Случайные процессы и методы их исследования

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Размещено на http://www.allbest.ru/

Случайные процессы и методы их исследования

1. Понятие случайного процесса

Мы ознакомились с простейшими системами с хаотическим (случайным) поведением и основными понятиями из теории хаоса. В частности выяснили, что расхождение фазовых траектории приводит к невозможности точно предсказать поведение системы на временах порядка времени перемешивания и более, если есть сколь угодно малые ошибки в задании начальных данных. Как мы уже видели, сколь угодно малое изменение начальных условий для динамической системы с хаотической динамикой влечет за собой сколь угодно большие отклики в изменении его поведения. Чисто теоретически мы можем без каких-либо ограничений точно задавать начальные данные и также точно определять положение фазовой точки в фазовом пространстве. Но реально же такой возможности у нас не существует - всегда есть граница между воображаемой математической абстракцией и реальной физической действительностью, как нет возможности моделировать хаотическое поведение решением небольшого числа уравнении, подобно приведенным в главах 1 и 2.

В экспериментах, когда имеют дело с хаотическими явлениями, наблюдают следующую картину. Система, начальное состояние которой определяется величиной a₁(t₁) при некотором времени t₁ оказывается в момент времени t₂ > t₁ в одном из целого набора aⁱ₂(t₂), i = 1, 2, 3, … состоянии a₂, и каждое из них реализуется с вероятностью p[aⁱ₂(t₂)]. Величина a(t) называется реализацией случайного процесса A(t), под которой подразумевается вообще весь набор aⁱ_j(t_j). Как видно, в теории случайных процессов сам процесс, в отличие от его реализации, имеет свое отдельное обозначение.

Процесс A(t) и реализация a(t) могут быть скаляром, вектором с произвольным числом компонент или тензором произвольного ранга.

В дальнейшем нижний индекс у переменной a_i будет означать принадлежность к конкретному значению времени t_i, а не конкретную реализацию из набора при этом времени. Верхний же индекс для простоты записи, и там где это не вызывает путаницы, будем опускать.

На рис. 14 приведены только 4 из N 4 возможных реализаций дискретного процесса A(t), имеющего, в данном случае, значение a₁(t₁) в момент времени t₁. В действительности же приведенное на рис. 14 значение a₁(t₁) само реализовано с некоторой вероятностью из предыдущего состояния и, на самом деле, a₁(t₁) образуют такой же набор, как и при t₂. Но с точностью ошибок измерения мы можем говорить о ее конкретном значении.

Если t = t₂ - t₁ >> t_c - времени перемешивания, то реализации значении a₁(t₁) и a₂(t₂) почти не связаны между собой. В таком случае говорят, что между ними отсутствует корреляция с точностью порядка t_c/t << 1, и данный факт выражается формулой:

<A(t₁) A(t₂)> = o(t_c/t). (1)

Если a(t) по верхнему индексу принимает непрерывный ряд значений, то p [a(t)] имеет смысл плотности вероятности. Пусть значения a(t) лежат в промежутке [b, c]. Вероятность того, что значение a окажется в интервале [b, d] (d < c) в фиксированный момент времени t₂ равна интегралу (индексы у a можно не писать, так как обозначение переменной интегрирования не влияет на значение интеграла)

.

Тогда ясно, что

.

Для описания случайных процессов наиболее употребительными являются вероятность p (a, t) обнаружить систему в состоянии a в момент времени t и условная вероятность , определяющая вероятность реализации значения a₂ в момент времени t₂ из состояния a₁ при t = t_1, если переменная a принимает дискретный ряд значений. В случае же непрерывной переменной a, определяет ее распределение плотности вероятности в момент времени t₂ при известной плотности во время t₁.

Приведем простой пример случайного дискретного процесса с подбрасыванием игральной кости со смещенным центром тяжести. Пусть игральная кость имеет однородное распределение массы в начальный момент времени t₁. Очевидно, a принимает дискретный ряд чисел 1, 2, …, 6 (b = 1, c = 6), и все вероятности реализации номеров граней равны (равновероятное распределение):

.

К моменту времени t₂ куб подвергся изменению, в результате которого первоначальная однородность нарушилась, и его центр тяжести был смещен. Теперь уже равновероятного распределения не будет; наименьшую вероятность выпадения будет иметь грань, наиболее близко расположенная к центру тяжести. На рис. 15 приведено примерное распределение вероятности.

Есть одна существенная деталь, касающаяся случайных процессов, на которую мы до сих пор не обращали внимание. Суть ее поясним на примере подбрасывания игральной кости. Дело в том, что вероятность выпадения какого-либо номера в конкретный момент времени имеет статистический смысл: мы должны опыт с бросанием кости для каждого момента времени t_i повторить при строго одинаковых условиях достаточно много раз. Только в этом случае приведенный пример станет физически содержательным и имеет смысл говорить о вероятности того или иного события, так как конкретно каждая реализация осуществляется детерминированным образом.

В связи с этим напомним, что состояние системы с хаотической динамикой описывается дифференциальными уравнениями, и эволюция системы является детерминированным. Каждое решение уравнений движения с соответствующим начальным условием есть реализация. Набор таких решений с начальными условиями из области фазового пространства и принадлежащий одному и тому же странному аттрактору является процессом.

Но можно поступить иначе: можно заранее подготовить большое число M совершенно одинаковых кубиков и подбрасывать их одновременно в моменты времени t_i. Тогда вероятность выпадения каждого номера определяется просто: надо подсчитать число выпадений данного номера и разделить на общее число 6M всех возможных выпадении.

Второй способ описания случайных процессов называется методом ансамблей Гиббса. Ансамблем в нашем примере является воображаемая совокупность абсолютно одинаковых игральных костей. С использованием понятия ансамбля задачи статистической физики и физической кинетики обретают ясную формулировку и, тем самым, существенно упрощается. Когда мы случайный процесс обозначаем символом A(t), то за этим символом подразумевается ансамбль тождественных систем, составляющие которого осуществляют реализации a(t). Усреднение же в (2.1) производится по ансамблю. Если ансамбль состоит из N (тождественных) систем с s степенями свободы каждая, то мы имеем sN-мерное фазовое пространство (если a(t) - скаляр, то s = 1, если a(t) - n-мерный вектор, то s = n и т.д.). Поэтому усреднение по ансамблю эквивалентно вычислению средних величин в sN-мерном фазовом пространстве. Чтобы средние по времени совпадали со средними по ансамблю, как мы уже знаем, движение системы должно быть эргодичным. Но любое хаотическое движение всегда эргодичное. Поэтому везде, где речь идет о случайных процессах, можно вводить в рассмотрение ансамбли. В полезности и эффективности понятия ансамбля можно убедиться ниже на примере броуновского движения.

2. Метод Ланжевена. Броуновское движение

Изучая какой-либо процесс, или явление мы, так или иначе, опираемся на их упрощенные представления как совокупности ограниченного числа составляющих элементов и (или) факторов, на которых возлагается ведущая роль при описании (физико-математическом моделировании) этих процессов и явлений. Это приводит к понятию модели - воображаемой упрощенной физической картины, передающей нам наиболее существенные черты предмета исследования. В этом отношений не является исключением процессы с участием хаоса. Здесь необходимо уточнить, что хаос и порядок - это две неотделимые и взаимопереходящие в качественно-количественном отношении состояния нашего мира. И если во многих задачах мы имеем со строго детерминированным и вполне предсказуемым поведением с полным порядком, то это вызвано всего лишь ограниченностью запросов и требовании нашей практики, узостью вопросов, с которыми мы обращаемся к природе. На самом деле хаос окружает нас всюду и, в сущности, присутствует в той или иной мере и форме во всех природных процессах и явлениях.

Броуновское движение. Рассмотрим движение шаровидной частицы массой m и радиусом R в сплошной среде плотности и вязкости , которую условно назовем жидкостью. Если сообщить частице в начальный момент времени t₀ скорость v₀, такую, что число Рейнольдса Re = v₀R/ << 1, то скорость движения частицы в отсутствие других сил кроме сил трения , определяется из уравнения

 (2)

и будет затухать по закону

.

Но жидкость состоит из молекул, находящихся в беспрерывном и хаотическом (тепловом) движении. Если масса и размеры частицы сравнимы с аналогичными характеристиками молекул, то очевидно частица тоже будет втянута в тепловое движение, и уравнение (3.2) неприемлемо для описания ее поведения. Менее очевидным является наблюдающееся в экспериментах заметное влияние тепловых движении молекул на динамику частицы в том случае, когда ее размер и масса хотя и малы, но все же значительно (примерно на порядок-два) превосходят те же параметры молекул. Соударение одной молекулы с частицей не способно вызвать существенного отклонения закона движения частицы определяемого уравнением (3.2). Ответ на поставленный вопрос дает теория флуктуации. Суть ее состоит в следующем. В процессе хаотического движения молекул время от времени возникают ситуации, когда большая группа молекул случайным образом имеет ненулевую среднюю (!) составляющую скорости. Вероятность спонтанного образования и время жизни такого коллективного и в среднем однонаправленного движения (флуктуации) тем меньше, чем больше молекул может объединиться в такую группу. Если частица имеет размер и массу, сравнимую с массой и размером флуктуации, то обмен импульсом и энергией между ними приведет к наблюдаемому эффекту существенного влияния молекулярного хаоса на хоть и малые, но все же макроскопические тела, обнаруженного английским ботаником Брауном, и названного в честь него броуновским движением.

Французский физик Поль Ланжевен разработал метод решения задач броуновского движения, который оказался эффективным при изучении любых процессов, протекающих под влиянием внешнего по отношению к рассматриваемой системе случайного воздействия произвольной природы - шума.

Согласно Ланжевену движение частицы записывается в виде

, (3)

где скорость броуновской частицы представляется случайным процессом , генерируемым случайной силой с компонентами F₁, F₂, F₃ в ортогональной системе координат. Сила действует со стороны молекул жидкости и имеет флуктуационную природу. Уравнение (3.3) называется стохастическим дифференциальным уравнением.

В строгом смысле слова уравнение (3.3) описывает движение ансамбля броуновских частиц. Но ввиду тождественности частиц, составляющих ансамбль, можно говорить в единственном числе как об одной частице, подразумевая конечно всю совокупность частиц.

Сила , являющаяся случайным процессом, обладает следующими свойствами:

среднее значение ее (корреляция первого порядка) равно нулю:

, (4)

где угловые скобки означают усреднение по всем возможным реализациям процесса ; t₀ - начальное время;

корреляция второго порядка имеет вид

, (5)

где _ij - символ Кронекера; D - константа; - дельта-функция Дирака: = 0, если t₁ t₂, и = , если t₁ = t₂. Форма (3.5) означает полное отсутствие корреляции как между значениями случайной силы в сколь угодно мало различающиеся моменты времени t₁, t₂, так и между ее компонентами; полную корреляцию в одно и то же время только для одинаковых компонент вектора . Поэтому принятие формы (3.5) эквивалентно предположению идеального хаоса (см. формулу (3.1));

3) движение частицы не оказывает влияния на коллективное флуктуационное движение молекул, т.е. статистические характеристики процесса не зависят от аналогичных параметров процесса .

Каждой реализации случайного процесса соответствует своя реализация скорости броуновской частицы. Проинтегрируем уравнение (3.3) для конкретной реализации:

. (6)

Так как не является функцией в обычном нашем понимании, то интегрирование произведено чисто формально. При строгом подходе необходимо раскрыть смысл интеграла в (3.6), определив правило его вычисления. Однако это не мешает нам двигаться дальше, так как само значение интеграла в (3.6) нас не интересует.

Для среднего значения случайного процесса имеем:

, (7)

где усреднение производится по ансамблю броуновских частиц. Второй член, описывающий хаотическую пульсацию скорости, обращается в ноль согласно (3.4), а первый выражает временную зависимость среднего и, следовательно, макроскопическое движение.

При записи (3.7) мы использовали третье предположение относительно свойств функции , которое можно перефразировать иначе: процесс является быстро меняющимся с характерным временем изменения, равным нулю, или что, то же самое, с бесконечно большой частотой. На самом деле имеет хоть и малое, но ненулевое значение. Однако, если отношение к характерному времени релаксации 1/ скорости частицы много меньше единицы, то можно считать, что частица за время действия силы не испытывает силы трения со стороны жидкости. В противном случае это означало бы обратное влияние скорости на силу , так как для вычисления силы трения между частицей и газом необходимо знание среднего поля скорости молекул жидкости. Проведем оценку, насколько оправдано допущение << 1. Выразив массу частицы через ее объем и плотность _с:

,

получим

.

Отношение плотностей в последнем выражении считается имеющим одинаковый порядок, так как частицы взвешены в жидкости и в уравнении (3.3) не учитывается действие силы тяжести.

Время имеет порядок отношения средней длины l свободного пробега молекул на их среднюю скорость v_m: ~ l/v_m ~ t_c (!). Подставив в и справочные данные для воды и среднего радиуса броуновских частиц ~ 10^-6 м²/с, l ~ 10^-6 м, v_m ~ 10² м/с, R ~ 10^-5 м, получим:

~ 10^-4 << 1.

С уменьшением радиуса частиц это неравенство нарушается. Но при этом становится неприменимой излагаемая теория, так как используемое здесь выражение для силы трения становится непригодным ввиду неопределенности в этом случае вообще понятия трения. Система «броуновская частица + молекулы жидкости» превращается из диссипативной в гамильтонову, т.е. речь идет о качественном изменении. Пограничная ситуация, когда эта система уже не является диссипативной, но еще не стала гамильтоновой, представляет одну из сложнейших проблем современной физической кинетики.

Приведенное обоснование законности усреднения в уравнении (3.7) остается справедливым и в дальнейшем при вычислении средних величин. Поэтому возведем в квадрат обе части (3.5):

(8)

.

Тогда для нахождения корреляции второго порядка от пульсации скорости частицы необходимо заменить в (3.8) реализации , на процессы , , и произвести усреднение по ансамблю частиц.

.

При больших временах корреляции второго порядка перестают зависеть от времени:

. (9)

Можно показать, что и высшие корреляции четных порядков в пределе t перестают зависеть от времени. Если корреляции нечетного порядка процесса равны нулю, то в силу линейности (3.3) тем же свойством обладает и процесс . Будем считать, что сказанное имеет место. Отсутствие зависимости корреляции от времени при t означает, что с течением времени ансамбль броуновских частиц выходит к локально равновесному состоянию. Если к тому же еще перестает зависеть от времени скорость среднего движения, то равновесие устанавливается полное. Как известно из равновесной статистической физики, среднее значение кинетической энергии теплового движения частицы равно , где k_B - постоянная Больцмана; T - температура среды, в которой частица совершает движение, или, температура термостата. Из этого равенства следует:

. (10)

Просуммировав элементы в (3.9) и приравнивая результат правой части (3.10), получим формулу А. Эйнштейна, связывающую макроскопические величины T, с микроскопическими величинами D, m:

.

Теперь ясен физический смысл равенства (3.9): энергия теплового движения броуновской частицы равномерно распределена по степеням свободы, и на каждую степень свободы приходится k_BT/2.

Формула Эйнштейна является частным случаем флуктуационно-диссипативной теоремы, устанавливающей в общем виде, связь между макроскопическим диссипативным и микроскопическим (случайным) силами через температуру термостата.

Подводя итог к проведенному исследованию, отметим, что при известных среднестатистических характеристиках силы Ланжевена, мы можем вычислить корреляции любого порядка, содержащие в себе полную информацию о поведении системы. В случае броуновского движения нам удалось найти явный вид коэффициента D как функцию времени 1/ релаксации скорости , температуры T жидкости и массы m частицы благодаря результату (3.10), известному из равновесной статистической физики. В большинстве практически важных задачах о равновесном состоянии системы в теоретическом плане ничего не известно, поэтому формулы, подобные (3.10), приходится находить эмпирически. То же самое относится и к свойствам силы Ланжевена, относительно корреляциях которой приходится строить умозрительные заключения или прибегать к экспериментальным данным.

3. Основное кинетическое уравнение и уравнение Фоккера-Планка

Метод стохастических дифференциальных уравнений Ланжевена дает полное описание случайных процессов. Здесь слово «полное» понимается в смысле наличия возможности и ясной процедуры вычисления корреляционных величин рассматриваемого случайного процесса при известных аналогичных характеристиках источника хаотического движения - силы Ланжевена.

Другой способ описания случайных процессов основывается на составлении уравнений для вероятностей p (a, t), p(a₁, t₁ | a₂, t₂) и др. Для раскрытия происхождения таких уравнений рассмотрим три произвольных момента времени t₁, t₂, t₃ в истории эволюции случайного процесса A(t) на диаграмме «время - реализация» (рис. 16). На этой диаграмме система из какого-либо состояния при t₁ в другое состояние времени t₃ может попасть n различными путями, на которых она в промежуточный момент времени t₂ может оказаться в n различных подсостояниях. Причем вероятности перехода в последующее состояние зависят только от текущего состояния, и не зависят от предыдущего. Такой процесс называется марковским, в честь русского математика А.А. Маркова, впервые с наибольшей полнотой исследовавшего такие процессы.

Если бы имелся только один путь из точки t₁ в точку t₃, например, тот, что под номером 1, то для вероятности p(a₁, t₁ | a₃, t₃) реализации состояния a₃ во время t₃ при условии, что во время t₁ было a₁, имели бы

,

так как вероятность независимых последовательных событий равна произведению вероятностей осуществления каждого из них.

Не рассматривается обратный переход системы из состояния a₂ в состояние a₁, что возможно по самому определению случайного процесса как хаотического изменения параметров системы. Но на рис. 16, учитывая это обстоятельство, нет указаний какого-либо выделенного направления изменения a(t): в равной мере можно рассматривать переход из a₁ в a₂, и наоборот.

Если в точке t₂ возможны два подсостояния и движения через них в состояние a₃ происходят независимо, то к правой части (3.11) необходимо добавить слагаемое

,

так как вероятность независимых параллельных событий равна сумме вероятностей осуществления каждого из них.

В общем случае n промежуточных подсостоянии a₂

,

где верхний индекс у a₂, по которой производится суммирование, опущен для простоты записи. Формула (3.12) называется уравнением Чепмена - Колмогорова. Несмотря на кажущуюся простоту оно очень сложно для практического использования. В первую очередь из-за нелинейности: сами реализации a_i зависят от вероятностей переходов. Другая сложность связана с природой чисел a, которые мы будем называть a-числами. Если мысленно представить числовую ось a, то в каждой «точке» a_j этой оси будет содержаться целый набор обычных точек aⁱ_j (т.е. действительных чисел), число которых может быть конечным, счетным или континуумом. Две «точки», принадлежащие оси a (или два a-числа на оси a), считаются тождественными, если совпадают все значения их наборов. Для a-чисел, образующих пространство состоянии, не распространяются понятия «больше», «меньше». Но они могут быть упорядочены по времени, т.е. по нижнему индексу. Поэтому числа на оси a располагаются в таком упорядоченном виде.

При изложении броуновского движения за элемент ансамбля, который называют подансамблем, принималась реализация как функция времени. Если в aⁱ_j при фиксированном параметре i будем пробегать по всем упорядоченным значениям j, то получим подансамбль. Но ансамбль можно вводить несколько иначе: можно зафиксировать конкретное время, т.е. параметр j, но «нумерацию» подансамблей проводить по параметру i, что и мы будем ниже подразумевать. Тогда каждое число на оси a есть ансамбль.

Что касается применимости к a-числам тех или иных математических операции, известных из анализа, то этот вопрос будет обсуждаться ниже по мере изложения материала.

Для решения многих задач физической кинетики требуется знание плотности распределения вероятности какой-либо непрерывной величины в момент времени t, если известно распределение плотности вероятности в некоторый начальный момент времени t₀. Для непрерывной переменной a уравнение Чепмена - Колмогорова в этом случае имеет вид:

, (13)

где символ p имеет смысл плотности вероятности распределения a по ансамблю, а интегрирование ведется по континуальному множеству подансамблей ансамбля a' (!), которые представляются обычной вещественной числовой осью.

В уравнении (3.13) из соображений удобства переставлены местами переменные, означающие предшествующие и последующие их значения, и приняты новые обозначения , для промежуточных переменных.

Нижний и верхний пределы интегрирования в (3.13) для определенности будем считать равными - и + .

По определению частной производной

. (14)

Умножим (3.14) на дифференцируемую произвольное число раз функцию R(a), такую, что R(- ) = R(+ ) = 0 (ясно, что и производные любого порядка от R на этих пределах обращаются в ноль), и проинтегрируем по a в пределах от - до + :

. (15)

Заменим теперь в уравнении (3.13) t на t+t, а на t:

,

и подставим это выражение в (3.15). В результате имеем

(16)

.

В двукратном интеграле

произведем замену :

.

Значение интеграла при этом не изменится. Поэтому (3.16) можем записать в виде

.

Разложим здесь функцию в «ряд Тейлора» вблизи точки :

.

Если скачки (рис. 17) между состояниями a и a' малы при малых промежутках t, то разность - можно сделать сколь угодно малой, если функция гладкая. Используемое допущение _a ~ t опирается на ретроспективные соображения малого изменения состояния системы за малый промежуток времени. В разобранных в главах 1, 2 примерах динамических систем с хаотическим поведением это допущение хорошо выполняется. Величина скачка - зависит от величины производных , вычисленных по направлению оси подансамблей. Поэтому эти производные не должны быть слишком велики, чтобы можно было ограничиться тремя членами разложения. Как мы увидим ниже, ограничения, связанные со свойствами гладкости , налагаются свойствами условной вероятности p (a, t | a₀, t₀).

Рассмотрим выражение



.

Так как

,

означающее, что система обязательно окажется в одном из подансамбле состояния a в последующий момент времени t + t, если учесть все возможные переходы из состояния a' в предыдущее время t, то получим

, (3.17)

где

,

,

.

Функция w называется частотой (или скоростью) перехода системы из состояния a' в состояние a, а ₁(a, t), ₂(a, t), - соответственно первым и вторым моментами частоты перехода. При вычислении моментов предельный переход t 0 совершается только после интегрирования, так как различие между состояниями обусловлено различием времени наблюдения, произведенным над системой.

Интегрируя по частям выражения,

,

с учетом введенных выше свойств функции R(a), получим

,

.

При вычислении интегралов полагали

в силу принятых выше свойств R(a). Однако, как видно из приведенных равенств, характер поведения R(a) определяется свойствами p (a, t | a₀, t₀).

Тогда равенство (3.17) примет вид

.

В силу произвольности R(a) равенство нулю интеграла возможно, если

. (18)

Полученное равенство (3.18) называется уравнением Фоккера - Планка. При выводе его мы раскладывали R(a) в ряд Тейлора до второго порядка по степеням (a' - a). Если удерживать все члены ряда Тейлора, то вместо (3.18) получим

, (19)

где

.

Однако многие физические процессы, имеющие элемент хаотичности, хорошо описываются уравнением (3.18). Это означает, что для таких процессов моменты _n(a, t) в правой части (3.19) при n 3 становятся пренебрежимо малыми (по абсолютной величине) по сравнению с ₂(a, t).

На практике уравнение (3.19) практически не применяется. Есть его другая форма, имеющая более ясное физическое содержание, и к выводу которой мы сейчас приступим. Взяв за исходное уравнение (3.12), запишем

. (20)

Так как уравнение (3.12) связывает вероятности произвольных состояний a_i в произвольно взятые времена t_i, то оно остается верным при формальной замене a₂ a₃:

. (21)

Возьмем здесь , и разложим

в «ряд Тейлора» по малым степеням t, обращая внимание на равенство

, (22)

где = 1, если a₂ = a₃; = 0, если a₂ a₃. Очевидно равенство = , выражающее симметрию данного символа. Формула (3.22) означает, что система не может находиться одновременно в двух состояниях.

Учитывая эту необходимость обязательного различия состояний a₂ и a₃, запишем

.

Вариационная производная a₂/a₃ по определению есть .

Если a₃ - непрерывная величина, то символ Кронекера необходимо заменить для такого случая на его аналог (a₃ - a₂) - дельта функцию Дирака. Обозначим

,

.

Тогда

. (23)

Здесь необходимо уточнить смысл малых величин высших порядков o(t)². Так как состояния a₂ и a₃ определены при разных временах, то в w(a₂, a₃) неявно содержаться члены порядка t, (t)² и т.д. Но неявно содержащиеся в w(a₂, a₃) малые величины, как мы уже видели при выводе уравнении (3.18), (3.19), проявляются как моменты высших порядков. В то время как члены вида o(t)² строго обращаются в ноль при дальнейшем предельном переходе t 0.

Для нахождения явного вида функции и w необходимо привлекать конкретную модель случайного процесса, но они связаны между собой. Эту связь легко найти, если учесть равенство

,

означающее, что к моменту времени t₃ система обязательно (с вероятностью 1) окажется в каком-либо подансамбле, принадлежащем состоянию a₂. Применительно к равенству (3.23) выполнение этого условия достаточно потребовать с точностью o(t)². Применяя операцию суммирования к (3.23) по состояниям a₂ находим

. (24)

Подставим теперь (3.23) в (3.21):

.

Учитывая, что символ Кронекера снимает суммирование и производит замену переменной a₃ a₂, по которой производится суммирование в стоящих с ним сомножителях, находим

(25)

.

Подставим (3.25) в выражение (3.20), и отбросим после чего, члены порядка o(t) в правой части (3.20). После простых преобразований получим:

. (26)

Произведем теперь в (3.24) замену a₃ a₂ переменных:

.

Подставим эту формулу в (3.26); затем обе части (3.26) помножим на p(a₁, t₁), просуммируем по всем возможным состояниям a₁ и применим известную формулу из теории вероятностей

.

Смысл этой формулы заключается в следующем: если случайным образом происходит переход из состояния a₁ при t = t₁ в состояние a₂ при t = t₂, то вероятность найти систему в состоянии a₂ в момент времени t₂ равна произведению вероятности, что она окажется в состоянии a₁ и вероятности перехода a₁ a₂ из всех подансамблей ансамбля a₁.

Заметим, что если a были обычными числами, то знака суммирования не было бы, и данная формула совпала бы с известным выражением для условной вероятности из учебного курса.

В результате (3.26) преобразуется в равенство

.

Производя здесь смену обозначений a₂ a, a₃ a', t₂ t приходим к искомому основному кинетическому уравнению (для дискретных процессов):

. (27)

Первая сумма в (3.27) (источник) описывает возрастание вероятности p (a, t) найти систему в состоянии a за счет переходов из других «точек» a' с вероятностью в единицу времени (или частотой переходов) w (a, a'). Вторая сумма (сток) - снижение вероятности p (a, t) за счет обратных переходов a a' с частотой w (a', a).

Если в каждой «точке» a мы имеем континуальный (непрерывный) набор значении, то в (3.27), сумма заменяется интегрированием:

. (28)

Это нелинейное интегро-дифференциальное уравнение. Здесь, как и в (3.27) нет указания на необходимость выполнения предельного перехода t 0. Но состояния a' и a отличаются на интервал времени t. Поэтому при вычислении правых частей (3.27) и (3.28) предельный переход t 0 должен подразумеваться и быть выполнен.

Если для p (a, t) из уравнений (3.27) и (3.28) задается распределение p(a₀, t₀) в начальный момент времени t₀, и требуется найти ее вид в последующее время (задача Коши), то по данным уравнениям находится условная вероятность p (a, t | a₀, t₀). Обычно начальное условие задается в виде:

, (29)

означающее отсутствие хаотичного положения начальной точки a₀. Кроме того, p (a, t) должна удовлетворять условию нормировки

, (30)

где интегрирование ведется по всей допустимой области значении a.

Требование (3.30) становится не допустимым, если на границах области значении a есть стоки.

Например, если случайно блуждающая частица в пространственно замкнутой области, может с ненулевой вероятностью пройти через границу области (туннельный эффект).

Сравнивая (3.19) и (3.28) получим формулу

,

известную как разложение Крамерса - Мойала.

4. Применение уравнения Фоккера - Планка к анализу броуновского движения

ланжевен уравнение планк броуновский

Уравнение Фоккера - Планка дает, наряду с методом стохастических уравнений Ланжевена, второй способ изучения случайных процессов. Основную сложность применения уравнения (3.18), или, в общем случае, уравнения (3.19) составляет нахождение моментов. Эти подходы можно рассматривать как независимые, но наибольший эффект достигается при совместном использовании методов Ланжевена и Фоккера - Планка. Тогда моменты, входящие в уравнения (3.18) непосредственно находятся из решений уравнений Ланжевена.

Если случайным образом меняющийся параметр a(t) является вектором с компонентами b₁, b₂, …, b_n в произвольной системе координат, то уравнение Фоккера - Планка имеет вид:

, (31)

где _1i - первые моменты по каждой из компонент вектора , а _1ij - вторые моменты по компонентам

.

Вывод уравнения (3.31) более сложен, но по физическому содержанию не отличается от способа получения (3.18). Сложности здесь чисто технического характера.

Вычислим _1i и _1ij для броуновского движения.

(в пределе t 0 можно заменить на ),

.

Таким образом

, (32)

где I - единичная матрица.

Заменив в (3.31) b_i на v_x, v_y, v_z и используя (3.32) получим уравнение Фоккера - Планка для броуновского движения:

. (33)

Как было выше выяснено, в пределе t устанавливается равновесное состояние. При этом решение (3.33), удовлетворяющее условиям (3.29), (3.30) выходит на стационарное распределение вероятности. Положив в (3.33) p/t = 0, перепишем его в виде

. (34)

Плотность вероятности должна удовлетворять граничным условиям

,

которые запрещают частице иметь бесконечно большие скорости. Верхний символ «0» означает стационарное решение.

Все комплексы в квадратных скобках (т.е. потоки по направлению каждой из осей скоростных координат) содержат, во-первых, только одну переменную и производные по ней, и во вторых, идентичны по виду. Это означает, что:

функция p является произведением трех функции, каждая из которых зависит только от одной из переменных v_x, v_y, v_z;

все эти три функции, ввиду симметрии задачи (т.е. каждый член в квадратных скобках и граничные условия могут быть получены из других перестановкой соответствующих переменных), одинаковы по виду.

Тогда каждое слагаемое в (3.34) должно быть равно нулю по отдельности. После несложных расчетов получим нормированное распределение

,

известное из статистической физики как равновесное распределение Максвелла.

Список литературы

Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках: Пер. с англ. /Под ред. Р.Л. Стратоновича. - М.: Мир, 1986.

Ван Кампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии: Пер. с англ. /Под ред. С.С. Моисеева. - М.: Высшая школа, 1990.

Репке Г. Неравновесная статистическая механика: Пер. с нем. /Под ред. Д.Н. Зубарева. - М.: Мир, 1990.

Кайзер Дж. Статистическая термодинамика неравновесных процессв: Пер. с англ. - М.: Мир, 1990.

Размещено на Allbest.ru

...