Матричные коэффициенты математической модели электрической цепи

Размещено на http://www.allbest.ru/

Матричные коэффициенты математической модели электрической цепи

1. Подготовка данных по электрической модели для ввода в ЭВМ

Электрическую модель анализируемой электронной схемы однозначно описывает следующий набор данных:

а) топологические данные (набор ветвей и способы их соединения друг с другом);

б) компонентные данные (типы элементов в ветвях и их номинальные значения);

в) положительные направления токов и напряжений в ветвях.

Чтобы получить топологические данные, каждую ветвь электрической модели представляют в виде линии, соединяющей соответствующие узлы. Компонентные данные при этом не учитываются. В результате получается так называемый граф цепи.

Узлом электрической модели считается всякое соединение двух и более элементов, т.е. каждый элемент имеет пару узлов, между которыми этот элемент включен.

Узлы на графе цепи нумеруются произвольно.

При нумерации ветвей графа необходимо придерживаться следующей последовательности:

- сначала нумеруются ветви с управляемыми источниками напряжения;

- затем идет нумерации ветвей, содержащих постоянные источники напряжения;

- далее нумеруются ветви с емкостными элементами;

- затем идет нумерация ветвей с резистивными элементами;

- далее нумеруются ветви с индуктивными элементами;

- после этого идет нумерация ветвей, содержащих постоянные источники тока;

- заканчивается нумерация ветвей с управляемыми источниками тока.

Нумерация ветвей сквозная, т.е. пронумеровав ветви одной группы, переходят к нумерации ветвей другой группы, продолжая счет, пока не будут пронумерованы все ветви электрической модели.

Положительные направления тока (напряжения) в элементах модели выбираются произвольно. Полагается, что выбранное положительное направление для тока одновременно является и положительным направлением для напряжения.

При подготовке компонентных данных может потребоваться масштабирование параметров элементов. Если этого не сделать, то при выполнении вычислений с помощью ЭВМ могут возникнуть такие большие значения, которые выйдут за пределы представимых в ЭВМ значений и приведут к переполнению разрядной сетки (большие значения, например, могут возникнуть при многократном умножении больших сопротивлений 106·106·106) либо могут появиться очень малые значения, рассматриваемые в ЭВМ как нуль (например, при умножении малых емкостей 10-12·10-12·10-12).

При масштабировании для напряжений, токов, сопротивлений, емкостей, индуктивностей, частот и времени задаются соответствующие масштабные коэффициенты Mu, Mi, Mr, Mc, ML, Mf, Mt.

Если, например, x - параметр какого-либо элемента (например, значение емкости), а Mx - выбранный для него масштабный коэффициент, то для ЭВМ этот параметр будет задан значением X:

При выводе этого параметра из ЭВМ выполняется обратное преобразование

x=Mx·X

Масштабные коэффициенты должны удовлетворять очевидным соотношениям

Mu=Mr·Mi;

Mt=Mr·Mc;

Mt=ML/Mr;

Mf=1/Mt.

Отсюда следует, что из семи масштабных коэффициентов независимо могут быть выбраны лишь три, четыре остальных находят с помощью приведенных выражений. Выбрать три независимых масштабных коэффициента также нужно правильно. Нельзя выбирать как независимые все те коэффициенты, которые входят в одно выражение, связывающие эти коэффициенты.

Обычно выбираются как независимые Mu, Mr и Mc.

Масштабные коэффициенты, значения которых задаются независимо, целесообразно выбирать такими, чтобы в результате масштабирования получить значения параметров Xi, наиболее близкие к единице. Кроме того, сами масштабные коэффициенты удобнее выражать числами, представляющими собой десять в какой-либо целой степени.

При выборе значения масштабного коэффициента можно ориентироваться на среднее геометрическое наибольшего и наименьшего значений параметров элементов данного типа. Так, например, при выборе Mc можно ориентироваться на Cср, где

Здесь Cmin и Cmax минимальная и максимальная емкости, содержащиеся в анализируемой схеме.

Вводимые в ЭВМ данные должны содержать следующие сведения о каждой ветви схемы:

- указание о типе элемента ветви (U, C, R, L, I);

- порядковый номер ветви;

- номера узлов, между которыми расположена данная ветвь;

- положительное направление ветви (оно отражается тем, что на первое место ставится узел, от которого ветвь отходит и на второе место - узел, к которому ветвь подходит);

- значение параметра элемента с учетом масштабирования.

Полный набор данных по электрической модели для ввода в ЭВМ может быть представлен таблицей 1

Таблица 1

Тип элемента	Номер ветви	Начальный узел	Конечный узел	Значение параметра

Пример

Дана электрическая схема (рис. 1). Она же является электрической моделью. Необходимо подготовить данные об этой схеме для ввода в ЭВМ.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Граф данной цепи изображен на рис. 2. На графе показаны узлы. Их нумерация произвольная (цифры в кружочках).

Пронумеруем ветви графа в соответствии с рекомендациями: постоянные источники напряжения (их два); емкостные элементы (их два); резистивные элементы (их три); индуктивные элементы (один); источник тока (один).

Произвольно указываем на графе положительное направление тока (напряжения).

Примем независимо выбираемыми масштабные коэффициенты Mu, Mr, Mc. Пусть Mu=1. Для задания Mr найдем среднее геометрическое наибольшего и наименьшего сопротивления резистивных элементов схемы и ближайшую степень десяти примем в качестве Mr:

Таким образом

Аналогично можно определить масштабный коэффициент Mс:

Берем

Остальные масштабные коэффициенты вычисляются по выражениям связывающим масштабные коэффициенты между собой

Mt=Mr·Mc=104·10-10=10-6;

Mf=1/Mt=106;

ML=Mt·Mr=10-6·104=10-2;

Mi=Mu/Mr=1/104=10-4.

На рис. 1 масштабированные значения элементов приведены в скобках.

Сведем полный набор данных о электрической модели для ввода в ЭВМ в таблицу

Тип элемента	Номер ветви	Начальный узел	Конечный узел	Значение параметра
U	1	1	6	1
U	2	5	6	1
C	3	1	3	1
C	4	1	2	5
R	5	2	5	0,1
R	6	3	6	0,2
R	7	3	4	3
L	8	2	4	2
I	9	6	4	1

2. Матричные коэффициенты математической модели линейной электрической цепи

Математическая модель линейной электрической цепи, как известно, состоит из трех уравнений.

2.1 Матричные коэффициенты уравнения токов резистивных элементов

Пользуясь правилом построения топологических уравнений с использованием матрицы главных сечений

(1)

записываем топологические уравнения для токов резистивных ребер и напряжений резистивных хорд:

Топологические уравнения (2) и (3) дополним компонентными уравнениями для резистивных элементов, связывающими напряжения и токи этих элементов по закону Ома

(4)

Здесь и - матрицы сопротивлений резистивных ребер и резистивных хорд. В этих матрицах элементы, расположенные вдоль главной диагонали, - сопротивления соответствующих резистивных элементов, остальные элементы матриц имеют нулевое значение.

Выразим в (3) напряжения на резистивных элементах через токи этих элементов, используя компонентные уравнения (4), после чего в (2) и (3) все члены, содержащие токи резистивных элементов, перенесем в левые части равенств.

(5)

Объединим эти уравнения в одно матричное уравнение

(6)

- единичная матрица;

- нулевая матрица.

С учетом введенных обозначений уравнение примет вид

 (7)

(8)

(9)

где

2.2 Матричные коэффициенты уравнения состояния

По матрице главных сечений для произвольной схемы

запишем топологические уравнения для и .

(10)

(11)

Компонентные уравнения для индуктивных и емкостных элементов имеют вид:

; (12)

Запишем в (10) и (11) левые части равенств выражениями (12)

 (13)

Далее выразим через , используя (4)

(14)

Объединим оба уравнения в одно матричное. Получим:

(15)

Здесь и - матрицы емкостей и индуктивности

;

(16)

Раньше было выведено:

Подставим его в матричное уравнение. Получим

 (17)

(18)

2.3 Матричные коэффициенты уравнения выхода

Отклик Хвых на выходе схемы может стать, как уже отмечалось, напряжением Uвых или током івых. Если Хвых= Uвых, то его можно представить электрической суммой напряжений ветвей при обходе некоторого контура от одной (начальной) выходной клеммы схемы ко второй (конечной) клемме.

Если Хвых= івых, то он может быть определен алгебраическим суммированием токов ветвей, подходящих к выходной цепи.

3. Матричные коэффициенты уравнений математической модели цепи с нелинейными резистивными элементами

Рассмотрим алгоритм расчета матричных коэффициентов, входящих в уравнения математической модели цепи с нелинейными резисторами.

Как и для линейной схемы, эти коэффициенты должны выражаться через подматрицы матрицы главных сечений .

Особенность матрицы главных сечений для цепи с нелинейными резистивными элементами в том, что под и понимают линейные резистивные ребра и хорды, а нелинейные резисторы образуют строки и столбцы .

Для вывода выражений, определяющих матричные коэффициенты уравнения токов линейных резистивных элементов и уравнения состояния цепи с нелинейными резистивными элементами, требуются выкладки, аналогичные тем, которые проводились при выводе выражений коэффициентов аналогичных уравнений линейной цепи.

После таких выкладок получим

матричный коэффициент математический электрический

(19)

(20)

;

; (21)

.

(22)

(23)

;

; (24)

Коэффициенты , , , имеют тот же смысл и определяются теми же выражениями, что и аналогичные коэффициенты уравнений линейной цепи.

Приведем лишь величины, входящие в выражение коэффициентов и .

; (25)

Найдем коэффициенты в уравнении

(26)

Можно показать, что

;

;

.

При этом:

; ;

;

Размещено на Allbest.ru

...