Функция Лагранжа

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Функция Лагранжа свободной материальной точки

лагранж вектор скорость силовой галилей

Переходя к определению вида функции Лагранжа, рассмотрим сначала простейший случай -- свободное движение материальной точки относительно инерциальной системы отсчета. Как мы уже видели, функция Лагранжа в этом случае может зависеть лишь от квадрата вектора скорости. Для выяснения вида этой зависимости воспользуемся принципом относительности Галилея. Если инерциальная система отсчета движется относительно инерциальной системы отсчета с бесконечно малой скоростью , то . Так как уравнения движения во всех системах отсчета должны иметь один и тот же вид, то функция Лагранжа должна при таком преобразовании перейти в функцию , которая если и отличается от , то лишь на полную производную от функции координат и времени.

Имеем

.

Разлагая это выражение в ряд по степеням и пренебрегая бесконечно малыми высших порядков, получаем

.

Второй член первой части этого равенства будет полной производной по времени только в том случае, если он зависит от скорости линейно. Поэтому от скорости не зависит, т.е. функция Лагранжа в рассматриваемом случае прямо пропорциональна квадрату скорости:

, (1.13)

где -- постоянная.

Из того что функция Лагранжа такого вида удовлетворяет принципу относительности Галилея в случае бесконечно малого преобразования скорости, непосредственно следует, что функция Лагранжа удовлетворяет этому принципу и в случае конечной скорости системы отсчета относительно .Действительно,

или

.

Второй член является полной производной и может быть опущен. Величина называется массой материальной точки. В силу свойства аддитивности функции Лагранжа, для системы невзаимодействующих точек имеем: (в качестве индекса, указывающего номер частицы, мы будем пользоваться первыми буквами латинского алфавита, а для индексов, нумерующих координаты, используем буквы

(1.14)

Следует подчеркнуть, что лишь при учете этого свойства данное определение массы приобретает реальный смысл. Как уже было отмечено, всегда можно умножить функцию Лагранжа на любую постоянную; это не отражается на уравнениях движения. Для функции (1.14) такое умножение сводится к изменению единицы измерения массы; отношения же масс различных частиц, которые только и имеют реальный физический смысл, остаются при этом преобразовании неизменными.

Легко видеть, что масса не может быть отрицательной. В самом деле, согласно принципу наименьшего действия для действительного движения материальной точки из точки 1 пространства в точку 2 интеграл

имеет минимум. Если бы масса была отрицательной, то для траекторий, по которым частица сначала быстро удаляется от 1, а затем быстро приближается к 2, интеграл действия принимал бы сколь угодно большие по абсолютной величине отрицательные значения, т.е. не имел бы минимума.

Полезно заметить, что

(1.15)

Поэтому для составления функции Лагранжа достаточно найти квадрат длины элемента дуги в соответствующей системе координат.

В декартовых координатах, например, и, следовательно,

(1.16)

в цилиндрических и

(1.17)

в сферических и

(1.18)

2. Движение в неинерциальной системе отсчета

До сих пор, рассматривая движение любой механической системы, мы всегда относили его к инерциальной системе отсчета. Только в инерциальных системах отсчета функция Лагранжа, например, одной частицы во внешнем поле имеет вид

(1.19)

и соответственно уравнение движения

(будем отличать индексом 0 величины, относящиеся к инерциальной системе отсчета).

Займемся теперь вопросом о том, как выглядят уравнения движения частицы в неинерциальной системе отсчета. Отправным пунктом при решении этого вопроса снова является принцип наименьшего действия, применимость которого не ограничена никаким выбором системы отсчета; вместе с ним остаются в силе и уравнения Лагранжа

(1.20)

Однако функция Лагранжа уже не имеет вида (1.19), и для ее нахождения необходимо произвести соответствующее преобразование функции .

Это преобразование мы произведем в два приема. Рассмотрим сначала систему отсчета , которая движется относительно инерциальной системы поступательно со скоростью . Скорости и частицы относительно систем и связаны друг с другом соотношением

(1.21)

Подставив это выражение в (1.19), получим функцию Лагранжа в системе

.

Но есть заданная функция времени; она может быть представлена как полная производная по от некоторой другой функции, и потому третий член в написанном выражении может быть опущен. Далее, , где -- радиус-вектор частицы в системе координат ; поэтому

.

Подставив это в функцию Лагранжа и снова опустив полную производную по времени, получим окончательно:

(1.22)

где -- ускорение поступательного движения системы отсчета .

Составляя с помощью (1.22) уравнение Лагранжа, получим

(1.23)

Мы видим, что в смысле своего влияния на уравнения движения частицы ускоренное поступательное движение системы отсчета эквивалентно появлению однородного силового поля, причем действующая в этом поле сила равна произведению массы частицы на ускорение и направлена в противоположную этому ускорению сторону.

Введем теперь еще одну систему отсчета, , которая имеет общее с системой начало, но вращается относительно нее с угловой скоростью; по отношению же к инерциальной системе система совершает как поступательное, так и вращательное движение.

Скорость частицы относительно системы складывается из ее скорости относительно системы и скорости ее вращения вместе с системой :

(радиус-векторы и частицы в системах и совпадают). Подставив это выражение в функцию Лагранжа (1.22), получим

(1.24)

Это есть общий вид функции Лагранжа частицы в произвольной неинерциальной системе отсчета. Отметим, что вращение системы отсчета приводит к появлению в функции Лагранжа члена совершенно особого вида -- линейного по скорости частицы.

Для вычисления производных, входящих в уравнение Лагранжа, запишем полный дифференциал

Собирая члены, содержащие и , найдем

Подставив эти выражения в (1.20), получим искомое уравнение движения

(1.25)

Мы видим, что «силы инерции», обусловленные вращением системы отсчета, слагаются из трех частей. Сила связана с неравномерностью вращения, а две другие присутствуют и при равномерном вращении. Сила называется силой Кориолиса; в отличие от всех ранее рассматривавшихся (не диссипативных) сил она зависит от скорости частицы. Сила называется центробежной. Она направлена в плоскости, проходящей через и перпендикулярно к оси вращения (т.е. направлению ), в сторону от оси; по величине центробежная сила равна, где -- расстояние частицы от оси вращения.

Рассмотрим особо случай равномерно вращающейся системы координат, не имеющей поступательного ускорения. Положив в (1.24) и (25) , , получим функцию Лагранжа

(1.26)

и уравнение движения

(1.27)

Вычислим также энергию частицы в этом случае. Подставив

(1.28)

в , получим

(1.29)

Энергия в инерциальной системе отсчета определяется как

Обратим внимание на то, что в энергии линейный по скорости член отсутствует. Влияние вращения системы отсчета сводится к добавлению в энергии члена, зависящего только от координат частицы и пропорционального квадрату угловой скорости. Эта дополнительная потенциальная энергия называется центробежной.

Скорость частицы относительно равномерно вращающейся системы отсчета связана с ее же скоростью относительно инерциальной системы соотношением

(1.30)

Поэтому импульс (см.(1.28)) частицы в системе совпадает с ее же импульсом в системе . Вместе с ними совпадают также моменты импульсов и . Энергии же частицы в системах и различны. Подставив из (1.30) в (1.29), получим

.

Первые два члена представляют собой энергию в системе . Вводя в последний член момент импульса, получим

(1.31)

Этой формулой определяется закон преобразования энергии при переходе к равномерно вращающейся системе координат. Хотя мы вывели его для одной частицы, но очевидно, что вывод может быть непосредственно обобщен на случай любой системы частиц, это приводит к той же формуле (1.31). Размещено на Allbest.ru