Размещено на http://www.allbest.ru/

Республика Казахстан

Алматинский институт энергетики и связи

Кафедра Теоретических основ электроники

Курсовая работа

по дисциплине ТЭЦ 2

Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях классическим, операторным и спектральным методами

Работа выполнена студентом

Калабиным Д.С.

Преподаватель

Зуслина Е.Х.

Алматы, 2007

Содержание

• Введение
• 1. Задание
• 2. Выполнение задания 1
• 2.1 Расчет переходного процесса в цепи классическим методом
• 2.2 Расчет переходного процесса в цепи операторным методом
• 3. Выполнение задания 2
• 3.1 Спектры непериодических сигналов
• 3.2 Расчет переходных процессов спектральным методом
• Заключение
• Список использованной литературы
• Введение
• Переходной режим работы цепи обусловлен наличием в ней реактивных элементов (индуктивности, емкости), в которых накапливается энергия магнитного и электрического полей. При различного рода воздействиях (подключении к цепи или исключении источников электрической энергии, изменении параметров цепи) изменяется энергетический режим работы цепи, причем эти изменения не могут осуществляться мгновенно в силу непрерывности изменения энергии электрического и магнитного полей (принцип непрерывности), что и приводит к возникновению переходных процессов. Следует подчеркнуть, что переходные процессы во многих устройствах и системах связи являются составной "нормальной" частью режима их работы. В то же время в ряде случаев переходные процессы могут приводить к таким нежелательным явлениям, как возникновение сверхтоков и перенапряжений. Все это определяет важность рассмотрения методов анализа переходных процессов в электрических цепях
• В основе методов расчета переходных процессов лежат законы коммутации. Коммутацией принято называть любое изменение параметров цепи, ее конфигурации, подключение или отключение источников, приводящее к возникновению переходных процессов. Коммутация считается мгновенной, однако переходный процесс, будет протекать определенное время. Теоретически для завершения переходного процесса требуется бесконечно большое время, но на практике его принимают конечным, зависящим от параметров цепи. Считается, что коммутация осуществляется с помощью идеального ключа К, сопротивление которого в разомкнутом состоянии бесконечно велико, а в замкнутом равно нулю. Направление замыкания или размыкания ключа показывается стрелкой. Считается, если не оговорено иное, что коммутация осуществляется в момент t = 0.
• Различают первый и второй законы коммутации. Первый закон коммутации связан с непрерывностью изменения магнитного поля катушки индуктивности
• W_L = Li²/2
• и гласит: в начальный момент t = 0₊ непосредственно после коммутации ток в индуктивности имеет то же значение, что и в момент t = 0_- до коммутации и с этого момента плавно изменяется.
• i_L (0+) = i_L (0) = i_L (0-)
• ш (0+) = ш (0) = ш (0-)
• Второй закон коммутации связан с непрерывностью изменения электрического поля емкости
• W_С = Сu²/2;
• в начальный момент t=0₊ непосредственно после коммутации напряжение на ёмкости имеет то же значение, что и в момент: t = 0_- до коммутации и с этого момента плавно изменяется. В отличие от тока в индуктивности i_L и напряжения на емкости U_С напряжение на индуктивности U_L и ток в емкости i_C могут изменяться скачком, так как они являются производными от i_L и U_С и с ними непосредственно не связана энергия магнитного и электрического полей.
• u_С (0+) = u_С (0) = u_С (0-)
• q_С (0+) = q_С (0) = q_С (0-)
• Классический метод расчета переходных процессов. В основе классического метода расчета переходных процессов в электрических цепях лежит составление интегрально-дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений. Эти уравнения составляются на основе законов Кирхгофа, методов контурных токов, узловых напряжений и могут содержать как независимые, так и зависимые переменные. Для удобства решения обычно принято составлять дифференциальные уравнения относительно независимой переменной, в качестве которой может служить i_L или U_С Решение полученных дифференциальных уравнений относительно выбранной переменной и составляет сущность классического метода.
• Операторный метод расчета переходных процессов. В основе операторного метода расчета переходных процессов лежит преобразование Лапласа, которое позволяет перенести решение из области функции действительного переменного t в область комплексного переменного р:
• p=б+jщ.
• При этом операции дифференцирования и интегрирования функций времени заменяются соответствующими операциями умножения и деления функций комплексного переменного на оператор р, что существенно упрощает расчет, так как сводит систему дифференциальных уравнений к системе алгебраических. В операторном методе отпадает необходимость определения постоянных интегрирования. Этими обстоятельствами объясняется широкое применение этого метода на практике.
• Для анализа переходных процессов при воздействии на цепь сигналов произвольной формы широко используется частотно-спектральный метод анализа, основанный на спектральных представлениях сигнала. Представление непериодических сигналов в виде непрерывного спектра частот позволяет применить к бесконечно малым гармоникам. Для непериодических функций используется спектральное представление, основанное на преобразованиях Фурье.
• 1. Задание
• коммутация магнитный индуктивность емкость
• Задание №1. Расчет переходных процессов классическим и операторным методами. Электрическая цепь, состоящая из источника синусоидальной ЭДС
• e=E_msin(щt+ш_e)
• резистивных сопротивлений, индуктивности и емкости, находится в установившемся режиме. В момент времени t=0 путем замыкания ключа К в цепи осуществляется коммутация.
• Определить ток в заданной ветви электрической цепи после коммутации двумя методами:
• 1) классическим методом
• 2) операторным методом
• построить график зависимости искомой величины от времени, используя ЭВМ. График построить на интервале времени от 0 до 5/|P_min|.
• Данные:
• R₁ = 78 Ом
• R₂ = 100 Ом
• R₃ = 45 Ом
• L = 18 мГн
• C = 0.6 мкФ
• E_m = 90 В
• щ = 6000 рад/с
• ш_e = -10 град
• Искомая величина - U_R2
• Задание №2
• 1) Спектры непериодических сигналов
• Определить спектральную плотность непериодического сигнала.
• 2) Применение спектрального метода к расчету переходных процессов
• Заданную электрическую цепь отключить от источника синусоидальной ЭДС, емкость заменить короткозамкнутым участком. Полученная электрическая цепь подключается к импульсу напряжения u₁(t).
• Требуется:
• 1) Определить спектральную плотность заданного импульса U₁(jщ), построить АЧХ и ФЧХ этого импульса с помощью ЭВМ.
• 2) Нарисовать полученную электрическую цепь
• 3) Определить комплексную передаточную функцию цепи Y_I(jщ), соответствующую искомой спектральной плотности
• 4) Определить спектральную плотность искомой функции I_L(jщ), построить АЧХ и ФЧХ с помощью ЭВМ.
• 5) По найденной спектральной плотности найти i_L(t)
• График прямоугольного видеоимпульса для пункта 1 задания 2
• U = 20 В
• t₀ = 4 мс
• t_И = 2 мс
• б = 400 с^-1

Размещено на http://www.allbest.ru/

• График непериодического напряжения для пункта 2 задания 2

2. Выполнение задания 1

2.1 Расчет переходного процесса в цепи классическим методом

В основе методов расчета переходных процессов лежат законы коммутации. Коммутацией принято называть любое изменение параметров цепи, ее конфигурации, подключение или отключение источников, приводящее к возникновению переходных процессов. Независимыми начальными условиями называются значения переходных токов в индуктивных элементах и напряжений на емкостных элементах при t=0, то есть те значения, которые в момент коммутации не изменяются скачком.

Определение независимых начальных условий i₁(0) u_c(0)

Рассчитаем установившийся режим цепи до коммутации. Эквивалентная схема цепи до коммутации имеет вид:

Рис. 1.1 Схема цепи до коммутации

ННУ определим по законам коммутации:

i_L(0_- )=i_L(0)=i_L(0₊) = 0 А

u_C(0_-)=u_C(0)=u_C(0₊)= E = 90 B

Определение тока после коммутации

Запишем законы Кирхгофа в дифференциальной форме для цепи после коммутации

Рис. 1.2 Схема цепи после коммутации

i₁+i_L-i₂-i₃=0

(1)

Напряжение c удовлетворяет заданной системе дифференциальных уравнений и может быть представлено в виде

(2)

где - принужденное напряжение,

- свободное напряжение.

Определим принужденную составляющую напряжения u_Cпр

Рассчитаем установившийся режим цепи после коммутации.

U_cпр = E = 90 В

Определим свободную составляющую напряжения u_Cсв

Составим характеристическое уравнение методом входного сопротивления. Для этого составим комплексное входное сопротивление относительно ветви с источником ЭДС.

Числитель приравняем к нулю - получим характеристическое уравнение.

Подставим числовые значения:

Так как корни уравнения вещественные и различные, то свободную составляющую напряжения u_Cсв запишем в виде:

(4)

Определение постоянной интегрирования А

Определим их по начальным значениям напряжения u_C (0) и его первой производной u_C'(0).

Запишем переходное напряжение u_C(t) в соответствии с (2):

(5)

Запишем напряжение и его первую производную для момента времени t=0



(6)

Определим начальные значения u_C (0) и u_C'(0). u_C (0), это независимое начальное условие, оно было определено выше.

uC (0)=90 В

uC'(0) можно определить из уравнений Кирхгофа после коммутации с учетом независимых начальных условий.

u_C'=(i2- ток в ёмкости)

cоставим системы уравнений:

так как Uc(0) = E заменим Uc(0) на E и перенесем в правую часть:

Выразим ток i3 через токи i1 и i2

(8)

Из третьего уравнения системы (8) выразим ток i1

подставим во второе уравнение и найдем его:

(9)

Подставим числовые значения и получим:

р i2(0)=-0,444

Подставим (10) и (11) в (4) и в соответствии с (2) запишем мгновенное значение искомого напряжения uc

2.2 Расчет переходного процесса в цепи операторным методом

Суть операторного метода в том, что ограниченной функции f(t) действительной переменной t, удовлетворяющей условиям Дирихле сопоставляется другая функция F(р) комплексной переменной

p=s+jщ. f(t)

- оригинал функции, а F(р) - изображение. Это сопоставление осуществляется с помощью прямого преобразования Лапласа.



Для определения оригинала по известному изображению применяют теорему разложения

Применим метод наложения, то есть принужденный режим рассчитаем классическим методом, а свободный режим рассчитаем операторным методом.

Определение независимых начальных условий

Рис. 1.1 Схема цепи до коммутации

Комплексная амплитуда ЭДС:

Em = Em ejш = 95 e-j10 = 93.5567365 - j16.496577 B

Индуктивное сопротивление:

XL=Ом

Ёмкостное сопротивление:

Xс=Ом

Рассчитаем полное комплексное сопротивление в цепи до коммутации

Z-= R1+R2+j(щL-) = 150+50+j(120-416,666) = 200 - 296,666 = 357.7859e-j56 Ом

Рассчитаем ток на индуктивности и напряжение на ёмкости по закону Ома:

A,

Umc_=Im1_В

Запишем мгновенное значение тока на индуктивности и напряжения на ёмкости до коммутации

Определим значение тока на индуктивности и напряжения на ёмкости в момент времени t=0_

i1(0_) =0.2655 sin(46) =0.1909847 A

uC(0_) = 110.6232 sin(-44)=-76.84533 B

ННУ определим по законам коммутации:

i1(0_) = i1(0) = i1(0+) =0.1909847 A

uC(0_) = uC(0) = uC(0+) = -76.84533 B

Определим принужденную составляющую напряжения u_Cпр и тока i_1пр.

Рассчитаем установившийся режим цепи после коммутации. Применим комплексный метод.

Рис. 1.3 Схема для расчета принужденных составляющих токов

Em = 95 e-j10 В

Рассчитаем входное сопротивление, его проще рассчитать относительно ветви с источником ЭДС

Ток Im1пр рассчитаем по закону Ома



Токи Im2пр рассчитаем по формулам разброса токов:

Мгновенное значение напряжения и тока:

u_Cпр = 50.01766 sin(6000t-75,960),В

i_1пр= 0.53597042sin(6000t-43,99),А

Так как мы можем разложить любой ток на сумму принужденной и свободной составляющей, то удобно будет представить свободную составляющую тока i1 и напряжения uC следующим образом

i_1св(0) = i1(0) - i_1пр(0)

u_Cсв(0) = u_C(0) - u_Cпр(0)

i_1пр= 0.53597042sin(6000t-43,990),А

i_1пр(0) = 0.53597042 sin(-43,990)=-0,372249043 А (в момент времени t=0)

u_Cпр = 50.01766 sin(6000t-75,960),В

u_Cпр(0) = 50.01766 sin(-75,960) = -48,52346226 B (в момент времени t=0)

Получаем ННУ

i_1св(0) = 0.1909847 +0,372249043 = 0,563233743 А

u_Cсв(0) = -76.84533 +48,52346226 = -28,32186774 В

Составим эквивалентную операторную схему цепи после коммутации

Так как рассчитываем только свободную составляющую, то источник ЭДС закорачиваем, однако в цепи содержатся внутренние ЭДС Li1св(0) и UCсв(0)/p они указывают, что к моменту коммутации была накоплена энергия в катушке индуктивности и конденсаторе. В соответствии с этими условиями эквивалентная операторная схема будет иметь следующий вид:

Рис. 1.5 Операторная схема для свободного режима цепи после коммутации

Определим изображение UCсв(p).

Для определения I2св(p) применим МЭГ.



I2св(p)=, (12)

где

Z2=R2-jXc, Zэк=U12свх(p)/I2cвк(p), Eэк=U12свх(p).

Z1=R1+jXL.

Z2=R2-jXC.

Z3=R3.

1) Найдем U12свх(p). U12свх(p) можно найти путем расчета цепи в режиме холостого хода (рис 1.7).

U12свх(p)=I3x(p)*Z3

Применим для расчета МКТ:

I11x(p)*(Z1+Z3)=Li1св(0)

I11x(p)=

I3x(p)= I11x(p) U12свх(p)= (13)

2) Найдем Zэк. Zэк можно найти путем расчета цепи в режиме короткого замыкания (рис 1.8).

Zэк=U12св(p)/I2cвк(p),

Применим для расчета МКТ:

(14)

I2свк(p) = I11свк(p)

Методом Крамера решим систему уравнений

(15)

Используя (13) и (15) найдем Zэк.

Zэк= (16)

Подставим (16) и (13) в (12) и найдем I2св(p):

I2св(p)=

Определим изображение UCсв(p).

Подставим:

Z1=R1+pL.

Z2=R2+.

Z3=R3.



F2(p) = 0 - характеристическое уравнение. Необходимо найти его корни:

=0,

Подставим числовые значения:

Определение оригинала по известному изображению

Так как корни комплексные сопряженные, то для нахождения оригинала используется следующая формула (теорема разложения):

(17)

Определим F1(p1):

Определим F2`(p1):

Подставим полученные значения в (17):

Мгновенное значение искомого напряжения, полученное операторным методом:

,В

Построим график зависимости искомого тока от времени

Рис. 1.6 График зависимости напряжения uc(t) и его составляющих от времени

3. Выполнение задания 2

3.1 Спектры непериодических сигналов

Спектральный метод применяется для определения спектральной плотности входного сигнала и вычисления спектральной плотности реакции цепи по спектральной плотности воздействия. Здесь используется спектральное представление, основанное на преобразовании Фурье

Спектром или спектральной плотностью называется внутренний интеграл, имеющий вид:

,

где сам интеграл является прямым преобразованием Фурье.

Определение функции по известной спектральной плотности осуществляется при помощи обратного преобразования Фурье:

или по теореме разложения.

Определение спектральной плотности прямоугольного видеосигнала

Рис. 2.1 График прямоугольного видеосигнала

Спектральную плотность определяем с помощью прямого преобразования Фурье

(18)

Прямое преобразование Фурье для данного сигнала

Полученная спектральная плотность

(19)

Спектральная плотность в общем виде представляется формулой:

(20)

Определяем амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики данного прямоугольного видеоимпульса:



при положительном значении синуса

при отрицательном значении синуса

3.2 Расчет переходных процессов спектральным методом

Определение спектральной плотности непериодического напряжения

Заданный импульс

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.2 График непериодического напряжения

Применим прямое преобразование Фурье

 (21)

В соответствии с формулой (20) спектральную плотность непериодического напряжения можно представить как:

(22)

Определяем амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики данного непериодического напряжения:

Ниже представлен график АЧХ, построенный с помощью программного продукта MathCad:

Рис. 2.3 АЧХ входного непериодического напряжения

график ФЧХ:

Рис. 2.4 ФЧХ входного непериодического напряжения

В соответствии с условиями составим электрическую цепь

Заданную электрическую цепь отключить от источника синусоидальной ЭДС, емкость заменить короткозамкнутым участком. Полученная электрическая цепь подключается к импульсу напряжения u1(t).

Рис. 2.5 Схема цепи для исследования спектральным методом

Произведем небольшие преобразования в схеме и получим эквивалентную схему:



Рис. 2.6 Схема эквивалентная 2.5

Где

Ом

Определим комплексную передаточную функцию

(23)

Найдем сначала :

отсюда:

(24)

Подставим численные значения:

Определим спектральную плотность реакции цепи :

(25)

Подставим численные значения:

(26)

Подставим значения:

Определяем амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики:

Ниже представлен график АЧХ:

Рис. 2.7 АЧХ реакции цепи

график ФЧХ:

Рис. 2.8 ФЧХ реакции цепи

Определение iL(t) по известной спектральной плотности IL(jщ)

Произведем замену jщ>p

(27)

Применим теорему разложения

Определяем корни характеристического уравнении F2(p)=0

=0

p1=- б;

p2=-Rэк/L;

p3=0;

Определение зависимости тока от времени

(28)

Где

Подставим полученные численные значения в формулу (28):



Конечный результат вычислений:

(29)

Заключение

В ходе работы я подробно изучил переходные процессы, происходящие в электрических цепях при коммутации. Исследовала классический, операторный и спектральный методы расчета переходных процессов.

В данной работе я определил напряжение в одной из ветвей электрической цепи после коммутации двумя методами: классическим и операторным. Значения напряжения, полученные двумя различными методами практически совпали, поэтому можно сделать вывод, что расчёты сделаны правильно. Равенство полученных результатов позволяет судить о том, что классический и операторный методы являются эквивалентными.

Построил график зависимости найденной величины от времени, используя программу MathCad, с помощью которой удалось наглядно продемонстрировать зависимость напряжения от времени.

С помощью спектрального метода была определена спектральная плотность воздействий двух видов: 1) прямоугольный видеосигнал и

2) непрерывный сигнал. Кроме того, по известной спектральной плотности воздействия были определены комплексная передаточная функция, спектральная плотность реакции цепи, и по последней найдена соответствующая функция времени, а именно iL(t).

А также с помощью программного продукта MathCad были

построены амплитудно-частотные и фазо-часттные характеристики воздействия и реакции цепи.

Список использованной литературы

1. Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.Е. Основы теории цепей: Учебник для вузов. - М.: Радио и связь, 2000.-592с.

2. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. - М.: Энергоатомиздат, 1989.-528с.

3. Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей. - М.: Высшая школа, 1990.-544с

Размещено на Allbest.ru

...