Фізичний світ і симетрія

Размещено на http://www.allbest.ru/

Розділ другий

Фізичний світ і симетрія

Застосування ідей симетрії до фізичних явищ і проблем

Історичне поняття симетрії виникло саме у застосуванні до геометричних тіл. У сучасній науці про природу поняття симетрії є ширшим і узагальненішим і часто залежить від конкретного об'єкта чи явища. Так виникли уявлення про симетрію електричного й магнітного полів, про симетрію часу та інше. В багатьох цих випадках властивість чи явище трудно звести до геометричного образу. Типовим прикладом цього може бути той же час. У подібних випадках доцільно вести мову про інваріантність тих чи інших рівнянь стосовно певних перетворень. Ці останні можуть охоплювати й геометричні операції розглянутих вище типів симетрії. Тож із чисто геометричного принцип симетрії перетворюється на одне з найфундаментальніших понять фізики.

Як вже згадувалося, симетрія вбачає в об'єктах і явищах щось незмінне (інваріантне) відноснно якихось перетворень. При цьому найчастіше мають на увазі інваріантність геометричних фігур або об'єктів природи при заміні місцями їх рівних частин шляхом поворотів і відбиття. В інших випадках мають справу з інваріантністю багатьох природних явищ стосовно до переносу або відбиття в часі. В першому разі йдеться про просторову інваріантність, а в другому - про часову. Іноді для явищ і фігур розглядають водночас як просторову, так і часову інваріантність.

Симетрія скрізь вносить упорядкованість, завжди зменшується кількість можливих варіантів, чим спрощує шлях до отримання позитивних результатів. Вона обмежує різноманітність структур у природі і варіантів функціонування різних фізичних систем.

Відмінні прояви симетрії у навколишньому світі іноді легко теоретично інтерпретувати, встановлювати взаємозв'язки між частинами чогось цілого. Так, як ми вже бачили, симетричну побудову кристалів зумовлюють сили взаємодії між частинками, що їх утворюють. Дискретність матерії дозволяє цим частинкам розташовуватись одна біля одної лише за певними законами, щоб їх енергія, зокрема, була мінімальною, а простір заповнювався ними без проміжків.

У орієнтації рослин і тварин (також людини) проявляється напрям сили тяжіння. Вони всі мають “верх” і “низ”. Особливості переміщення тварин узгоджуються з формою їхнього тіла, через що рух “уперед” для них відмінний від руху “назад”, тоді як рух “в бік” рівноправний. Ця особливість проявляється в однаковій побудові їх правих і лівих частин.

Також відмітимо, що у явищах симетрії живої і неживої природи немає жодних елементів містики. Конкретні природні умови можуть спричинитися до того, що ті чи інші об'єкти виявляються позбавленими ознак симетрії, тобто вони наділені асиметрією.

Зауважимо, що геометрична симетрія (у широкому розумінні цього слова) не має місця у фізичній симетрії, подібно до того, як закони Ньютона, з яких випливають закони збереження, не виконуються у мікросвіті.

У фізичних дослідженнях поняття симетрії поширюється також на природні явища й керовані ними фізичні закони. Симетрія фізичних законів полягає в їх незмінності відносно тих чи інших перетворень, пов'язаних, наприклад, з умовами спостережень явищ. Найвиразніше й чітко це простежується на явищі електропровідності та у створеній А.Ейнштейном спеціальній і загальній теоріях відносності. Принцип відносності у застосуванні до електромагнітного поля називається спеціальним, а до гравітаційного поля - загальним принципом відносності.

Симетрія напрямів. Вплив симетрії на електропровідність кристалів

Симетрія кристалів має переважно геометричний і статистичний характер, вона проявляється як у їх зовнішній формі, так і фізичних явищах, що в них проходять.

Анізотропія - своєрідна неоднаковість властивостей (асиметрія).

Одних лише міркувань симетрії часто вистачає для розв'язання досить трудних фізичних задач. Розглянемо приклад з фізики твердого тіла.

Нехай потрібно визначити електропровідність (це величина, обернена опору R провідника) якоїсь кристалічної речовини. Виріжемо з неї прямокутний зразок і увімкнемо в коло, як показано на рис.88. Очевидно, питома електропровідність (величина, обернена до питомого опору провідника)

(ІІ.1)

Уявимо собі, що речовина зразка виявилася шаровою: електропровідні шари чергуються з діалектричними (непровідними). Тоді результат вимірювання залежатиме від того, як вирізати зразок - вздовж чи поперек шарів. Мабуть, поперек шарів струм не потече, лише вздовж. Так, повздовжня провідність у графіту в 250 разів більша за поперечну. Якщо шари відсутні, провідність середовища може залежати від напряму струму в ньому. Це, передусім, стосується кристалів.

У кристалах уздовж одного напряму атоми розташовані рідше, ніж уздовж другого. Напрями нееквівалентні. В одних напрямах електрони переміщуються між атомами легше, ніж у других, саме тому провідність кристала залежить від напряму струму.

Середовища, в яких не однакові властивості у різних напрямах, називаються анізотропними. Є дві причини анізотропії: 1) нееквівалентність напрямів, що виникає із регулярного розташування атомів; 2) струм у кристалі може йти не в напрямі електричного поля.

Друга властивість анізотропії не зовсім очевидна, тому на ній зупинимося конкретніше. Позаяк густина струму , а напруженість електричного поля у зразку і опір зразка , то

. (ІІ.2)

Для ізотропних середовищ закон Ома у вигляді (ІІ.2) тотожний такому

, (ІІ.3)

позаяк вектори і паралельні і всі напрями еквівалентні. Струм іде в напрямі . В анізотропному середовищі вектори і (а отже, швидкість електрона і сила, що діє з боку поля на нього, , е - заряд електрона) можуть бути непаралельними. Тоді, пройшовши багато міжатомних відстаней, електрон зміщується більше в „легкому” напрямі, ніж у „трудному”, і при тому не обов'язково в напрямі . Поле , що збуджує в кристалі струм , не обов'язково збігається за величиною і напрямом з прикладеним вздовж зразка електричним полем напруженості .

Лінії С2, С3, С4 - це осі симетрії кристалічних структур, показних на рис.(89). Повертаючи навколо будь-якої з них увесь кристал як ціле, можна отримати розташування атомів, що зовсім нагадує вихідне. Будь-які напрями, які переходять один в одного при поворотах навколо вісей симетрії, еквівалентні.

Чим більше вісей високого порядку має кристал, тим більше він має еквівалентних напрямів, тим сильніше він віддаляється від анізотропії.

У кубічному кристалі (рис.89,б) самі осі С4 - еквівалентні напрями, бо вони переходять один в одного при поворотах навколо С3. Аналогічні їм осі С2 на (рис.89,а) нееквівалентні.

Нехай у кристалі є три взаємно перпендикулярні (нееквівалентні) осі симетрії С2 (рис.90). Позначимо їх цифрами 1, 2, 3. Нехай, далі, поле напрямлене вздовж однієї з осей з порядком 2, наприклад, вздовж осі 1. Струм тоді піде вздовж тієї ж самої осі, паралельно полю і зв'язок між і визначатиметься рівністю (ІІ.3), де - питома електропровідність вздовж осі симетрії. Значення знайдемо (рис.88) на зразку, вирізаному вздовж осі симетрії кристала (формула (ІІ.1)). Таким чином знайдемо всі три значення провідності . Позаяк напрями 1, 2, 3 нееквівалентні, то

. (ІІ.4)

Якщо поле напрямлене не вздовж осі симетрії, то куди тоді піде струм ? У цьому випадку (див.рис.91) і , , . Результуючий струм тоді дорівнюватиме

, (ІІ.5)

де, в силу нерівностей (ІІ.4),

.

Тож вектори і непаралельні (рис.92).

Формула (ІІ.5) стверджує, що при будь-якій орієнтації поля вектор повністю визначається лише значеннями провідності вздовж осей симетрії кристала. Для цього досить знайти .

Розглянемо кубічний кристал (рис.89,б). Це яскравий приклад впливу симетрії на провідність кристала.

Отже, маємо три взаємно перпендикулярні осі симетрії С4, вздовж яких значення провідності рівні (), бо всі три напрями С4 в кубічній решітці еквівалентні. Враховуючи цей факт і (ІІ.5), отримуємо (ІІ.3) - закон Ома. Відтак провідність кубічного кристала однакова для всіх напрямів, стосовно електропровідності він нагадує собою ізотропне середовище, для якого всі напрями еквівалентні. Ізотропне (аморфне) тіло, де атоми розташовані неупорядковано, тобто несиметрично, має однакові властивості середовища в усіх напрямах. Хаос вирівнює, усереднює їх. Тут будь-який напрям - вісь симетрії, закон Ома стає очевидним.

На завершення розглянемо випадок, коли симетрія напрямів зовсім відсутня (див. рис.17,б(1)). Застосуємо тут закон Ома в найзагальнішому виді. Виберемо взаємно перпендикулярні координатні осі x, y, z. Тоді поле розкладеться на три складові , також струм - . Три струми, викликані цими компонентами поля, не обов'язково повинні іти вздовж осей x, y, z. Кожний струм матиме x-, y- і z - складові. Тобто х - компонента поля, але і у- і z- компонента поля роблять вклад у . Відповідні коефіцієнти пропорційності позначимо . Сказане стосується також , тому

,

, (ІІ.6)

.

Ця система - це закон Ома для середовища з довільним ступенем анізотропії. Всі вище розглянуті випадки випливають із (ІІ.6) як часткові.

Декілька запитань

1) Ви обрали осі x, y, z вздовж осей симетрії 1, 2, 3 (рис.91). До чого тоді зведеться система рівностей (ІІ.6)?

Відповідь. До однієї рівності - , бо всі коефіцієнти, крім , , , дорівнюватимуть нулю.

2) Дві із трьох осей (див. попереднє запитання) еквівалентні, скажімо, 1 і 2. Як зміниться число вимірів у цьому разі?

Відповідь. Одним виміром стане менше.

3) Усі три осі еквівалентні - кубічна симетрія. У що перетворюється система (ІІ.6)?

Відповідь. У рівність (ІІ.3).

Простір і час та системи відліку

Експериментальні факти засвідчують, що оточуючий нас простір відповідає всім аксіомам геометрії Евкліда, тобто являється „плоским”. Вільним тілом називається тіло, на стільки віддалене від всіх інших навколишніх тіл, що можна знехтувати його взаємодією з ними. Для вільного тіла внаслідок однорідності простору будь-які його місцеперебування не впливатимуть на його стан. За умови однорідності часу таке тіло буде рухатися, тобто послідовно змінювати свої положення з часом. Цей рух буде рівномірним і прямолінійним, бо простір „плоский”. Це так званий рух за інерцією. Він є проявом своєрідної симетрії простору і часу, їх однорідності.

Властивості простору-часу поблизу масивних тіл, як це трапляється у Всесвіті, відхиляються від властивостей звичайної геометрії Евкліда. Тут простір має своєрідну „кривизну”. Рух тіл за інерцією тут уже непрямолінійний і нерівномірний.

Для кількісного вивчення руху якихось тіл конче необхідна система відліку. СВ - це система координат (найчастіше це прямокутна декартова система) і годинник, пов'язаний із тілом відліку. Замість годинника може бути якийсь інший природний періодичний процес. Якщо в ролі тіла відліку взяти тіло, що рухається вільно, то така СВ називається інерційною (ІСВ). Усі ІСВ є фізично еквівалентні, перевагу надавати якійсь одній із них немає сенсу. Це підтверджують досліди. З погляду ІСВ усі фізичні явища у них виглядають цілком однаково. Математичне формулювання законів природи не змінюється при переході від однієї ІСВ до другої. Це твердження фізики називають принципом відносності. Згідно з ним, фізичні закони проявляють симетрію відносно вибору ІСВ. Вимоги цієї симетрії у разі пошуку кількісних співвідношень, які описують явища в нових областях досліджень, складають важливий методичний пошук.

Симетрія і спеціальний принцип відносності

До створення СТВ Ейнтштейна спонукала не стільки розбіжність між існуючими теоріями й наслідками спостережень, скільки відчуття симетрії у фізичних теоріях. Обидва постулати СТВ - це визнання симетрії фізичних законів і швидкості світла с відносно ІСВ. Зміни, пов'язані з с, зумовлені рухом джерела світла, а інваріантність - зі сталістю с. Цей висновок заперечував абсолютність часу і призвів до формування нових уявлень про простір і час.

Основний сенс СТВ Ейнштейна - це інваріантність законів природи відносно зсувів у просторі і в часі, просторові обертання і рух з постійною швидкістю. Ця інваріантність являється наслідком однорідності та ізотропності простору й часу (див. розділ ІІІ).

Як відомо, спеціальний принцип відносності стосується електромагнітного поля, а загальний - гравітаційного поля.

Теорія відносності виражає симетрію між системами відліку (СВ), що рівномірно рухаються. Це так звані інерціальні системи відліку (ІСВ). Висновки з теорії відносності зовсім не парадоксальні, а природні.

Нехай XYZ та - дві ІСВ К і (рис.93). Нехай, далі, якась подія відбулася в момент t у точці з координатами x, y,z системи XYZ. Ця ж подія у системі відбувається у момент в точці з координатами . Завдання полягає в тому, щоб пов'язати між собою координати і час події в обох ІСВ, якщо вони рухаються одна відносно одної зі швидкістю .

Із однорідності простору і часу в усіх ІСВ (див. розділ ІІІ) випливає, що зв'язок координат події в системах К і має бути лінійним. Справді, лише в цьому разі зміна початку відліку координат і часу (x на , де - стала, і т.д.) призводить до загальної для всіх точок зміни початку відліку координат і часу в . Якщо координатні осі вибрати так, як на рис.93, то площина у = 0 збігається з площиною , а площина - з площиною . Звідси випливає, що, наприклад, координати у і можуть бути пов'язані тільки співвідношенням виду . У силу еквівалентності СВ К і виконується також співвідношення . Перемноживши ліві і праві частини цих співвідношень, маємо: , . Знак “мінус” відповідає протилежно напрямленим осям у і . Спрямувавши однаково осі, отримаємо . Аналогічні міркування ведуть до формули: .

Тепер знайдемо формули перетворення для х і t. Початок координат системи К має координату х = 0 в системі К і в системі . Тож при перетворенні в нуль має перетворитися в нуль і координата х. Для цього лінійне перетворення матиме вигляд:

. (ІІ.7)

Позаяк початок координат ІСВ має координату в системі та в системі К, то

. (ІІ.8)

Коефіцієнт пропорційності Г кожного разу однаковий, що випливає з повної рівноправності ІСВ і (різні знаки при зумовлені протилежним напрямом руху систем).

Знайдемо величину Г. Позаяк відмінність ІСВ К і лише у відносному русі, то Г може залежати тільки від абсолютної величини . Використаємо тепер принцип сталості модуля швидкості світла . Уявимо собі, що у момент (відлік часу з моменту, коли початки систем співпадають) у напрямі осі ОХ посилається світловий сигнал, який викликає спалах світла на екрані, що має координату , а в системі . Вирази для х і підставимо в (ІІ.7) і (ІІ.8), ми отримуємо:

,

.

Перемноживши ліві і праві частини цих двох співвідношень, знаходимо

. (ІІ.9)

Формулу перетворення часу знайдемо з рівнянь (ІІ.7), (ІІ.8). Тож

.

Остаточно маємо формули для координат і часу відносно штрихованих величин:

,

,

, (ІІ.10)

Діючи подібно, отримуємо формули переходу від координат і часу, відрахованих у системі , до координат і часу в ІСВ К:

,

,

, (ІІ.11)

Тож зв'язок між часово-просторовими координатами події в обох системах відліку описується системами рівнянь (ІІ.10), (ІІ.11). Ці системи рівнянь називаються перетвореннями Лоренца.

Якщо модуль швидкості відносного руху систем значно менший за величину с швидкості світла (), то співвідношення, зокрема, (ІІ.10), істотно спрощуються:

,

,

, (ІІ.12)

.

Залежності (ІІ.12) називаються перетвореннями Галілея.

Нехай тіло рухається з швидкістю вздовж осі СВ , яка, в свою чергу, рухається з швидкістю відносно системи К. Позначимо його швидкість відносно К через . Підставивши і у (ІІ.11) і поділивши їх одне на друге, дістанемо:

. (ІІ.13)

Знайдене таким чином співвідношення (ІІ.13) являє собою релятивістський закон додавання швидкостей.

Симетрія фізичних законів при переході від однієї ІСВ у другу математично виражається в тому, що кількісні вирази, які описують якийсь закон, повинні зберігати свою форму при заміні в них x, y, z, t на у відповідності до (ІІ.10). Це означає, що математичні вирази фізичних законів повинні проявляти симетрію щодо перетворень Лоренца - найпоширенішого прикладу подібного типу симетрій.

Принципова різниця між перетвореннями Галілея і Лоренца полягає в тому, що у першому разі не враховано скінченність величини швидкості поширення світлового сигналу у вакуумі та відмови від абсолютизації часу. Згадаймо, що при перетвореннях Галілея в усіх ІСВ час однаковий.

Основні висновки СТВ, що випливають із симетрії простору і часу об'єктивного світу, проілюструємо кількома конкретними прикладами.

Задача 1. Показати, що інтервал часу між двома подіями збільшується в разів у системі відліку, що рухається зі швидкістю відносно системи спокою.

Розв'язання. Нехай в одній і тій самій точці СВ (система спокою, це може бути супутник Землі) відбуваються дві почергові події, розділені інтервалом часу . Очевидно і . Розглядувані події в СВ XYZ (вона зв'язана з Землею) відбуватимуться в різних просторових точках та . Згідно з годинником земного спостерігача, їх розділяє інтервал часу . На основі співвідношень (ІІ.11) при знаходимо: . Незаперечний факт, що (бо ).

Тут має місце ефект сповільнення часу в рухомих СВ.

Задача 2. Довжина нерухомого стержня в СВ XYZ, розміщеного вздовж осі х, , де - координати кінців стержня, що не змінюються з часом t. Знайти його довжину у системі , що рухається відносно XYZ зі швидкістю .

Розв'язання. Для визначення необхідно знайти координати кінців стержня та в один і той же момент часу штрихованої СВ, тобто . Їхня різниця дасть довжину стержня, виміряну в системі . Відповідно до першої з формул (ІІ.11) маємо:

. Отже, і , тобто довжина стержня, виміряна в системі, відносно якої він рухається, виявляється менша, ніж довжина , виміряна в системі, відносно якої стержень перебуває в спокої.

Задача 3. Показати, що одночасність двох просторово відокремлених подій відносна.

Розв'язання. Нехай дві події з просторо-часовими координатами та одночасні () у СВ XYZ. Упевнимося, що ці події неодночасні у системі з координатами та .

Відповідно до формул (ІІ.10) маємо . Якщо в СВ XYZ події одночасні , але просторово розділені (), то . Тобто в системі зазначені події будуть неодночасними. З іншого боку, легко бачити, що у разі, коли одночасні події в СВ XYZ відбуваються в тому самому місці простору (), то вони також збігатимуться у просторі () і в часі () у СВ .

Інваріантність інтервалу

Нехай координати події 1 задані числами , а координати події 2 - числами. Інтервалом між двома подіями (точками) в теорії відносності називається величина, квадрат якої визначається формулою:

де с - швидкість світла у вакуумі.

Інтервал інваріантний відносно перетворень Лоренца, які мають вигляд (ІІ.11).

Підставивши вирази (ІІ.11) (з відповідними індексами) у формулу інтервалу, отримуємо:

 (ІІ.13)

або

чи ,

якщо точки розташовані нескінченно близько.

Цим доводимо, що величина квадрата інтервалу в усіх системах координат має те саме значення, тобто являється інваріантом. Ця інваріантність є математичним виразом постулатів Ейнштейна.

Тож у світі, де відбуваються якісь фізичні явища, існує інваріантний зв'язок між трьома декартовими координатами і часом, тобто чотири змінні величини x, y, z i t пов'язані між собою в єдине ціле інваріантним співвідношенням . Ми живемо в чотиривимірному просторі, або чотиривимірному світі.

Цей світ нагадує собою перехід від тривимірного геометричного простору до чотиривимірного простору, аналогію переходу від планіметрії до стереометрії. Тут справа не в появі четвертої координати, а в зміні геометрії простору-часу в порівнянні з тривимірною геометрією. Це не просто перехід, щось, на зразок, переходу від плоских фігур до об'ємних. Тому простір, де відстань між точками визначається інваріантом , дістав назву псевдоевклідового простору. Він, як бачимо, виникає зовсім не від добавки часової t координати до трьох просторових x, y, z.

Користуючись перетвореннями Лоренца, формулюють принцип відносності таким чином: закони природи інваріантні відносно перетворень Лоренца.

Якщо створена нова теорія релятивістськи не інваріантна, то можна стверджувати, що вона в принципі неправильна.

Коли треба установлювати хід якогось процесу в рухомій системі відліку, то досить дослідити його хід у нерухомій системі відліку (координат), а тоді з допомогою перетворень Лоренца перейти від нерухомої системи відліку до рухомої системи.

Нехай у (ІІ.13) проміжок часу між двома подіями , а просторова відстань між ними - , тоді є інваріантом.

У разі, коли в деякій системі відліку події не пов'язані причинним зв'язком, то і . З інваріантності інтервала випливає, що і в усіх інших СВ ці події не перебуватимуть у причинному зв'язку. Водночас, якщо в деякій СВ події знаходяться у причинному зв'язку, то вони також перебуватимуть у причинному зв'язку в усіх інших СВ.

Інтервал, для якого , називається простороподібним, а для якого - часоподібним. Тож причинний зв'язок можливий тільки між подіями, розділеними часоподібним інтервалом, а події, розділені простороподібним інтервалом, не можуть перебувати в причинному зв'язку. Це через те, що неможливі швидкості передачі впливів більші, ніж швидкість світла у вакуумі.

Отже, з розглянутого випливає, що у різних ІСВ закони механіки залишаються незмінними, тобто інварінтними. Тут маємо справу зі симетрією відносно переходів із одної ІСВ в іншу. З багатьох точок зору в цьому полягає теоретичний і практичний сенс СТВ.

Задача. У якійсь лабораторії СВ в тому самому її місці сталися дві події через 3с одна після другої. а) Яка відстань у просторі між цими подіями буде у СВ „ракета”, що рухається відносно лабораторної зі швидкістю , якщо тривалість часу між подіями у ній дорівнює 4с? б) Чому дорівнює швидкість ракети відносно лабораторної СВ?

Відповідь. а) м. Вказівка. Використати рівність де б) м/с=0,6с. Цей результат - наслідок рівності .

Короткі відомості про загальну теорію відносності (ЗТВ)

Спеціальна теорія відносності стала узагальненням принципу відносності класичної фізики на всі фізичні явища в ІСВ, зокрема розширила відомості про простір і час. Вона встановлює залежність метрики простору-часу від руху СВ, є важливим кроком у пізнанні світу, в розширенні наших знань про простір і час, масу й енергію. Розкриваючи відносність одних величин (довжини відрізка, маси тіла та ін.), ця теорія встановлює абсолютний характер інших (інтервал, маса-енергія).

Основні положення СТВ виконуються в ІСВ, де простір-час однорідний і простір ізотропний. Зовсім інша ситуація в неінерціальних системах відліку (НеІСВ), де час неоднорідний, а простір неевклідовий, тобто неоднорідний і неізотропний.

Щодо загальної теорії відносності (ЗТВ) Ейнштейна, то в ній також усі СВ рівносильні: закони природи однакові не тільки для спостерігачів, які рухаються із постійною швидкістю, але й для тих, які рухаються прискорено (як би не оберталися їх лабораторії).

Нехай НеІСВ рухається відносно Землі з прискоренням w, так що її швидкість , де - відстань, яку пройде відносно Землі спостерігач, тоді довжина відрізка (в НеІСВ)

. (ІІ.14)

Бачимо, що в цьому разі довжина відрізка у кожній точці різна. Якщо , то тоді .

Задача. Як виглядатиме ширина прямокутників, що рухаються в ІСВ (рис.94,а), в НеІСВ? Як позначиться на величині значення прискорення w?

Відповідь. Ширина прямокутників зменшуватиметься з просуванням уздовж осі ОХ (рис.94,б). Якщо прискорення w більше за модулем, то змінюватиметься швидше, причому вздовж додатного напряму ОХ елемент довжини зменшуватиметься, а вздовж від'ємного - зростатиме.

Через неоднорідність і неізотропність закони збереження імпульсу і момента імпульсу в НеІСВ не виконуються. Порушується також плин часу і закон збереження енергії. Справді, інтервал часу, зокрема,

. (ІІ.15)

У полі сил тяжіння

(ІІ.16)

де і g - прискорення тіл, що вільно падають. Величина називається напруженістю гравітаційного поля. Тут G - гравітаційна стала, m0 - маса гравітуючого тіла, r - відстань до його центра.

Отже, в гравітаційному полі, як і в НеІСВ, час неоднорідний, а простір неевклідовий, тобто неоднорідний і неізотропний. Геометрія реального світу, заповненого речовиною, неевклідова. Сенс її в тому, що в неевклідовому просторі найкоротша відстань між двома точками не пряма лінія (рис.95), а деяка крива (геодезична) лінія. Прикладом такої лінії може бути дуга великого кола або гвинтова лінія на поверхні циліндра (рис.96).

Для двох матеріальних точок з масами m і m1, на які діють сили і , маємо: і . Якщо прискорення , то , тобто якщо дві частинки мають рівні прискорення, то сили, які діють на частинки, пропорційні до їх мас.

Позаяк прискорення тіл під дією сили тяжіння на поверхні Землі є величина стала, то масу тіла можна вважати пропорційною до його ваги: .

Для одного й того ж тіла виконуватимуться рівності

.

У першому випадку маса являється мірою гравітаційної взаємодії даного тіла з іншими, й тому її називають масою гравітаційною (). У другому випадку маса є мірою інертності (інертна маса).

Так як у вільному падінні різні тіла мають однакові прискорення g, то з цього факту випливає висновок про числові рівності інертної маси і її гравітаційної маси.

(ІІ.17)

Тож маса є мірою інерційних і гравітаційних властивостей об'єктів. Виразником інерційних властивостей є те, що маса тіла входить у закон динаміки, а виразником гравітаційних властивостей - у закон тяжіння. У того самого тіла маса гравітаційна та маса інерційна збігаються і їх тотожність є основою ЗТВ. Співвідношення (ІІ.17) вважають одним із найпереконливіших досягнень сучасної науки. У 1916 році воно було покладено А.Ейнштейном в основу ЗТВ.

Згідно з цією теорією матеріальне тіло змінює простір-час, а ступінь викривлення останнього взаємозв'язаний з масою тіла.

Зупинимося на цих питаннях докладніше. Отже, тотожність між місцевим гравітаційним полем і полем сил інерції, так званий принцип еквівалентності, посідає чільне місце в теорії тяжіння Ейнштейна. Послідовне дотримання принципу еквівалентності дає підстави для висновку: дійсне гравітаційне поле може стати еквівалентним прискореним СВ за умови, що в будь-якій обмеженій області простір-час виявиться викривленим. Тяжіння, таким чином ототожнюється з викривленням чотирьохвимірного простору-часу, з неевклідовою метрикою цього континумі (суцільного середовища). Всі тіла в гравітаційному полі рухаються вздовж геодезичних „прямих” незалежно від їхньої маси, стану тощо. Спостережуване викривлення траєкторії (орбіти), зміна швидкості - усе це властивості простору-часу, викривленого масами, які утворюють гравітаційне поле. Викривлення простору-часу визначається як масою, так і всіма видами енергії, властивими тілу (бо ).

ЗТВ розкрила зв'язок між метрикою простору-часу і розподілом мас у ньому, пояснила природу тяжіння і сил інерції, описала польовий (близькодіючий) механізм тяжіння. Закони руху однаково формуються в інерціальних і в НеІСВ, якщо ототожнити сили тяжіння і сили інерції. Іншими словами, ніяких сил тяжіння у ньютонівському розумінні в Ейнштейна немає. Камінь падає на Землю і планети рухаються навколо Сонця, підпорядковуючись тільки інерції. Але немає підстав вважати, що реальні властивості простору й часу поблизу матеріальних тіл зовсім такі ж самі, як дуже далекі від них.

Властивості простору вивчає геометрія, відтак закон тяжіння Ейнштейна встановлює зв'язок між геометрією світу і матерією, що в ньому перебуває. Тим самим постулати геометрії знаходять своє обґрунтування у законах фізики.

Годинник у полі тяжіння повинен іти дещо повільніше, ніж подалік від гравітуючого тіла. Атом у полі тяжіння зорі випромінює світло меншої частоти, ніж у даній спектральній лінії такий самий атом на Землі. Всі лінії у спектрі зорі змістяться до червоного кінця, що і спостерігається.

Фрідман показав (1923р.), що властивості простору, який містить матерію, не можуть бути статичними, а залежать від часу. Одні лише сили тяжіння не можуть утримувати маси у спокої, а рухомі маси продукують нестатичне поле тяжіння.

Поза полем тяжіння час однорідний, простір однорідний та ізотропний. У цих областях тіло рухатиметься вздовж прямої зі сталою швидкістю, бо переміщення і проміжок часу , відтак (див. (ІІ.15), (ІІ.16)).

Ейнштейн показав, що: 1. Планети рухаються навколо Сонця не по еліпсах, а по незамкнутих кривих, які нагадують еліпс, вісь якого обертається повільно в площині орбіти. Цей релятивістський ефект найсильніше проявляється для Меркурія; 2. Існує викривлення світлових променів поблизу гравітаційних мас; 3. Хід годинника в полі тяжіння сповільнюється, змінюється частота обертання в полі тяжіння навіть Землі; 4. Можливе зміщення частот світла при русі фотонів проти гравітаційного поля; 5. Можливе існування гравітаційних хвиль, які експериментально досі не виявлені; 6. У Всесвіті існують чорні діри, де можлива затримка електромагнітних хвиль у часі тощо.

На сьогодні ЗТВ не являється остаточно завершеною теорією. Проте її висновки знаходять підтвердження на досліді, а застосування в космології, теоретичній фізиці дали цікаві наукові результати. При слабких полях і малих швидкостях тіл рівняння Ейнштейна закономірно переходять у рівняння Ньютона.

Підведемо підсумки. Ньютонова теорія тяжіння не узгоджується з положеннями СТВ про скінченну швидкість поширення матеріальних взаємодій, не придатна для опису змінного поля тяжіння та опису явищ у сильних гравітаційних полях (нейтронних зір, чорних дір та ін.), не описує гравітаційних взаємодій світла, не розкриває польового близькодіючого механізму самої гравітації.

У класичній механіці простір (тривимірний) і час (однорідний) розглядаються не взаємопов'язаними, абсолютними, однорідними. СТВ виявила їх взаємозв'язок, встановила їх відносність і залежність їхніх проміжків від вибору СВ. Отже час і простір нерозривно пов'язані між собою, відокремлено не виступають. На це вказав Мінковський. ЗТВ встановила залежність метрики простору-часу від розподілу мас, неможливість існування простору-часу у відриві від матеріальних тіл.

Ейнштейн уважав, що гравітація породжується енергією. Енергія еквівалентна масі і, отже, гравітація породжується масою.

Декілька задач-запитань

Запитання 1. Чи може тіло набути прискорення у тому разі, коли на нього не діють інші тіла?

Відповідь. Так. Це буває тоді, як рух тіл відбувається у НеІСВ. Наприклад, коли потяг різко рушає з місця, ми отримуємо прискорення назад, хоча взаємодія із іншими тілами тут відсутня.

Запитання 2. Тіло підвішене на нитці (висок) у вагоні потяга, що рухається рівномірно. Нитку перепалюють. Що являє собою траєкторія руху тіла: а) відносно вагона; б) відносно Землі?

Відповідь. а) Вертикальну пряму і б) параболу.

Запитання 3. На рис.97 висок масою m підвішений у вагоні, що рухається прямолінійно з прискоренням . Сила тяжіння і сила натягу нитки напрямлені під кутом одна до одної і не зрівноважуються: . 1) Чому тоді тіло перебуває відносно вагона в спокої, адже результуюча сил, що діють на нього, ? 2) Як падатиме тіло виска, якщо його нитку перепалити: а) відносно вагона; б) відносно Землі?

Відповідь. 1) Окрім сил, що діють на дане тіло збоку інших тіл (їх результуюча ), діє ще додаткова сила (вона дорівнює масі тіла, помноженій на прискорення НеІСВ, що береться з протилежним знаком) (рис.98). Ця сила зрівноважує рівнодійну , тому тіло виска перебуває в спокої. Отож, якщо врахувати сили інерції, то для НеІСВ перший і другий закони Ньютона виконуються так само добре, як і для ІСВ: зокрема маса тіла, помножена на його прискорення відносно НеІСВ, дорівнюватиме за модулем і напрямом рівнодійній усіх сил, прикладених до тіла, включаючи й силу інерції. 2) а) Прискорено падатиме (відносно вагона) вздовж похилої площини, що лежить на продовженні нитки виска ще до того, як її перепалили (рис.98); б) по параболі з початковою швидкістю, що дорівнює швидкості потяга в момент перепалювання нитки. Рух вагона при цьому не впливає на рух тіла, з яким не пов'язаний.

Запитання 4. У разі інерції силі можна вказати тіло, на яке сила діє. Чи можна вказати також тіло, збоку якого ця сила діє? Чи можна користуватися третім законом Ньютона в НеІСВ?

Відповідь. Не можна. Третій закон Ньютона передбачає взаємодію між собою тіл, яка в цьому разі відсутня.

Запитання 5. Прискорення, яке набувають тіла під дією сили тяжіння або сили інерції, не залежать (навідміну від другого закону Ньютона) від маси тіл. Пояснити це.

Відповідь. Бо кожна з цих сил пропорційна до маси тіла, на яке вони діють. Спостерігаючи в якійсь системі відліку рух тіла під дією сил і не знаючи нічого про те, чи ця система інерціальна, не можна відрізнити ці сили одна від одної.

Запитання 6. Відхилення виска (на однаковий кут) від прямої, перпендикулярної до поверхні Землі, може викликатися як похилим положенням вагона (рис.99,а), так і його прискореним рухом (рис.99,б). Поясніть, чи може людина у вагоні встановити, який з цих двох чинників має місце при відхиленні виска, що спостерігається.

Відповідь. Ні, бо сили тяжіння і сили інерції еквівалентні.

Запитання 7. Які ще існують особливості сил інерції , крім уже розглянутих у запитаннях 4 і 5?

Відповідь. Сили діють лише в НеІСВ, в кожній системі відліку вони завжди являються зовнішніми силами.

Задачі і запитання до розділу ІІ

симетрія кристал простір час

1. Два електрони рухаються назустріч один одному з швидкістю . З якою швидкістю вони зближуються один з одним? рухаються один відносно другого? Що між ними настане раніше - взаємодія чи зіткнення?

2. Чи підпорядковується швидкість світла закону додавання швидкостей?

3. Чи можливо, щоб частинка скінчених розмірів при взааємодії не деформувалася?

4. Чи може бути фотон початком ІСВ?

5. Умоглядно проаналізуйте, якому світу відповідали б такі два значення швидкості світла: а) с = 0; б) ?

6. Нехай світловий сигнал посланий із точки x = y = z = 0 у момент t = 0 вздовж осі Ох у системі XYZ. В момент t він буде зареєстрований у точці x = ct, y = 0, z = 0. Якщо в усіх ІСВ величина швидкості світла однакова, то, підставляючи в (ІІ.10) , ми повинні неминуче здобути результат . Показати це.

7. Чи залежить від швидкості руху ІСВ швидкість тіла? Швидкість світла?

8. Чи може електрон рухатися з швидкістю, більшою за швидкість світла в даному середовищі?

9. Продемонструвати інваріантність прискорення при переході від однієї ІСВ до другої.

10. Ракета рухається з швидкістю відносно Землі 10 років за годинником спостерігача в ракеті. Який час пройде на Землі?

11. Дві частинки рухаються вздовж однієї прямої з швидкостями 0,9 с і 0,7 с відносно рухомої ІСВ. Яка відносна швидкість частинок, коли вони рухаються в одному напрямі? в протилежних напрямах?

12. Літак рухається з швидкістю назустріч нерухомому джерелу світла. З якою швидкістю зближується літак із світлом?

13. На скільки скорочується діаметр Сонця під час його руху відносно всіх інших галактик. Радіус і швидкість Сонця становлять 696000 км і 370 км/с.

14. Тіло рухається з швидкістю c. У скільки разів скоротяться розміри тіла в напрямі руху?

15. Чи можуть розміри лінійки, що рухається вздовж осі Ох, скоротитися до нуля?

16. Два спостерігачі рухаються один відносно другого з швидкістю . У якого з них час протікає повільніше, ніж у другого?

17. Мюони за час свого життя (с), рухаючись із швидкістю, близькою до швидкості світла с, можуть пройти не більше 660м, тобто у 30 разів меншу, ніж відстань, що відокремлює їх від земної поверхні, яку вони досягають. Як це може бути?

18. У СВ, в якій - мезон перебуває в стані спокою, час його життя с. З якою швидкістю летить мезон, якщо до розпаду він пролітає відстань 6 км?

19. Звіряючи свій годинник із годинником рухомого (з швидкістю ) спостерігача, нерухомий спостерігач бачить, що інші годинники відстають. Довести це.

20. Нерухомий спостерігач І, що знаходиться посеред точок А та В, побачив, що в ці точки водночас влучили блискавки (рис.100). Чи водночас вони влучили для нерухомих спостерігачів ІІ і ІІІ? Для яких нерухомих відносно А та В спостерігачів, крім спостерігача І, події в А і В будуть одночасними?

21. У СВ, що рухається з швидкістю , у напрямі додатних значень осі випромінюється промінь світла (вісь перпендикулярна до напряму руху). Визначити, під яким кутом цей промінь рухається в нерухомій СВ.

22. Нехай бігун дивиться на себе в дзеркало, яке він тримає перед собою у витягнутій руці. Чи побачить він себе в дзеркалі, якщо він біжить майже із швидкістю світла?

23. Літак летить зі швидкістю км/год. Вздовж літака йде людина з швидкістю км/год відносно літака в напрямі його руху. Яка різниця швидкостей людини відносно поверхні Землі, обчислених по формулі додавання швидкостей класичної фізики й теорії відносності?

24. Скільки часу для земного спостерігача і для космонавтів забире мандрівка до зорі Сіріуса і назад, відстань до якої дорівнює 8,8 світлових років? Швидкість космічного корабля 0,999с.

25. Показати, що частинка з масою спокою може рухатися тільки зі швидкістю світла .

26. Нижче подано чотири формули для імпульсу деякого фізичного об'єкта: , , , , де m і - маса і швидкість тіла в класичній механіці, - швидкість світла у вакуумі, і - вектори електричної напруженості та індукції магнітного поля, - циклічна частота й одиничний вектор у напрямі руху фотона. Імпульс яких тіл описує кожна з формул?

27. В ультрарелятивістській області величина швидкості тіла майже не змінюється, а імпульс інтенсивно зростає. Пояснити, чому.

28. За якої швидкості протона його маса подвоюється?

29. Атом з масою mо поглинає фотон з частотою . Яку швидкість набуде атом у напрямі руху фотона?

30. Два фотони однакової частоти летять назустріч один одному вздовж тієї самої прямої. Якою найменшою енергією повинні володіти фотони, щоб стало можливим народження електрон-позитронної пари?

31. У давнину на підставі порівняння світлового променя, що поширюється вздовж прямої, із траєкторією стріли робили висновок, що швидкість світла велика. Чому так?

32. На схід чи на захід відхилиться тіло, кинуте вертикально вгору?

33. Тіло рухається під дією постійної сили . Чи буде його прискорення сталим під час руху тіла?

34. Ви намалювали на поверхні яйця два трикутники - поблизу гострого кінця і поблизу тупого. Сторони трикутників рівні. У якого з них більша сума кутів?

35. Від чого залежить форма геодезичної лінії?

36. При перетворення координат виявилося, що із рівності випливало . Виходить: довжина відрізка залежить від того, в якій області простору він перебуває. Про що це свідчить?

37. Однорідний чи неоднорідний простір поблизу земної поверхні?

38. Сила тяжіння від далеких зір спадає обернено пропорційно квадрату відстані до них, а загальне число зір зростає прямо пропорційно до куба відстані (об'єму, який вони займають). Як змінюватиметься сила тяжіння , що діє на якесь тіло у Всесвіті?

39. Припустимо, що через мільярд років гравітаційна стала G стане іншою. Чи можна буде тоді говорити про незмінність часу? Прискорюватиметься чи сповільнюватиметься плин часу при зміні G?

40. Які сили - тяжіння чи інерції - будуть між собою паралельними при русі в СВ з прискоренням?

41. Рух тіла відбувається вздовж геодезичної лінії. Рухається це тіло за інерцією чи в полі сили тяжіння?

42. Маса фотона , де h - стала Планка, с - швидкість світла у вакуумі, - довжина хвилі фотона. Чи набуватиме фотон прискорення, якщо на нього подіяти силою у напрямі дії цієї сили?

43. З якою гравітаційною силою притягуються два високо енергійні фотони на відстані r один від одного?

Відповіді до задач і запитань

розділу ІІ та вказівки до розв'язання

1. ; . Взаємодія.

2. Ні.

3. Ні. Щоб частинка не деформувалася, коли рух окремих частин цілого неможливий, необхідне виконання умови: . Це суперечить першому постулату СТВ.

4. Ні. У таких ІСВ швидкість фотона , отже . Фотон, як частинка, зникне.

5. а) Світу, що існує тільки в часі. Поняття “простір” у цьому випадку позбавлене сенсу і ніякий сигнал ніколи і нікуди не поширюється; б) світу, що існує тільки в просторі. Тут простір нескінченний, а час не пливе, не змінюється. Він постійний.

6. Маємо: .

7. Так; ні.

8. Так, але його швидкість менша, ніж швидкість світла у вакуумі.

9.

10. 223 роки.

11. ; .

12. .

13. 1,06 км. Вказівка: якщо швидкість , то .

14. У два рази.

15. Ні, бо тоді швидкість лінійки дорівнювала б с, що неможливо.

16. У того, що в іншій системі відліку.

17. Діє ефект сповільнення часу в СВ, пов'язаній з мюоном. Він досягає поверхні Землі раніше, ніж розпадеться.

18. 0,99 с, де с - швидкість світла у вакуумі.

19. Нехай годинник рухомого спостерігача в початковий момент поставлено по годиннику нерухомого, тобто при і . Нехай, далі, рухомий спостерігач з годинником у цей момент перебуває у початку його СВ і для нього . Підставивши у рівняння , маємо . Але , тому .

20. Ні. Для спостерігача ІІ в точку А блискавка влучила раніше, для спостерігача ІІІ блискавка влучила спочатку в точку В; для спостерігачів С у точках, рівновіддалених від А і В, що не перебувають на прямій АВ.

21. , .

22. Так. Це наслідок формули додавання швидкостей СТВ.

23. .

24. 17,62 р.; 0,7878 р.

25. Виключивши з формули і (імпульс частинки) значення швидкості v, маємо . При . Розділивши ліві і праві частини вихідних рівнянь, отримуємо . Це співвідношення сумісне з попереднім тільки при , тобто частинка має рухатись із швидкістю світла.

26. Перша формула описує імпульс тіла в класичній механіці; друга - в теорії відносності; третя виражає імпульс одиниці об'єму електромагнітного поля; четверта - виражає імпульс фотона. Ці чотири формули демонструють універсальність поняття “імпульс”.

27. Імпульс зростає переважно за рахунок збільшення маси тіла: .

28. .

29. .

30. , де - маса спокою електрона (позитрона).

31. Це тому, що траєкторія стріли тим більше наближається до прямої, чим більша швидкість стріли.

32. На захід.

33. Ні в якому разі, бо при швидкостях маса m тіла швидко зростатиме відтак зменшуватиметься.

34. У того, що ближче до загостреного кінця яйця.

35. Від структури поля тяжіння.

36. Однорідність простору порушена. Цей висновок стосується і часу.

37. Неоднорідний: всі тіла поблизу поверхні прагнуть зайняти

найнижчі положення?

38. Величина загальної сили тяжіння, що діє на окреме тіло у Всесвіті, стала б безмежно великою (), чого насправді не спостерігається. Це тому, що в цих випадках треба користуватися ЗТВ.

39. Ні. Якщо G зростає, то час сповільнюється, якщо числове значення G зменшиться, хід часу прискориться.

40. Інерції. Сили тяжіння, якщо СВ протяжнка, ні, бо вони напрямлені до центра Землі.

41. За інерцією.

42. Ні. Тут намагаємося протиставити матеріальній речовині випромінювання. Крім того, отримавши прискорення, фотон мав би рухатися з швидкістю, більшою, ніж с, що неможливо.

43. Питання позбавлене сенсу. Поняття маси фотона істотне лише при аналізі його руху в гравітаційному полі внаслідок принципу еквівалентності інертної маси і гравітаційної.

Размещено на Allbest.ru

...