Постоянный электрический ток

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

Тема:

Постоянный электрический ток



1. Вектор плотности тока. Закон Ома

Движение заряженных частиц в проводниках под действием приложенного электрического поля назвали электрическим током.

Подвижными заряженными частицами в металлах являются электроны. Носители тока в полупроводниках - также электроны; в электролитах - ионы, в плазме - ионы и электроны.

Основной характеристикой тока является плотность тока :

,(1.1)

где - средняя скорость электрона. Видно, что вектор направлен вдоль скорости движения положительных зарядов.

Через площадку за единицу времени протекает количество электронов (количество электричества):

.(5.2)

Тогда - сила тока, проходящего через площадку . Единицей измерения плотности тока является , силы тока - А (ампер). Рассмотрим произвольную замкнутую поверхность (рис. 1.1) и найдем поток вектора сквозь эту поверхность:

Рис. 1.1

,(1.3)

где - изменение заряда в единицу времени.

Знак “-” показывает, что если число положительных зарядов в объеме уменьшается, то поток направлен из объема наружу.

;

.(1.4)

Уравнение (1.4) представляет собой уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения заряда в объеме.

Сравним его с теоремой Гаусса в дифференциальной форме:

;

Смысл уравнения в том, что источниками являются заряды . Значит, из уравнения непрерывности следует, что источником тока является временное изменение заряда, токовые силовые линии начинаются там, где .



Для постоянного тока , , то есть , : токовые линии всегда замкнуты для постоянного тока.

Выясним условия, при которых может существовать постоянный ток. Для этого нужны сторонние источники, создающие направленное движение зарядов (). Связь с (напряженность стороннего поля) предполагается линейной:

-(1.5)

Здесь - коэффициент электропроводности; . Эта формула верна в точке проводника, где и постоянны, то есть имеет локальный характер, и носит название закона Ома в дифференциальной форме. Открыт Омом в 1827 г. Кавендиш установил экспериментально пропорциональность тока и напряжения еще в 1770 г., но никому об этом не сообщил.

Исследуем выражение (1.5) и найдем следствия из него. С учетом (1.1) имеем:

.

Оценим величину .

Для Cu: , и если; то

Скорость теплового движения при : ; тогда. Так как , то , т.е. движение электронов является равномерным, а должно быть равноускоренным, потому что происходит под действием силы. Чтобы объяснить это противоречие, запишем уравнение движения электронов:

,(1.6)

где второе слагаемое учитывает столкновение электронов с решеткой в виде “эффективной силы трения“. Решение уравнения (1.6) имеет вид:

;

найдем подстановкой решения в уравнение; - из начальных условий: , :

,.

Таким образом:

,(1.7)

где параметр называется временем релаксации.

При скорость электронов становится постоянной:



Тогда:

.-(1.8)

Эта зависимость электропроводности от плотности электронов называется формулой Друде.

Оценим время релаксации.

Для :

Ясно, что установление постоянного значения после включения происходит очень быстро.

Куда уходит энергия, получаемая электронами в процессе разгона? На преодоление сил ”трения”, то есть на столкновения электронов с решеткой, что приводит к ее нагреванию. При движении заряда совершается работа . В единице объема выделится энергия:

(1.9)

Значит, за единицу времени в единице объема выделится энергия:

.(1.10)



Данная величина носит название тепловой мощности. Иначе:

.(1.11)

Закон Джоуля (1841 г.), Ленца (1842 г.) в дифференциальной форме, записанный выше, верен в локальной точке проводника.

Интегральный вид этого закона можно вывести, зная количество тепла, выделившегося в проводнике объема за время . Введем величину удельного сопротивления:

.(1.12)

Тогда, используя (1.9), запишем:

.(1.13)

Для линейного проводника , где - площадь сечения, - элемент длины, . С учетом этого выражение (1.13) примет следующий вид:

;

;

,(1.14)



где величина характеризует сопротивление проводника. Подставляя выражение (1.14) в (1.11), получаем окончательно выражение для тепловой мощности:

.(5.11')

Единицей измерения мощности является ватт

В основе всех приведенных выше формул лежит закон Ома. Область применимости этого закона связана с линейной зависимостью, т.е. должно быть достаточно малым, чтобы ограничиться первым членом ряда:

Здесь единственная величина, которая может быть ограничена, это : .

тепловая скорость электронов. Тогда .

Только начиная с таких полей могут проявляться нелинейные эффекты в законе Ома при прохождении тока в металлах. Технически допустимые значения можно определить по максимальному значению допустимой плотности тока в металлических проводах. Так, для меди :

;(5.15)

.(1.16)

Таким образом, технически используемые величины в раз меньше тех, которые ограничивают область применения в законе Ома.

В плазме закон Ома не соблюдается, так как при низких давлениях величина велика (почти нет столкновений): { при гораздо большем токе, чем в металлах}.

2. Электродвижущая сила. Правила Кирхгофа

Закон Ома для замкнутого проводника или для электрической цепи можно вывести, используя выражения (1.5), (1.12). Возьмем замкнутый проводник, элемент длины которого . Тогда:

Используем то, что сила тока, или просто ток, . Тогда:

Таким образом:

;(1.17)

или

Это закон Ома для замкнутого проводника. Здесь - полное сопротивление всей цепи. Так как для электростатического поля то для того, чтобы ЭДС было отлично от нуля , нужны сторонние непотенциальные источники электрического поля.

Из (1.17) следует определение :

ЭДС - это работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда вдоль замкнутого проводника.

Если участок цепи не содержит источника, то закон Ома принимает вид:

, (1.18)

где - разность потенциалов на этом участке цепи.

Применим закон Ома для изучения последовательного и параллельного соединения проводников.

Рис. 1.2

1. Случай последовательного соединения проводников (рис. 1.2). Используя (5.18), запишем для каждого проводника:

Таким образом, для последовательного сопротивления проводников:

(1.19)

Рис. 1.3

2. Случай параллельного соединения проводников (рис. 1.3). Для точки А можно записать:

;

Тогда по (1.19):

Значит, при параллельном соединения проводников:

(1.20)

Рассмотрим разветвленную цепь проводов, в отдельных участках которой включены источники тока. Для такой цепи могут быть выведены два правила Кирхгофа. Сформулируем их.

Это правило выражает закон сохранения заряда (1.4) для постоянного тока. Используем его в точках разветвления проводов (в узле).

(1.21)

Правило читается так:

Алгебраическая сумма всех токов, текущих к узлу и вытекающих из него, равна нулю.

Токи, текущие от узла, имеют знак “+”, токи, направленные к узлу, знак “_”.

2. Выделим в цепи произвольный замкнутый контур. Применяя закон Ома (1.18) к каждому участку контура и суммируя, получим:

(1.22)

Правило формулируется так:

Сумма падений напряжения на всех участках замкнутого контура равна сумме ЭДС, действующих в нем.

Знак перед любым слагаемым второго правила Кирхгофа, являющегося следствием закона Ома, определяется следующим образом: перед ставится “+”, если направление тока совпадает с направлением обхода контура; записывается с “+”, если направление вектора сторонней напряженности совпадает с направлением обхода контура L (рис. 1.4).

Рис. 1.4

3. Электропроводность металлов

Рассмотрим электронную структуру изолированного атома, использовав модель Бора: ядро и вращающиеся вокруг него по соответствующим орбитам электроны. Каждая такая орбита характеризуется определенным значением энергии. Энергетическая структура атомов может быть представлена различными энергетическими уровнями, заселенными определенным количеством электронов (рис. 1.5, а). Расстояние между уровнями убывает по мере роста номера уровня (уровни не эквидистантны). Максимальное число электронов на уровне задано правилами квантования. На рис. 5.5 это показано цифрами на уровнях Е₁, Е₂, и т.д.

Рис. 1.5

Энергетическая структура всех изолированных атомов одного элемента одинакова. Если взять N атомов, то уровни Е₁, Е₂, Е₃… будут N_кратно вырожденными, т.е. будут одинаково повторены N раз.

Сблизим N атомов так, чтобы они образовали кристалл. Расстояние между атомами в кристалле всегда несколько меньше, чем размер внешних оболочек атома, т.е. валентные электронные оболочки перекрываются. Это означает, что на уровне E_i должно находиться большее, чем раньше, число электронов. Однако это запрещено правилами квантования. Поэтому уровень расщепляется на N невырожденных энергетических уровней (рис. 1.5), расстояние между которыми настолько мало, что переход с одного на другой почти не требует затрат энергии. В этом смысле распределение электронов по энергиям можно считать непрерывным. Совокупность уровней, на которые расщепился N-кратный уровень, называется энергетической зоной. Такие зоны показаны на рис. 1.5, б.

Соседние зоны, разделенные интервалами энергий, называются запрещенными, так как в них нет разрешенных уровней энергии.

Итак, внутри кристалла внешние электроны:

а) коллективизированы, так как из-за перекрытия орбит они могут переходить от атома к атому;

б) могут занимать уровни внутри энергетической зоны;

в) число уровней внутри зоны определяется числом атомов в кристалле.

Теперь возникает вопрос: как распределяются электроны по уровням внутри зоны, какой статистике подчиняется это распределение.

Функция распределения частиц по энергиям согласно статистике Больцмана показана на рис. 1.6.

Рис. 1.6

При , согласно этой функции, должен быть занят лишь самый низкий уровень энергии (рис. 1.7, а). Все N частиц должны быть на этом уровне. Но правила квантования запрещают это, потому что каждый уровень, согласно данным правилам, имеет лишь определенное количество мест. При повышении температуры часть частиц может занять и более высокие уровни энергии (рис. 1.7, б). Из этого рассуждения ясно, что электроны не могут подчиняться статистике Больцмана.

Рис. 1,7

Газ коллективизированных электронов - квантовый газ, подчиняющийся статистике Ферми-Дирака. Основные положения этой статистики рассмотрим без вывода.

Распределение электронов по энергиям следует функции.

, (1.23)

где - энергия Ферми. Эта функция при показана на рис. 1.8, так как:

Рис. 1.8

Рис. 1.9

Энергия Ферми - самый высокий энергетический уровень, занятый электронами при . Все уровни энергии выше полностью свободны. Все уровни энергии ниже полностью заняты. Если , то функция (5.23) имеет вид, представленный на рис.5.9, так как:

Ясно, что зона “размытия” распределения существует, поскольку энергии достаточно, чтобы перебросить электроны на свободные энергетические уровни, т.е. по ширине она .

2. Величина энергии Ферми может быть рассчитана.

Введем фазовое пространство электрона - шестимерное пространство с координатными осями, на которых откладываются пространственные координаты и соответствующие проекции импульса электрона . Кинетическая энергия электрона:

Импульс электрона:

ток проводник электропроводность термоэлектрический



. (5.24)

В фазовом пространстве точки, отвечающие значениям должны помещаться на сфере радиуса (5.24) (рис.5.10). В интервале энергий должны при разместиться все N электронов. Рассчитаем число мест для электронов в фазовом пространстве в интервале импульсов . Это объем сферического слоя ширины , деленный на объем одной элементарной ячейки в фазовом пространстве и умноженный на 2.

Здесь учтено, что в одной фазовой ячейке объема располагаются 2 электрона. Тогда общее число мест, занятых электронами:

,

где - концентрация электронов в единице объема. Отсюда:

.(5.25)

Таким образом, величина энергии Ферми равна:

.(5.26)



Для того чтобы оценить величину , рассчитаем так называемую температуру Ферми: и приведем ее значения в таблице для ряда металлов. Здесь - число электронов на атом, - энергия Ферми, - температура Ферми.

Вещество		, эВ
Li	1	4.7	55
Na	1	3.1	37
Cu	1	7.0	82
Ag	1	5.5	64
Au	1	5.5	64

Расчет проведен для следующих значений:

Видно, что , поэтому зона “размытия” распределения Ферми (рис.5.9) . Практически все электроны в металлах находятся на полностью занятых уровнях энергии. Из графика рис.5.9 видно, что лишь в зоне “размытия” и выше по энергиям есть свободные уровни, остальные электроны не могут изменить своей энергии, т.е. не могут участвовать в процессах теплопереноса. Число термически активированных электронов

;(5.27).

Ранее была выведена формула Друде (5.8) для электропроводности, которая теперь может быть записана в ином виде:

,

где время релаксации заменено выражением ; здесь  - длина свободного пробега; - скорость. В силу вышесказанного ; так как средняя кинетическая энергия электрона

Рис. 1.11

На рис. 1.11 представлена зависимость функции распределения по скоростям от скорости . Из рис. видно, что возможны два знака при одном и том же значении энергии. При этом число электронов .

3. Рассмотрим, как изменится это распределение, если кристалл внести во внешнее электрическое поле . Электрон приобретает добавочную скорость:

;

.

Оценка дает значение:

при



Распределение сместится в сторону на (рис. 1.12

Рис. 1.12

Электроны в заштрихованной области при , имея большую энергию, будут стремиться занять места с меньшей энергией в заштрихованной области с . Появится ток, при этом электроны будут двигаться в направлении, противоположном приложенному полю. Скорость движения электронов определяется их энергией, а она , т.е. . Видно, что в формуле Друде и . На рис. 1.13 и 1.14 показаны соответствующие рис. 1.11 и 1.12 функции распределения для статистики Больцмана. Видно, что в этом случае все электроны изменяют свою энергия при приложении электрического поля.

4. Как зависит , если принять за основу формулу Друде?

В формуле зависит от температуры лишь одна характеристика - длина свободного пробега. Экспериментально для меди получены следующие значения при температурах 300 К и 4 К:

.

Видно, что с уменьшением температуры длина свободного пробега увеличивается. Физический смысл такой зависимости предельно прозрачен - уменьшение вероятности столкновения электрона с колеблющимися атомами решетки. Функционально зависимость электропроводности от температуры такова:

при низких температурах: ;

при высоких температурах: .

Рис. 1.13

Рис. 1.14

На рис. 1.15 приведена зависимость относительного сопротивления меди, алюминия и золота от относительной температуры ( - сопротивление при температуре Дебая, - температура Дебая).

Рис. 1.15

4. Как зависит , если принять за основу формулу Друде?

В формуле зависит от температуры лишь одна характеристика - длина свободного пробега. Экспериментально для меди получены следующие значения при температурах 300 К и 4 К:

.

Видно, что с уменьшением температуры длина свободного пробега увеличивается. Физический смысл такой зависимости предельно прозрачен - уменьшение вероятности столкновения электрона с колеблющимися атомами решетки. Функционально зависимость электропроводности от температуры такова:

при низких температурах: ;

при высоких температурах: .

На рис. 1.15 приведена зависимость относительного сопротивления меди, алюминия и золота от относительной температуры (- сопротивление при температуре Дебая, - температура Дебая).

4. Металлы и полупроводники

Из выше рассмотренного ясно, что в зависимости от того, где расположится уровень Ферми (внутри разрешенной зоны энергий или в запрещенной зоне), заполнение зон будет различным.

Различие между металлами и диэлектриками (полупроводниками) связано с заполнением зон. Если энергия Ферми находится внутри нижней (валентной) зоны на рис. 1.16, то эта зона заполнена не полностью а верхняя зона полностью свободна. Если зона заполнена не полностью, то в ней есть свободные уровни, на которые под действием электрического поля могут перейти электроны, значит такое вещество является проводником (металлом). Проводимость осуществляется электронами в валентной зоне по схеме, описанной выше (см. рис. 1.12).

Рис. 1.16, Рис. 1.7

Если энергия Ферми находится внутри запрещенной зоны (рис. 1.17), то валентная зона заполнена полностью, а верхняя так же, как и в предыдущем случае, полностью свободна. При наложении электрического поля движение электрона невозможно, так как невозможен его переход с уровня на уровень - все уровни энергии заняты. Значит, невозможно возникновение электрического тока в цепи с веществом, имеющим такое электрическое строение.

Таким образом, если нижняя зона заполнена полностью, а верхняя полностью пуста, то кристалл является диэлектриком: движение электронов невозможно из-за отсутствия свободных уровней. Нижняя полностью занятая зона называется валентной, верхняя, полностью свободная, - зоной проводимости.

Чтобы в таких веществах появилось движение электронов, необходима активация электронов - переброс их в свободную (пустую) зону через запрещенный интервал - это возможно сделать с помощью тепловой энергии. В зависимости от ширины запрещенной зоны зонной структуры, представленной рис. 1.17, вещества делятся на диэлектрики и полупроводники. Для диэлектриков  эВ и поэтому переброс электронов в пустую верхнюю зону с помощью тепловой энергии не возможен, так как при К. Для полупроводников эВ.

При число электронов в зоне проводимости (верхней зоне) увеличивается экспоненциально:

. (1.28)

Из формулы Друде в виде (1.8) следует, что электропроводность:

. (1.29)

Тогда электрическое сопротивление:

. (1.30)

Из (1.29) видно, что увеличивается с ростом температуры экспоненциально за счет роста концентрации электронов в зоне проводимости. Следует отметить, что в валентной зоне при этом также появляются вакантные места (дырки), которые движутся (переходят с уровня на уровень). Рассмотренный механизм характерен для собственной проводимости полупроводников, таких как германий, селен, кремний.

Рассмотрим теперь механизм электропроводности примесных полупроводников. Так, добавление к чистому кремнию всего 0.001 атомного процента фосфора увеличивает электропроводность в 10⁵ раз. Объяснить это можно рассматривая расположение уровней примеси относительно энергетических зон полупроводника. Для примесных полупроводников уровни примесей могут быть расположены у дна зоны проводимости (донорная примесь n) или у вершины валентной зоны (акцепторная примесь p). Ширина запрещенной зоны значительно превышает интервал (рис. 1.18), отделяющий примесный уровень от дна зоны проводимости или верхушки валентной зоны: , Поэтому вследствие:

(1.29')

электронов происходит при меньших температурах, чем для собственного полупроводника. Носителями электрического тока являются электроны в зоне проводимости для проводника n-типа и дырки в валентной зоне для проводника p-типа.

Рис. 1.18

Величина для собственного полупроводника, - для примесного. На рис.5.19 представлены зависимости электропроводности (в логарифмическом масштабе) от обратной температуры для оксида меди с различным недостатком кислорода (примесный полупроводник) , где . Видно, что зависимость является линейной, как и должно быть по формуле (1.29'). Излом на этой зависимости отделяет области собственной и примесной проводимости. Примесная проводимость имеет меньшую энергию активации (угол между прямой и осью абсцисс уменьшается) и активируется при меньших температурах (больших ), чем собственная проводимость.

Рис. 1.29

5. Термоэлектрические явления

Испарение электронов с поверхности металлов называется термоэлектронной эмиссией.

Рассмотрим причины и условия этого явления. Электроны в металле и снаружи рассмотрим как два состояния электронного газа, находящегося в равновесии при определенных условиях. Потенциальная энергия электронов в металле меньше, чем снаружи. Зависимость потенциальной энергии электронов в металле от координаты , начало которой отсчитывается от поверхности металла, представлена в виде графика на рис.5.20. Известно, что все уровни энергии до (энергии Ферми) заняты. Следовательно, чтобы удалить из металла электроны, имеющие энергию, близкую , необходимо затратить какую-то энергию , где - работа выхода электрона из металла. ; , т.е. .

Вне металла имеет место функция распределения:

, (1.31)



где - кинетическая энергия электрона. Это следует из (5.23) при :

.(5.32)

Так как и , то . Из (1.31) видно, что вне металла осуществляется распределение электронов по энергиям не по статистике Ферми-Дирака, а по Больцману. Этого следовало ожидать, т.к. из металла могут вылетать лишь электроны в “хвосте” , где зависимость такая же, как в статистике Больцмана (см. рис. 1.9).

Рис. 1.20

Нужно подсчитать число электронов , вылетающих из единицы объема металла при данной температуре в вакуум. Для этого необходимо знать число электронов по статистике Больцмана в интервале импульсов от от и проинтегрировать от 0 до это значение. При этом изменяется непрерывно. В фазовом пространстве электроны, имеющие импульс, величина которого лежит в промежутке от от , должны занимать объем в шаровом слое радиуса шириной : . Объем одной элементарной ячейки для электрона в  - пространстве: (следствие принципа неопределенностей). Тогда число электронов в интервале с учетом функции распределения (1.31):

.(5.33)

Тогда:

.(5.34)

Как и ранее (1.3), множитель “2” появляется вследствие учета того факта, что в каждой элементарной ячейке могут находиться два электрона с противоположной ориентацией спина. Из (1.34) следует, что:

.(1.35)

Сведем интеграл к интегралу Пуассона введением следующей замены: . Тогда . Принимая во внимание, что , получаем:

(5.36)

Или ,

т.е. концентрация электронов, испарившихся с поверхности металла, растет с увеличением температуры.

Вычислим ток эмиссии: . Нужно учесть, что скорость также зависит от температуры:

;

Тогда ток эмиссии:

-(1.37)

Это формула Ричардсона (1903 г.) - Дешмана (1923 г.). Оба отмечены Нобелевской премией в 1928 г. Влияние экспоненциальной зависимости от температуры иллюстрируют следующие величины тока для W:

для W: при 1000 К;

при 2000 К;

при 3000 К.

При малых температурах играет роль степенная зависимость, а при больших явно видна роль экспоненты. Нужно обратить влияние, что приведенные величины - это ток насыщения вакуумного диода, катод которого, сделанный из вольфрама, нагрет до соответствующей температуры.



Список литературы

1. Беликов Б.С. Решение задач по физике. М.: Высш. школа, 2007. - 256 с.

2. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. М.: Наука, 2008. - 464 с.

3. Геворкян Р.Г. Курс общей физики: Учеб. пособие для ВУЗов. Изд. 3-е, перераб. М.: Высш. школа, 2007. - 598 с.

4. Детлаф А.А., Курс физики: Учеб. пособие для ВУЗов М.: Высш. школа, 2008 - 608 с,

5. Иродов И.Е. Задачи по общей физике 2-е изд. перераб. М.: Наука, 2007

6. Кикоин И.К., Китайгородский А.И. Введение в физику. М.: Наука, 2008. - 685 с.

7. Рыбаков Г.И. Сборник задач по общей физике. М.: Высш. школа, 2009.-159 с.

8. Рымкевич П.А. Учебник для инж.-эконом. спец. ВУЗов. М.: Высш. школа, 2007. - 552 с.

9. Савельев И.В. Сборник вопросов и задач 2-е изд. перераб. М.: Наука, 2007.-288 с.

10. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Термодинамика и молекул. физика М.: Наука, 2009. - 551 с.

11. Трофимова Т.И. Курс физики М.: Высш. школа, 2007. - 432 с. .

12. Фирганг Е.В. Руководство к решению задач по курсу общей физики. М.: Высш. школа, 2008.-350 с.

13. Чертов А.Г. Задачник по физике с примерами решения задач и справочными материалами. Для ВУЗов. Под. ред. А.Г Чертова М.: Высш. школа, 2007.-510 с.

14. Шепель В.В. Грабовский Р.И. Курс физики Учебник для ВУЗов. Изд. 3-е , перераб. М.:Высш. школа , 2008. - 614 с.

15. Шубин А.С. Курс общей физики М.: Высш. школа, 2008. - 575 с.

Размещено на Allbest.ru

...