Расчет электрической цепи при импульсном воздействии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Цель курсовой работы состоит в систематизации и закреплении знаний, полученных при изучении классического, операторного и спектрального методов расчета процессов в линейных электрических цепях, а также теоретических основ анализа дискретных сигналов и линейных дискретных системах.

Задание на курсовую работу содержит схему анализируемой цепи рис. 1.1 и входной сигнал в виде одиночного импульса, параметры которого указаны на рисунке рис. 1.2.

Рисунок 1 - Анализируемая схема

Рисунок 2 - Входной сигнал

дискретный передаточный импульсный дюамель

Все резисторы схемы имеют сопротивление R=1 кОм, а конденсаторы ёмкость C=1мкФ.

t₁=0,002 мс; t₂=0,004 мс

В процесс выполнения работы необходимо получить следующие результаты:

п. 2.1 - рассчитать и построить график напряжения на выходе цепи, для этого необходимо получить аналитические выражения, описывающие U₂(t) на различных интервалах времени с помощью интеграла Дюамеля, воспользоваться программой «Определение реакции цепи на импульс заданной формы с помощью интеграла Дюамеля» (DML) и вычислить значения напряжения на выходе для 12 моментов времени и построить график, затем проверить полученные выражения на нескольких интервалах времени.

п. 2.2 - вычислить передаточную функцию цепи H(jщ), спектральную плотность сигнала на входе и выходе цепи, построить соответствующие графики, для этого записать амплитудно- и фазо-частотные характеристики передаточной функции цепи H(щ) и Ф(щ), получить аналитические выражения спектральной плотности входного сигнала, выделив амплитудную и фазовую характеристики ее U₁(щ), и Ф₁(щ), рассчитать значения АЧХ и ФЧХ цепи, модуля и аргумента спектральной плотности сигнала на входе и выходе цепи с помощью программы «Спектральный метод расчета АЧХ и ФЧХ (FREAN)

п. 2.3 - используя импульсную характеристику цепи, получить выражение для передаточной функции, для этого записать выражение для импульсной характеристики цепи, полученную как производную от переходной характеристики, подставить в формулу прямого одностороннего преобразования Фурье и после вычисления интеграла, записать в виде H(jщ).

п. 2.4 - провести дискретизацию входного сигнала и импульсной характеристики цепи, вычислить отсчеты дискретного сигнала на выходе и построить графики спектра дискретизированного сигнала и АЧХ дискретизированной цепи, для этого среди вычисленных в п. 2.2 значений U₁(щ) выбрать максимальное и найти частоту, выше которой модуль спектральной плотности не превышает значения 0,1U_1max(щ), считая эту частоту верхней границей спектра, выбрать период дискретизации и определить значения функции входного сигнала в выбранных точках отсчета U₁(n), для тех же моментов времени вычислить дискретные значения импульсной характеристики цепи h(n), воспользовавшись формулой дискретной свертки или перемножив Z - преобразования функции дискретного входного сигнала U₁(z) и дискретной импульсной характеристики H(z), вычислить значения дискретной последовательности сигнала на выходе цепи U₂(n) на интервале времени 0?t<10T, сравнив результат со значениями U₂(t), полученными в п. 2.1.

п. 2.5 - по отсчетам входного сигнала вычислить его спектральную плотность, для этого воспользовавшись аналогией между Z - преобразованием Фурье, вычислить значения спектральной плотности дискретного сигнала U₁(n) на 4-5 частотах, построить график спектральной плотности дискретизированного сигнала.

п. 2.6 - составить схему дискретной цепи, выполнив Z - преобразование дискретизированной импульсной характеристики, для этого рассматривая Z - преобразование дискретной импульсной характеристики цепи как системную функцию, составить схему, рассчитать и построить график АЧХ дискретной цепи.

п. 2.7 - определить передаточную функцию цепи, корректирующей искажения дискретного сигнала, вносимые сконструированной дискретной цепью, рассчитать дискретный сигнал на выходе корректора, для этого передаточная функция корректирующей цепи должна быть обратна передаточной функции цепи, полученной в п. 2.4, вычислив отсчеты импульсной характеристики корректирующей цепи H' (n) и применив операцию дискретной свертки к последовательностям U₂(n) и Н' (n) получить результат, совпадающий со значениями U₁(n), составить схему и построить графики АЧХ и ФЧХ корректирующей цепи.

1. Интеграл Дюамеля

Интеграл Дюамеля может быть получен, если аппроксимировать приложенное воздействие f1 (t) с помощью единичных функций, сдвинутых относительно друг друга на время ?.

Функция переходной характеристики:

Где g_пр = U_пр - переходная характеристика при t=?

p - корень характеристического уравнения

a)

E = 1 В

t = 0_-, до коммутации

t = 0₊, в момент коммутации



t = , принужденный режим

Найдём корень характеристического уравнения p:

б)

Интервалы:

в) Интеграл Дюамеля:

1 интервал (0 - t₁):

2 интервал (t₁ - t₂):

3 интервал (t₂ -?):



Рисунок 1 - U₂(t) - Полученное при помощи программы DML

Рисунок 2 - U₂(t) - Получено практически при помощи интеграла Дюамеля.

2. Вычисление передаточной функции цепи H(jщ) и спектральной плотности сигнала на входе и выходе цепи

дискретный передаточный импульсный дюамель

Для нахождения спектральной плотности входного сигнала функция U₁(t) представляется в виде суммы «трёх» простейших функций:

а)



; ;

Рисунок 3 - U₁(f) - полученное практическим способом

Рисунок 4 - U₁(f) - Полученное при помощи программы FREAN



Рисунок 5 - ц₁(f) - Полученное практическим способом

Рисунок 6 - ц₁(f) - Полученное при помощи программы FREAN.

Таблица 2 - значения амплитудно- и фазо-частотной характеристики

f, кГц	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
U1, мВ FREAN	35	27,321	10,733	3,811	5,498	1,593	3,91	2,461	1,734	2,498
U1, B практич	35	27,314	10,716	3,820	5,493	1,592	3,913	2,450	1,743	2,493
ц1, град FREAN	0	79,45	166,67	8,78	118,21	269,27	68,139	167,55	10,072	115,58
ц1, град практич.	0	79,50	166,78	9,03	118,4	270	68,45	167,98	10,64	116,01
f, кГц	1	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9
U1, В FREAN	0,797	2,104	1,38	1,107	1,617	0,531	1,438	0,96	0,811	1,196
U1, B практич	0,796	2,107	1,370	1,117	1,613	0,531	1,442	0,950	0,821	1,192
ц1, град FREAN	268,54	66,712	167,49	10,036	114,67	267,81	66,013	167,28	9,829	114,11
ц1, град практич.	270	67,27	168,24	10,93	115,35	270,00	66,82	168,35	11,05	115

б) Передаточная функция по напряжению цепи, изображенной на рис. 1.1

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/



Рисунок 7 - AЧХ цепи полученное при помощи программы FREAN

Рисунок 8 - АЧХ цепи полученное практически

Рисунок 2.9 - ФЧХ цепи полученное практическим способом



Рисунок 10 - ФЧХ цепи полученное при помощи программы FREAN

Таблица 3 - АЧХ и ФЧХ цепи

f, Гц	H(щ) FREAN	H(щ) Практич.	цH(щ), град FREAN	цH(щ), град Практич.
0	0,6	0,600	0	0
100	0,574	0,574	-8,822	-8,827
200	0,52	0,519	-14,286	-14,288
300	0,47	0,469	-16,381	-16,375
400	0,433	0,433	-16,508	-16,495
500	0,407	0,407	-15,75	-15,733
600	0,39	0,390	-14,681	-14,662
700	0,378	0,377	-13,564	-13,544
800	0,369	0,368	-12,506	-12,486
900	0,362	0,362	-11,544	-11,525
1000	0,357	0,357	-10,685	-10,667
1100	0,353	0,353	-9,924	-9,906
1200	0,35	0,350	-9,249	-9,232
1300	0,348	0,348	-8,651	-8,635
1400	0,346	0,346	-8,119	-8,103
1500	0,345	0,344	-7,643	-7,628
1600	0,343	0,343	-7,217	-7,203
1700	0,342	0,342	-6,833	-6,819
1800	0,341	0,341	-6,486	-6,473
1900	0,341	0,340	-6,171	-6,159

В) АЧХ и ФЧХ выходного сигнала

Рисунок 11

Рисунок 12

Таблица 4 - Значения выходного сигнала в зависимости от частоты

f, Гц	U2(щ) FREAN	U2(щ) Практич.	ц2(щ), град FREAN	ц2(щ), град Практич.
0	21,008	21,000	0	0
100	15,68	15,668	70,629	70,67
200	5,579	5,566	152,39	152,49
300	1,79	1,793	-7,601	-7,34
400	2,38	2,376	101,71	101,9
500	0,649	0,648	253,52	254,27
600	1,525	1,525	53,458	53,78
700	0,929	0,924	153,99	154,44
800	0,639	0,642	-2,434	-1,85
900	0,905	0,902	104,04	104,49
1000	0,285	0,284	257,85	259,33
1100	0,744	0,744	56,788	57,36
1200	0,484	0,480	158,24	151,01
1300	0,385	0,389	1,358	2,30
1400	0,56	0,558	106,55	107,25
1500	0,183	0,183	260,17	262,37
1600	0,494	0,495	58,797	59,62
1700	0,329	0,325	160,44	161,53
1800	0,277	0,280	3,343	4,58
1900	0,407	0,406	107,94	108,88

3. Импульсная характеристика цепи

Временные и частотные характеристики цепи связаны между собой формулами преобразования Фурье. По найденной в п. 2.1 переходной характеристике вычисляется импульсная характеристика цепи (рисунок 1.1).

Результат вычислений совпадает с формулой H(jщ), полученной в п. 2.2

4. Дискретизация входного сигнала и импульсной характеристики цепи

Пусть принимается за верхнюю границу спектра входного сигнала . Тогда по теореме Котельникова частота дискретизации кГц. Откуда период дискретизации T=0,2 мс.

По графику, изображенному на рис. 1.2, определяем значения дискретных отсчетов входного сигнала U₁(n) для nT моментов дискретизации.

Дискретные значения импульсной характеристики вычисляются по формуле

где T=0,0002 с; n=0, 1, 2,…., 20

Таблица 2.5 - Дискретные значения функции входного сигнала и импульсной характеристики

t, мс	n	U1(n)	H(n)
0	0	2,5	0,4219
0,2	1	5,5	0,06372
0,4	2	6	0,04567
0,6	3	6,5	0,03274
0,8	4	7	0,02347
1	5	7,5	0,01682
1,2	6	8	0,01206
1,4	7	8,5	0,00864
1,6	8	9	0,00619
1,8	9	9,5	0,00444
2	10	10	0,00318
2,2	11	10	0,00228
2,4	12	10	0,00163
2,6	13	10	0,00117
2,8	14	10	0,00084
3	15	10	0,0006
3,2	16	10	0,00043
3,4	17	10	0,00031
3,6	18	10	0,00022
3,8	19	10	0,00016
4	20	5	0,00011
4,2	21	0	8,2E_05

Дискретные значения сигнала на выходе цепи вычисляются с помощью формулы дискретной свертки:

Таблица 2.6 - Дискретный сигнал на выходе цепи:

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
t, мс	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1	1,2	1,4	1,6	1,8
H(n)	0,4219	0,06372	0,0457	0,03274	0,0235	0,01682	0,012	0,0086	0,0062	0,004439
U2, мВ	1,055	2,48	2,996	3,458	3,88	4,275	4,649	5,009	5,359	5,701

10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
2	2,2	2,4	2,6	2,8	3	3,2	3,4	3,6	3,8	4	4,2
0,0032	0,0023	0,0016	0,0012	0,0008	0,0006	0,0004	0,0003	0,0002	0,00016	0,0001	8E_05
6,038	6,16	6,247	6,31	6,355	6,387	6,41	6,427	6,439	6,447	4,344	1,92



Рисунок 13 - Значение дискретного сигнала на входе цепи

Рисунок 14 - Значение дискретных отсчетов импульсной характеристики цепи H(n).

Рисунок 15 - Значение дискретного сигнала на выходе цепи.

5. Вычисление спектральной плотности входного сигнала

Спектральные характеристики дискретизированного сигнала U₁(n) могут быть вычислены на любой частоте, однако для сокращения объема расчетов целесообразно ограничиться 4 значениями частоты. Спектральная плотность дискретизированного сигнала U₁(n) на любой частоте может быть вычислена по формуле:

f, Гц	0	625	1250	2500
U1(jщ), мВ	35	3,796	0,255	0



Рисунок 16 - График спектральной плотности дискретизированного сигнала

6. Дискретная цепь

Z - преобразование импульсной характеристики цепи, дискретные значения которой H(n) приведены в пункте 2.4, записывается в виде:

Учитывая, что Z - преобразование входного и выходного дискретных сигналов связаны между собой соотношением:

Схема дискретной цепи, реализующая это соотношение имеет вид:



Z^-1 - Z - преобразование блока памяти с задержкой на один период дискретизации.

Схема дискретной цепи:

Коэффициенты передачи масштабных усилителей a₀, a₁, b₁ те же, что и в предыдущей схеме. T - элемент памяти с задержкой на один период дискретизации.



f, кГц	0	0,2	0,5	1	2	3
|H(щ)|	0,647	0,564	0,451	0,402	0,386	0,386

Рисунок 17 - АЧХ дискретной цепи

7. Корректирующая цепь

Компенсация искажений сигнала, вносимых заданной цепью может быть выполнена с помощью корректора, подключаемого к входу или выходу цепи. Различают амплитудные и фазовые корректоры, которые служат соответственно для корректирования АЧХ и ФЧХ искажающего четырехполюсника. При этом передаточная функция всей схемы должна быть постоянной величиной, не зависящей от частоты.

Реализация пассивной схемы корректора в аналоговой форме даже для простейших цепей технически сложная и в большинстве случаев невыполнимая задача, т. к. требуется создать схему, матрица А-параметров которой обратна матрице А-параметров исходной цепи.

Значительно проще проблема коррекции искажений решается при обработке дискретизированного сигнала. В этом случае Z - преобразование передаточной функции корректора H' (Z) находится как величина, обратная H(Z) исходной цепи, вычисленной в пункте 2.6.



Дискретные значения сигнала на выходе корректора вычисляются с помощью дискретной свертки.

Таблица 7 - Значение скорректированного выходного сигнала

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
t, мс	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1	1,2	1,4	1,6	1,8
H' (n)	2,315	-0,152	-0,125	-0,103	-0,084	-0,069	-0,057	-0,047	-0,039	-0,032
U'2, мВ	2,5	5,501	6,003	6,506	7,006	7,508	8,008	8,51	9,011	9,512

10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
2	2,2	2,4	2,6	2,8	3	3,2	3,4	3,6	3,8	4
-0,026	-0,021	-0,018	-0,014	-0,012	-0,010	-0,008	-0,007	-0,005	-0,004	-0,004
10,01	10,01	10,01	10,01	10,01	10,01	10,01	10,01	10,01	10,01	5,02

Схема дискретной цепи, реализующая функцию корректора в соответствии с формулой в канонической форме имеет вид:



Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) корректирующей цепи:

f, кГц	0	0,2	0,5	1	2	3
H' (щ)	1,544	1,771	2,217	2,490	2,592	2,592

Рисунок 18 - АЧХ корректора

Заключение

При выполнении курсовой работы мной были получены следующие результаты:

1. значения напряжений на выходе цепи при расчете интегралом Дюамеля и при помощи дискретизации сигналов практически совпадают

2. значение спектральной плотности входного сигнала на определенной частоте совпадает, с небольшой погрешностью, со значениями, вычисленными используя суммирование дискретного входного сигнала

3. дискретные отсчеты входного сигнала равны дискретным значениям сигнала на выходе корректора, применяемого для компенсации искажений сигнала, вносимых заданной цепью

Таким образом, существует ряд методов расчета цепей, применение которых дает одни и те же результаты. Эти методы позволяют рассчитать необходимые параметры цепи и сигнала, а также решать ряд задач, связанных с процессами в электрических цепях.

Литература

1. Бакалов В.П. Воробиенко П.П. Крук Б.И. «Теория электрических цепей». М.: Радио и связь, 2008

2. Шебес М.Р. Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей. М.: Высшая школа, 2009

3. Тихобаев В.Г. Расчет электрических цепей при импульсном воздействии (методические указания к курсовой работе). Новосибирск: СибГУТИ, 2005

Размещено на Allbest.ru

...