Применение производной в физике

Размещено на http://www.allbest.ru/

- 29 -

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

Применение производной в физике

Выполнила: Богаева Баина

Введение

производная физика математический

В научном естествознании несколько столетий продолжается период дифференциации наук, при котором предметы научных исследований четко разграничиваются. Эта разобщенность создавала определенные барьеры, разъединяющие науки о природе, задерживала их прогрессивное развитие.

Важную роль в интеграции современного образования сыграла математизация наук о природе.

Общеизвестно, что физическая наука каждый свой шаг при движении вперед связывает с математикой и наоборот многие физические идеи и понятия включаются в содержание математических наук. Есть даже такая специальная область знания - математическая физика.

Достижения современных наук о природе, имеющих общеобразовательное значение, не должно оставаться достижением только ученых. И я считаю, что школьные программы по физике и математике должны быть согласованы. Чтобы мы понимали, для чего же мы проводим всякого рода вычисления, и где этот метод можно применить на практике. Тогда и математика будет ясна, и физику мы поймём лучше. Сейчас, на уроке алгебры мы изучаем тему: «Производная и её применения», на уроке мы разбираем задачи. А на уроках физики мы решаем задачи, но уже с применением громоздких формул, многие из которых трудно даются пониманию. Цель моей работы показать, что на уроках физики при решении некоторых задач целесообразно было бы применить производную. К этому разделу может быть предложен большой выбор таких задач. К тому же такие задачи, не обобщенные, предъявляют к уровню математической подготовленности учащихся достаточно высокие требования и расширяют кругозор. Даже при наличии всех необходимых элементов знаний, необходимых для решения вышеназванных задач, задачи с физическим содержанием представляют значительную трудность для учащихся, а порой оказываются непосильными. Метод, освоенный лишь на абстрактных примерах, не работает в конкретных физических ситуациях. Прикладное значение метода остается нераскрытым.

Использование физического материала содействует развитию навыков в применении математического аппарата, дает возможность применять различные методы для решения прикладных задач, помогает формировать у нас представление о роли математики в изучении окружающего мира, видеть разницу между реальным и идеальным, между физическим явлением и его математической моделью, вызывает дополнительный интерес и мотивацию к учению.

Хотелось бы использовать на уроках математики конкретные примеры, с физическим содержанием. Недостаточно освещён опыт использования физических задач в данной теме и методической литературе.

1. Производная и её приложения

Часто нас интересует не значение какой-либо величины, а её изменение. Например, сила упругости пружины пропорциональна удлинению пружины; работа есть изменение энергии; средняя скорость - это отношение перемещения к промежутку времени, за который было совершено это перемещение, и т. д.

Поставим своей задачей определить скорость, с которой изменяется величина у в зависимости от изменения величины х. Так как нас интересуют всевозможные случаи, то мы не будем придавать определенного физического смысла зависимости y=f(x), т.е. будем рассматривать величины х и у как математические.

Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную на отрезке [а, b]. Возьмем два числа на этом отрезке: х и х+?x; первое, х, в ходе всего рассуждения считаем неизменным, ?x - его приращением. Приращение ?x; ар-гумента обусловливает приращение ?у функции, причем:

?y=f(x+?x)-f(x). (I)

Найдем отношение приращения ?у функции к прира-щению ?x аргумента:

?у/?x=(f(x+?x)-f(x))/ ?x. (II)

По предыдущему, это отношение представляет собой среднюю скорость изменения у относительно х на отрезке

[x, x+?x].

Будем теперь неограниченно приближать ?x к нулю.

Для непрерывной функции f(x) стремление ?x к нулю вызывает стремление к нулю ?у, отношение (II) становится при этом отношением бесконечно малых, вообще величиной переменной. Пусть это переменное отношение (II) имеет вполне определенный предел(утверждать, что определенный предел отношения ?x/?у всегда существует нельзя), обозначим его символом f '(х).

С физической точки зрения этот предел есть значение скорости изменения функции f(x) относительно ее аргумента при данном значении х этого аргумента. В анализе этот предел называют производной данной функции в точке х.

Определение. Производной данной функции в точки х называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента в точке х, когда приращение аргумента стремится к нулю.

2°. Пусть каждому значению аргумента х соответст-вует определенное значение скорости изменения функции f(x). Тогда скорость f '(х) есть новая функция аргумента х, она называется производной функцией от данной функ-ции f(x).

Например, производная функция от квадратной функции Q=bt+at² есть линейная функция Q' = b + 2at.

4°. Нахождение производной от данной функции на-зывается дифференцированием данной функции.

Общее правило дифференцирования (нахождения про-изводной) следующее:

1) найти приращение ?y функции, т. е. разность значений функции при значениях аргумента x + ?x и x;

2) найти отношение ?y/?x, для этого полученное выше равенство разделить на ?x;

3) найти предел отношения ?y/?x при ?x ?0.

Пример. Найти производную функции у = х³ + 1 в любой точке x.

Решение

1) ?y = (x + ?x)³ + 1 -- (х³ + 1).

По выполнении действий:

?y = Зx²*?x+Зx*?x ²+?x ³;

2) ?y/?x=3x² + Зx*?x+?x ²;

3) dy/dx = lim(3x²+3x*?x+?x ² = 3x²+3x*0+0 = 3x².

?x?0

5. Заметим, что производная линейной функции у= =kx+b есть величина постоянная, равная k.

Действительно, для линейной функции y = kx+b

?у = k*?x;

?y/?x=k;

6. Производные часто встречаются в технике и естествознании. Примеры производных: 1) при движении тела пройденный путь s есть функция от времени t скорость движения в данный момент времени t есть производная от пути s по времени t, т. е.

х=ds/dt;

2) при вращательном дви-жении твердого тела (напри-мер, маховика) (черт) вoкруг оси Ох, угол поворота его ц есть функция времени t:

ц=f(t);

угловая скорость (омега) в данный момент времени t есть производная от угла поворота по времени, т. е.

щ=dц/dt;

3) при охлаждении тела температура Т тела есть функ-ция времени t,

T=f(t);

скорость охлаждения в момент времени t есть производная от температуры Т по времени с, т. е. dT/dt;

4) теплоемкость С для данной температуры t есть про-изводная от количества теплоты Q по температуре t,

C=dQ/dt;

5) при нагревании стержня его удлинение ?l, как показывают тщательные опыты, лишь приближенно можно считать пропорциональным изменению температуры Дt. Поэтому функция l=f(t) является не линейной, а отношение ?l/?t лишь средним коэффициентом линейного расширения на отрезке [t, t+Дt]. Коэффициент линейного расширения а при данном значении температуры t есть производная от длины l по температуре t,

б=dl/dt

2. Геометрический смысл производной

1. Справедлива обратная теорема, выражающая геометрический смысл производной: если функция y=f(x) имеет определенную производную в точке х, то:

1) в этой точке имеется касательная к графику функции,

2) угловой коэффициент ее равен значению производ-ной f '(x) в точке х.

Ф - магнитный поток - одна из характеристик магнитного поля

Физический смысл магнитного потока - это величина, выражающая энергию, которая переносится магнитным полем через площадь, ограниченную данным контуром.

Например, если Ф=50 Вб (Вебер), то это значит, что через замкнутый контур с током, находящимся в однородном магнитном поле, проходит энергия в 50 Дж (Джоуль) на силу тока в 1 А (Ампер).

3. Геометрический смысл магнитного потока

Геометрический смысл магнитного потока - это величина выражающая число линий индукции магнитного поля, которые проходят через площадь, ограниченную данным контуром.

Геометрически это означает, что через указанный контур проходит 50 линий индукции магнитного поля.

4. Механический смысл производной

Напомним, как определялась скорость движения в курсе физики. Рассмотрим самый простой случай: материальная точка движется по координатной прямой, причем задан закон движения, т. е. координата х этой точки есть известная функция х (t) времени t. За промежуток времени от t₀ до t₀+t перемещение точки равно х (t₀+t) --х (t₀)=х, а ее средняя скорость такова:

_ср(t)=. (1)

При t<0 формула (1) также верна:

перемещение равно

х (t₀)--х(t0+t)= --х,

а продолжительность промежутка времени равна --t.

Обычно характер движения бывает таким, что при малых t средняя скорость практически не меняется, т. е. движение с большой степенью точности можно считать равномерным. Другими словами, значение средней скорости при t > 0 стремится к некоторому вполне определенному значению, которое и называют мгновенной скоростью (t₀) материальной точки в момент времени t₀. Итак,

_ср(t)=> (t₀) при t>0.

Но по определению производной

>x'(t₀) t>0.

Поэтому считают, что мгновенная скорость (t) определена (только) для любой дифференцируемой функции х (t), при этом

(t)=х'(t). (2)

Коротко говорят: производная от координаты по времени есть скорость. В этом состоит механический смысл производной.

Мгновенная скорость может принимать как положительные, так и отрицательные значения и, конечно, значение 0. Если скорость на каком-либо промежутке времени (t₁; t₂) положительна, то точка движется в положительном направлении, т.е. координата растет с течением времени, а если (t) отрицательна, то координата х (t) убывает.

Аналогичное положение и с ускорением движения. Скорость движения точки есть функция от времени t. А производная этой функции называется ускорением движения:

а='(t).

Коротко говорят: производная от скорости по времени есть ускорение.

Пример 1. Рассмотрим свободное падение материальной точки.

Если координатную прямую направить вертикально вниз, а начальное положение материальной точки совпадает с 0, то, как известно из физики, х(t)=. Тогда скорость падения точки в момент времени t равна

==gt,

а ускорение а=(gt)'=g есть величина постоянная. Рассмотрим более общий случай.

Пример 2. Пусть зависимость координаты точки, движущейся по прямой, от времени выражается формулой

x(t)=• t²+₀t+x₀,

где а?0, ₀ и x₀ -- постоянные. Найдем скорость и ускорение движения.

Скорость этого движения такова:

=x'(t)==2• t+₀=at+₀.

Так как нам известна скорость движения как функция времени, мы можем найти ускорение этого движения: '(t)=(at+₀)'=a. Мы видим, что ускорение при движении по квадратичному закону постоянно и равно а. Если а>0, то это равноускоренное движение; если же а<0, то равнозамедленное. Отметим также, что ₀=(0), a x₀=x(0).

Ниже мы докажем, что если при движении по прямой ускорение а постоянно, то движение происходит по квадратичному закону:

x(t)=t²+₀t+x₀,

где ₀ -- начальная скорость точки, а x₀ -- начальная координата.

Пусть y=f(х) -- произвольная дифференцируемая функция. Тогда мы можем рассмотреть движение материальной точки по координатной прямой, совершаемое согласно закону х=f(t). Механический смысл производной позволяет дать наглядную интерпретацию теорем дифференциального исчисления.

Пример 3. Пусть f и h -- две дифференцируемые функции. Рассмотрим следующее (относительное) движение по прямой. Дана подвижная система координат, связанная с поездом, начало которой (кабина машиниста) движется относительно начала неподвижной системы координат (станции) по закону x₁=f(t). В подвижной системе координат материальная точка совершает движение по закону x₂=h(t).

Тогда координата х этой точки относительно неподвижной системы координат равна х=х₁+х₂, а ее скорость v(t) равна х'(t). С другой стороны, по закону сложения скоростей v(t)=v₁(t)+v₂(t)=x'₁(t)+x'₂(t). Итак, мы получили с помощью механического смысла производной известную формулу:

(f+h)'=f'+h'.

Пример 4. Пусть материальная точка движется по координатной прямой согласно закону х=f(t).

Средняя скорость этой точки на промежутке [а; b] равна

_ср=.

Мгновенная скорость v(t) в точках промежутка [а; b] не может быть все время меньше (больше) средней. Значит, в какой-то момент t₀[а; b] мгновенная скорость равна средней, т. е. в промежутке [а; b] найдется такое t₀, что

v(t=)=f'(t₀)= . (3)

Мы получили механическую интерпретацию формулы Лагранжа.

2. Примеры применения производной. С помощью производных функций, характеризующих физические явления, задаются и другие физические величины. Например, мощность (по определению) есть производная работы по времени. Рассмотрим пример.

Пример 5. Пусть дан неоднородный стержень, причем известна масса m(l) любого его куска длиной l (l отсчитывается от фиксированного конца стержня). Хотя стержень неоднороден, естественно полагать, что плотность его небольшой части (на участке от l до l+l) примерно одна и та же и чем меньше l, тем в меньших пределах на этом участке изменяется плотность. Поэтому за характеристику распределения плотности стержня в зависимости от l принимают линейную плотность d(l)=m'(l).

Механическое значение второй производной

Предположим, что точка движется прямолинейно и пройденный ею путь определяется уравнением s = f(t), где t время. Скорость v в момент времени t есть производная от пути по времени, т. е.

v=ds/dt.

Скорость изменения скорости в момент времени t есть ускорение а,

a=(v)' = (ds/dt)' = (d²s/dt²).

Вторая производная от пути по времени есть ускорение прямолинейного движения в данный момент времени.

Пример. Прямолинейное движение точки совершается по закону:

s = (t³ -- 2) м.

Определить ускорение в момент t = 10 сек.

Решение. Ускорение

а = d²s/dt².

Дифференцируя функцию

s=t³ -- 2,

находим

d²s/dt² =6t

Следовательно,

a = 6t = 6*10 = 60; a = 60 м\сек².

2°. Если движение неравномерное, то сила F, производящая его, непостоянна, каждому моменту времени t соответствует определенное значение действующей силы F, и сила, таким образом, есть функция времени t, F=f(t).

По закону Ньютона, в каждый момент времени действующая сила F равна произведению массы т на ускорение а, т. е.

F=ma, или f(t) = ma.

При прямолинейном движении a =d²s/dt², поэтому

f(t) = m*d²s/dt².

Зная уравнение прямолинейного движения, можно дифференцированием найти значение действующей силы в каждый момент времени.

Пример. Определить силу, под действием которой материальная точка совершает прямолинейные колебания по закону

s = А*sin(щt + щ₀).

Решение. f(f) = m*d²s/dt², поэтому находим вторую производную функции:

s = А*sin(щt + щ₀), ds/dt = А*cos(щt+щ₀)* щ,

d²s/dt²=-- А*sin (щt + щ₀)* щ² = -- s*щ² = -- щ²s; f(t) = -- mщ²s,

т. е. рассматриваемые колебания совершаются под действием силы, пропорциональной перемещению s и направленной в противоположную сторону.

В математике производную применяют для: 1)Исследования функции на монотонность, экстремумы. 2)Нахождения касательной к графику. 3)Нахождения наибольших, наименьших значений функций. 4)Нахождения дифференциала для приближенных вычислений. 5)Для доказательства неравенств.

5. Задачи

В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших или наименьших значений для каких-либо величин.

Задача 1. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = -?t?+ 2t? + 5t.

а) Выведите формулу вычисления скорости движения в любой момент времени t. б) Найдите скорость t=2с. (Перемещение измеряется в метрах) в) Через сколько секунд после начала движения точка осановится?

Дано:

х(t) = -?t?+ 2t? + 5t

v(t) - ?

v(2) - ?

t - ?, если v=0

Решение

А) v=x?=-? * 3t?+ 4t + 5= -t?+4t+5

Б) v(2) = -4 + 8 +5= 9 [m\c]

B) -t? + 4t + 5 =0

t? - 4t - 5 =0

По теореме Виета находим t1=5[c], t2=-1[c]

Задача 2. Вращение тела вокруг оси совершается по закону ц(t) = 3 t? - 4t + 2. Найдите угловую скорость щ(t) в произвольный момент времени t и при t=4c. (ц(t) - угол в радианах, щ(t) - скорость в радианах в секунду, t - время в секундах.)

Дано:

ц(t) = 3 t? - 4t + 2

Найти:

щ(t) - ?

щ(4) - ?

Решение

щ= ц?=6t - 4

щ(4) = 6 * 4 - 4 = 20 [рад/с]

Задача 3: Найдите силу F, действующую на материальную точку с массой m, движущуюся прямолинейно по закону x(t) = 2t? - t? при t=2.

Дано:

x(t) = 2t? - t?

t=2

Найти:F-?

Решение:

По второму закону Ньютона F=ma

a = x??, x?=6t? - 2t

a = x??=12t - 2 = 12 * 2 - 2 = 22 [м/с?]

F=22m

Задача 4

Из миномета ведут обстрел склона горы. Какова максимальная дальность обстрела вдоль склона, если начальная скорость мин vо ,а угол, образуемый склоном горы с горизонтом, в? Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение: В полёте мина испытывает действие только силы тяжести. Поэтому её траектория - парабола. Расстояние до точки её пересечения со склоном OA обозначим S. Свяжем с точкой вылета систему координат.

Как видно из чертежа:

S =vx₁² + y₁²

или

S = х/ cos в

Наклонная дальность максимальна при максимальном х. Поэтому будем отыскивать угол a, при котором максимальна коодината х точки А.

Выразим х и у через параметры начальной скорости:

x1 = v0 cos a0t; y1 = v0 sin a0t - gt²/2

Исключая t = х1/v0cos a0? Получим:

y=tg a0*x1- g/2v0²cos²a0*x1².

На основе равенств произведём преобразования:

x1² (1/ cos² в - 1) = x1² (tg a0 - g x1/2v0²cos²a0*x1²) ²

tg в= +-( tg a0-g/2v0²cos²a0*x1)

Полученное равенство позволяет выразить х как функцию углю:

x1= v0²/ g *( sin2a+- tg в* cos²a0)

Исследования этой функции на экстремум приводит к окончательному ответу на вопрос задачи.

Задача 5. Вычислить количество теплоты, которое необходимо для того, чтобы нагреть 1 кг вещества от 0 градусов до t градусов (по Цельсию).

Решение

Пусть Q=Q(t).

Рассмотрим малый отрезок [t; t+t], на этом отрезке

Q=c(t) * t

c(t)= Q/t

При t0 lim Q/t =Q?(t)

t0

c(t)=Q?(t)

Задача 6. Вычислить силу тока I, который несет на себе заряд, заданный зависимостью q=qm cos щ0t (Кл) через поперечное сечение проводника.

Решение:Рассмотрим приращение заряда на маленьком отрезке [t; t+t], тогда

q = I(t) t.

q/ t = I(t)

Если t 0, то lim q/ t = q'(t) ,т.е. I (t)= q'(t)

t0

I = q' = qm0sin0t

Задача 7. Три резистора сопротивлениями R₁, R₂, R₃ соединены параллельно. Сопротивление R₁ в 9 раз больше сопротивления R₂. Если все три резистора соединить последовательно, то сопротивление цепи равно R.

Определить сопротивления резисторов при которых сопротивление исходной цепи будет наибольшим.

R₁ = 9 R₂

Решение:

При параллельном соединении резисторов эквивалентное

R₁, R₂, R₃ сопротивление по формуле:

1/R_экв = 1/R₁+1/R₂+1/R₃;

R_{экв max}-- ? выражу R₃ через R₂:

R₃ = R-- R₁--R₂=R--10R₂;

тогда 1/R_экв = (10R--91R₂)/(9R₂(R--10R₂));

Задача сведена к определению наименьшего значения функции в интервале [0;R/10].

Возьмем производную от f(1/R_экв) по R₂ и преобразуем ее:

(1/R_экв)' = -910(R₂--R/7)(R₂--R/13)/(9R₂² (R-10R₂)²);

В интересующем нас интервале только одна точка R₂ = R/13 в которой эта производная меняет знак с “--” слева на ”+”справа. Поэтому в точке R₂ = R/13 достигается минимум функции 1/R_экв и максимум функции R_экв, при этом

R₁ = 9R/13; R₂ = 1R/13; R₃ = 3R/13;

R_{экв max} = 9R/169;

Задача 8. Цепь с внешним сопротивлением R = 0,9 Ом питается от батареи из k=36 одинаковых источников, каждый из которых имеет ЭДС E=2 В и внутреннее сопротивление r₀ = 0,4 Ом. Батарея включает n групп, соединенных параллельно, а в каждой из них содержится m последовательно соединенных аккумуляторов. При каких значениях m, n будет получена максимальная J во внешнем R(см. рис.).

Решение

При последовательном соединении аккумуляторов

E_гр = m*E; r_гр = r₀*m;

а при параллельном соединении одинаковых

r_бат = r₀m/n; E_бат = m*E,

По закону Ома

J = mE/(R+ r₀m/n) = mEn/(nR + r₀m)

Т.к. k - общее число аккумуляторов, то k = mn;

J = kE/(nR + r₀m) = kE/(nR + kr₀/n);

Для нахождения условия при котором J тока в цепи максимальная исследую функцию J = J(n) на экстремум взяв производную по n и приравняв ее к нулю.

J'_n-(kE(R--kr₀/n²))/ (nR + kr₀/n)² = 0;

n² = kr/R; .

n = vkr/R = v3,6*0,4/0,9 = 4;

m = k/n = 36/4 = 9;

при этом

J_max = kE/(nR + mr₀) = 36*2/(4*0,9 + 9*0,4) = 10 А;

Ответ: n = 4, m = 9.

Задача 9. Платформа массой М начинает двигаться вправо под действием постоянной силы F. Из неподвижного бункера на нее высыпается песок. Скорость погрузки постоянна и равна кг/с. Пренебрегая трением, найти зависимость от времени ускорения а платформы в процессе погрузки. Определить ускорение а₁ платформы в случае, если песок не насыпается на платформу, а из наполненной высыпается через отверстие в ее дне с постоянной скоростью кг/с.

Решение.

Рассмотрим сначала случай, когда песок насыпается на платформу

Движение системы платформа-песок можно описать с помощью второго закона Ньютона:

dP/dt = F

P - импульс системы платформа-песок,

F - сила, действующая на систему платформа-песок.

Если через p обозначить импульс платформы, то можно написать:

dp/dt = F

Найдем изменение импульса платформы за бесконечно малый промежуток времени t:

p = (M+(t+t))(u+u) - (M+t)u =Ft

где u - скорость платформы

Раскрыв скобки и, проведя сокращения получаем:

p = ut + Mu+ut+ ut =Ft

Разделим на t и перейдем к пределу t 0

Mdu/dt+tdu/dt+u=F

или

d[(M+t)u]/dt = F

Это уравнение можно проинтегрировать, считая начальную скорость платформы равной нулю:

(M+t)u = Ft

Следовательно:

u = Ft/(M+t)

Тогда, ускорение платформы:

a = du/dt = (F(M+t)-Ft)/(M+t)² = FM / (M+t)²

Рассмотрим случай, когда песок высыпается из наполненной платформы.

Изменение импульса за малый промежуток времени:

p = (M-(t+t))(u+u) +tu - (M-t)u = Ft

Слагаемое tu есть импульс количества песка, которое высыпалось из платформы за время t

Тогда:

p = Mu - tu - tu = Ft

Разделим на t и перейдем к пределу t 0

(M-t)du/dt = F

или

a₁=du/dt= F/(M-t)

Ответ: a = FM / (M+t)² , a₁= F/(M-t)

Задача 10. В магнитном поле с большой высоты падает кольцо, имеющее диаметр d и сопротивление R. Плоскость кольца все время горизонтальна. Найти установившуюся скорость падения кольца, если вертикальная составляющая индукции магнитного поля изменяется с высотой H по закону B = B₀(1 + бH), где б = const (черт.).

Решение. Пусть n - нормаль к плоскости кольца, тогда магнитный поток, созданный вертикальной составляющей магнитного поля.,

Ф = BS = B₀(1 + бH)S, где S = рd²/4 - площадь контура.

ЭДС индукции, возникающая в кольце,

E = - Ф'(t) = - (B₀(1 + бH)S)' = - B₀SбH'(t).

Производная H'(t) = н_н - это проекция скорости кольца на ось H. Таким образом,

E_i = - B₀Sб( - н_н).

Так как скорость кольца направлена против оси H, то н_н = - н, где н - модуль скорости кольца и E_i = B₀Sбн.

По кольцу протекает индукционный ток

J = E_i /R = B₀Sбн/R.

В результате в кольце за промежуток времени Дt выделяется количество теплоты

Q = J²RДt.

На высоте H₁ кольцо обладает механической энергией

W₁ = mgH₁ + mн²/2,

на высоте H₂

W₂ = mgH₂ = mgH₂ + mн²/2

(н = const, т. е. скорость кольца не меняется). По закону сохранения энергии

W₁ = W₂ + Q => mgH₁ = mgH₂ + J²RДt => mg(H₁ - H₂) = (B₀Sбн/R)²RДt => mg(H₁ - H₂) = (B₀Sбн)²Дt/R (*)

Разность (H₁-H₂) есть расстояние, пройденное кольцом при равномерном движении, поэтому H₁-H₂ = нДt, и уравнение (*) примет вид:

mgнДt = (B₀Sбн)²Дt/R => mg = (B₀Sб)²н/R =>

н = mgR/(B₀Sб)² = 16mgR/(B₀рd²б)².

Ответ: н = mgR/(B₀Sб)² = 16mgR/(B₀рd²б)².

Задача 11.Потенциальная энергия U поля частицы, в котором находится другая, точно такая же частица имеет вид: U = a/r² - b/r, где a и b -- положительные постоянные, r -- расстояние между частицами.

Найти:

а) значение r₀ соответствующее равновесному положению частицы;

б) выяснить устойчиво ли это положение;

в) F_max значение силы притяжения;

г) изобразить примерные графики зависимости U(r) и F(r).

U = a/r² - b/r;

a и b -- counts; Для определения r₀ соответствующего равновесному

r₀ -- ? положению частицы исследуем f = U(r) на экстремум.

F_max -- ? Используя связь между потенциальной энергией поля

U и F, тогда

F = -dU/dr,

получим

F = -dU/dr = - (-2a/r³+b/r²) = 0;

при этом r = r₀; 2a/r³ = b/r² => r₀ = 2a/b;

Устойчивое или неустойчивое равновесие определим по знаку второй производной:

d²U/dr₀²= dF/dr₀=-6a/r₀⁴ + 2b/r₀³ = -6a/(2a/b)⁴+2b/(2a/b)³=(-b⁴/8a³)<0;

равновесие устойчивое.

Для определения F_max притяжения исследую на экстремумы функцию:

F = 2a/r³-- b/r²;

dF/dr = -6a/r⁴ + 2b/ r³ = 0;

при r = r₁ = 3a/b;

подставляя, получу F_max = 2a/r³₁ -- b/r³₁ = - b³/27a²;

U(r) = 0; при r = a/b; U(r)_min при r = 2, a/b = r₀;

F = 0; F(r)_max при r = r₁ = 3a/b;

Заключение

производная физика математический

Становление более тесной связи и взаимодействия курсов физики и математики может сыграть существенную роль в развитии логического мышления учащихся, в усилении доказательности и точности их суждений. Полагаю, что содержание физико-математического образования станет более взаимосвязанным, а значит и более целостным, в значительной мере устраняется противоречия между двумя противоположными тенденциями - интеграцией и дифференциацией.

Размещено на Allbest.ru

...