Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Обобщенные координаты

Одним из основных понятий механики является понятие материальной точки (вместо термина «материальная точка» часто говорят о «частицах»). Под материальной точкой понимают тело, размерами которого при описании его движения можно пренебречь. Разумеется, возможность такого пренебрежения зависит от конкретных условий той или иной задачи. Так, планеты можно считать материальными точками при изучении их движения вокруг Солнца, но, конечно, этого делать нельзя при рассмотрении их суточного вращения.

Положение материальной точки в пространстве определяется ее радиус-вектором , компоненты которого совпадают с ее декартовыми координатами . Производная по времени

называется скоростью, а вторая производная - ускорением точки. Ниже, как это принято, мы будем часто обозначать дифференцирование по времени точкой над буквой: .

Для определения положения системы из материальных точек в пространстве надо задать радиус-векторов, т.е. координат.

Вообще число независимых величин, задание которых необходимо для однозначного определения положения системы, называется числом ее степеней свободы; в данном случае это число равно . Эти величины не обязательно должны быть декартовыми координатами точек, и в зависимости от условий задачи, может оказаться более удобным выбор каких-либо других координат.

Любые величин , вполне характеризующие положение системы (с степенями свободы), называют ее обобщенными координатами, а производные - ее обобщенными скоростями.

Задание значений обобщенных координат еще не определяет, однако, «механического состояния» системы в данный момент времени в том смысле, что оно не позволяет предсказать положение системы в последующие моменты времени. При заданных значениях координат система может обладать произвольными скоростями, а в зависимости от значения последних будет различным и положение системы в следующий момент времени (т.е. через бесконечно малый временной интервал ).

Одновременное же задание всех координат и скоростей полностью определяет, как показывает опыт, состояние системы и позволяет в принципе предсказать дальнейшее ее движение. С математической точки зрения это значит, что заданием всех координат и скоростей в некоторый момент времени однозначно определяется также и значение ускорений в этот момент.

Соотношения, связывающие ускорения с координатами и скоростями, называются уравнениями движения. По отношению к функциям это - дифференциальные уравнения второго порядка, интегрирование которых позволяет в принципе определить эти функции, т.е. траектории движения механической системы.

2. Принцип наименьшего действия.

Наиболее общая формулировка закона движения механических систем дается так называемым принципом наименьшего действия (или принципом Гамильтона). Согласно этому принципу каждая механическая система характеризуется определенной функцией

механика галилей материальный точка

или, в краткой записи, , причем движение системы удовлетворяет следующему условию.

Пусть в моменты времени, и система занимает определенные положения, характеризуемые двумя наборами значений координат и . Тогда между этими положениями система движется таким образом, чтобы интеграл

имел наименьшее возможное значение. Функция называется функцией Лагранжа данной системы, а интеграл - действием. Следует, однако, указать, что в такой формулировке принцип наименьшего действия не всегда справедлив для всей траектории движения в целом, а лишь для каждого из достаточно малых ее участков; для всей же траектории может оказаться, что интеграл (1.1) имеет лишь экстремальное, не обязательно минимальное значение. Это обстоятельство, однако, совершенно не существенно при выводе уравнений движения, использующем лишь условие экстремальности.

Тот факт, что функция Лагранжа содержит только и , но не более высокие производные , является выражением указанного выше факта, что механическое состояние полностью определяется заданием координат и скоростей.

Перейдем к выводу дифференциальных уравнений, решающих задачу об определении максимума интеграла (1.1). Для упрощения записи формул предположим сначала, что система обладает всего одной степенью свободы, так что должна быть определена всего одна функция .

Пусть есть как раз та функция, для которой имеет минимум. Это значит, что возрастает при замене на любую функцию вида

где - функция, малая во всем интервале времени от до (ее называют вариацией функции ); поскольку при и все сравниваемые функции (1.2) должны принимать одни и те же значения и , то должно быть:

Изменение при замене на дается разностью

Разложение этой разности по степеням и (в подынтегральном выражении) начинается с членов первого порядка. Необходимым условием минимальности (вообще - экстремальности) является обращение в нуль совокупности этих членов; ее называют первой вариацией (или обычно просто вариацией) интеграла. Таким образом, принцип наименьшего действия можно записать в виде

,

или, произведя варьирование:

.

Замечая, что , проинтегрируем второй член по частям:

Но в силу условий (1.3) первый член в этом выражении исчезает. Остается интеграл, который должен быть равен нулю при произвольных значениях . Это возможно только в том случае, если подынтегральное выражение тождественно обращается в нуль. Таким образом, мы получаем уравнение

.

При наличии нескольких степеней свободы в принципе наименьшего действия должны независимо варьироваться различных функций . Очевидно, что тогда мы получаем уравнений:

()

Это - искомые дифференциальные уравнения; они называются в механике уравнениями Лагранжа (в вариационном исчислении, рассматривающем формальную задачу об определении экстремумов интегралов вида (1.1), они называются уравнениями Эйлера). Если функция Лагранжа данной механической системы известна, то уравнения (1.6) устанавливают связь между ускорениями, скоростями и координатами, т.е. представляют собой уравнения движения системы. С математической точки зрения уравнения (1.6) составляют систему уравнений второго порядка для неизвестных функций . Общее решение такой системы содержит произвольных постоянных. Для их определения и тем самым полного определения движения механической системы необходимо знание начальных условий, характеризующих состояние системы в некоторый заданный момент времени, например знание начальных значений всех координат и скоростей.

Пусть механическая система состоит из двух частей и , каждая из которых, будучи замкнутой, имела бы в качестве функции Лагранжа соответственно функции и . Тогда в пределе, при разведении частей настолько далеко, чтобы взаимодействием между ними можно было пренебречь, лагранжева функция всей системы стремится к пределу

Это свойство аддитивности функции Лагранжа выражает собой тот факт, что уравнения движения каждой из невзаимодействующих частей не могут содержать величины, относящиеся к другим частям системы.

Очевидно, что умножение функции Лагранжа механической системы на произвольную постоянную само по себе не отражается на уравнениях движения. Отсюда, казалось бы, могла вытекать существенная неопределенность: функции Лагранжа различных изолированных механических систем могли бы умножаться на любые различные постоянные. Свойство аддитивности устраняет эту неопределенность, - оно допускает лишь одновременное умножение лагранжевых функций всех систем на одинаковую постоянную, что сводится просто к естественному произволу в выборе единиц измерения этой физической величины.

Необходимо сделать еще следующее общее замечание. Рассмотрим две функции и , отличающиеся друг от друга на полную производную по времени от какой-либо функции координат и времени :

Вычисленные с помощью этих двух функций интегралы (1.1) связаны соотношением

т.е. отличаются друг от друга дополнительным членом, исчезающим при варьировании действия, так что условие совпадает с условием , и вид уравнений движения остается неизменным.

Таким образом, функция Лагранжа определена лишь с точностью до прибавления к ней полной производной от любой функции координат и времени.

3. Принцип относительности Галилея

Для изучения механических явлений надо выбрать ту или иную систему отсчета. В различных системах отсчета законы движения имеют, вообще говоря, различный вид. Если взять произвольную систему отсчета, то может оказаться, что законы даже совсем простых явлений будут выглядеть в ней весьма сложно. Естественно, возникает задача отыскания такой системы отсчета, в которой законы механики выглядели бы наиболее просто.

По отношению к произвольной системе отсчета пространство является неоднородным и неизотропным. Это значит, что если какое-либо тело не взаимодействует ни с какими другими телами, то, тем не менее, его различные положения в пространстве и его различные ориентации в механическом отношении не эквивалентны. То же самое относится в общем случае и ко времени, которое будет неоднородным, т.е. его различные моменты неэквивалентными. Усложнение, которое вносили бы такие свойства пространства и времени в описание механических явлений, - очевидно. Как, например, свободное (т.е. не подвергающееся внешним воздействиям) тело не могло бы покоиться: если скорость тела в некоторый момент времени и равна нулю, то уже в следующий момент тело начало бы двигаться в некотором направлении.

Оказывается, однако, что всегда можно найти такую систему отсчета, по отношению к которой пространство является однородным и изотропным, а время - однородным. Такая система называется инерциалъной. В ней, в частности, свободное тело, покоящееся в некоторый момент времени, остается в покое неограниченно долго.

Мы можем теперь сразу сделать некоторые заключения о виде функции Лагранжа свободно движущейся материальной точки в инерциальной системе отсчета. Однородность пространства и времени означает, что эта функция не может содержать явным образом ни радиус-вектора точки, ни времени , т.е. является функцией лишь скорости . В силу же изотропии пространства функция Лагранжа не может зависеть также и от направления вектора , так что является функцией лишь от его абсолютной величины, т.е. от квадрата :

Ввиду независимости функции Лагранжа от имеем , и потому уравнения Лагранжа имеют вид (под производной скалярной величины по вектору подразумевается вектор, компоненты которого равны производным от этой величины по соответствующим компонентам вектора)

откуда . Но поскольку является функцией только скорости, то отсюда следует, что и

Таким образом, мы приходим к выводу, что в инерциальной системе отсчета всякое свободное движение происходит с постоянной по величине и направлению скоростью. Это утверждение составляет содержание так называемого закона инерции.

Если наряду с имеющейся у нас инерциальной системой отсчета мы введем другую систему, движущуюся относительно первой прямолинейно и равномерно, то законы свободного движения по отношению к этой новой системе будут теми же, что и по отношению к первоначальной: свободное движение снова будет происходить с постоянной скоростью.

Опыт показывает, однако, что не только законы свободного движения будут одинаковыми в этих системах, но что и во всех других механических отношениях они будут полностью эквивалентными. Таким образом, существует не одна, а бесконечное множество инерциальных систем отсчета, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно. Во всех этих системах свойства пространства и времени одинаковы и одинаковы все законы механики. Это утверждение составляет содержание так называемого принципа относительности Галилея - одного из важнейших принципов механики.

Все сказанное достаточно ясно свидетельствует об исключительности свойств инерциальных систем отсчета, в силу которых именно эти системы должны, как правило, использоваться при изучении механических явлений. Везде в дальнейшем, где обратное не оговорено особо, мы будем рассматривать только инерциальные системы отсчета.

Полная механическая эквивалентность всего бесчисленного множества таких систем показьтает в то же время, что не существует никакой одной «абсолютной» системы отсчета, которую можно было бы предпочесть другим системам.

Координаты и одной и той же точки в двух различных системах отсчета и из которых вторая движется относительно первой со скоростью , связаны друг с другом соотношением

При этом подразумевается, что ход времени одинаков в обеих системах:

t = t'.

Предположение об абсолютности времени лежит в самой основе представлений классической механики.

Формулы (1.11), (1.12) называют преобразованием Галилея. Принцип относительности Галилея можно сформулировать как требование инвариантности уравнений движения механики по отношению к этому преобразованию.

Размещено на Allbest.ru