Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Двухмерное стационарное температурное поле

двухмерный стационарный температурный поле

В практике встречаются двухмерные стационарные температурные поля, например поле средней по глубине температуры водоема, поле температуры в сечении ледяного покрова и т. д.

В стационарном двухмерном температурном поле распределение температуры зависит только от двух координат (x, у). Для такого поля дифференциальное уравнение теплопроводности переходит в уравнение Лапласа и имеет вид:

?²t/?x² + ?²t/?y² =0. (1.1)

Аналитическое решение этого уравнения значительно сложнее, чем решение уравнения для одномерного поля. Поэтому в практических задачах для тел, имеющих сложные очертания и сложные граничные условия, аналитическое решение часто не удается получить. В таких случаях решение уравнения (1.1) выполняется приближенными методами, а именно: графическим методом, методом релаксации, электротепловой аналогии и др.

Метод релаксации. Метод релаксации предусматривает замену дифференциалов в уравнении стационарной теплопроводности (1.1) конечными разностями. При такой замене дифференциальное уравнение (1.1) примет вид:

?²t/?x² + ?²t/?y² =0, (1.2)

где ?x и ?y -- стороны элементарных площадок, на которые разбито двухмерное тело; t -- температура в узлах сетки. Построим сетку так, что ?x = ?y.

Обращаясь к рис. 1.1, найдем вторые производные в конечных разностях по осям x и у в узле 0:

(1.3)

где первые производные:

(1.4)

Рис. 1.1 Схема к расчету методом релаксации [8]

Решая уравнение (1.2) совместно с выражениями (1.3) и (1.4) и учитывая, что ?x = ?y, получаем:

(1.5)

Откуда

t₁ + t₂ + t₃ + t₄ - 4t₀ = 0 (1.6)

(1.7)

т. е. температура в узле сетки 0 равна среднему арифметическому значению температуры в соседних узлах. Выражение (1.6) справедливо для любого узла построенной сетки однородного плоского тела.

Записав уравнение (1.6) для каждого из узлов тепловой сетки, получим систему, состоящую из числа линейных уравнений, равного числу узлов сетки. Для решения этой системы уравнений применяют различные численные методы, и в частности, метод релаксации.

Название метода происходит от латинского relaxatio -- ослабление, означающего постепенный переход системы в равновесное состояние. Например, если температура в каком-либо узле сетки, зависящая от четырех соседних значений температуры, находится в равновесии с ними, то выполняется уравнение (1.6). Если она не находится в равновесии с соседними значениями температуры, то правая часть этого уравнения не будет равна нулю, т.е.

t₁ + t₂ + t₃ + t₄ - 4t₀ = ?t, (1.8)

где ?t -- остаток.

Для сведения к нулю правой части (остатка) каждого из уравнений системы, т.е. для приведения системы в равновесное состояние, и применяется этот метод.

Рассмотрим применение метода релаксаций на примере расчета распределения температуры в поперечном сечении ледяного покрова, канала при отсутствии снега с одной его стороны (рис. 1.2). Ледяной покров лежит на воде. Температура поверхности льда под снегом --5°С, на границе --7,5°С, а в зоне отсутствия снега --10°С.

Выполним разбивку сечения толщи покрова на элементарные квадраты со сторонами ?x = ?y. Известно, что чем меньше шаг разбивки поля на квадраты, тем точнее решается задача. В рассмотренном примере в целях наглядности и простоты изложения ограничимся минимальным числом квадратов, приняв крупный шаг разбивки поля на квадраты.

Рис.1.2. Расчет температуры в поперечном сечении ледяного покрова канала методом релаксации [8]

Назначим температуру в узловых точках полученной сетки сообразно смысловым требованиям граничных условий. Выпишем принятые значения температуры льда у каждой узловой точки, т. е. будем иметь --5, --3,75 и --2,5°С. Затем по уравнению (1.8) вычислим в этих точках остаток ?t. Полученный остаток говорит о том, что температура льда в этих точках принята неправильно. Согласно уравнению (1.6), ее необходимо выравнять методом последовательного приближения, начиная с точки, в которой наблюдается максимальный остаток. В рассматриваемом примере максимальный остаток ?t_а = +1,25°С получился в точке а.

Для проведения выравнивания температуры (ее увеличения в точке а) изменим ее значение, согласно уравнению (1.8):

?t_а/4 = +1,25/4 = + 0,31°С,

тогда получим:

?t_а = --5,00 + 0,31 = = --4,69°С.

С учетом уточненного значения температуры льда в точке a определяем остаток ?t_б = +0,31°С в точке б.

Затем уменьшим температуру в этой точке на:

?t_б/4 = +0,31/4 = +0,08°С

и получим:

t_б = --3,75 + 0,08 = --3,67°С.

После этого переходим к выравниванию температуры по изложенной схеме в узле в. Если повторный подсчет по уравнению (1.8) по-прежнему выявит остаток ?t, то операции по его уменьшению в каждом узле повторяются и до тех пор, пока он не будет равен нулю, что означает, что температура в точках не меняется. Окончательный результат расчета температуры льда в нашем примере приведен на рис. 1.2.

Таким образом, метод релаксации заключается в том, что, задаваясь первоначально произвольным, но более или менее вероятным распределением температуры, затем постепенно выравнивают ее последовательным приближением, пользуясь уравнениями (1.7) и (1.8). Следует заметить, что можно вычислить температуру в узлах сетки, пользуясь только уравнением (1.7), т. е. без вычисления остатка. Однако в этом случае объем вычислительных работ несколько больше, чем в первом варианте.

Метод релаксации может быть применен также для оценки двухмерного температурного поля неоднородного тела, в том числе с источниками теплоты и с произвольным шагом разбивки сетки.

Метод электротепловой аналогии (ЭТА). Большое число задач, встречающихся в теплотехнике, которые в настоящее время не могут быть решены теоретически, решаются с успехом экспериментально методом ЭТА. Метод ЭТА относится к физическим (экспериментальным), прост и не требует больших затрат времени и средств на решение поставленной задачи.

Метод электрической аналогии, к которому относится метод ЭТА, применяется в гидравлике, гидродинамике, аэромеханике, гидрологии, теории упругости, механике грунтов, строительной механике, океанологии и других науках. Этот метод теоретически обоснован и впервые внедрен в практику исследования академиком Н.Н. Павловским в 1922 г. при изучении вопроса фильтрации под гидротехническими сооружениями. В настоящее время этот метод широко известен как метод ЭГДА (электрогидродинамическая аналогия). Для решения этим методом различных задач разработаны специальные установки, получившие название электроинтеграторов.

Метод ЭГДА (ЭТА, ЭДА -- электродиффузионной аналогии и т. д.) основан на аналогии математической записи двух разных физических явлений: с одной стороны, теплопроводности, диффузии, фильтрации и других в изучаемой среде, а с другой стороны -- электропроводности в электропроводном материале, а именно:

закона Фурье:

(1.9)

закона Фика:

(1.10)

закона Дарси:

(1.11)

2) закона Ома:

(1.12)

где q₁, q₂, q₃, I -- соответственно удельный поток теплоты, диффундирующего вещества, фильтрующей воды, электричества;

t, S, H, U -- соответственно температура, концентрация, напор, электрический потенциал, изменяющиеся в направлении нормали n;

л, D, k, у -- соответственно коэффициент теплопроводности, диффузии, фильтрации, электропроводности;

R_Т = д/л, R_Д = д/D, R_Ф = д/k, R_Э = д/у -- соответственно термическое, диффузионное, фильтрационное, электрическое сопротивление слоя ?n = д.

Указанную аналогию можно так же легко проследить, если перейти от уравнений (1.9) -- (1.12) к уравнениям Лапласа, описывающим двухмерные поля:

а) тепловое

?²t/?x² + ?²t/?y² =0, (1.13)

б) диффузное

?²S/?x² + ?²S/?y² =0, (1.14)

в) фильтрующих вод:

?²H/?x² + ?²H/?y² =0, (1.15)

г) электрическое:

?²U/?x² + ?²U/?y² =0. (1.16)

Используя представленную аналогию математической записи двух разных физических явлений, на практике по данным электрического поля, полученного в эксперименте на геометрически подобной модели и представляющего собой ортогональную сетку линий тока и эквипотенциалей, находят температурное поле и поток теплоты. Пересчет электрических характеристик в тепловые выполняют с помощью масштаба температуры:

m_t = ?t/?U = (t_макс - t_мин)/(U_макс - U_мин) (1.17)

и масштабов теплового потока и термического сопротивления:

m_q = q/I = m_t/m_R, (1.18)

m_R = R_Т/R_Э, (1.19)

где ?t и ?U -- перепад температуры и электрического потенциала в сходственных точках;

t_макс и t_мин -- максимальное и минимальное значения температуры.

Рис. 1.3. Электрическая модель толщи многолетней мерзлоты (1) с рекой (3)

Температура воды в реке +4°С, поверхности многолетней мерзлоты -10°С.

U -- значение электрического потенциала в долях единицы.

Для получения электрических характеристик используется прибор, собранный по мостовой схеме, для которой справедливо соотношение:

r₁/r₂ = R₁/R₂ = (U₁ - U_x)/ (U_x - U₂). (1.20)

В выражении (1.20) R₁ и R₂ -- сопротивления частей электрической модели влево и вправо от эквипотенциальной линии, a U_x -- значение электрического потенциала на эквипотенциальной линии.

В качестве электрической модели, заменяющей изучаемое тело, обычно применяют электропроводящую бумагу, а при решении пространственных задач -- электролит.

На рис. 1.3 показана схема прибора, на котором решается, например, задача об определении нулевой изотермы под рекой, протекающей в районе многолетней мерзлоты. В схему прибора входит электрическая модель 1, вырезанная из токопроводящей бумаги. По верхнему и нижнему участкам контура этой модели наложены металлические шины 2, 3, 4, на которые подается электрический потенциал, пропорциональный заданной температуре на этих участках. Шины соединены с источником электропитания. В цепь включен также делитель напряжения 5. Он предназначен для задания местонахождения очередной искомой эквипотенциали. Положение же эквипотенциали на модели определяется с помощью иглы 6, включенной в электрическую цепь через гальванометр 7 и подвижной контакт 8. В электрическую цепь должны быть включены также амперметр A и вольтметр V.

Работа на приборе ЭТА заключается в следующем. С помощью подвижного контакта 8 поочередно изменяем сопротивление левой и правой частей делителя напряжения 5 (r₁ и r₂). Одновременно при каждом положении контакта 8 ищем иглой 6 точки на модели, соответствующие нулевым показаниям гальванометра 7. Соединяя полученные точки плавными линиями, получаем эквипотенциали. После этого строим от руки линии тока, соблюдая ортогональность пересечения их с эквипотенциалями и добиваясь сетки, состоящей из криволинейных квадратов.

Выше установлено, что электрические и температурные поля аналогичны. Поэтому полученные линии равных потенциалов можно принять за изотермы.

Для пересчета электрических потенциалов в температуру (или силы тока в тепловой поток) следует воспользоваться масштабами m_t и m_q. Все расчеты удобнее вести в относительных единицах, приняв за единицу разность потенциалов и перепад температуры. В этом случае пересчет полученных в точках модели значений потенциала в температуру следует осуществлять по формуле:

t_i = t_мин + (t_макс - t_мин) U_i, (1.21)

где U_i -- значение электрического потенциала в точке в долях единицы.

Рассмотренный метод может быть успешно применен также для расчета температурных полей в слоистых и неоднородных средах, как с граничными условиями первого рода, так и с граничными условиями третьего рода. В последнем случае термическое сопротивление на поверхности исследуемого тела учитывается путем добавления к электрической модели дополнительного слоя, равного l = л/б.

Размещено на Allbest.ru