Фазовый поток

_{Размещено на http://www.allbest.ru/}

_{Размещено на http://www.allbest.ru/}

_{Отображение F^t называется фазовым потоком. Чтобы понять физический смысл фазового потока, вспомним, что движение фазовых точек гамильтоновых систем можно представить как движение несжимаемой жидкости. Если в потоке жидкости подкрасить некоторый объем, то с течением времени подкрашенная область будет передвигаться. В роли фазового потока F^t здесь выступает поле скоростей массы жидкости, а выделенной области 0 - подкрашенный объем.}

_{Для иллюстрации действия фазового потока динамической системы вернемся к системе двух гармонических осцилляторов. Выделив элемент поверхности вокруг точки M на рис. 4, и проследив за движением точки M, убеждаемся, что действие фазового потока в этой системе сводится к одновременным поворотам в плоскостях окружностей с центрами O1 и O2.}

_{Рассмотрим теперь произвольную интегрируемую функцию h 2s переменных qi, pi. Величина}

_{называется средним по времени функции h. Используя определение фазового потока эту формулу можно записать иначе:}

_.

Если движение гамильтоновой динамической системы в фазовом пространстве представляется финитным движением в области объемом , то величина

_,

_{где , называется фазовым средним функции h.}

_{Движение динамической системы (1.8)}

_{, i = 1, …, s}

_{называется эргодическим, если}

_.

_{Пусть теперь - произвольная область внутри , а функция h такая, что}

_{Тогда для эргодического движения из определений (1.22) и (1.23) получим}

_,

_{где T - время пребывания фазовой точки в области , а - объем . Следовательно, для эргодического движения относительное время, проведенное фазовой точкой внутри любой области , равно относительному объему этой области и не зависит от начальных условий.}

_{Для количественного определения области, занятой траекториями динамической системы в фазовом пространстве вводится понятие меры. Мерой () области называется относительный объем /. Так как меру можно вводить в математическую теорию по-разному, обратим еще раз внимание на то, что мера в нашем случае определяется через время пребывания T фазовой точки в некоторой области фазового пространства. Можно сказать, что с течением времени фазовые траектории формируют меру, точно также как мы, достаточно долго беспорядочно долго проводя карандашом по листу бумаги, постепенно получаем (закрашенную) поверхность размерности 2 из линии, имеющей размерность 1.}

_{Используя понятие меры условие эргодичности (1.24) можно записать как}

_.

_{При этом}

_.

_{Свойство эргодичности - необходимое, но недостаточное условие хаотичности динамической системы. Как мы уже видели, действие потока F^t в системе гармонических осцилляторов сводится к простым поворотам по углам 1 и 2. В то же время при иррациональном отношении частот маятников движение эргодично.}

_{Чтобы динамика системы (1.8) была хаотичной, необходимо, чтобы поток F^t был перемешивающим. Для интуитивного понимания явления перемешивания обратимся к гидродинамической аналогии, данной Гиббсом. Предположим, что в сосуде содержится 30% чернил и 70% воды, причем в начальный момент времени жидкости не перемешаны. Теперь хорошо взболтаем содержимое сосуда (создавая тем самым в нем поток жидкости). Спустя некоторое время (время перемешивания) любая часть получившейся смеси будет состоять из 30% чернил и 70% воды. Формализация подобного процесса при условии, что чернила, и вода не разрываются на отдельные капли, приводит к понятию перемешивания.}

_{Действие фазового потока F^t на область 0 показано на рис. 8. Любые две сколь угодно близко расположенные вначале точки A(q⁰, p⁰) и B(q⁰+, p⁰+) (| | << 1) с течением времени сильно расходятся. Начальная область 0 при перемешивании, сильно деформируясь, превращается во всепроникающую паутину Арнольда и охватывает весь объем гиперповерхности H = E постоянной энергии, не занятую устойчивыми торами.}

_{Более того, при t паутина равномерно и однородно пронизывает фазовое пространство: внутри любой произвольной области нити паутины (имеющие сколь угодно малую, но ненулевую толщину) занимают одну и ту же относительную долю объема. Это означает сохранение меры.}

_{Фазовые же траектории динамической системы оказываются неустойчивыми по отношению к малым возмущениям и разбегаются с течением времени. Разбегание траектории означает непредсказуемость поведения системы.}

_{Математическое выражение свойства перемешивания следующее. Пусть f (q, p) и g (q, p) - две произвольные интегрируемые функции. Корреляционной функцией называется величина}

_.

_{Перемешиванием называется обращение в ноль корреляционной функции при t :}

_.

Корреляционная функция при больших временах, как правило, убывает по экспоненциальному закону.

_{Отсутствие корреляции (например, между импульсом f = pi и координатой g = qi молекулы, если под механической системой подразумевается газ или жидкость как совокупность микрочастиц) вынуждает прибегать к статистическому описанию динамики такой системы.}

_{К обоснованию статистического подхода в статистической физике и физической кинетике}

_{Вся (не квантовомеханическая) статистическая физика и физическая кинетика построены на основе одного фундаментального предположения хаотичности движения микрочастиц. Оно используется при выводе кинетических уравнений в различных эквивалентных формах: а) независимость вероятности перехода частицы в следующее состояние (определяемое координатой и импульсом) из предыдущего; б) равновероятность перехода из одного состояния в любые другие и т.д.}

_{В строгом смысле слова перечисленные допущения являются идеализацией (назовем их предположениями идеального хаоса; в таком хаосе невозможно предсказать эволюцию системы на сколь угодно малое время вперед), но при определенных условиях, выполняющиеся с удовлетворительной точностью. Как мы уже видели, хаос в динамических системах, описывающихся детерминированными уравнениями (т.е. по известным начальным данным можно однозначно определить координату и скорость частицы в произвольное время), характеризуется временем перемешивания tc. В течение нескольких единиц этого времени значение корреляционной функции R становится практически равным нулю, и мы можем с хорошим приближением считать молекулярный хаос идеальным.}

_{В идеальном хаосе время перемешивания tc = 0. Поэтому хаос с tc 0 называют иногда детерминированным хаосом. Насколько важную роль играет время перемешивания можно судить уже по следующему примеру. Обычно уравнения теплопроводности и диффузии записывают (в декартовых координатах) в виде}

_,

_{фазовый эргодичность динамический}

_{где переменная u может иметь смысл концентрации или температуры, в зависимости оттого, что переносится - вещество или энергия; a² - соответствующий коэффициент переноса. В таком виде это параболического типа уравнение из-за наличия первой производной по времени описывает так называемые процессы без памяти: его решения при достаточно больших временах перестают зависеть от начальных условий. К тому же, скорость распространения фактора u происходит с бесконечно большой скоростью. Время tc при выводе данного уравнения предполагается равным нулю. Попытка учесть время перемешивания приводит к гиперболическому уравнению переноса}

_,

_{содержащему дополнительно комплекс со второй производной по времени. Если в этом модифицированном уравнений отбросить первую производную, то получим обычное волновое уравнение Даламбера, описывающее процессы с полной памятью (диссипация отсутствует), а отношение a²/tc есть квадрат скорости звука (или скорости распространения фактора u) - максимальная скорость распространения возмущений в рассматриваемой среде.}

_{Два предельных случая процессов с отсутствием и полной памятью отражают с точки зрения философии две крайние состояния категории знания: или мы ничего не помним о прошлом, или мы помним все. Поэтому уравнения переноса не могут содержать члены с производными по времени высших (третьего и более) порядков.}

_{Возможность хаотического движения в простых динамических системах, в чем мы уже убедились, не является обоснованием статистического подхода в физике систем многих частиц. Если удается продемонстрировать наличие хаотической динамики, например, в газе или жидкости даже при упрощенных представлениях относительно природы молекул, то не оставалось бы сомнений в приемлемости гипотезы молекулярного хаоса.}

_{Предположим, что молекулы являются твердыми упругими шарами, и проследим за движением одной отдельной молекулы M. На рис. 9 показана последовательность 5 столкновений «меченой» молекулы с другими аналогичными частицами.}

_{Часто в качестве обоснования гипотезы молекулярного хаоса аргументируют сложностью (для человека!) решения уравнений движения для систем частиц с числом порядка числа Авогадро и невозможностью задать точно все необходимые для этого начальные данные. На этом же основано объяснение природы необратимости, заключающееся в следующем. При хаотической динамике внутри любой доступной части фазового пространства с течением времени оказываются кусочки из самых различных начальных областей. Следовательно, зная лишь, что в конечный момент времени частица механической системы, находилась в какой либо точке с относительной ошибкой порядка (т.е. в пределах малой области с размерами порядка ), мы не можем сказать с той же точностью, где она находилась в начальный момент времени.}

_{Такой подход отражает позитивистскую трактовку природных явлений - ошибочному представлению об окружающем мире. Хаос - явление физическое и существует независимо от наших технических возможностей и нашего сознания.}

_{В промежутках между столкновениями M проходит расстояния l1, l2, l2, l4, …, li, … называемые длинами свободного пробега. На этих участках «меченая» молекула имеет, вообще говоря, различные постоянные скорости v1, v2, v2, v4, …, vi, …. Для простоты мы можем считать li, vi постоянными и равными их средним значениям l, v. Движение происходит в трехмерном пространстве, но т.к. отрезки l1 и l2, l2 и l3, … попарно лежат в одной плоскости, то это трехмерное движение можно однозначно «спроецировать» на плоскость, заменив при этом, шары на диски с прежними массами m. Далее, т.к. все диски одинаковы, то все столкновения отличаются между собой только направлениями скорости , поэтому достаточно рассматривать только парные столкновения со свободным пробегом l.}

_{Основываясь на изложенных представлениях, Я.Г. Синай для моделирования молекулярного хаоса решил задачу о движении диска в квадрате стороной, равным l и помещенным в центре другим, но неподвижным диском. При этом на стенках квадрата происходит упругое отражение. Очевидно, получившаяся динамическая система, как и исходная, является гамильтоновой - энергия подвижного диска постоянна и равна mv²/2.}

Как оказалось, фазовый поток движения в данной динамической системе, включающее столкновение дисков, является перемешивающим. Причиной хаотической динамики служит чувствительность направления скорости при соударении дисков к малым возмущениям траектории.

_{На временах порядка tc ~ l/v фазовый объем сильно деформируется и практически превращается в паутину Арнольда. Так что даже при упрощенном рассмотрении столкновении молекул в газах и жидкостях мы наблюдаем хаотическую динамику. Поэтому гипотеза идеального молекулярного хаоса является оправданным, если конечно, как было отмечено выше, характерные времена макроскопических процессов намного превышают tc.}

_{Список литературы}

_{1. Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. - М.: Изд-во Мос. ун-та, 1974.}

_{2. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику: Учеб. руководство. - М.: Наука, 1990.}

_{3. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. - М.: Наука, 1988.}

_{4. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. - М.: Мир, 1984.}

_{Размещено на Allbest.ru}