Исследование вращательного движения твердого тела

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. ТЕХНИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Имеется твердое тело, которое вращается относительно неподвижной вертикальной оси с угловой скоростью под действием вращающего момента и момента сил сопротивления (см. рис. 1):

; ;

Коэффициент = 1,0; коэффициент = 1,8; Из таб. 1 рис. 2, из таб. 2 [1]. Исследовать:

Влияние шага интегрирования на зависимость угловой скорости от времени.

Выбрать базовое число шагов _.

Пределы: 25 75.

Влияние погрешности начальной угловой скорости на зависимость угловой скорости от времени.

Пределы: - 0,08 с^-1 + 0,08 с^-1.

Влияние погрешности изготовления на зависимость угловой скорости от времени:

Пределы: 0,9 м 1,1 м.

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Для определения зависимости угловой скорости от времени необходимо решить дифференциальное уравнение (2.1) [2].

(2.1)

Начальная угловая скорость = - 0,08 с^-1 .

Форма поперечного сечения тела приведена на рис. 2:

Рис. 2. Момент инерции тела относительно оси 0z определяется выражением

откуда с использованием рис. 2

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела

нелинейно, переменные не разделяются, поэтому для интегрирования рассмотрим численный метод решения задачи - метод Рунге-Кутта.

3. МЕТОД РУНГЕ-КУТТА

Метод Рунге-Кутта является одним из численных методов, позволяющих получить приближенное решение при любом виде правой части дифференциального уравнения (2.1)

(3.1)

Идея метода состоит в разложении решения в ряд Тейлора:

. (3.2)

Перейдем от непрерывных значений аргумента и функции к дискретным значениям их в некоторых точках. Для этого интервал интегрирования (t_o, t_o+t_k) разбиваем на отрезки с шагом по времени

, (3.3)

где N - число разбиений. Тогда при известном значении решения , значение может быть найдено приближенно по формуле (3.2) с учетом двух членов разложения:

. (3.4)

Поскольку то получаем расчетную формулу:

(3.5)

Соотношение (3.5) является приближенным, его можно получить из точного соотношения

(3.6)

Действительно, считая производную от угловой скорости постоянной в пределах шага по времени, из (3.6) получаем расчетную формулу (3.5).

Для получения более точных расчетных формул нужно точнее аппроксимировать интеграл в правой части (3.6). В общем виде приближенное решение имеет вид:

(3.7)

где P_i - некоторые коэффициенты;

K_i - функции.

При увеличении числа q возрастает точность приближенного решения, однако, с другой стороны, это приводит к увеличению объема вычислений.

В настоящее время, наиболее употребительна совокупность функций K_i(h), соответствующая q = 4. В этом случае решение уравнения (2.1) на некотором шаге по времени вычисляется по формуле:

, (3.8)

где ,

Решение по формуле (3.8) ищется последовательно в N точках, начиная с точки t = t_o + h. Эта однообразная процедура вычислений легко реализуется на ПЭВМ [2, 3].

4. ПРОГРАММА ДЛЯ ПЭВМ

Program ;

uses crt, printer;

const t0=0;

var t, h, w, w0, dw, k1, k2, k3, k4, i, r, tk, nn, mm, tt, ww: real; s, n: integer; F : text;

begin clrscr;

assign(F, `tablic.txt');

rewrite(F);

writeln( `Введите время разгона tk' );

readln(tk);

writeln(`Введите коэффициент m , коэффициент n , начальную угловую скорость w0');

readln(mm, nn, w0);

writeln(`Введите число разбиений N, характерный размер R, начальную погрешность угловой скорости dw' );

readln(s, r, dw);

i:=8*(R*R*R*R)/3;

h:=(tk-t0)/s; w:=w0+dw;

writeln(F, `ТАБЛИЦА n1', n:2,',r=',r:1:1,',w0=',w:2:3 );

writeln(F, ` n t(c) w(с^-1) ');

n:=0; t:=0;

writeln(F, ` ',n:2, ` ',t:1:3, ` ',w:1:5, ` ');

t:=t0+h; n:=1; w:=w0+dw;

while t<=tk+0.001 do begin

tt:=t; ww:=w;

if ww>0.0 then k1:=h/i*(1-1/exp(mm*ln(1+tt))-exp(nn*ln(ww)) );

if ww<0.0 then k1:=h/i*(1-1/exp(mm*ln(1+tt))+exp(nn*ln(abs(ww))) );

if ww=0.0 then k1:=h/i*(1-1/exp(mm*ln(1+tt)));

tt:=t+h/2; ww:=w+k1/2;

if ww>0.0 then k2:=h/i*(1-1/exp(mm*ln(1+tt))-exp(nn*ln(ww)) );

if ww<0.0 then k2:=h/i*(1-1/exp(mm*ln(1+tt))+exp(nn*ln(abs(ww))) );

if ww=0.0 then k2:=h/i*(1-1/exp(mm*ln(1+tt)));

tt:=t+h/2; ww:=w+k2/2;

if ww>0.0 then k3:=h/i*(1-1/exp(mm*ln(1+tt))-exp(nn*ln(ww)) );

if ww<0.0 then k3:=h/i*(1-1/exp(mm*ln(1+tt))+exp(nn*ln(abs(ww))) );

if ww=0.0 then k3:=h/i*(1-1/exp(mm*ln(1+tt)));

tt:=t+h; ww:=w+k3;

if ww>0.0 then k4:=h/i*(1-1/exp(mm*ln(1+tt))-exp(nn*ln(ww)) );

if ww<0.0 then k4:=h/i*(1-1/exp(mm*ln(1+tt))+exp(nn*ln(abs(ww))) );

if ww=0.0 then k4:=h/i*(1-1/exp(mm*ln(1+tt)));

w:=w+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;

writeln(F, ` ',n:2, ` ',t:1:3, ` ',w:1:5, ` ');

t:=t+h; n:=n+1; end ;

close(F); readln; end .

5. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА. ГРАФИКИ

угловая скорость твердое тело

Результаты расчетов на ПЭВМ представлены в виде таблиц (см. приложение), по которым построены графики зависимости угловой скорости при разгоне вращающегося твердого тела от времени.

На рис.3 приведена зависимость угловой скорости при разгоне вращающегося твердого тела от времени при изменении шага интегрирования. Далее следует рисунок с тремя графиками при числе шагов = 25, 50 и 75. По ним выбирается рациональное (лучшее из предложенных) число шагов интегрирования N = 50.

На рис.4 приведена зависимость угловой скорости при разгоне вращающегося твердого тела от времени при изменении начальной угловой скорости , - 0,08 с^-1 и + 0,08 с^-1 (решение для ₀ получено на 1 - ом этапе при = N и r = 1 м).

На рис.5 приведена зависимость угловой скорости при разгоне вращающегося твердого тела от времени при погрешности характерного размера r = 0,9 м, 1,0 м и 1,1 м (решение для r = 1,0 м получено на 2 - ом этапе при N = N и = ₀).

ВЫВОДЫ

Вывод по графикам зависимости (t) при изменении числа шагов интегрирования N.

Шаг интегрирования зависит от количества разбиений (от N). Чем больше N, тем меньше шаг интегрирования, тем точнее мы получаем решение. Это следует из того, что при увеличении N графики становятся ближе друг к другу (рис.3). Рациональным будет число разбиений 25 либо 50, лучше в качестве базового взять N_БАЗ = 50.

Вывод по графикам зависимости (t) при изменении начальной угловой скорости ₀.

Из рис.4 следует, что погрешность начальной угловой скорости, в рассмотренных пределах, заметно влияет на зависимость угловой скорости от времени в начальный период разгона.

Вывод по графикам зависимости (t) при изменении характерного размера твердого тела r.

Из рис.5 следует, что при уменьшении размера тело, в силу уменьшения осевого момента инерции, быстрее выходит на стационарный режим. Десятипроцентное изменение размера приводит к 70% изменению угловой скорости при разгоне. Следовательно, погрешность изготовления тела в указанных пределах сильно влияет на режим разгона.

7. ЛИТЕРАТУРА

1. Методические указания по выполнению курсовой работы по динамике. Исследование вращательного движения твердого тела. /Составил доцент А.А. Селянинов/. Пермь: изд. ППИ, 2001. - 14 с.

2. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Учебник для вузов. - 10 - е изд., перераб. и доп. - М.: Высшая школа, 1986. - 416 с., ил.

3. Методические указания по выполнению расчетной работы по динамике. Исследование вращательного движения твердого тела с применением ПЭВМ. /Составили доценты Р.Н. Рудаков и А.И. Цаплин/. Пермь: изд. ППИ, 1979. - 13 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Влияние погрешности угловой скорости на зависимость угловой скорости от времени (N = 50; r = 1,0 м)

₀ = - 0,008 с^-1 ₀ = 0,008 с^-1

Влияние погрешности характерного размера на зависимость угловой скорости от времени (N = 50; ₀ = - 0,08 с^-1)

r = 0,9 м r = 1,1 м

Размещено на Allbest.ru