Переходные процессы в линейных цепях

Рис. 1:

Рассмотрим включение источника постоянного напряжения t=U в цепь последовательно соединенных r, L элементов (рис 1). Для после коммутационного периода (t>0 и t=0), применив закон Кирхгофа, получим:

(4)

А затем составим дифференциальные уравнения рассматриваемой цепи:

(5)

- полагая, что:

uL = L * (di / dt)

Решение этого уравнения, согласно (3) можно считать известным:

(6)

Первое слагаемое i_Пр есть частное решение уравнения (6) и выражает принужденное (установившееся) значение равное U/r. Второе слагаемое i=A представляет собой решение однородного уравнения, т. е., уравнения (5) при равенстве нулю правой части. Здесь p и A - соответственно корень характеристического уравнения и постоянная интегрирования. Для рассматриваемой цепи:

p = -r / L

А постоянная А определяется по начальному току в индуктивности i(0+). Так как ток в индуктивности до момента коммутации отсутствовал (нулевые начальные условия), то при t=0 для полного решения (6) имеет место:

(7)

Именно здесь проявилось действие закон коммутации (1), распространено на полное решение. Окончательно из (6) находим, что:

(8)

- постоянная времени (8).

Переходное напряжение на индуктивности можно найти из формулы:

(9)

Графики переходного тока и напряжения построенные по формулам (8) и (9). Чтобы оценить влияние параметров цепи на переходные процесс, свободную составляющую тока i_Св для различных моментов времени, выраженных через t.

Тогда:

Следовательно постоянная времени t равна промежутку времени в течении которого свободная составляющая тока убывает в е раз. Практически можно считать, что переходный процесс заканчивается спустя:

t = (4..5) * t

3. Короткое замыкание цепи с резистором и индуктивностью

Рассмотрим теперь цепь, питаемую от источника постоянного тока (рис 2), в которой после коммутации (замыкания ключа) индуктивность с током оказывается замкнутой на резистор r2.

Рис. 2:

В образовавшемся при этом контуре благодаря энергии, запасенной в магнитном поле индуктивности, ток исчезает мгновенно: ЭДС самоиндукции, обусловленная убыванием магнитного потока, стремиться поддержать ток в контуре за счет энергии исчезающего магнитного поля. Принужденный ток в данном случае равен нулю, переходной ток в контуре являться свободным, постепенно приближающимся к нулю. Свободный ток удовлетворяет однородному дифференциальному уравнению:

Общее решение которого:

(10)

A - постоянная интегрирования, вычисляемая из начальных условий:

(11)

Где:

i_Пр(0-) - ток индуктивности в момент, непосредственно предшествующей короткому замыканию. При t=0 из (5.10) имеем:

(12)

Рис. 3:

С энергетической точки зрения процесс короткого замыкания цепи r, L характеризуется тем, что вся запасенная в индуктивности до коммутации энергия ее магнитного поля в течении переходного процесса выделяется в резисторе r в виде тепла.

(13)

4. Включение цепи r, L к источнику гармонического напряжения

Пусть источник с напряжением:

(14)

- включается в цепь с последовательным соединением резистора r и индуктивности L (рис 4).

Рис. 4:

Для решения дифференциального уравнения цепи для после коммутационного периода (t=0 и t>0) следуя общему методу, находим сначала частное решение, хорошо известное из теории синусоидальных токов

(15)

Затем записываем уже известное решение однородного дифференциального уравнения цепи r, L содержащее постоянную интегрирования:

 (16)

И, наконец, полное решение в виде:

(17)

Далее, устанавливаем начальные условия для тока в индуктивности. Так как цепь была разомкнута до коммутации, то имеем нулевые начальные условия:

(18)

При t=0 из (5.18) устанавливаем, что:

и (19)

А полный переходной ток:

(20)

Его график представлен на рис 5.

Рис. 5:

5. Включение в цепь r, C к источнику постоянного напряжения

Пусть при t=0 незаряженная емкость С подключается через резистор r к источнику постоянного напряжения u=U.

По второму закону Кирхгофа уравнение для после коммутационного периода (tі0) имеет вид:

Где:

i, uc - соответственно переходной ток в цепи и переходное напряжение на емкости. С учетом того, что:

i = C·* duc / dt

Получаем дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи:

 (21)

Решение этого уравнения, согласно (3), известно:

(22)

Первое слагаемое U - частное решение уравнения (21), выражает принужденное значение, когда емкость зарядиться до напряжения источника. Второе слагаемое:

uC_св = A·* exp (pt)

- решение однородного дифференциального уравнения, полученные из (21), и содержит корень характеристического уравнения, равный для этой цепи:

p = -1 / (rC)

И постоянную интегрирования А, вычисляемую из начальных условий. Для любой цепи с резистором и емкостью они устанавливают на основании второго закона коммутации. Так при t=0 из (22) находим:

(23)

Переходное напряжение на емкости будет изменяться по закону:

 (24)

Для тока получим:

(25)

Кривые изменения тока приведены на рис 6.

Рис. 6:

6. Короткое замыкание в цепи с резистором и емкостью

Пусть емкость С была заряжена от источника постоянного напряжения да напряжения (0-)=U (рис 6).

Для после коммутационного периода (tі0) в короткозамкнутом контуре принужденное напряжение на емкости и принужденный ток в цепи будут равны нулю, и, по определению, в нем может существовать только свободный режим:

(26)

Постоянная интегрирования А находится из начальных условий при t=0:

uc * (0+) = A = uc * (0-) = U

Для напряжения на емкости теперь получим:

(27)

С энергетической точки зрения режим короткого замыкания цепи rC характеризуется переходом энергии, запасенной до коммутации в электрическом поле емкости:

W_Э = C·* U₂ / 2

- в тепло:

(28)

Графики изменения uc, и i приведены на рис. 7.

Рис. 7:

7. Включение цепи r, C к источнику синусоидального напряжения

Этот случай отличается от рассмотренного в п. 5, только тем, что источник представлен гармонической функцией, т. е., например:

(29)

Принужденное напряжение на емкости:

(30)

А переходное напряжение на емкости:

 (31)

Если принять, что емкость не была заряжена, то постоянная интегрирования определяется при нулевых начальных условиях:

uc * (0+) = uc * (0-) = 0 (32)

Отсюда:

(33)

Кривая изменения напряжения изображена на рис 8.

Рис. 8:

Теперь перейдем к рассмотрению переходных процессов в электрической цепи, состоящей из последовательно соединенных r, L, C элементов. Здесь по аналогии с r, L и r, C цепями возможны случаи, когда цепь подключается к источнику постоянного напряжения или к источнику переменного напряжения, в частности, синусоидального напряжения, или цепь образует замкнутый контур без источников, но емкость к моменту коммутации была заряжена. Составленный по второму закону Кирхгофа дифференциальных уравнений для каждого из названных случаев имеет решение в форме (3), где первое слагаемое выражает принужденный режим, задаваемый видом функции в правой части, а второе выражает свободный режим в цепи при отсутствии внешних источников. Именно здесь и проявляется отличие рассматриваемой цепи, состоящее в том, что наличие в ней одновременно двух реактивностей разных знаков приводит к появлению квадратного характеристического уравнения и двух его корней p₁ и p₂. Теперь переходное напряжение на емкости равно:

(34)

Две постоянные интегрирования A1 и A2 определяться из двух начальных условий в сочетании с двумя законами коммутации. Так, если непосредственно перед коммутацией заданы uc(0-) и iL(0-) т. е., начальные условия, то выполнение законов коммутации приводит к равенствам:

(35)

(36)

Где все значения являются принужденные значения для момента времени непосредственно после коммутации. Когда они известны, так же как начальные условия и корни p₁ и p₂ можно найти напряжения A₁ и A₂ и завершить решения (33) и (34).

Проиллюстрируем все вышеизложенное на случае разряда емкости на цепь r, L (рис 9).

Рис. 9:

Отсутствие источников питания означает, что в цепи для после коммутационного периода (tі0) имеет место свободный режим и по второму закону Кирхгофа можно установить, что:

(37)

(38)

ток электрический коммутация

Для решения этого дифференциального уравнения составим характеристической многочлен:

(39)

Характер свободного режимам будет определяться видом корней этого уравнения, т. е., только параметрами цепи r, L, C. Так как эти корни определяться формулой:

(40)

Тогда характер свободного процесса зависит от знака подкоренного выражения.

Размещено на Allbest.ru