Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Світ симетрії

О.Ф. Новак, І.В. Трошин

Анотація

У переважно доступній формі розглядаються основні ідеї математичної та фізичної симетрії, що лежать в основі сучасного наукового світорозуміння.

Теоретичні положення проілюстровано багатьма прикладами, задачами та малюнками з природи.

Книга викличе інтерес у широкого кола читачів, зокрема учнів старших класів, учителів і методистів середніх загальноосвітніх шкіл та студентів і викладачів вищих навчальних закладів фізико-математичного й природничого профілів.

Передмова

Пропонована читачу книга стосується симетрії - одного з широкомасштабних провідних принципів сучасного природознавства. Симетрія - це загальна закономірність природи, метод пізнання її, в добу сучасності симетрія прискорює науково-технічний прогрес, є його каталізатором.

Зміст книги розширить наукове розуміння учнями природи і ролі методів у пізнанні світу, посприяє глибшому засвоєнню матеріалу з фізики й математики, особливо тих розділів, що пов'язані з симетрією. Учні вчитимуться знаходити зв'язок між явищами, передбачати їх перебіг, керувати ходом перетворень у теоретичному аналізі та узагальненнях.

Перевага скрізь надається симетрії фізико-природничого циклу шкільних предметів, бо математична симетрія у сучасній науково-методичній літературі опрацьована повніше. Хоча і математичній симетрії також приділено належну увагу.

Книга містить п'ять розділів. У першому розділі представлена сукупність типових рис та ідей, що характеризують симетрію як науку, застосування її у математиці (переважно в геометрії). Також розглядається низка задач з фізики та біології, розв'язання яких пов'язані з геометричною симетрією. Другий розділ демонструє визначальну роль і можливості симетрії у складних теоретичних дослідженнях, зокрема, в теорії відносності та електродинаміці. Третій - приурочений принципам часу-простору макросвіту. Цей матеріал у середніх загальноосвітніх школах може використовуватися тільки вибірково. Це тому, що частина його вимагає знань математики, що виходять за межі шкільних програм. Тут розкривається глибокий внутрішній зв'язок між властивостями простору і часу та законами збереження механіки, законами динаміки і руху планет. Зміст розділу складе інтерес учителям, студентам і викладачам вищих навчальних закладів. Четвертий та п'ятий розділи присвячені проблемам симетрії мікро - і мегасвіту.

Більшість теоретичних положень симетрії проілюстровано численними задачами з фізики, математики, астрономії, хімії і навіть біології. Також багатьма рисунками, що унаочнюють і роблять доступними складніші поняття і теорії. В кінці кожного розділу дано серію задач і якісно-теоретичних запитань, розв'язання яких розширює і закріплює розуміння теорії читачем. Фігурування великої кількості задач - відмінна ознака книги, її характерна риса. Складніші та типовіші з них розв'язані в тексті книги, а простіші рекомендуються для самостійного розв'язання. До всіх задач даються відповіді, а часто вказівки й розв'язки. Основна увага скрізь приділяється принциповим питанням, пов'язаним із застосуванням законів симетрії. Більшість задач оригінальні, складені авторами, інша частина взята з різних розкиданих видань. Частину їх можна розв'язувати усно.

Автори свідомо не захоплюються надміру математичним трактуванням законів симетрії, наближаючи зміст книги до рівня середньоосвітніх шкіл. У більшості задач відсутні громіздкі числові дані, які поступаються логіці мислення, що випливає із симетрії. Автори також обходять ті теоретичні та методичні питання, які на сьогодні в науці мають незавершений дискутивний характер.

Варто учнів ознайомлювати з основними принципами симетрії, особливо в процесі вивчення фізики. Це дасть можливість їм глибше і ширше сприймати і усвідомлювати фізичні закони і явища, формулювати уявлення про перехід у певному порядку від вищого до нищого елементів цілого, розташування його частин. Чіткі уявлення про симетрію сприяють гуманітаризації шкільного навчання.

Учнів, передусім, доцільно знайомити з такими структурними елементами симетрії, як інваріантність, група перетворень і група симетрій: геометричні, динамічні, глобальні і місцеві. Вони тоді усвідомленіше розумітимуть прояви симетрії у змісті фізики. Симетрія - одна з методологічних ідей, які об'єднують воєдино всі науки про природу.

Уявлення про симетрію бажано вводити в зміст контрольних робіт і усних запитань при повторенні та закріпленні навчального матеріалу.

Вивчення питань симетрії дозволить учням осягнути ієрархію в побудові фізичних знань, роль симетрії в уніфікації наукової теорії і методу у вивченні мікросвіту. Ці ідеї формулюють в учнів сучасну картину світу.

Частину теоретичного матеріалу й задач вчитель може використати на гуртках, факультативах, семінарах і в системі малих академій наук.

Книга невелика за об'ємом, тому автори далекі від думки, що вона повністю вирішує поставлену тут широку мету. Відтак завчасно виражають щиру вдячність усім читачам, які надішлють свої критичні зауваги та рекомендації.

Загальні положення

Симетричним називають об'єкт, який можна певним чином змінювати, дістаючи як наслідок те, з чого починали. Сучасне уявлення про симетрію передбачає незмінність об'єкта щодо будь-яких перетворень, які виконуються над ним.

Симетрія виражає дещо спільне, що властиве різним об'єктам і явищам. Різноманітні прояви її у природі мають глибокі фізичні причини. Це, зокрема: закономірності сил взаємодії між частинками, перервний характер речовини, тяжіння частинок до ущільнення як до урівноваженішого стану, коли їхня внутрішня енергія найменша.

У природі зустрічаються безліч симетричних об'єктів, також творіння людських рук часто мають симетричну форму. Симетричним є тіло людини й тварини. Ця властивість проявляється у регулярній зміні дня і ночі, пір року. Правильна, симетрична форма кристалів пояснюється симетричним розташуванням атомів. Воно зумовлене здатністю атомів самостійно укладатися в стрункому порядку.

У найзагальнішому розумінні симетрія пов'язана з правильністю форми, пропорційністю, періодичністю, упорядкованістю та інваріантністю (незмінністю) властивостей предметів і явищ відповідно до певних перетворень. Вона суперечить хаосу й безладдю. Це врівноваженість, упорядкованість, краса, довершеність, утім, і доцільність.

Роздумуючи над світобудовою, стародавні греки вважали, що Всесвіт симетричний. Це просто тому, що симетрія прекрасна. На підставі цих міркувань Піфагор (V ст. до н.е.) робив висновок про сферичність Землі та її рух по сфері (сфера, на його думку, найсиметричніша й найдосконаліша формою). Земля, Місяць, Сонце, зірки й шість відомих тоді планет, згідно з Піфагором, рухаються по сфері навколо якогось «центрального вогню».

Термін «симетрія» грецькою мовою означає «сумірність, пропорційність, однаковість у розташуванні частин».

Під симетрією у математиці розуміють принцип, з допомогою якого з множини фігур, рівнянь та інших об'єктів виділяється підмножина цих об'єктів, що не змінюються при певних перетвореннях. Розмежовують симетрію тіл (центральну - відносно точки, осьову - відносно прямої і площини - відносно площини), симетрію властивостей і симетрію відношень. Іншими словами, це симетрія положень, форм і структур.

У фізиці під симетрією розуміють наявність у об'єктах, процесах і явищах таких ознак і характеристик, які стосовно певних перетворень (у найпростіших випадках змін координат, напрямів; у складніших - перетворень Лоренца) залишаються незмінними. Якщо внаслідок якихось перетворень об'єкт переходить сам у себе, то об'єкт називається симетричним, а саме перетворення - перетворенням симетрії. Ознакою симетрії є також регулярне повторення деякого структурного елемента цілого, як це буває в кристалах, або закономірне розташування однакових розмірів частин системи тощо.

Фізики мають справу зі симетрією явищ і законів природи. Вона полягає в незмінності фізичних закономірностей при визначених перетвореннях (наприклад, координат чи якихось параметрів системи). Тип симетрії фізичної величини або об'єкта залежить від того, чим вони описуються: скалярами чи векторами. Якщо векторами, то якими саме: полярними (їх напрями випливають із природи самої величини, а тому лишаються інваріантними при зміні системи координат (наприклад, вектор переміщення)) чи аксіальними (напрями визначаються за домовленістю і змінюються від заміни правої системи координат на ліву; наприклад, вектор моменту імпульсу).

Операції симетрії в найпростіших випадках - це дзеркальні площини та осі повороту. В першому разі будь-які дві точки, що лежать на одному перпендикулярі до площини, рівновіддалені від неї. В другому - завдяки поворотам відносно якоїсь осі на сталий кут тіло можна кілька разів сумістити. Від типу симетрії, що визначається операціями симетрії, залежить ізотропія - незалежність фізичних властивостей фізичних об'єктів (теплопровідність, електропровідність, пружність тощо) від напряму або анізотропія предмета чи явища (залежність фізичних властивостей речовини або тіла від напряму).

Тож симетрія у суті фізичного світу, що веде до симетрії зовнішньої, повинна бути відбитою у відомих нам законах і теоріях фізики.

Досліджуючи невідомий об'єкт (явище), насамперед потрібно виявити фактори, що зберігаються за тих чи інших перетворень, які залишають без зміни структурні співвідношення. Так, кристали класифікуються за типом симетрії кристалічної решітки, за властивостями міжатомних сил зв'язку, за електричними та іншими особливостями. Атоми класифікують на основі спільностей і відмінностей у структурі їх спектрів випромінювання.

Німецький математик Г. Вейль помітив, „якщо умови, що однозначно визначають якийсь ефект, мають деяку симетрію, то й наслідки їх дії виявляють ту саму симетрію”.

Роль симетрії у науковому пізнанні світу

У вивченні природничих наук, зокрема фізики й математики, симетрія має особливе значення, будучи дороговказною ниткою в осяганні структури світу. Виявлення симетрії у природі і розуміння наслідків, що випливають із них, - одне з найбільших досягнень наукового світогляду ХХ ст. Симетрія дає можливість проникати в глибини сучасного природознавства, зрозуміти характер нинішнього наукового мислення, його основи.

Міркування симетрії у вивченні природи часто дають змогу обійтися без громіздких математичних формул, складних обчислень і уникати при цьому вульгаризації науки. Поняття симетрії дозволяє глибоко проникнути у суть важливих положень фізики і Всесвіту, встановити характер об'єктивної залежності між різними фізичними величинами. Багато симетричних теорій і принципів є передмовами для висновків й узагальнень інших наук. Так, механіка ХХ ст. як наука, починаючи з формулювання відомої теорії Е.Нетер ( 1918 ), розвивалася під благотворним впливом ідей симетрії світу, певним чином зазнаючи її стимулювання. Симетрія засвідчила, що всі явища в природі перебувають у нерозривному зв'язку одні з одними, не виступають розрізнено. Так, фізичний зміст законів збереження полягає в тому, що кожному з них відповідає певний вид симетрії в природі. Наука про природу на кожному історичному етапі розвитку дає наближений знімок дійсності. Але ці знімки з часом покращуються і повніше відбивають об'єктивні властивості світу, все тонкіше розкриваючи приховані види руху матерії, особливо зараз. Це спосіб уніфікації знань про об'єктивну реальність.

Вивчаючи природу, людство пізнає різні фізичні закони, одні з яких стосуються тільки певного кола явищ, наприклад механічних, електричних чи оптичних, інші ж являються універсальними, загальними для всіх фізичних явищ. Одним із таких узагальнених законів і методів є симетрія. Виявляється, що часто одних лише міркувань симетрії досить, щоб цілком розв'язувати складні наукові проблеми. Тож симетрія - це лаконізм, дохідливість, образність, одне з джерел знання природи, основа більшості її речей.

Ідеї симетрії - притаманний науці шлях до розширення її знань про навколишній світ, це знаряддя, з допомогою якого вдається у строкатості фізичних явищ вияснити основні структури, звести різноманітність фізичного світу до кількох десятків фундаментальних формул і законів. Тобто завжди діє в напрямі зменшення кількості можливих варіантів. З ідей симетрії випливає, зокрема, такий потужний нетрадиційний спосіб пізнання фізичних закономірностей і явищ, як метод аналогій і моделей. Цим вчення про симетрію відкриває у науку майбутнього великі перспективи, дає змогу прогнозувати природні явища й процеси, керувати ходом їх змін.

Будь-яка наукова класифікація часто ґрунтується на виявленні властивостей симетрії об'єктів, які конче потрібно класифікувати. При цьому в об'єктах чи явищах намагаються знайти спільні ознаки й властивості, які зберігаються за певних перетворень. Зразком цього твердження може бути таблиця хімічних елементів Менделєєва, де від періоду до періоду в одному стовпці спостерігається спільність властивостей елементів. Характер їх зміни в межах періоду є однаковий для різних періодів.

Застосовуючи принцип симетрії під час розробки наукових класифікацій структурних досліджень, роблять наукові передбачення. Наприклад, Менделєєв передбачив цілий ряд нових, ще не відкритих хімічних елементів. Діючи за такою самою схемою, вчені формулюють нові, загальніші, ніж відомі досі, закони природи, розширюючи цим наукову картину світу.

Симетрія знаходить порядок у хаосі і природному безладді. Це один із шляхів розв'язання низки обтяжених самою природою проблем сучасної, зокрема, фізики, один із найфундаментальніших принципів наукового пізнання світу, одне з найширших понять практики. Мало не надприродні утаємничені начала багатьох реальних закономірностей унаочнюються завдяки симетрії. Зараз навіть стало можливим розкриття ролі симетрії у структурі і функціонуванні молекул життя ДНК і РНК (див. нижче). Також знімається гриф засекреченості з багатьох проблем причинності і структури матерії - кристалографія.

Проте не варто абсолютизувати методи симетрії, визнавати їх вічними й незмінними. Кожен наступний поступ науки уточнює їх, розширює і поглиблює, перетворює зміст понять. У цьому сенс діалектики.

Єдність симетрії і асиметрії

Асиметрія - це відсутність або порушення симетрії.

Симетрія виражає щось загальне, що властиве різним об'єктам і явищам, вона пов'язана із структурою, лежить у самій основі речей. Навпаки, асиметрія виражає індивідуальність, вона зв'язана з втіленням структури в тому чи іншому конкретному об'єкті (явищі). Симетрія - спільне, а асиметрія - часткове.

Можна сказати, що еволюція світу відбувається коливально, хвилеподібно, нібито маятниковим ходом від симетрії до асиметрії і навпаки. Симетричні системи мають меншу енергією, ніж асиметричні, і тому більше стійкі. Відтак, втрачаючи енергію, асиметрична система прямує до симетрії, а симетричне тіло під впливом інших тіл, за рахунок їх енергії, в свою чергу, переходить у асиметричний стан. Перехід з одного стану в другий можна записати в загальному виді: А=В+С, де А - асиметричний стан, В - всі види полів взаємодії, С - симетричний стан. Світ, що періодично гасне - симетрія, періодично спалахує - асиметрія. Треба сказати, що абсолютної асиметрії, так само як і абсолютної симетрії, у природі немає. Існує відносна симетрія і асиметрія. Їх діалектична єдність означає поєднання збереження і змінювання.

Жива природа побудована з рухомих органічних молекул, тому вона асиметрична, не стійка й вічно прямує до симетрії, до стійкості, до смерті. В цьому й проявляється, по суті, життя.

Життя - це не просто форма існування білкових тіл. Це тому, що життя - процес дуже складний, у якому беруть участь інші, не менш важливі класи сполук, у тому числі мінеральні, неорганічні. Амінокислоти, зокрема, в білках асиметричні. Життя на планеті появляється у воді і являється формою прояву асиметрії.

Для збереження спадкової інформації ДНК не змінює своїх складових частин. Її макромолекула настільки симетрична і стійка, що може зберігати ці властивості навіть в умовах космосу. Інша справа у РНК. Тож остання може з'явитися лише в планетних умовах. Тільки внаслідок її асиметричної одноланцюгової форми можливі зміни, тобто мутації, чим призводять до процесу еволюції. Асиметрія РНК підтримується асиметричними планетарними умовами.

Їжа, крім енергії, дає організму людини будівельний матеріал. Для здоров'я треба берегти асиметрію процесів у організмі - ознаку життя, тренувати волю, загартовуватися. Доцільно вранці пити чай, а ввечері - молочні продукти, найчастіше вживати напіврідкі страви.

Сферична будова ДНК (високий рівень симетрії) дає підстави вважати, що у Всесвіті можлива пансперма. Це дає підстави для гіпотези про занесення зародків живих істот на Землю з космосу, яка проте не вирішує проблему походження життя у Всесвіті: невідомим залишається питання - як, де і коли виник первісний осередок життя.

Першопоштовхом будь-якої хімічної і біологічної взаємодії є тенденція відійти від високоенергетичної асиметрії до низькоенергетичної симетрії поетапно зі збільшенням агрегатних станів на кожному наступному етапі.

Щоб зберегти природу та її довкілля, потрібно спиратися на якісь фундаментальні уявлення, якими можуть бути зв'язки симетрії і асиметрії. Вони настільки широкі і ємнісні, що справді охоплюють усі процеси і явища навколишнього світу. Це ще раз підтверджує той факт, що поняття симетрії - одне з найзагальніших понять науки й практики.

Систематика знань про навколишній світ повинна триматися на обґрунтованих уявленнях. Відтворити переконливу картину природи на цій базі намагалися і намагаються багато хто. Створені вже систематики, наприклад система елементів Менделєєва або еволюційна теорія Дарвіна, дозволили вченим різко просунутися вперед у пізнанні світу. Але це ще не загальна систематика еволюції матерії, яка може визначити той напрям розвитку цивілізації, який дозволив би її неухильний прогрес і уникнути самознищення. Сьогодні у загальній систематиці обирають фундаментальний зв'язок симетрії і асиметрії. У своєму взаємозв'язку вони здатні охопити всі процеси і явища матеріального світу.

Незважаючи на різні шляхи творення планет, стимулюючим фактором їх виникнення і розвитку були основні закони еволюції матерії, тобто ті закони, які пов'язані з проявами симетрії та асиметрії. Так, число планет - гігантів, як і планет типу Землі, дорівнює чотирьом унаслідок симетрії такої конфігурації.

Інваріанти (величини, співвідношення, властивості тощо, які пов'язані з деяким математичним об'єктом і не змінюються при його певних змінах), так само як і перетворення, можуть бути різними. Зокрема, геометричними (збереження форми відносно геометричних перетворень), фізичними (заміна, наприклад, додатного заряду від'ємним), біологічними (збереження біологічних властивостей при переході від одного покоління до другого) тощо.

Мова науки про природу - математика

Потребу математизації вивчення природи, зокрема фізичного й виробничо-технічного знання, найпроникливіші вчені відчували з давніх-давен. Без високо розвинутого логічного й обчислювального апарату математики з її сучасною символікою неможливо уявити успішного розвитку науки про природу, яка, користуючись математикою, досягає досконалості. Усі її теоретичні положення зараз набувають обрисів, характерних для математичних теорій. Відбувається певна формалізація науки в цілому, коли вся термінологія якоїсь теорії замінюється символікою, а всі змістові твердження - відповідними їм послідовностями символів, або формулами.

Сьогодні математика - мова науки. Жива розмовна мова у наш час - неспрможна для розвитку науково-технічного прогресу. Мова математики (формули, графіки, цифровий матеріал, креслення тощо) не допускає двозначності у тлумаченні, зручніша й економніша, не громіздка, зрозуміла для всіх фахівців світу.

Чіткою і лаконічною є також мова хімічних символів, проте вона обмежена однією лише наукою - хімією. Мова математики універсальніша, дозволяє виконувати математичні дії, спрощує записи інформації, водночас сама являючись однією з наук.

У сьогоденні виникла нова форма мови, пов'язана з обчислювальною технікою (ЕОМ), яка застосовується для управління виробничими процесами, інформаційними системами, лініями зв'язку, для організації економічних задач. Для ЕОМ опрацьовано кілька форм мови, але всі вони якось пов'язані з математикою. Математика - це метод вираження думок, системи дій, це своєрідне швидкісне абсолютно точне письмо, фіксація абстрактної думки, де відсутні неточності і розпливчастість тлумачення написаного. Математична схема дає фізикам змогу передбачати результати наступних експериментів.

Певна закономірність чи процес або явище, що вивчаються математичними засобами, починається з побудови відповідної їм математичної моделі. Тут спливають на поверхню їх найістотніші риси та властивості, що описуються математичними співвідношеннями. Математика - це не тільки інструмент виконання розрахунків, а й надійний спосіб пізнання законів матеріального світу, розкриття впорядкованого зв'язку ідей.

Фізичні теорії повинні бути кількісними. Вони стають завершеними, якщо виражені мовою математичних формул. Їх добувають, розв'язуючи основні рівняння теорії.

Математичні моделі допомагають вивчати таку загальну закономірність навколишнього світу, як симетрія. Вона посилює проникнення людської думки в глибинні таємниці природи, допомагає осмислювати її закони, часто неочевидні і ускладнені.

У сучасній фізиці симетрія має досить абстрактний характер, далека від наочності, бо надміру прихована в математичному апараті.

Симетрія в математиці (геометрії)

В основі будь-якої фізичної теорії лежить свій принцип відносності. Він вимагає інваріантності теорії відносно якоїсь групи симетрії, яка виражає властивості симетрії простору-часу, загальної (глобальної) у застосуванні. Тому геометричні принципи симетрії переважно формулюються в термінах простору і часу.

Найочевиднішими і найпростішими в математиці є геометричні перетворення і пов'язана з ними геометрична симетрія, яка зосереджує увагу на проблемах, що випливають із симетрії простору. Це переважно описання симетрії геометричних фігур скінченних розмірів.

Під геометричним перетворенням симетрії розуміють тільки взаємно-однозначні перетворення фігур. При перетворенні фігури F у фігуру : кожній точці фігури F відповідає певна точка фігури ; кожна точка фігури відповідає певній точці F. Найпоширенішими є такі геометричні перетворення: симетрія відносно точки, або центральна симетрія; симетрія відносно прямої (осьова симетрія) і площини, поворот, паралельна перенесення (трансляція), гомотетія і подібність.

Численні об'єкти реального світу мають так званий центр симетрії. Вони центральносиметричні. Найпоширеніші серед них є квадрат, прямокутник, правильний многокутник, коло, куб, куля. Центр симетрії у них збігається з центром фігури. Геометрична фігура F називається центрально-симетричною, якщо існує виокремлена точка 0, відносно якої можна здійснити відображення кожної точки Х фігури F у таку точку цієї самої фігури, яка розміщена на прямій ОХ на відстані , що дорівнює ОХ.

У довкіллі існує багато об'єктів, які не є центральносиметричними. Це піраміда, конус, молекула метану СН₄, різні види кристалів тощо.

Нехай і - дві взаємно симетричні точки деякої площини відносно точки . Оскільки середина відрізка , то , , звідки

Це так звані координатні формули симетрії відносно точки. Якщо центр симетрії збігається з початком координат , то

.

Із знайдених співвідношень видно, що центр симетрії може слугувати початком системи координат для найзручнішої центральної симетрії. Геометричні перетворення часто значно спрощуються, якщо застосовуються координатні записи.

Проілюструємо сказане такою задачею.

Задача. Знайти положення центра мас однорідного диска радіусом R із якого вирізано отвір радіусом (рис. 1).

Розв'язання. Диск з вирізом формально можна розглядати як суцільний диск маси m, на який накладено диск радіусом r, що має від'ємну масу - m₁, рівну за модулем масі вирізаної частини. Із міркувань симетрії очевидно, що центр мас диска (точка С на рис. 1) лежить на продовженні прямої АО, що сполучає центри вирізу й диска. Рівність моментів сил тяжіння, що діють на додатну й від'ємну маси відносно осі, що проходить через точку С (перпендикулярно до поверхні диска), дає (х = ОС)

,

де m - маса суцільного диска, g - модуль прискорення вільного падіння тіл.

Враховуючи, що і , де - маса одиниці площі диска, отримуємо , звідки знаходимо .

Ідеї геометричної симетрії проливають світло на низку фізичних закономірностей і властивостей. Ось деякі з них.

Як відомо, електричне поле зарядженої сфери строго центральносиметричне. Це тому, що поверхнева густина заряду в кожній точці сфери однакова, бо в противному разі заряди переміщувалися б по поверхні - існував би електричний струм, чого не спостерігається. Тому силові лінії поля перпендикулярні до поверхні сфери, а в її середині електричне поле відсутнє. Якби воно існувало, то його силові лінії були б радіальними прямими, які починаються або закінчуються в центрі сфери. Це можливе за умов, що там розташований додатній або від'ємний заряди (силові лінії починаються і закінчуються на зарядах або прямують у безмежність). Позаяк в центрі сфери таких зарядів немає, то всередині її електричне поле відсутнє.

Щоб уточнити розподіл електронів у атомі, в квантовій механіці користуються моделлю електронної хмаринки: чим більша ймовірність знайти електрон у даній області, тим густіша там хмаринка. Атоми після об'єднання в молекулу мають спільні електронні хмаринки, які пов'язують одне до одного кілька атомних ядер.

Від симетрії кристала залежать і його властивості. Наявність чи відсутність центра симетрії в кристалі впливає не тільки на його форму, але й на його фізичні властивості. На прямих, що проходять через центр симетрії, на рівних відстанях від нього по обидва боки розташовані пари однакових (еквівалентних) атомів. Таке розміщення впливає на фізичні властивості кристалів. Так, кристали турмаліну чи сегнетової солі безпосередньо перетворюють теплову енергію на електричну (піроелектричний ефект). Ці кристали не можуть бути центральносиметричними (вони рідко зустрічаються в природі). Чому так? Справа в тому, що в центральносиметричному кристалі кожній його грані відповідає рівна й обернена паралельна грань. На прямих, що проходять через центр симетрії, на рівних відстанях від нього обабіч містилися б (на гранях) пари однакових іонів (додатних чи від'ємних). Тоді додатний заряд ставав би від'ємним і навпаки. За зміненого таким чином характеру поля електричний струм не виникав би (електричне поле в кристалі не було б полярним). Електричні заряди в центральносиметричних кристалах виникати не можуть. Отож, наявність чи відсутність центра симетрії в кристалі визначає не тільки його форму, але й фізичні властивості.

Все сказане стосовно піроелектричного ефекту стосується також п'єзоелектричного ефекту - появи електричних зарядів протилежного знака на поверхні деяких кристалів при їх деформації (стиску чи розтягу). Всі ці кристали позбавлені центра симетрії. Можливий також зворотний ефект: форма кристала змінюється від дії електричного поля. Це дає можливість стабілізувати частоту зміненого електричного поля, що застосовується в радіотехніці і службі часу, генерувати ультразвукові коливання для медичних і технічних потреб.

Дзеркальна (білатеріальна) симетрія

Тут кожній точці об'єкта відповідає певна точка задзеркального двійника. Ці точки належать прямій, перпендикулярній до дзеркала МН, і знаходяться по різні сторони й на однакових відстанях від нього (див. рис. 2). Як видно з рисунка, дзеркало не просто копіює об'єкт, а переставляє місцями праві і ліві відносно нього частини об'єкта. При цьому також міняються місцями передні і задні відносно дзеркала частини об'єкта. Це означає, що спостережуваний у плоскому дзеркалі двійник - не точна копія самого об'єкта.

Розглядаючи зображені на рис.3а конуси, можна не погодитися з твердженнями про те, що дзеркальний двійник не являється точною аналогією об'єкта. Що двійник не копіює сам об'єкт, переконує нас рис. 3,б. Тут той самий конус, що й на рис.3а, але обертається навколо своєї осі (напрям обертання вказано стрілкою). Легко помітити, що коли вісь обертання конуса паралельна дзеркалу, то напрям обертання (за годинниковою стрілкою) при відбитті замінюється на протилежний (проти годинникової стрілки). Предмет і його зображення в дзеркалі тепер цілком різні речі, їх не можна сумістити ніякими переміщеннями й поворотами.

Цей висновок ще більше уточнюється, якщо із конуса виготовити правий гвинт: щоб закрутити його в дерево, його головку треба обертати за годинниковою стрілкою і помістити перед дзеркалом як на рис.3,б. Гвинт-двійник тепер буде лівостороннім.

Об'єкт, одна половина якого є дзеркальним відображенням відносно другої половини, називається дзеркально-симетричним.

Задача-запитання. Ви спостерігаєте в дзеркалі тенісний матч, коли гравець справа посилає м'яч у праву половину спортмайданчика. Що ви побачите в дзеркалі?

Відповідь. Гравця-лівшу і м'яч, який летить у ліву половину майданчика. Теніс, отже, інваріантний відносно дзеркального відображення.

Енантиоморфи

Розріжемо об'єкт вздовж площини (осі) симетрії, яка в нього єдина, тобто не має площини, центрів і дзеркальних осей симетрії, на дві частини. Ці дві половинки - дзеркальні зображення одна другої. Водночас кожна з них дзеркально асиметрична. Пара дзеркально асиметричних об'єктів, що за будовою дзеркально рівні один одному, - енантиоморфи. Енантиоморфами можуть бути як окремі об'єкти, так і половинки відповідним чином розрізаного одного того самого об'єкта. Один із двох енантиоморфів називається лівим, другий - правим. Лівим і правим енантиоморфом може бути пара рукавичок, лівий і правий гвинт тощо. Це приклади тривимірних енантиоморфів.

Лівий трилінійний енантиоморф не можна перевернути на правий ніякими переміщеннями чи поворотами. Так, лівий черевик ніколи не стане правим, щоб ви з ним не робили, і навпаки.

Часто також зустрічаються двовимірні енантиоморфи. Прикладом двовимірних енантиоморфів можуть бути (рис.4): ліва і права спіралі (а); ліва і права частини дубового листка (б); ліва і права схеми координатних осей (в) та інше.

Як тривимірні енантиоморфи, двовимірні не можна сумістити один із одним з допомогою переміщень і поворотів у площині.

Симетрія відносно прямої і площини

Про дзеркально-симетричні фігури кажуть, що вони симетричні відносно прямої і площини . При цьому пряму і площину називають відповідно віссю симетрії і площиною симетрії.

Нехай , х - деяка фіксована пряма і довільна точка. Нехай, далі, - пряма, перпендикулярна до прямої . Від точки їх перетину відкладемо відрізок . Побудована таким чином точка називається симетричною точці Х відносно прямої , а перетворення фігури F у фігуру , при якому будь-яка її точка Х переходить у точку , симетричну відносно прямої , називається перетворенням симетрії відносно прямої . Самі фігури F і називаються симетричними відносно прямої .

Якщо при перетворенні симетрії відносно прямої фігура F переходить у себе, то вона називається симетричною відносно прямої , а сама пряма називається віссю симетрії фігури F.

Подібно до ознайомлення симетрії точок і симетрії відносно прямої можна дати означення симетричних точок і перетворення симетрії відносно площини.

Перетворення симетрії відносно прямої позначають знаком . Якщо точка фігури є образом точки Х фігури F при симетрії , то це занотовують так: , , або , . Симетрію відносно площини позначають , причому, якщо точка є образом точки А при такій симетрії, то пишуть .

Перетворення S_ox симетрії відносно осі ОХ виражають такими формулами:

,

.

Координатні формули симетрії S_xy відносно координатної площини ху матимуть вигляд:

Очевидно, симетрії S_ох та S_оу записуються так:

, ,

, .

Їх композиція S_оуS_ох через координати подається співвідношеннями:

,

.

Отож, S_оуS_ох = z_o. Подібно, z_oS_ох = S_оу.

Ідеї симетрії відносно прямої і площини з успіхом використовуються при розв'язуванні різноманітних задач з фізики, зокрема на постійний електричний струм. Розглянемо деякі з них.

Задача 1. Обчислити загальний опір електричного кола в схемах, поданих на рис.5. Опори резисторів схеми 5,а - на рисунку, опори сторін (перемичок) шестикутника б) та куба в) дорівнюють r.

а) У заданій схемі резистори ввімкнено симетрично, але, якщо в одній із гілок опори R і 3R резисторів поміняти місцями, електрична схема буде несиметричною. Якщо струм підвеcти до вузла а (чи с), він розгалузиться на дві рівні частини, бо умови його проходження вздовж кожної гілки до вузла с цілком однакові. Позаяк спад напруги на резисторах R і R однаковий, то потенціали точок b і d будуть рівні. Напруга між цими точками дорівнює нулю, тому струм вздовж резистора з опором 2R не йде і його можна зі схеми вилучити. Режим струму в колі від цього не порушиться. Тоді резистори R і 3R будуть з'єднані послідовно, верхня і нижня гілки - паралельно. Відтак загальний опір .

б) Тут точки А та В входу й виходу струму, сторони шестикутника й дротяні перемички розміщені симетрично осі ас, тому точки a, b і с мають однакові потенціали. Це означає, що їх можна з'єднати в одну, вилучивши цим самим обезструмлені провідники аb і bc. Задана електрична схема заміниться такою рівноцінною (простішою), як на рис. 6, що являє собою комбінацію послідовно й паралельно з'єднаних провідників.

Її загальний опір

.

в) Струм від точки А до точки В розгалуджується на три рівні частини. Це тому, що внаслідок симетрії (куб - центрально симетричний об'єкт) умови його проходження по кожній гілці однакові. Позаяк потенціали вершини куба , точно так само, як і вершин b, рівні між собою, їх можна з'єднати (у попередній задачі для спрощення схеми точки з однаковими потенціалами ми роз'єднували). В результаті отримують просту еквівалентну схему, що на рис. 7. Вона являє собою комбінацію послідовно й паралельно сполучених провідників. Опір ділянки Аа дорівнює , ділянки ab - , ділянки bB - . Всі ділянки сполучені між собою послідовно, тому

.

Іноді для більшої наочності, з'єднують точки а, b, витягнувши каркас куба вздовж діагоналі АВ. Тоді отримують таку наочну еквівалентну схему (рис. 8):

Опір куба від цього не змінюється.

Задача 2. Світло йде від точки А до точки В (рис. 9), зазнавши відбиття на плоскій поверхні . Знайти таку точку О, щоб сума відстаней АО і ВО була найменшою.

Позаяк при симетрії відносно площини відрізок BD перетворюється на рівний йому відрізок , то маємо . Водночас довжина .

Із рисунка бачимо, що кут , де та - відповідно кути падіння і відбивання, звідки . Це означає, що лінія - пряма, отже, лінія - ламана за будь-яких положень точки , що не співпадають з точкою О. Так як довжина будь-якої ламаної, проведеної між двома точками, більша за довжину прямої, що з'єднує ці точки, то .

Відмітимо, що в даному випадку світло поширюється в однорідному середовищі, якими є повітря (показник заломлення ).

Цікаво, з міркувань симетрії випливає закон відбивання світла . Ця рівність - наслідок рівності трикутників і .

Дзеркальна симетрія у фізиці

Закони класичної фізики інваріантні відносно дзеркальної симетрії. Це означає, що дзеркальний образ будь-якого процесу, що відбувається у відповідності до закону класичної фізики, також підлягає тим самим законам і може реалізуватися в природі. З цього приводу кажуть, що закони класичної фізики задовольняють закон збереження парності. Цей закон скрізь виконується при електромагнітних і сильних взаємодіях, але йому непідвладні слабкі взаємодії мікросвіту. Проілюструємо це твердження такою задачею.

Задача. Розпад - мезона не інваріантний відносно дзеркального відображення (закон збереження парності тут не виконується). Доведемо це.

Розв'язання. Як відомо, цей розпад здійснюється згідно зі схемою: , де - мюон, - нейтрино. Нейтрино, що народжується, має лівогвинтовий напрям обертання. Дзеркальне відображення перетворює лівий гвинт на правий, тому образом мало б бути антинейтрино. Проте, як свідчить досвід, воно в таких взаємодіях не народжується.

У сильних і електромагнітних взаємодіях парність стану системи зберігається: якщо система мала в початковому стані дзеркальну симетрію певного типу, то вона збереже її в усі наступні моменти часу. Парний стан системи не перейде в непарний, і навпаки.

Форма й симетрія кристалів переважно залежать від взаємозв'язків між атомами. Якщо будь-якій грані кристала можна поставити у відповідність таку його грань, яка є дзеркальним відображенням відносно певної площини, що проходить через кристал, то ця площина є площиною симетрії кристала. Трапляються проте кристали, які не мають площини симетрії (наприклад, кристали кварцу), або мають одну (наприклад, гіпс) чи кілька (кристал кам'яної солі має вісім, молекула води дві).

Дзеркальна симетрія простежується у звукових хвиль, атомах і молекулах, електромагнітному полі та інших об'єктах.

Поняття симетрії охоплює структуру, що вимагає такі три фактори: 1) об'єкт (явище), симетрія якого розглядається; 2) перетворення, відносно яких розглядається симетрія; 3) незмінність (інваріантність) і збереження певних властивостей об'єкта, які виражають розглядувану симетрію. Інваріантність існує не взагалі, а лише щодо певних перетворень, внаслідок яких щось зберігається. Вона може бути суто геометричною (збереження геометричної форми), але може й не мати відношення до геометрії (збереження енергії системою тіл або збереження біологічних властивостей). Перетворення можуть мати чисто геометричний зміст - поворот, паралельне перенесення, перестановки, - а можуть не мати його - заміна частинок античастинками, перехід одного покоління до іншого.

Нижче ми коротко торкнемося саме цих геометричних перетворень, крім уже розглянутих, і пов'язаних із ними симетрій, які часто мають застосування у фізиці. Це, зокрема, вже згадані поворот, паралельне перенесення, перестановки.

Поворотна симетрія

Нехай об'єкт (фігура) суміщається сам із собою при повороті навколо деякої осі (точки О) на кут, рівний (чи кратний цій величині), де (цілі додатні числа). Тоді кажуть, що вісь (точка О) для об'єкта є віссю (центром) симетрії, а сам об'єкт має поворотну симетрію порядку n. Порядок осі (центра) повороту або кількість самосуміщень при повороті на 360⁰ визначається так: , де - кут найменшого повороту, при якому фігури суміщаються.

Об'єкт на рис.10,а перетворюється в себе при поворотах на кути, кратні куту 60⁰ (n=6), а об'єкт, поданий на рис. 10,б - при поворотах на 120⁰ (n=3). Об'єкт (рис.10,в) має поруч з поворотною віссю 4-го порядку чотири осі 2-го порядку (штрихові прямі).

Задача. Чи володіє форма букв “П”, “Ф”, “И” дзеркальною і поворотною симетріями? Якщо має поворотну вісь, то якого порядку? Відповідь проілюструвати рисунком.

Розв'язання. Буква „П” симетрична відносно вертикальної площини (рис.11,а). У неї відсутня поворотна симетрія. Буква “Ф” симетрична відносно двох плоских дзеркал (рис. 11, б). Має поворотну симетрію 2-го порядку. Буква “И” не має дзеркальної симетрії, але є поворотна симетрія 2-го порядку (рис. 11,в).

Підсумовуючи сказане стосовно поворотної симетрії, бачимо, що крім тривіальної осі 1-го порядку, можливі ще осі симетрії 2-го, 3-го, 4-го і 6-го порядку. Структури, що володіють такими осями симетрії, схематично показані на рис.12,а (білі і чорні кружальця та хрестики - атоми різних сортів).

Неможливість поворотних симетрій 5-го порядку і порядків у кристалах випливає також із принципу щільного упакування частинок речовини як рівноважнішого її стану. Так, кристалічна решітка не може мати осі повороту 5-го порядку, бо правильними п'ятикутниками не можна щільно покрити площину. Це пов'язано з тим, що при повороті системи для суміщення її зі самою собою необхідно, щоб увесь простір був заповнений без порожніх проміжків. Проте відомо, що можна суцільно заповнити площину трикутниками, паралелограмами, шестикутниками, восьмикутниками і т.д. При - многокутники покривають площину з перекриттями. Ці два випадки, коли , ілюструє рис.12 (б).

Принцип щільного упакування речовини й оборотна симетрія пояснюють явище звільнення об'єму при замерзанні води. При зниженні температури тепловий рух її молекул послаблюється і водночас упорядковується взаємне розміщення молекул. Між молекулами льоду виникають порожнини, які при плавленні льоду частково заповнюються молекулами води. При цьому густина води збільшується, а об'єм рідини зменшується, тоді як при перетворенні води в лід все навпаки, при цьому у воді виникають сили, які руйнують навіть міцні споруди. Проте більшість твердих тіл мають таку кристалічну структуру, що при переході у рідкий стан вони розширяються і їхній об'єм збільшується.

Правила симетрії

Існує чотири основні правила симетрії. Це правило лівої руки, правило свердлика, правила масштабу і гіроскопа.

І. Правило лівої руки - положення, яке дає змогу за відомим напрямом вектора індукції магнітного поля і напрямом електричного струму знайти напрям дії сили Ампера (також напрям сили Лоренца). Сенс цього правила зводиться до такого: якщо ліву руку розмістити так, щоб складова магнітної індукції , перпендикулярна до швидкості заряду, входила в долоню, а чотири пальці були напрямлені за рухом позитивного заряду (проти руху негативного), то відігнутий на 90⁰ великий палець покаже напрям сили Лоренца, що діє на заряд. Аналогічно визначається напрям сили Ампера: якщо ліву руку розмістити так, щоб перпендикулярна до провідника складова вектора індукції входила в долоню, а чотири витягнуті пальці були напрямлені так само, як струм, то відігнутий на 90⁰ великий палець покаже напрям сили, що діє на відрізок провідника.

Задача 1. На бічних гранях пластинки, внесеній у магнітне поле, під час проходження через неї електричного струму в “повздовжньому” напрямі виникає “поперечна” різниця потенціалів (ефект Холла). Чому? Пояснити.

Відповідь. Це явище - результат дії сили Лоренца на електричний заряди, що здійснюють напрямлений рух. Сила відхиляє заряджені частинки в “поперечнім” напрямі. Це спричинює появу поперечного електричного поля. Напрям поля можна встановити з допомогою правила лівої руки.

Пов'язана з добовим обертанням Землі, сила Коріоліса для земного спостерігача проявляється в підмиванні берегів рік, у відхиленні вільно падаючих тіл від вертикалі, у повертанні площини маятника Фуко, у появі особливих вітрів - пасатів та інших явищах.

Задача 2. Які береги - праві чи ліві підмиті у рік, що течуть в Північній півкулі? у Південній? З'ясувати з допомогою правила лівої руки.

Відповідь. Тут має місце утворення трьох векторів, один з яких (напрям вектора кутової швидкості обертання Землі) аксіальний, а два інші (швидкості течії і сили тиску води на берег) - полярні. Ліву руку розташуємо так, щоб перпендикулярна складова вектора входила в долоню, а чотири витягнуті пальці за напрямом збігалися з напрямом вектора . Тоді відігнутий на 90⁰ великий палець покаже напрям сили , що діє на берег річок (він буде підмитий). Тож у Північній півкулі у рік підмиті праві береги, а в Південній - ліві.

Задача 3. Куди відхиляється від вертикалі тіло, що вільно падає, - на схід чи на захід?

Відповідь. На схід. Вказівка: необхідно поступити так, як у попередній задачі.

ІІ. Правило свердлика (гвинта, штопора) - положення, вперше сформульовано Дж. Максвелом (1831-1879), яке дає можливість за відомим напрямом електричного струму визначити напрям лінії індукції магнітного поля. Правило формулюють так: якщо напрям поступального руху свердлика під час його вкручування збігається з напрямом струму в провіднику, то напрям обертання ручки свердлика показує напрям вектора магнітної індукції. симетрія науковий пізнання світ

Задача. У простір між обкладками плоского конденсатора, що під'єднується до батареї (рис. 13), влітає кусок діелектрика. Який полюс стрілки повернеться до катушки, розташованої як показано на рисунку. Чи збережеться і надалі таке положення стрілки?

Відповідь. Південний - при влітанні діелектрика, північний - при його вилітанні.

Багато елементарних частинок характеризуються власним обертовим моментом імпульсу - спіном . Це векторна величина, напрям якої збігається з напрямом переміщення правого гвинта, якщо гвинт обертається так само, що й частинка. Спін нейтральних мікрочастинок є характеристикою, згідно з якою розрізняють частинки й античастинки. Так, у нейтрино напрям вектора імпульсу протилежний до напряму вектора спіну , а в антинейтрино вони збігаються (рис. 14). Тож напрям вектора збігається з напрямом великого пальця правої руки, відігнутого під кутом до трьох інших пальців, якщо вони зігнуті внапрямі обертання частинки (рис.14). Нейтрино, кажуть, - лівий “гвинт”, антинейтрино - правий. Момент імпульсу частинки (його часто позначають ), або спін - її невід'ємна й незмінна властивість. Частинки зі спіном, рівним нулю, називаються скалярами, зі спіном - спінорними, зі спіном - векторними. Стан зі спіном і парністю р зображають символом . Наприклад, або .

ІІІ. Правило масштабу. Це правило полягає в тому, що один вектор перетворюється на інший такий самий через скаляр, збільшуючись чи зменшуючись без зміни напряму (перетворення подібності). Найпростіші приклади таких явищ і законів - рух під дією зовнішньої сили , другий закон Ньютона ( - відповідно маса і лінійне прискорення тіла), обертальний рух, де момент сили ( - моменти інерції, - кутове прискорення). Обидва математичні вирази задовольняють вимоги операції R.

IV. Гіроскоп - масивне симетричне тіло, що обертається з великою кутовою швидкістю навколо осі повної симетрії (вільної осі), яка може змінювати свій напрям у просторі. Згідно з законом збереження вектора моменту імпульсу , гіроскоп прагне зберегти напрям своєї осі обертання сталим у просторі (тобто зберігає як величину, так і напрям). Найпростіший гіроскоп - дзиґа (рис. 15). Властивість зрівноважених гіроскопів стійко зберігати напрям осі (протистояти збурювальним діянням, використовують при побудові систем автоматичного керування рухом суден, літаків, ракет тощо). Добове обертання Землі уподібнює її гіроскопу. Рух осі обертання твердого тіла (наприклад, дзиґи) по круговій конічній поверхні називається прецесією. Прецесія супроводжується нутацією - коливанням осі власного обертання тіла (гіроскопа) відносно конічної поверхні її прецесійного руху. Внаслідок прецесії земної осі точки весняного і осіннього рівнодень повільно переміщується із заходу на схід (за 25800 років здійснюється повний оберт).

Переносна симетрія (трансляційна симетрія)

Паралельним перенесенням у площині ХОУ називається таке геометричне перетворення, при якому довільна її точка (х; у) переходить у точку , що

,

.

де , b - сталі. Аналогічне визначення паралельного перенесення у просторі, яке задається формулами:

,

,

.

Записані системи рівностей виражають залежність координат образу від координат праобразу.

Можливі також інші визначення паралельного перенесення Т, зокрема таке: перетворення, при якому кожній точці А ставиться у відповідність така точка , що , де - деякий вектор. При цьому .

Пряму, вздовж якої відбувається паралельне перенесення, називають віссю паралельного перенесення (трансляції). Класичним прикладом паралельного перенесення у фізиці може бути явище поширення звукової хвилі. У хвилі згущення і розрідження середовища самозміщуються.

Із симетрією паралельного перенесення пов'язані такі важливі поняття, як плоска решітка (двовимірна періодична структура) і просторова решітка (тривимірна періодична структура).

Плоска решітка утворюється від перетину двох сімей паралельних рівновіддалених одна від одної прямих. Точки перетину прямих називаються вузлами решітки (рис.16). Решітка задана, якщо відома її елементарна комірка, яку переносять паралельно самій собі вздовж прямої АВ на відстані, кратні , чи вздовж прямої АС на відстані, кратні в (рис.16). Переносна симетрія плоскої решітки повністю визначається сукупністю векторів , . Нехай - кут між ними. Тоді розрізняють п'ять типів плоских решіток. Це: а) (квадратна решітка); б) (прямокутна решітка); в) (гексагональна решітка); г) (ромбічна решітка); д) (коса решітка).

Просторова решітка повністю задається сукупністю трьох векторів , які задають елементарну комірку решітки Браве (див. рис.17,а). Положення будь-якої точки в цьому разі визначається відповідно комбінацією переміщень

,

де m, n, p - цілі числа, включаючи нуль. Для плоскої, зокрема, решітки р=0. Вектори трансляції - це міжатомні відстані в кристалічній решітці. Їх числове значення в кристалах порядку м.

Існує 14 типів просторових решіток Браве (Браве - французький кристалограф ХІХ ст). Кожна така решітка (див. рис.17,б) - це паралелепіпед, побудований з допомогою паралельного перенесення якогось із вузлів решітки в трьох напрямках. Це напрямки координатних осей, паралельні осям симетрії кристала або перпендикулярні до його площин симетрії.

Повна симетрія розміщення атомів кристалічної решітки, які її утворюють, визначається поєднанням трансляційної симетрії і елементів симетрій, пов'язаних з поворотами і відбиттям. Це поєднання веде до елементів симетрії: гвинтових осей і площини дзеркального ковзання. Симетрія зовнішньої форми кристала є наслідком симетрії кристалічної решітки.

Дзеркально-поворотна і ковзна симетрії

З послідовно виконаними операціями повороту й відбиттям пов'язують новий тип симетрії - дзеркально-поворотної симетрії.

Звернемося до прикладів. На рис. 18 в квадрат з паперу косо вписано другий квадрат. Відігнемо кути паперу по лініях, що обмежують внутрішній квадрат (рис.19). Знайдений таким чином об'єкт має поворотну вісь АВ другого порядку й не має площини симетрії. Розглянемо його зверху й знизу, тобто з протилежного боку до листа паперу. Ми упевнимося, що в кожному разі об'єкт має однаковий вигляд. Очевидно поворотна симетрія другого порядку не вичерпує всієї його симетрії. Об'єкт має додаткову симетрію - так звану дзеркально-поворотну симетрію. Тут об'єкт суміщається сам із собою в результаті повороту на 90⁰ навколо осі АВ і наступного відбиття у площині CDEF. При цьому вісь АВ називають дзеркально-поворотною віссю 4-го порядку.

...