Размещено на http://www.allbest.ru/

Аналитические методы решения уравнения теплопроводности

1. Метод разделения переменных при решении уравнения теплопроводности

Дифференциальное уравнение теплопроводности в условиях одномерной задачи и без источников теплоты имеет вид

?t/?ф = a ?²t/?x². (3.1)

Это уравнение является частным случаем однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами для некоторой функции t от двух переменных x и ф:

(3.2)

Легко проверить, что частным решением этого уравнения будет выражение

t = C exp (бx + вф). (3.3)

Действительно:

?t/?x = бС ехр (бx + вф); ?t/?ф = вС ехр (бx + вф);

?²t/?x² = б²С ехр (бx + вф);

?²t/?ф² = в²С ехр (бx + вф); ?²t/(?x ?ф) = бвС ехр (бx + вф) (3.4)

Совместное решение последних семи уравнении дает

a₁б² + b₁бв + c₁в² + d₁б + l₁в + f₁ = 0. (3.5)

Последнее уравнение называется уравнением коэффициентов.

Переходя к уравнению (3.1) сопоставляя его с уравнением (3.2), заключаем, что

b₁ = c₁ = d₁ = f₁ = 0; a₁= - a; l₁ = 1. (3.6)

Уравнение коэффициентов (3.5) для частного случая уравнения (3.1) приобретает вид

- б²a + в = 0 (3.7)

или

в = б²a. (3.8)

Таким образом, частное решение (3.3) является интегралом дифференциального уравнения (3.1) и с учетом (3.8) приобретет вид

t = C exp (б²aф + бx). (3.9)

В этом уравнении можно задавать любые значения чисел для C, б, a.

Выражение (3.9) может быть представлено в виде произведения

t = C exp (б²aф) exp (бx), (3.10)

где сомножитель exp (б²aф) является функцией только времени ф, а сомножитель exp (бx) - только расстояния x:

exp (б²aф) = f (ф); exp (бx) = ц (x). (3.11)

С увеличением времени ф температура во всех точках непрерывно растет и может стать выше наперед заданной, что в практических задачах не встречается. Поэтому обычно берут только такие значения б, при которых б² отрицательно, что возможно при б чисто мнимой величине.

Примем

б = ± iq, (3.12)

где q - произвольное действительное число (ранее значком q обозначали удельный тепловой поток),

В этом случае уравнение (3.10) приобретет следующий вид:

t = C exp (- q²aф) exp (± iqx). (3.13)

Обращаясь к известной формуле Эйлера

exp (± ix) = cos x ± i sin x (3.14)

и, пользуясь ею, преобразуем уравнение (3.13). Получим два решения в комплексном виде:

(3.15)

Суммируем левые и правые части уравнений (3.15), затем отделим действительные от мнимых частей в левой и правой частях суммы и приравняем их соответственно. Тогда получим два решения:

(3.16)

Введем обозначения:

(C₁ + C₂)/2 = D; (C₁ - C₂)/2 = C (3.17)

тогда получим два решения, удовлетворяющих дифференциальному уравнению теплопроводности (3.1):

t₁ = D exp (- q²aф) cos (qx); t₂ = C exp (- q²aф) sin (qx). (3.18)

Известно, что если искомая функция имеет два частных решения, то и сумма этих частных решений будет удовлетворять исходному дифференциальному уравнению (3.1), т.е. решением этого уравнения будет

t = C exp (- q²aф) sin (qx) + D exp (- q²aф) cos (qx), (3.19)

а общее решение, удовлетворяющее этому уравнению, можно записать в следующем виде:

(3.20)

Любые значения q_m, q_n, C_i, D_i в уравнении (3.20) будут удовлетворять уравнению (3.1). Конкретизация в выборе этих значений будет определяться начальными и граничными условиями каждой частной практической задачи, причем значения q_m и q_n определяются из граничных условий, а C_i, и D_i, - из начальных.

Помимо общего решения уравнения теплопроводности (3.20) в котором имеет место произведение двух функций, одна из которых зависит от x, а другая - от ф, существуют еще решения, в которых такое разделение невозможно, например:

 (3.21)

(3.22)

Оба решения удовлетворяют уравнению теплопроводности, в чем легко убедиться, продифференцировав их сначала по ф, а затем 2 раза по x и подставив результат в дифференциальное уравнение (3.1).

2. Частный пример нестационарного температурного поля в стенке

Рассмотрим пример применения полученного выше решения.

Исходные данные.

1. Дана бетонная стенка толщиной 2X = 0,80 м.

2. Температура окружающей стенку среды и = 0 °С.

3. В начальный момент времени температура стенки во всех точках F(x)=1 °C.

4. Коэффициент теплоотдачи стенки б=12,6Вт/(м²·°С); коэффициент теплопроводности стенки л=0,7Вт/(м·°С); плотность материала стенки с=2000 кг/м³; удельная теплоемкость c=1,13·10³Дж/(кг·°С); коэффициент температуро-проводности a=1,1·10^-3м²/ч; относительный коэффициент теплоотдачи б/л = h=18,0 1/м.

Требуется определить распределение температуры в стенке через 5 ч после начального момента времени.

Решение. Обращаясь к общему решению (3.20) и имея в виду, что начальное и последующие распределения температуры симметричны относительно оси стенки, заключаем, что ряд синусов в этом общем решении отпадает, и при x = Х оно будет иметь вид

(3.23)

Значения определены из граничных условий (без дополнительных здесь пояснений) и приведены в табл. 3.1.

Располагая значениями из табл. 3.1, находим искомый ряд значений по формуле

Значения функций, входящих в формулу (3.24)

т.е. Д₁ = 1,250; Д₂ = - 0,373; Д₃ = 0,188; Д₄ = - 0,109; Д₅ = 0,072.

Начальное распределение температуры в рассматриваемой стенке приобретет следующий вид:

(3.25)

Чтобы получить расчетное распределение температуры через 5 ч после начального момента, необходимо определить ряд значений на время через 5 ч. Эти расчеты выполнены в табл. 3.2.

Значения функций, входящих в формулу (3.23)

Окончательное выражение для распределения температуры в толще стенки через 5 ч после начального момента

(3.26)

На рис. 3.1 показано распределение температуры в толще стенки на начальный момент времени и через 5 ч. Наряду с общим решением здесь же изображены и частные, причем римскими цифрами указаны частные кривые, отвечающие последовательным слагаемым рядов (3.25) и (3.26).

При решении практических задач обычно нет необходимости определять температуру во всех точках стенки. Можно ограничиться расчетом температуры лишь для какой-либо одной точки, например для точки в середине стенки. В этом случае объем вычислительных работ по формуле (3.23) значительно сократится.

Распределение температуры в стенке на начальный момент времени (слева) и через 5 ч (справа) [8]

Если начальная температура в рассмотренном выше случае равна не 1 °С, а Т_с, то уравнение (3.20) примет вид

(3.27)

3. Решение уравнения теплопроводности при различных граничных условиях [8]

Не будем приводить последовательный ход решения уравнения теплопроводности при других граничных условиях, которые имеют практическое значение в решении некоторых задач. Ниже ограничимся лишь формулировкой их условий с показом имеющихся готовых решений.

Задача №1. Исходные данные. Стенка имеет толщину 2Х. В начальный момент во всех ее точках, кроме поверхности, температура Т_с Температура на поверхности 0 °С удерживается в течение всего расчетного периода.

Требуется найти t = f (x, ф).

Решение.

(3.28)

Пример к задаче №1. Неподвижное водохранилище покрылось льдом при температуре наибольшей плотности воды (Т_с = 4 °С). Глубина водохранилища 5 м (Х = 5 м). Рассчитать температуру воды в водохранилище через 3 месяца после ледостава. Температуропроводность неподвижной воды a = 4,8·10^-4 м²/ч. Тепловой поток у дна, т.е. при x = 0, отсутствует.

В течение расчетного периода (ф=3·30·24=2160 ч) температура на поверхности удерживается постоянной и равной нулю, т.е. при x = Х Т_п = 0 °С.

Весь расчет сводим в табл. 3 и 4. Эти таблицы позволяют вычислить значения температуры через 3 месяца после начального момента для глубин у дна, а затем выше через 1 м, т.е. t_0(дно) = 4 °С; t₁ = 4 °С; t₂ = 3,85 °С; t₃ = 3,30 °С; t₄ = 2,96 °С; t_5(пов) = 0 °С.

Как видим, в абсолютно неподвижной воде температурные возмущения весьма медленно проникают вглубь. В природных условиях в водоемах под ледяным покровом всегда наблюдаются течения либо гравитационные (проточные), либо конвективные (разноплотностные), либо, наконец, вызванные поступлением грунтовых вод. Все многообразие указанных природных особенностей следует учитывать при практических расчетах, а рекомендации к этим расчетам можно найти в пособиях и в работах К.И. Россинского [37].

Задача №2. Исходные данные. Тело ограничено с одной стороны (полуплоскость). В момент времени ф = 0 во всех точках температура тела равна Т_с. Для всех моментов времени ф > 0 на поверхности тела поддерживается температура Т_п = 0 °С.

Требуется найти распределение температуры в толще тела и потерю теплоты через свободную поверхность как функцию времени: t = f (x, ф).

Температура в любой точке тела и в любой момент времени

(3.29)

где есть интеграл Гаусса. Его значения в зависимости от функции даны в табл. 3.5.

Практически решение начинается с определения отношения, в котором х и ф заданы в условии задачи.

Количество теплоты, теряемой единицей поверхности тела в окружающую среду, определяется по закону Фурье. За весь расчетный период с начального момента до расчетного

(3.30)

теплопроводность нестационарный стенка уравнение

Пример к задаче №2. В начальный момент времени температура почвы от поверхности до значительной глубины была постоянной и равной 6 °С. В этот момент температура на поверхности почвы упала до 0 °С.

Требуется определить температуру почвы на глубине 0,5 м через 48 ч при значении коэффициента температуропроводности почвы a = 0,001 м²/ч, а также оценить количество теплоты, теряемое поверхностью за это время.

Из табл. 3.5 находим по интерполяции значение интеграла Гаусса.

По формуле (3.29) температура почвы на глубине 0,5 м через 48 ч t=6·0,87=5,2 °С.

Общее же количество теплоты, потерянной единицей поверхности почвы, при коэффициенте теплопроводности л = 0,35 Вт/(м·°С), удельной теплоемкости c = 0,83·10³ Дж/(кг·°С) и плотности с = 1500 кг/м³ определим по формуле (3.30) Q=l, 86·10⁶ Дж/м².

Размещено на Allbest.ru