нулю. У якому напрямі має рухатися така система, якщо маси тіл рівні?

11. Частинка з масою , що рухається з швидкістю м/с зіткнулася з другою частинкою, маса якої кг, а швидкість м/с. Зіткнення абсолютно непружне. Яка швидкість частинки, що заново утворилася?

12. Частинка з масою 1кг рухається так, що її положення в будь-який момент часу t визначається радіусом-вектором . Визначити положення, швидкість, прискорення і кінетичну енергію частинки в момент часу t=1с.

13. Який закон збереження забороняє підняти самого себе за волосся?

14. Що зберігається при: а) пружних взаємодіях тіл; б) непружних взаємодіях тіл - кінетична енергія чи імпульс тіла? Чи одне і друге?

15. Дві частинки з масами m і 2m, імпульси яких і , рухаються у взаємно перпендикулярних напрямах. Після співудару частинки обмінюються імпульсами. Визначити витрату механічної енергії при співударі.

16. Який закон забороняє планеті залишити свою орбіту або змінити кут нахилу осі обертання до площини орбіти?

17. Орбіта планети плоска. Чому?

18. З чим пов'язана стала (для даної широти) закономірність зміни на Землі тривалості дня і ночі упродовж року?

19. Кеплерівський закон збереження площ S і пов'язаний з ним закон збереження моменту імпульсу . Який з них містить більшу наукову інформацію? Відповідь обґрунтувати.

20. Чому дорівнює кут між векторами орбітального моменту імпульсу і власним, що виникає внаслідок її обертання навколо осі?

21. Простежте, як змінюються кінетична W_k, потенціальна W_п і повна механічна W енергії планети під час руху по еліптичній орбіті.

22. Радіус орбіти одного із супутників Юпітера R₁=4,22·10⁵км і має період обертання Т₁=1,77дб. У скільки разів маса Юпітера М_ю більша за масу Землі М_З. Відомо, що Місяць рухається по орбіті радіуса R₂=3,8·10⁵км з періодом Т₂=27,3дб.

23. Уявимо собі, що маса Землі М_З збільшилась і стала рівною масі Сонця М_С, а відстань між ними залишилася попередньою. Як змінилася б тоді тривалість земного року Т_З?

24. Снаряд вилетів із гармати з першою космічною швидкістю під кутом до горизонту. Яка траєкторія руху снаряда?

25. Тіло з відстані а, що дорівнює радіусу земної орбіти, падає на Сонце. Скільки часу t триватиме падіння?

26. Знайти повну механічну енергію W планети та її швидкості і в афелії і перигелії. Велика піввісь еліптичної орбіти планети а, екценриситет е, маса Сонця М? і маса планети m.

27. Довести, що орбіти всіх планет, у яких на одиницю маси припадає однакова енергія , відповідають рівним періодам Т обертання. Вважати, що m<<М?.

28. Матеріальна точка рівномірно рухається по колу під дією декількох сил. Чому дорівнює векторна сума діючих на точку сил? Її маса, кутова швидкість і радіус колової орбіти мають відповідно значення m,щ,R.

29. Два тіла різної маси падають без опору повітря. Чи мають вони, строго кажучи, однакові прискорення відносно поверхні Землі?

30. Ви розглядаєте однорідний кульовий шар і суцільну кулю. Як вони притягують зовнішню точку? А якщо точка перебуває в центрі кулі?

31. Яка напруженість поля тяжіння планети в її центрі?

32. Вздовж діаметра Землі прокопали шахту. Тіло падає в шахту зі стану спокою. Яку швидкість v матиме тіло в центрі Землі, вважаючи її однорідною?

33. При якому періоді обертання Т Землі навколо своєї осі тіла на екваторі стали б невагомими? Чи зберігатиметься невагомість, якщо тіла переміщати вздовж меридіана до полюсів Землі?

34. Сила тяжіння на якійсь географічні широті надає всім тілам, що вільно падають біля поверхні Землі, незалежно від їх маси одне й те саме прискорення g?9,8м/с². Чому так?

35. Визначити мінімальний період обертання супутника нейтронної зорі, якщо її густина с=10¹⁷кг/м³.

36. ШСЗ запущено з екватора. Він рухається по коловій орбіті в площині екватора в напрямі обертання Землі. Радіус орбіти супутника 3R, де R=6400км - радіус Землі. За який час Т супутник здійснить перший оберт навколо Землі?

37. Між ядром і кожним електроном в атомі діє закон Кулона - сила притягання обернено пропорційна квадрату відстані між частинками. Така система нагадує Сонячну систему: більша маса в центрі, закон притягання по обернених квадратах відстані. Чому атоми не побудовані подібно до Сонячної системи?

38. Якщо планетні системи біля зір підпорядковуються закону всесвітнього тяжіння, то чому розташування їх не таке саме, як у Сонячній системі?

39. Розміри атомів певної речовини однакові за розміром у цілому світі. Яка закономірність симетрії проявляється у цьому факті?

40. Фізика Арістотеля заперечувала дію на відстані. Вона визнавала реальною тільки ту дію, яка відбувається від безпосереднього контакту між тілами. Спростуйте таку точку зору.

Відповіді до задач і запитань та вказівки до розв'язання

1. Ні. Для цього потрібне тіло відліку, бо простір однорідний та ізотропний.

2. Ні. Це природний історичний процес розвитку науки.

3. Ні. Це стає зрозумілим з однорідності простору й часу.

4. У замкнутому світі всі властивості симетрії стануть самоочевидними, водночас позбавленими змісту. Це тому, що говорити про переноси й повороти системи тіл можна тільки по відношенні якихось інших тіл поза системою.

5. Ні. В обох випадках простір неізотропний. Ізотропний лише в центрі Землі і Сонця.

6. Так. Ні.

7. В обох випадках сила стала.

8. Треба викинути якийсь предмет у напрямі, протилежному до руху корабля.

9. Ні, бо імпульс, який отримує вода, яку відкидає гвинт пароплава назад при рівномірному русі, дорівнює імпульсу, що набуває вода, яку штовхає корпус пароплава вперед.

10. . Це наслідок рівності . У напрямі тіла з більшою за модулем швидкістю.

11. .

12. , м/с, м/с², Дж.

13. Закон збереження імпульсу.

14. У разі а) зберігається кінетична енергія та імпульс; у разі б) - лише імпульс.

15. Q=3р²/16m.

16. Закон збереження моменту імпульсу.

17. Бо напрям зберігається.

18. Із законом збереження власного моменту імпульсу Землі.

19. Закон збереження , бо визначає, крім значення S, і напрям цієї величини в просторі.

20. 23⁰5?.

21. При русі до перигелію W_к зростає і в перигелії максимальна, W_р при цьому спадає до мінімуму. Повна енергія W планети стала. При русі до афелію, навпаки: W_к зменшується, W_р зростає, але W=const.

22. .

23. Т_З=0,7 року. Вказівка. Використати третій узагальнений закон Кеплера, враховуючи, що велика піввісь відносної орбіти Землі навколо Сонця дорівнює сумі великих півосей орбіт руху Землі і Сонця відносно центра мас.

24. Еліптична.

25. Падіння тіла на Сонце будемо розглядати як граничний випадок обертання навколо Сонця по дуже витягнутому еліпсу, велика вісь якого дещо більша за радіус а орбіти Землі. Такий еліпс опише тіло з масою М?, де М? - маса Сонця, у просторі на відстані а від центра, якщо його кинути із швидкістю v?0 у напрямі, перпендикулярному до прямої, що містить а. При v>0 велика вісь еліпса становитиме а, і еліпс витягнеться у пряму. Якщо а вимірювати в астрономічних одиницях, а періоди обертання Землі і тіла в роках, то час падіння тіла на Сонце дб.

26. Позаяк повна механічна енергія планети залишається сталою упродовж обертання навколо Сонця, то виконуються рівності

У цій системі рівнянь - середня швидкість планети ( Т - період обертання планети). Тут враховано, що потенціальна енергія (як енергія притягання) від'ємна. Очевидно, , звідки . Підставивши вираз , отримаємо .

дістанемо із рівності , де афелійна відстань r_A=a(1+e).

Тож і .

Подібним чином з рівності , де перифелійна відстань , знаходимо і .

27. Так як і (див. попередню задачу), то , тобто . Отож, період Т залежатиме від величини .

28. .

29. Ні. У масивнішого тіла чисельно більше прискорення.

30. Так, нібито їх маса зосередилася в центрі. Внутрішню точку кульовий шар не притягує.

31. 0

32. ?7,9 км/с - перша космічна швидкість.

33 . Ні, вага тіла зростатиме від до , де G - гравітаційна стала, m - маса тіла, М - маса Землі, R_n - полюсний радіус Землі.

34. Бо інертна маса тіла, що фігурує в рівнянні руху, і гравітаційна маса в законі всесвітнього тяжіння дорівнюють одна одній.

35. 1,19·10^-3с.

36. , де Т₃=24год. - період обертання Землі навколо осі, - колова швидкість супутника на відстані 3R від центра Землі ( - прискорення тіл у вільному падінні біля поверхні Землі)).

37. Розташування планет зумовлене не загальними законами механіки, а їх походженням, тобто початковими умовами творення планетних систем.

38. Планетна система іншої зорі зовсім не повинна копіювати нашу, бо тут (див. попередню задачу) визначальним є ґенеза планет, зокрема, розташування речовини у початковій стадії конденсації планет, розподіл її швидкостей.

39. Неінваріантність фізичних законів відносно змін масштабу. Розмір атома - межа, коли дія законів класичної механіки замінюється дією законів квантової механіки.

40. Категоричним запереченням є далекодія. Бо як тоді пояснити, скажімо, явища припливів і відпливів у океані, що викликаються місячним притяганням (також обертанням планет навколо зір)?

Размещено на Allbest.ru

...